初中数学几何最值问题资料

初中数学几何最值问题（完整

版）资料

（可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）

初中数学几何最值问题面面观

在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变

动时，求某几何量(如线段的长度、图形的周长或面积、角的度

数以及它们的和与差)的最大值或最小值问题，称为几何最值

问题.近年来,各地中考题常通过几何最值问题考查学生的实践

操作能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力.本文针

对不同类型的几何最值问题作一总结与分析，希望对大家有

所帮助.

最值问题的解决方法通常有如下两大类：

一、应用几何性质1.

三角形的三边关系

例1如图1,ZMON=90°/矩形NBC©的顶点力、B分别

在边OMON上•当分在边QN上运动时，/随之在边0用上运动,

矩形力BCD的形状保持不变，其中力B=2,5C=1，运动过程中;

点D到点。的最大距离为()

(A)W+1(B)/(C)叵

5

(D)5

2

图1

分析如图1，取NB的中点E'连结OE,DE,C»

・•OD<OE+DE/

当ODE三点共线时，点D到点。的距离最大，此时,

AB=2,BC=1/

°E=AE=_AB=1-DE={4»+/E2=/2+12=&

Z

.QD的最大值为0+卜

故选A.

2.两点间线段最短

例2如图2,圆柱底面半径为2cm，高为971cm，点小

分别是回柱两底面圆周上的点，

且HB在同一母线上用一棉线从/顺着圆柱侧面绕3圈到B.

求棉线长度最短为

分析如图3,将圆柱展刑g可见,棉线最短是三条斜线

的长度，第一条斜线与底面

回周长、圆柱的三分之一高组成直角三角形.

图3

由周长公式知底面圆一周长为471cm,圆柱的三分之一高

为加cm,根据勾股定理，得一条斜线长为5兀cm,根据平行

四边形的性质，棉线长度最短为%cm.

3.垂线段最短

例3如图4,点A的坐标为（］-1,0），点8在直线y=x运动，

当线段43最短时，点8的坐标为（)

(A)(o,o)⑻（」」）(Q(72

222

(D)亘一好

'22

分析如图4,过点人作AB'lOB,垂足为点*，过*作

B'C_Lx轴，垂足为0

由垂线段最短可知，当夕与点8重合时，”最短・

•••点8在直线y=X上运动，

・••/。夕是等腰直角三角形

为等腰直角三角形

••.点力的坐标为（T0），

111

/.OC=CB'=_OA=_x1=_，

222

的坐标为

22

•••当线段/B最短时，点B的坐标为（1

故选B.

4.利用轴对称

例4如图5,正方形/BCD，4=4，石是BC的中点，点

P是对角线加上一动点，则PE+PB的最小值为.

分析连结DE，父BD于点P，连结BD.

.•,点B与点D关于/C对和^/

・••DE的长即为PE+PB的小值

..力B=4IE是BC的中点/

.-.CE=2

在Rt^CDE中

DE=JCD+CE2=742+22=2百

图5

二、代数证法

1.利用配方法

例5如图6是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户

的周长为8米，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好?

,则有

图6

分析设x表示半圆半径，）,表示矩形边长AD

2x+2y+兀x=8，

于是，8--2x①

）2

若窗户的最大面积为s,则

S=2X>+_TUX2②

2

把①代入②，有

1

5=2%・8一兀二2工+一兀尤2

22

1

=8%-11x2-2x2+-71x2

2

兀

=8x-（2+）*2

4+兀832

=--------（X---------）2+-------

24+714+71

<J2_-

-4+兀

上式中，只有一时，等号成立.

4+五

这时，由①有

v=（8—兀・一8——2・-8）x」=8=-，

4+7i4+K24

即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗

户面积最大.

2.利用一元二次方程根的判别式

例6已知：》>0,,>0且2_+2=1,求2x+y的最小值.

