黑龙江省佳木斯市第一中学2023-2024学年高三上学期期中数学试题

佳木斯一中2023-2024学年度高三数学期中考试数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数，且，则（）A. B. C.1 D.23.已知、、是不重合的直线，、是不重合的平面，对于下列命题①若，，则②且，则③且，则④若、是异面直线，，，且，则其中真命题序号是（）A.①② B.③④ C.②④ D.①③4.2022年12月4日是第九个国家宪法日，主题为“学习宣传贯彻党的二十大精神，推动全面贯彻实施宪法”，耀华园结合线上教育教学模式，开展了云升旗，云班会等活动．其中由学生会同学制作了宪法学习问卷，收获了有效答卷2000份，先对其得分情况进行了统计，按照、、…、分成5组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，下列说法不正确的是（）A.图中的值为0.02B.由直方图中的数据，可估计75%分位数是85C.由直方图中的数据，可估计这组数据的平均数为77D.90分以上将获得优秀，则全校有20人获得优秀5.为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例关于贷款人的年收入（单位：万元）的Logistic，模型：，已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为（）（精确到0.01万元，参考数据：，）A.4.65万元 B.5.63万元 C.6.40万元 D.10.00万元6.已知函数的定义域为，则函数的定义域（）A. B. C. D.7.已知某抽奖活动的中奖率为，每次抽奖互不影响．构造数列，使得，记，则的概率为（）A. B. C. D.8.已知平面上两定点、，则所有满足（且）点的轨迹是一个圆心在上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体表面上动点满足，则点的轨迹长度为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（）A.的最小正周期为B.的图象关于中心对称C.在上单调递减D.把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象10.已知曲线：为焦点在轴上的椭圆，则（）A. B.的离心率为C.的短轴长的取值范围是 D.的值越小，的焦距越大11.已知抛物线C：焦点为F，，是抛物线上两点，下列结论正确的是（）A.的最小值为2B.若，则线段MN中点P到x轴的距离为6C.若直线MN过点F，则D.若，则的最小值为812.已知实数a，b，c满足（其中e为自然对数的底数），则下列说法正确的是（）A. B.C.的最小值为 D.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，，若在方向上的投影向量为，则x的值为______.14.若，，则______.15.古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第n日布施了子安贝（其中，），数列的前n项和为．若关于n的不等式恒成立，则实数t的取值范围为____．16.已知椭圆的一个焦点为，短轴的长为为上异于的两点.设，且，则的周长的最大值为__________.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在等比数列和等差数列中，，，．（1）求数列和通项公式；（2）令，，记数列的前项积为，证明：．18.已知数列的前项和为，满足，等差数列中.（1）求和的通项公式；（2）数列与的共同项由小到大排列组成新数列，求数列的前20的积.19.为普及航空航天科技相关知识､发展青少年航空航天科学素养，贵州省某中学组织开展“筑梦空天”航空航天知识竞赛.竞赛试题有甲、乙、丙三类（每类题有若干道），各类试题的每题分值及小明答对概率如下表所示，各小题回答正确得到相应分值，否则得分，竞赛分三轮答题依次进行，各轮得分之和即为选手总分.项目题型每小题分值每小题答对概率甲类题乙类题丙类题其竞赛规则为：第一轮，先回答一道甲类题，若正确，进入第二轮答题；若错误，继续回答另一道甲类题，该题回答正确，同样进入第二轮答题，否则，退出比赛.第二轮，在乙类题或丙类题中选择一道作答，若正确，进入第三轮答题；否则，退出比赛.第三轮，在前两轮未作答的那一类试题中选择一道作答.小明参加竞赛，有两种方案选择，方案一：先答甲类题，再答乙类题，最后答丙类题；方案二：先答甲类题，再答丙类题，最后答乙类题.各题答对与否互不影响.请完成以下解答：（1）若小明选择方案一，求答题次数恰好为次的概率；（2）经计算小明选择方案一所得总分的数学期望为，为使所得总分的数学期望最大，小明该选择哪一种方案？并说明理由.20.已知抛物线，为其焦点，，，三点都在抛物线上，且，直线，，的斜率分别为，，．（1）求抛物线的方程，并证明；（2）已知，且，，三点共线，若且，求直线的方程．21.已知椭圆的短轴长为，且点在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）椭圆C的左、右顶点分别为A、