2016-2017学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷

2016-2017学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一

个是符合题意的.

1.（3分）抛物线y=（x-1）2+2的对称轴为（）

A.直线x=1B.直线x=-1C.直线x=2D.直线x=-2

2.（3分）我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的

向往，良辰佳节的祝贺.比如下列图案分别表示"福"、"禄"、"寿"、"喜"，其

中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）

3.（3分）如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=4,tanA=L,贝UBC的长度为（）

（分）将抛物线平移，得到抛物线（）2下列平移

4.3y=-3x2y=-3x-1-2,

方式中，正确的是（）

A.先向左平移1个单位,再向上平移2个单位

B.先向左平移1个单位,再向下平移2个单位

C.先向右平移1个单位,再向上平移2个单位

D.先向右平移1个单位,再向下平移2个单位

5.（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点0为位似中心，把线段AB

放大后得到线段CD.若点A（1,2）,B（2,0）,D（5,0）,则点A的对应

（5,5）C.(3,5)D.(3,6)

2

6.（3分）如图，AB是。0的直径，C,D是圆上两点，连接AC,BC,AD,CD.若

NCAB=55。，则NADC的度数为（)

A.55°B.45°C.35°D.25°

7.（3分）如图，AB是。O的一条弦，ODLAB于点C,交。0于点D,连接0A.若

AB=4,CD=1,则。。的半径为（）

A.5B.C.3D.3

2

8.（3分）制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度"，再下料.右图

是一段弯形管道，其中NO=NO，=90。，中心线的两条弧的半径都是1000mm,

这段变形管道的展直长度约为（取三.14）（）

五1000

A.9280mmB.6280mmC.6140mmD.457mm

9.（3分）当太阳光线与地面成40。角时，在地面上的一棵树的影长为10m,树

高h（单位：m）的范围是（）

A.3<h<5B.5<h<10C.10<h<15D.15<h<20

10.（3分）在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分

图象如图所示，它与x轴交于A（1,0）,与y轴交于点B（0,3）,则a的

取值范围是（）

A.a<0B.-3<a<0D..J.<a<.J.

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11.（3分）二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值

为.

12.（3分）如图，在^ABC中，点E,F分别在AB,AC上，若△AEFs^ABC,

则需要增加的一个条件是（写出一个即可）

13.（3分）如图，OO的半径为1,PA,PB是。0的两条切线，切点分别为A,

B.连接OA,OB,AB,P0,若NAPB=60。，则^PAB的周长为.

14.(3分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yi=kx+m(kWO)与抛物线

2

y2=ax+bx+c(aWO)交于点A(0,4),B(3,1),当”Wy2时，x的取值范

围是.

15.(3分)如图，在^ABC中，NBAC=65。，将^ABC绕点A逆时针旋转，得到

△AB'C,连接C'C.若C'C〃AB,则NBAB'=

16.(3分)考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片,

需要找出圆心.

(I)请利用尺规作图确定这块残片的圆心O;

(2)写出作图的依据：.

三、解答题(本题共72分，第17〜26题，每小题5分，第27题7分，第28

题7分，第29题8分)解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.(5分)计算：4cos30°-3tan60°+2sin45°«cos45°.

18.(5分)如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转

60°,得到线段AE,连接CD,BE.

(1)求证：ZAEB=ZADC；

(2)连接DE,若NADC=105。，求NBED的度数.

A

19.（5分）已知二次函数y=x2+4x+3.

（1）用配方法将二次函数的表达式化为y=a（x-h）2+k的形式;

（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；

（3）根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质.

环

5-

4-

3

2

1-

llll......................................................ix

-4-3-2-1(912345

-1-

-2

20.（5分）如图，在^ABC中，点D在BC边上，ZDAC=ZB.点E在AD边上,

CD=CE.

(1)求证：△ABDs^CAE；

(2)若AB=6,AC=2,BD=2,求AE的长.

2

21.（5分）一张长为30cm,宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的

四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体

纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2,求剪掉的正

方形纸片的边长.