用牛2x+y=/，y=t-2x

代入：2=1,

xy

12

・•・_+=1'

xt-2x

去分母，整理，得2…+=。

・「x为实数,

/.△=12-8r>0

.」28或fWO

,x>01y>0

/.r>8•

初中数学经典几何模型（模型即套路）

【应用上面模型解决如下问题】

一、第•次月考

1.（•中）如用.在正方影八8CD中,£为八。中点,AH1BEf>.*•H.连接CH并延长交AZ）F

AF.CCF丈AO的延长或广点P,若EFT.则Z）P的长为.

1}1

【提八】八字相1+射影定理

2.（三中）如图.11：方形ABCD的边长为3.球氏CB至小”,使8MT,连接M.过点8作5N_LAM.

ifi足为M0足对用线AC、BD的交连接ON.WJON的长为.

【存案】|>/5

"工条喜/聚瞽狮

【损八】心乂口"

“最值问题”集锦

•平面几何中的最值问题............01

•几何的定值与最值.................07

・最短路线问题.....................14

•对称问题...........................18

•巧作“对称点‘妙解最值题........22

•数学最值题的常用解法............26

•求最值问题.......................29

•有理数的一题多解.................34

•4道经典题.......................37

•平面几何中的最值问题

在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时

它和不等式联系在一起，统称最值问题.如果把最值问题和生活中

的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率.下面

介绍几个简例.

在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量

(如线段的长度、图形的面积、角的度数)的最大值或最小值问题,

称为最值问题。

最值问题的解决方法通常有两种：

(1)应用几何性质：

®三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于

第三边；

②两点间线段最短；

③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短;

④定圆中的所有弦中，直径最长。

⑵运用代数证法：

®运用配方法求二次三项式的最值；

②运用一元二次方程根的判别式。

例1、A、B两点在直线I的同侧，在直线L上取一点P,使PA+PB

最小。

变式^^&两再妓L的两恻，在直线。取」

日・।

分析：在直线L上任取一点P'，连结AP',BP，，

在^ABP，中AP'+BP，>AB,飕AP'+BP'=AB,则P'

必在线段AB上，而线段AB与直线L无交点，所以这种思路错误。

取点A关于直线L的对称点A'，则AP'=AP,

在BP中A'P'+B'P'>A'B,当，移到A'B与直

线L的交点处P点时A'，+B，，=A'B,所以这时PA+PB

最小。

1已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮,ABDC

是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周

长最大(图3-91)?

分析本彘条聚圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径

为R.由于ABIICD,必有AC=BD.若设CD=2y,AC=x,那么

只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可.

解作DE_LAB于E,贝！|X2=BD2=AB*BE=2R*(R-y)=

2R2-2Ry,

2R?-x

岫y2R-

2R2-x2

u=x+y+R=x+—=—+R

所以求u*曲I须求-X2+2RX+2R2最大值即可.

2R

-X2+2RX+2R2=3R2-(X-R)2«3R2,

上式只有当x=R时取等号，这时有

即以I—2R?2我应X.

所以记里圆三黝，确可得到梯形两个顶点c,D,

这时，梯形的底角恰为60。和120°.

2.如图3-92是半圆与矩形结合而成的窗户,如果窗户的周长为8

米(m),怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？

分析与解强表示半圆半径，y表示矩形边长AD,则必

有2x+2y+nx=8,

8•庇・2x公

y=—r——.（1）

若窗户的最大面积为s,则

把①代大谢gw.②

8—冗x-2区1。

S=2x•---------------+-7CX2

22

22

=8x-欣。-2x+--o:

2

=3x-(2+3/

4十冗(8V32

2r~4+J+4?^

上式中，只有x=3时，等号成立.这时，由①有

4+兀

yJ8_w.^.2,MX1

即当窗户南悸一是时，窗封^嘘形宽恰为半径时，窗户面

积最大.

3.已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最

大（图3-93）?