22.（5分）一条单车道的抛物线形隧道如图所示.隧道中公路的宽度AB=8m,

隧道的最高点C到公路的距离为6m.

（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；

（2）现有一辆货车的高度是4.4m,货车的宽度是2m,为了保证安全，车顶距

离隧道顶部至少0.5m,通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道.

23.（5分）如图，AB是。。的直径，C为。。上一点，经过点C的直线与AB的

延长线交于点D,连接AC,BC,ZBCD=ZCAB.E是。O上一点，弧CB=5M

CE,连接AE并延长与DC的延长线交于点F.

（1）求证：DC是。。的切线；

£1E2S3

在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、

平面镜等可以测量建筑物的高度.综合实践活动课上，数学王老师让同学制

作了一种简单测角仪：把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系

一个重物（如图1）;将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到

需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角a的度数（如图2,3）.利

用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度.天坛是世界上

最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界…文化遗产.它以严谨的建筑分布,

奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰闻名于世.祈年殿是天坛主体建筑，又称

祈谷殿（如图4）.采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦

为蓝色，象征蓝天.祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛.请你利用所学习的数学

知识，设计一个测量方案，解决"测量天坛祈年殿的高度"的问题.要求：

（1）写出所使用的测量工具；

（2）画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量；

（3）写出求天坛祈年殿高度的思路.

25.（5分）如图，4ABC内接于。0,直径DELAB于点F,交BC于点M,DE

的延长线与AC的延长线交于点N,连接AM.

（1）求证：AM=BM；

（2）若AMLBM,DE=8,ZN=15°,求BC的长.

26.（5分）阅读下列材料：

有这样一个问题：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）有两个不相等的且

非零的实数根.探究a,b,c满足的条件.

小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是

小明的探究过程：

①设一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）对应的二次函数为y=ax?+bx+c（a>0）；

②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a,b,c满足的条件，列表如

下:

方程根的几何意义：请将(2)补充完整

方程两根的情况对应的二次函数的大致图a,b,c满足的条件

象

方程有两个

不相等的正实根

(1)参考小明的做法，把上述表格补充完整;

(2)若一元二次方程mx?-(2m+3)x-4m=0有一个负实根，一个正实根，且

负实根大于-1,求实数m的取值范围.

27.(7分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于点A,B

(A在B的左侧).

(1)抛物线的对称轴为直线x=-3,AB=4.求抛物线的表达式；

(2)平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线经过点0,且与x正半轴交于点

C,记平移后的抛物线顶点为P,若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标;

(3)当m=4时，抛物线上有两点M(xi，yi)和N(x2,丫2),若xi<2,X2>2,

XI+X2>4,试判断yi与y2的大小,并说明理由.

28.(7分)在RtaABC中，NACB=90。，AC=BC,CD为AB边上的中线.在改△

AEF中，NAEF=90°,AE=EF,AF<AC.连接BF,M,N分别为线段AF,BF的

中点，连接MN.

(1)如图1,点F在aABC内，求证：CD=MN；

(2)如图2,点F在^ABC外，依题意补全图2,连接CN,EN,判断CN与EN

的数量关系与位置关系，并加以证明；

(3)将图1中的4AEF绕点A旋转，若AC=a,AF=b(b<a),直接写出EN的最

大值与最小值.

29.(8分)在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于。(:及OC外一点P,

M,N是(DC上两点，当NMPN最大，称NMPN为点P关于。(：的“视角直

线I与。C相离，点Q在直线I上运动，当点Q关于。C的"视角”最大时，则

称这个最大的“视角”为直线I关于。C的"视角〃.

(1)如图，。0的半径为1,

①已知点A(1,1),直接写出点A关于。。的“视角”大小；已知直线y=2,直接

写出直线y=2关于。0的“视角”；

②若点B关于。0的“视角"为60。，直接写出一个符合条件的B点坐标；

(2)OC的半径为1,

①点C的坐标为(1,2),直线I：y=kx+b(k>0)经过点D(-2后1,0),若

直线I关于。C的"视角”为60。，求k的值；

②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线丫=后+遥关于。C的"视角"大于120°,

直接写出圆心C的横坐标xc的取值范围.