分析与解因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然

PA+PB渐小，在极限

状况（P与A重合时）等于AB.因跖猜?BP在半圆弧中点时，PA+PB

取最大值.

设P为半圆弧中点，连PB,PA,延长AP到C,使PC=PA,

连CB,则CB是切线.

为了证PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点P',连P'A,P'B,

延长AP到C,

使PC=BP，,连CB,CC,贝"CB=NPBC=NPCB=45°,

所以A,B,C,C四点共圆，所以NCC'A=/CBA=90°,

所以在△ACC中，AC>ACf,即PA+PB>PA+PB.

4如图3-9有在直角SBC中，AD是斜边上周离平M,N分别

是aABD,AACD的内心，直线MN交AB,AC于K,L.求证:

S^AB户2SAAKL,

证连结AM,BM,DM,AN,DN,CN.

因为在AABC中，zA=90°fAD±BC于D,

所以zABD=zDAC,zADB=zADC=90°.

因为M,N分别是SBD和aACD的内心，所以

zl=z2=45°fz3=z4f

所以△ADN-^BDM,

又因为NMDN=9(T=NADB,所以△MDN-ABDA,

DM_BD

所以

DN=AD

所以zBAD=zMND.

由于NBAD=NLCD,所以zMND=zLCD,

所以D,C,L,N四点共圆，所以zALK=zNDC=45°.

同理，zAKL=zl=45°f所以AK=AL.因为△AKMM4

ADM,

所以AK=AD=AL.而

2

S&.[AB.AC,SAAKL=1AD*AL=1AD,

而222

AC2AB2_AC2.AB2

从BC2AB2+AC3

SM」AC・AB.A?•叱

△AKL2AB2+AC2

-111

所以ABCS

r/,S&$“,-=-A>BC,

MAABC^AAKL22

5.如图3-95.已知在正三角形ABC内（包括边上）有两点P,

Q.求证：PQ<AB.

证设过P,Q的直线与AB,AC分别交于P],Q],,P]C,

显然，PQWP1Q].

@SzAQ1P1+zP1Q1C=180°r

所以NAQF]和NP]Q]C中至少有一个直角或钝

角.若NAQ]PA90°,贝！|PQWP]Q]WAP]WAB;

若NPIQ]O90。，则PQWP]Q]WP]C.

同理，NAP]C和NBP]C中也至少有一个直角或钝角，不妨设

NBPQ90°,

贝UP1C<BC=AB.

对于P,Q两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQ

<AB.

A

6.设aABC是边长为6的正三角形，过顶点A引直线I,顶点B,

C到I的距离设为4,d2,求q+d2的最大值（1992年上海初

中赛题）.

解如图3-96,延长BA到B',使AB=AB，连BC,贝！|过

图3-96

顶点A的直线I或者与BC相交,或者与BC相交.以下分两种

情况讨论.

Q）若I与BC相交于D,则

-(d1+d2)*AD=S

所以

（2）若I'与BC相交于D\则

洌+%)♦3

所以

日1+%《=6、氏

上式只有l'_LB'C时，等号成立.

综合(1),(2),的最大值为6、氏

7.如图3-97.已知直角^AOB中，直角顶点O在单位圆心上，

斜边与单位圆相切，延长AO,BO分别与单位圆交于C,D.试

求四边形ABCD面积的最小值.

解a“设才。与A自相切于E,有OE=1,从而

AB=0E•AB=AO♦0B

AO2+BO2(AO-BO)2

=22

即/AO?+80公喀2.

22

当AO=BO时，AB有最小值2.从而

11

SABCD=7AC-BD=-(1+OA)(1+BO)

1

=-(l+AO+BO+AO*BO)

0+2JAO-BO+AO•BO)

=|(I+7AO*BO)2=1(i+JOE-AB.

所以，当力6演丽彳曲超投ABCD面积的最小值为

=33+2回

2（3+272）.

•几何的定值与最值

几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保

持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解

几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位

置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明.