2016-2017学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一

个是符合题意的.

1.（3分）抛物线y=（x-1）2+2的对称轴为（）

A.直线x=1B.直线x=-1C.直线x=2D,直线x=-2

【分析】由抛物线解析式可求得答案.

【解答】解：

":Y=（x-1）2+2,

...对称轴为直线x=l,

故选：A.

【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，

即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h,顶点坐标为（h,k）.

2.（3分）我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的

向往，良辰佳节的祝贺.比如下列图案分别表示"福"、"禄"、"寿"、"喜"，其

中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；

C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；

D、轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误.

故选：C.

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻

找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋

转180度后两部分重合.

3.（3分）如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=4,tanA=l,贝UBC的长度为（）

A.2B.8C.473D.4A/5

【分析】根据角的正切值与三角形边的关系求解.

【解答】解：：在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=4,

tanA=A_=^2^

2AC4

BC=2.

故选：A.

【点评】此题考查了解直角三角形的知识，解题的关键是能够选择合适的边角关

系求解，难度不大.

4.（3分）将抛物线y=-3x2平移，得到抛物线y=-3（x-1）2-2,下列平移

方式中，正确的是（）

A.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位

B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位

C.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位

D.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位

【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到.

【解答】解：,；¥=-3x2的顶点坐标为（0,0）,y=-3（x-1）2-2的顶点坐标

为（1,-2）,

・•.将抛物线y=-3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y=

-3(x-1)2-2.

故选：D.

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知"上加下减，左加右减"

的法则是解答此题的关键.

5.(3分)如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点0为位似中心，把线段AB

放大后得到线段CD.若点A(1,2),B(2,0),D(5,0),则点A的对应

【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系.

【解答】解：•••以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD,且B(2,

0),D(5,0),

.♦.强=2,

*,0DT

VA(1,2),

AC(旦5).

2

故选：B.

【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点的关系是解题关键.在平面

直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图

形对应点的坐标的比等于k或-k.

6.(3分)如图，AB是。。的直径，C,D是圆上两点，连接AC,BC,AD,CD.若

NCAB=55。，则NADC的度数为()

A.55°B.45°C.35°D.25°

【分析】推出Rt^ABC,求出NB的度数，由圆周角定理即可推出NADC的度数.

【解答】解：：AB是。。的直径，

AZACB=90",

VZCAB=55°,

NB=35°,

AZADC=ZB=35".

故选：C.

【点评】本题主要考查了圆周角的有关定理，关键作好辅助线，构建直角三角形,

找到同弧所对的圆周角.

7.（3分）如图，AB是。0的一条弦，ODLAB于点C,交。0于点D,连接0A.若

AB=4,CD=1,则。。的半径为（）

【分析】设。。的半径为r,在Rt^ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值.

【解答】解：设。0的半径为r,则OA=r,OC=r-1,

VOD±AB,AB=4,

：.AC=1AB=2,

2

在RtAACO中，OA2=AC2+OC2,

r2=22+（r-1）2,

r.5

2

故选：D.

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，是常考题型，熟练掌握垂径定理是关

键，垂直于弦的直径平分弦；确定一个直角三角形，设未知数，根据勾股定

理列方程解决问题.

8.（3分）制造弯形管道时，经常要先按中心线计算"展直长度"，再下料.右图

是一段弯形管道，其中/0=/0，=90。，中心线的两条弧的半径都是1000mm,

这段变形管道的展直长度约为（取必.14）（）

A.9280mmB.6280mmC.6140mmD.457mm

【分析】先计算出扇形的弧长再加上直管道的长度3000即可.

【解答】解：图中管道的展直长度=2X9°7T义10°°+3000=1000/3000吐1000X

180

3.14+3000=6140mm.

故选：C.

【点评】此题主要考查了扇形的弧长公式，这个公式要牢记.弧长公式为：1=理

180

（弧长为I,圆心角度数为n,圆的半径为R）.