几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个

确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值，求

几何最值问题的基本方法有：

1.特殊位置与极端位置法；

2.几何定理（公理）法；

3.数形结合法等.

注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变

为热点.这是由于这类问题具有很强的探索性（目标不明确），解题

时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、

逻辑推理与合情想象相结合等思想方法.

【例题就解】

【例11如图，已知AB=10,P是线段AB上任意一点，在

AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边密CD

长度的最小值为/Pvx

思路点拨好图TNX'_LAB于C,DD，_L^B^W^

DQ_LCC,CD=DQ+CQ,DQ=.AB一常数，当CQ越小，CD

2222

越小，一

本例也可设「则,从代数角度探求的最小值.

AP=PB=10xCD

注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突

破口，特殊位置与极端位置是指：

Q）中点处、垂直位置关系等；

（2）端点处、临界位置等.

【例2】如图，圆的半径等于正三龟形ABC的高，此圆在沿底

边AB滚动，切点为T,圆交AC、BC于M、N,则对于所有可能

的圆的位置而言，MTN为的度数（）

A.从30。到60。变动B.从60。到90。变动

C.保持30。不变D.保持60。不变

思路点拨先考虑当圆心在正三角形的顶点C灯、

其弧的度数，再证明一般情形,从而作出判断

注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背最转

动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，炎当晶

化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，

研究的量取得定值与最值.

［例3］如图，已知平行四边形ABCD,AB=

P为AB边上的一动点，

直线DP交CB的延长线于Q,求AP+BQ的最小值.

思路点拨设AP=，把AP、BQ分别用的代数式表示，运

xX

用不等式叫02"（当且仅当，》时取等号

【例4］如图，已知等边SBq内接于圆，在劣弓ISRB上取异

于A、B的点M,设直线AC与BM相交于K,直线CgmAM相

交于点N,证明：线段AK和BN的乘积与M点的皙喔）

关.思路点拨即要证AK・BN是一个定值，在图

的边长是一个定值，说明AK-BN与AB有关，乐图知AB为

△ABM与SNB的公共边，作一个大胆的猜想，AK-BN=AB2,

从而我们的证明目标更加明确.

注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一

般的几何证明问题.

［例5］已知^XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形（/

Z=90°）r它的三个顶点分别在等腰RfABC（/C=90。）的三边上，

求AABC直角边长的最大可能值.

思路点拨顶点Z在斜边上或直角边CA（或CB）±,当顶点Z在

斜边AB上时，取xy的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大

值，当顶点Z在（AC或CB）上时，设CX二，CZ二，建立，的

xy,

关系式，运用代数的方法求直角边的最大值.

注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何

元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法

求解.常见的解题途径是：

（1）利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何

最值；

（2）构造二次函数求几何最值.

学力训练

1.如图，正方形ABCD的边长为1,点P为边BC上任意一点

（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线,垂

足分别是B\C\D\则BB，+CC'+DD'的最大值为，最

小值为--------

2.如图，zAOB=45°,角内有一点P,PO=10,在角的两边

上有两点Q,R（均不同于点。），贝!kPQR的周长的最小值

为

3.如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离

AC=8,B到MN的距离BD=5,CD=4,P在直线MN上运动，

则%_PB的最大值等于

DC

P点是蠡MN上一防春:。O的半前i,则AP+BP的最小值

为（）

A.1-

D.3-1

5.如图,圆柱的轴截面A些D是边长为，的正方形，动时

从A点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离是

()

6.如图、已知矩形ABCD,R,P户分别是DC、BC上的点，

E,F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不

动时，那么下列结论成立的是（）

A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减小

C.线段EF的长不改变D.线段EF的长不能确定

7.（笫如图，点C是线段AB上的任意一点（C点不与A、B点重合），

分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边

三角形BCE,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N.

（1）求证：MNIIAB;

（2）若AB的长为10cm,当点C在线段AB上移动时，是否存在

这样的一点C,使线段MN的长度最长?若存在，请确定C点的位

置并求出MN的长；若不存在，请说明理由.