9.（3分）当太阳光线与地面成40。角时，在地面上的一棵树的影长为10m,树

高h（单位：m）的范围是（）

A.3<h<5B.5<h<10C.10<h<15D.15<h<20

【分析】利用坡度算出坡角最大或最小时树高的范围即可.

【解答】解：AC=10.

①当NA=30°时，BC=ACtan30°=10X^2^5.7.

3

②当NA=45°时，BC=ACtan45°=10.

.*.5.7<h<10,

故选：B.B

AA

【点评】本题主要考查三角函数的定义，利用三角函数的定义求得相应角度时树

的高度是解题的关键.

10.（3分）在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分

图象如图所示，它与x轴交于A(1,0),与y轴交于点B(0,3),则a的

取值范围是()

A.a<0B.-3<a<0C.a<D<a<

2-44

【分析】根据图象得出a<0,b<0,由抛物线与x轴交于A(1,0),与y轴交

于点B(0,3),得出a+b=-3,得出-3<a<0即可.

【解答】解：根据图象得：a<0,b<0,

•抛物线与x轴交于A(1,0),与y轴交于点B(0,3),

•(a+b+c=0

*lc=3

/.a+b=-3,

Vb<0,

-3<a<0,

故选：B.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系，难度一

般，关键是正确获取图象信息进行解题.

二、填空题(本题共18分，每小题3分)

11.(3分)二次函数丫=*2-2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为

【分析】根据442-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点得到△=(-2/-4m=0,

然后解关于m的方程即可.

【解答】解：根据题意得△=(-2)2-4m=0,

解得m=l.

故答案为1.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c

是常数，aWO）,-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：-4ac>0

时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；

△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

12.（3分）如图，在aABC中，点E,F分别在AB,AC±,若△AEFs^ABC,

则需要增加的一个条件是EF〃BC（写出一个即可）

【分析】利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原

三角形相似进行添加条件.

【解答】解：当EF〃BC时，△AEFS/XABC.

故答案为EF〃BC.

【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边

相交，所构成的三角形与原三角形相似.

13.（3分）如图，©O的半径为1,PA,PB是。O的两条切线，切点分别为A,

B.连接OA,OB,AB,PO,若NAPB=6O。，则^PAB的周长为3立.

【分析】根据切线的性质得到OALPA,OB±PB,OP平分NAPB,PA=PB,推出

△PAB是等边三角形，根据直角三角形的性质得到PA=V3AO=V3-于是得到

结论.

【解答】解：：PA、PB是半径为1的。。的两条切线，

AOAXPA,OB±PB,OP平分NAPB,PA=PB,

而NAPB=60°,

ZAPO=30°,APAB是等边三角形，

••PA=\,r3AO=-\/3>

/.△PAB的周长=

故答案为：3M.

【点评】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，三角形的周长的计算，熟

练掌握切线的性质是解题的关键.

14.(3分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yi=kx+m(k/0)与抛物线

y2=ax2+bx+c(aWO)交于点A(0,4),B(3,1),当yiWy2时，x的取值范

围是0WxW3.

【分析】根据函数图象以及点A、B的坐标，写出抛物线在直线上方部分的x的

取值范围即可.

【解答】解：•••两函数图象交于点A(0,4),B(3,1),

・••当”Wy2时，x的取值范围是0WxW3.

故答案为：04W3.

【点评】本题考查了二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解

决函数问题更是如此.

15.(3分)如图，在^ABC中，NBAC=65。，将^ABC绕点A逆时针旋转，得到

△AB'C,连接CC.若CC〃AB,则NBAB'=50

々B

【分析】根据旋转的性质得AC=AC,NB，AB=NCAC,再根据等腰三角形的性质

得NACC=NACU,然后根据平行线的性质由CCWAB得NACC，=NCAB=65。，

则NAC'C=NACC'=65°,再根据三角形内角和计算出NCAC=50。，所以N

B'AB=50°.

【解答】解：:△ABC绕点A逆时针旋转到△ABC的位置，

.•.AC'=AC,ZB,AB=ZC,AC,

NACC=NACU,

VCCWAB,

NACC'=NCAB=65°,

，NAC'C=NACC'=65°,

ZCAC=180°-2X65°=50°,

NB'AB=50°,

故答案为50.

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距

离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了平行线的

性质.

16.（3分）考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，

需要找出圆心.

（1）请利用尺规作图确定这块残片的圆心O;

（2）写出作图的依据：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；

不在同一直线上的三个点确定一个圆•

【分析】（1）直接在圆形残片上确定3点，进而作出两条垂直平分线的交点得出

圆心即可；

（2）利用垂直平分线的性质得出圆心的位置.

【解答】（1）如图所示，点O即为所求作的圆心；

B

（2）作图的依据：

线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确

定一个圆.

【点评】此题主要考查了应用设计与作图以及线段垂直平分线的性质，正确把握

垂径定理的性质是解题关键.

三、解答题（本题共72分，第17〜26题，每小题5分，第27题7分，第28

题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.（5分）计算：4cos30°-3tan60°+2sin45°«cos45°.

【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果.

【解答】解：原式=4X直-3X后2X返X叵：L-

222

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

18.（5分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转

60°,得到线段AE,连接CD,BE.

（1）求证：ZAEB=ZADC；

（2）连接DE,若NADC=105。，求NBED的度数.

【分析】（1）由等边三角形的性质知NBAC=60。，AB=AC,由旋转的性质知N

DAE=60°,AE=AD,从而得NEAB=NDAC,再证^EAB咨aDAC可得答案；

（2）由NDAE=60°,AE=AD知4EAD为等边三角形，即NAED=60°,继而由NAEB=

NADC=105°可得.

【解答】解：（1）•.'△ABC是等边三角形，

AZBAC=60°,AB=AC.

•.•线段AD绕点A顺时针旋转60°,得到线段AE,

AZDAE=60°,AE=AD.

AZBAD+ZEAB=ZBAD+ZDAC.

AZEAB=ZDAC.

在AEAB和ADAC中，

'AB=AC

•*NEAB=/DAC，

,AE=AD

A△EABADAC.

AZAEB=ZADC.

(2)如图,

VZDAE=60°,AE=AD,

.•.△EAD为等边三角形.

ZAED=60°,

XVZAEB=ZADC=105°.

AZBED=45°.

【点评】本题主要考查等边三角形的性质和旋转的性质及全等三角形的判定与性

质，熟练掌握旋转的性质证得三角形的全等是解题的关键.

19.(5分)已知二次函数y=x2+4x+3.

(1)用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式；

(2)在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；

（3）根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质.

环

5-

4-

3

2

1

・1111・>x

-4-3-2-1。12345

-1

-2

-3

-4

【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式配成顶点式;

（2）利用描点法画出二次函数图象；

（3）利用二次函数的性质求解.

【解答】解：（1）y=x2+4x+3

=x2+4x+22-22+3

=(x+2)2-1；

（2）列表:

x...-4-3-2-10

y30-103

如图,

（3）当x<-2时，y随x的增大而减小，当x>-2时，y随x的增大而增大.

【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c是常

数，aWO）,该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标

是（0,c）；顶点式：y=a（x-h）2+k（a,h,k是常数，aWO）,其中（h,k）

为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h,

k）；交点式：y=a（x-xi）（x-x2）（a,b,c是常数，aWO）,该形式的优势

是能直接根据解析式得到抛物线与X轴的两个交点坐标（XI,0）,（X2,0）.

20.(5分)如图，在^ABC中，点D在BC边上，ZDAC=ZB.点E在AD边上,

CD=CE.

(1)求证：△ABDs^CAE；

(2)若AB=6,AC=2,BD=2,求AE的长.

2

【分析】(1)由CE=CD,推出NCDE=NCED,推出NADB=/CEA,由/DAC=NB,

即可证明.

（2）由（1）AABD^ACAE,得到胆型，把AB=6,AC=2,BD=2,代入计算

AC-AE2

即可解决问题.

【解答】（1）证明：：CE=CD,

AZCDE=ZCED.

AZADB=ZCEA.

VZDAC=ZB,

/.△ABD^ACAE.

(2)解：由(1)△ABDs/XCAE,

；iAB_BD

AC=AE'

VAB=6,AC=2,BD=2,

2

.♦.AE=旦.

2

A

BDC

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，三角形的外角

的性质等知识，就提到过房间数灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考

题型.

21.（5分）一张长为30cm,宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的

四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方•体

纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2,求剪掉的正

方形纸片的边长.

【分析】设剪去的正方形边长为xcm,那么长方体纸盒的底面的长为（30-2x）

cm,宽为（20-2x）cm,然后根据底面积是81cm2即可列出方程求出即可.

【解答】解：设剪掉的正方形纸片的边长为xcm.

由题意，得（30-2x）（20-2x）=264.

整理，得x2-25x+84=0.

解方程，得xi=4,X2=21（不符合题意，舍去）.

答：剪掉的正方形的边长为4cm.

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解

题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程.

22.（5分）一条单车道的抛物线形隧道如图所示.隧道中公路的宽度AB=8m,

隧道的最高点C到公路的距离为6m.

（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；

（2）现有一辆货车的高度是4.4m,货车的宽度是2m,为了保证安全，车顶距

离隧道顶部至少0.5m,通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道.

【分析】(1)以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐

标系xOy,如图所示，利用待定系数法即可解决问题.

(1)求出x=l时的y的值，与4.4+0.5比较即可解决问题.

【解答】解：(1)本题答案不唯一，如：

以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy,如

图所示.

AA(-4,0),B(4,0),C(0,6).

设这条抛物线的表达式为y=a(x-4)(x+4).

抛物线经过点C,

二-16a=6.

•a——3

8

二抛物线的表达式为y=-当2+6,(-4WXW4).

8

(2)当x=l时，y=至，

8

74.4+0.5=4.9

8

•••这辆货车能安全通过这条隧道.

【点评】本题考查二次函数的应用、平面直角坐标系等知识，解题的关键是学会

构建平面直角坐标系，掌握待定系数法解决问题，属于中考常考题型.

23.(5分)如图，AB是。。的直径，C为。。上一点，经过点C的直线与AB的

延长线交于点D,连接AC,BC,ZBCD=ZCAB.E是。0上一点，弧CB=5M

CE,连接AE并延长与DC的延长线交于点F.

（1）求证：DC是。0的切线；

（2）若。。的半径为3,sinD=上，求线段AF的长.

【分析】（1）连接0C,由AB是。。的直径,得到ZACB=90。,即Nl+N3=90°.根

据等腰三角形的性质得到N1=N2.得到NDCB+N3=90。.于是得到结论；

（2）根据三角函数的定义得到0D=5,AD=8.根据圆周角定理得到N2=N4.推

出OC〃AF.根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】（1）证明：连接OC,BC,

VAB是。O的直径，

ZACB=90°,即Nl+N3=90°.

VOA=OC,

/.Z1=Z2.

VZDCB=ZBAC=Z1.

AZDCB+Z3=90°.

AOCXDF.

ADF是。O的切线；

(2)解：在RtZXOCD中，0C=3,sinD=W.

5

.*.0D=5,AD=8.

VCE=BC，

.\Z2=Z4.

/.Z1=Z4.

AOC^AF.

.,.△DOC^ADAF.

【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助

线是解题的关键.

24.（5分）测量建筑物的高度

在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、

平面镜等可以测量建筑物的高度.综合实践活动课上，数学王老师让同学制

作了一种简单测角仪：把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系

一个重物（如图1）;将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到

需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角a的度数（如图2,3）.利

用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度.天坛是世界上

最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界…文化遗产.它以严谨的建筑分布,

奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰闻名于世.祈年殿是天坛主体建筑，又称

祈谷殿（如图4）.采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦

为蓝色，象征蓝天.祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛.请你利用所学习的数学

知识，设计一个测量方案，解决"测量天坛祈年殿的高度"的问题.要求：

（1）写出所使用的测量工具；

（2）画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量；

（3）写出求天坛祈年殿高度的思路.

【分析】根据题意画出图形，根据正切的概念解答即可.

【解答】解：（1）测量工具有：简单测角仪，测量尺；

（2）设CD表示祈年殿的高度，测量过程的几何图形如图所示;

需要测量的几何量如下：

①在点A,点B处用测角仪测出仰角a,仇

②测出A,B两点之间的距离s；

（3）设CD的高度为xm.

在RtADBC中，BC__—,

tanp

在RtADAC中，_--，

tanC1

VAB=AC-BC,

5tan0.tanP

s，tanQ，tan

解得，x=^.

tanP-tana

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概

念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.

25.（5分）如图，4ABC内接于。0,直径DELAB于点F,交BC于点M,DE

的延长线与AC的延长线交于点N,连接AM.

（1）求证：AM=BM；

（2）若AMLBM,DE=8,ZN=15°,求BC的长.

【分析】（1）由垂径定理可求得AF=BF,可知DE为AB的垂直平分线，可得AM=BM；

（2）连接AO,BO,可求得NACB=60。，可求得NAOF,由DE的长可知A0,在

RtAAOF中得AF,在RtZXAMF中可求得AM,在ACM中，由七血/ACM望■，

CM

可求得CM,则可求得BC的长.

【解答】（1）证明：

,直径DELAB于点F,

，AF=BF,

.\AM=BM；

（2）连接AO,B0,如图，

由（工）可得AM=BM,

VAM±BM,

AZMAF=ZMBF=45°,

AZCMN=ZBMF=45°,

VAO=BO,DELAB,

ZAOF=ZBOF=l/A0B-

VZN=15",

AZACM=ZCMN+ZN=60°,即NACB=60°,

：NACB=；/AOB-

AZAOF=ZACB=60°.

VDE=8,

AA0=4.

在Rt^AOF中，由sin/McF，得AF=2^,

AO

在RtAAMF中，AM=BM=&AF=2遍.

在ACM中，由tan/ACMh^，得CM=2料,

CM

BC=CM+BM=272+2瓜

【点评】本题主要考查圆周角定理、垂径定理，在(2)中注意在不同的直角三

角形中利用勾股定理是解题的关键.

26.(5分)阅读下列材料：

有这样一个问题：关于x的一元二次方程ax?+bx+c=O(a>0)有两个不相等的且

非零的实数根.探究a,b,c满足的条件.

小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是

小明的探究过程：

①设一元二次方程ax?+bx+c=O(a>0)对应的二次函数为y=ax?+bx+c(a>0)；

②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a,b,c满足的条件，列表如

下:

方程根的几何意义：请将(2)补充完整

方程两根的情况对应的二次函数的大致图a,b,c满足的条件

方程有两个a>0

2_

不相等的负实根A=b4ac>,0

*<0

da

c>0.

(1)参考小明的做法，把上述表格补充完整；

(2)若一元二次方程mx2-(2m+3)x-4m=0有一个负实根，一个正实根，且

负实根大于-1,求实数m的取值范围.

【分析】(1)由二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数与系数的关系容易

得出答案；

(2)根据题意得出关于m的不等式组，解不等式组即可.

【解答】解：(1)补全表格如下：

方程两根的情况二次函数的大致图1得出的结论

象

方程有一个负实根J

一个正实根1______

'a>0

△=b2-4ac?>0

T>。

Na

c>0.

a〉0

A=b2_4ac>0

故答案为：方程有一个负实根，一个正实根,

c>0.

(2)解：设一元二次方程mx2-(2m+3)x-4m=0对应的二次函数为：y=mx2

-(2m+3)x-4m,

，元二次方程mx2+(2m-3)x-4=0有一个负实根,一个正实根,

且负实根大于-1,

①当m>0时，x=-1时，y>0,解得m<2,

.,.0<m<2.

②当m<0时，x=-l时，y<0,解得m>2(舍弃)

Am的取值范围是0Vm<2.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系以及

二次函数与系数的关系等知识；熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系以

及二次函数与系数的关系是解决问题的关键.

27.(7分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于点A,B

(A在B的左侧).

(1)抛物线的对称轴为直线x=-3,AB=4.求抛物线的表达式；

(2)平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线经过点0,且与x正半轴交于点

C,记平移后的抛物线顶点为P,若AOCP是等腰直角三角形，求点P的坐标;

(3)当m=4时，抛物线上有两点M(xi,yi)和N(x2)丫2),若xi<2,x2>2,

XI+X2>4,试判断yi与丫2的大小，并说明理由.

【分析】(1)先根据抛物线和X轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；

(2)根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的

性质求出抛物线解析式；

(3)根据抛物线的解析式判断出点M,N的大概位置，再关键点M,N的横坐

标的范围即可得出结论.

【解答】解：(1)抛物线y=-x2+mx+n的对称轴为直线x=-3,AB=4.

・•.点A(-5,0),点B(-1,0).

，抛物线的表达式为y=-(x+5)(x+1)

/.y=-x2-6x-5.

(2)如图1,

依题意，设平移后的抛物线表达式为：y=-x2+bx.

・•.抛物线的对称轴为直线x/，抛物线与x正半轴交于点C(b,0).

2

.,.b>0.

记平移后的抛物线顶点为P,

・•.点P的坐标(旦,旦),

24

VAOCP是等腰直角三角形，

：.b=2.

・•.点P的坐标(1,1).

(3)如图2,

当m=4时，抛物线表达式为：y=-x2+4x+n.

.•.抛物线的对称轴为直线x=2.

•点M(xi，yi)和N(X2，y2)在抛物线上,

且xi<2,X2>2,

点M在直线x=2的左侧，点N在直线x=2的右侧.

Vxi+X2>4,

2-Xi〈X2一2,

...点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近，

yi>y2.

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的性质，待定系数法，平移

的性质，顶点坐标的确定，函数值大小的确定，解本题的关键是熟练掌握抛

物线的性质，是一道中等难度的中考常考题.

28.(7分)在Rt^ABC中，ZACB=90",AC=BC,CD为AB边上的中线.在Rt^

AEF中，ZAEF=90°,AE=EF,AF<AC.连接BF,M,N分别为线段AF,BF的

中点，连接MN.

(1)如图1,点F在^ABC内，求证：CD=MN；

(2)如图2,点F在^ABC外，依题意补全图2,连接CN,EN,判断CN与EN

的数量关系与位置关系，并加以证明；

(3)将图1中的4AEF绕点A旋转，若AC=a,AF=b(b<a),直接写出EN的最

大值与最小值.

【分析】（1）利用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半和三角形的中位线即

可；

（2）构造出aEMN咨aDNC进而利用互余即可得出结论；

（3）借助（2）的结论，先判断出点N是以点D为圆心，口为半径的圆上，即可

2

得出结论.

【解答】解：（1）证明：在Rt^ABC中，

'/CD是斜边AB上的中线.

.*.CD=1TXB.

2

在^ABF中，点M,N分别是边AF,BF的中点，

/.MN=1AB,

2

，CD=MN.

（2）答：CN与EN的数量关系CN=EN,

CN与EN的位置关系CN±EN.

证明：连接EM,DN,如图.

与（1）同理可得CD=MN,EM=DN.

在ABC中，CD是斜边AB边上的中线,

ACDXAB.

在4ABF中，同理可证EMLAF.

AZEMF=ZCDB=90°.

VD,M,N分别为边AB,AF,BF的中点,

，DN〃AF,MN〃AB.

NFMN=NMND,ZBDN=ZMND.

AZFMN=ZBDN.

AZEMF+ZFMN=ZCDB+ZBCN.

AZEMN=ZNDC.

.,.△EMN^ADNC.

.*.CN=EN,Z1=Z2.

VZ1+Z3+ZEMN=18O",

AZ2+Z3+ZFMN=90°.

AZ2+Z3+ZDNM=90",

即NCNE=90°.

.*.CN±EN.

（3）点N是以点D为圆心，卜为半径的圆上，

2

在RtaABC中,AC=BC=a,

AB=&a,

：CD为AB边上的中线.

.*.CD=1TXB=2ZZ£,

22__

.♦.CN最大=CD+旦