（2002年云南省中考题）

8.如图，定长的弓玄乔布辛个说AB为直径的半圆上渭动，M

是ST的中点，P是5对AB作垂线的垂足，求证：不管ST滑到什

么位置，/SPM是一定角.

9.已知^ABC是。。的内接三角形，BT为。。的切线，B为切

点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E,

交直线AC于点F.

Q)当点P在线段AB上时(如图)，求证：PA.PB=PE.PF;

(2)当点P为线段BA延长牡一点时，第(1)题的结论还成立吗？

如果成立，请证明，飕不成立，请说用理如

第(1)向图第(2)同图

10.如图，已知边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE,

其中AF=2,BF=I,在AB上的一点P,使矩形PNDM有最大面

积，则矩形PNDM的面积最大值是()

A.8B.12C.25D.14

11.如CA±AB于点A,线段

DB±AB^_BlrJkB=2;仅#443,P是半圆上的一个动

点，则封闭图形ACPDB的最大面积是()

12.如图7aSBC中4BC=5,Aq12,AB尹子，在边AB、

AC上分别取点D、E,使线段DE将4ABC分成面积相等的两部分,

试求这样线段的最小长度.

（M12tt）《第13题)

13.如图，ABCD是一个边长为1的正方形,U、V分别是AB、

CD上的点，AV与DU相交于点P,BV与CU相交于点Q.求四

边形PUQV面积的最大值.

14.利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部

都能喷到水.已知每个喷水器的喷水区域是半径为10米的圆，间如

何设计（求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽），才能使矩形花

坛的面积最大？

15.某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个

/她形居民广场（平面图如图所示）.其中，正方形MNPQ与四个相

同矩形（图中阴影部分）的面积的和为800平方米.

勾设矩形的边AB：4米），AM=J米），用含汗的代数式表示，

为

回1吐划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为

2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米

造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价

为40元.

①设该工程的总造价为S（元），求S关于工的函数关系式.

②若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成

该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由.

③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能

否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能,

请说明理由.

（镇江市中考题）

16.某房地产公司拥有一块"缺角矩形"荒地ABCDE,边长和

方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请

划出这块地基，并求地基的最大面积（精确到Im》.

参考答案

・最短路线问题

通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”

为原则引申出来的.人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种

限制条件的最近路线即最短路线问题.

在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同

一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的

不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短

路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路

线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究

曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面

等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的

直线段.

这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面

的.例如，在地球（近似看成圆球）上A、B二点之间的最短路线

如何求呢？我们用过A、B两点及地球球心0的平面截地球，在地

球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点

之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线，

航海上叫短程线.关于这个问题本讲不做研究，以后中学会详讲.

在求最短路线时，一般我们先用"对称"的方法化成两点之间的

最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路

线.像这样将一介问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，

是数学中一种常用的重要思想方法.

例1如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报.在去B

地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选

择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来.

个X」河岸

L--B-PJ

解邛要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线.

作点A关于河岸的对称点A',即作AA'垂直于河岸，与河岸交

于点C,且使AC=AC,连接A'B交河岸于一点P,这时P点就是

饮马的最好位置，连接PA,此时PA+PB就是侦察员应选择的最

短路线.

证明：设河岸上还有异于P点的另一点P',连接P'A,P'B,P'

A*.

/PA+PB=PA+PB>A'B=PA'+PB=PA+PB,

而这里不等式P'A'+PB>A'B成立的理由是连接两点的折

线段大于直线段，

所以PA+PB是最短路线.

此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直

线段A'B,所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法

等.看下面例题.

例2如图一只壁虎要从一面墙壁a上A点，爬到邻近的另一面

墙壁B上的B点捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的

路线呢？

解：我们假想把含B点的墙B顺时针旋转90。（如下页右图），

使它和含A点的墙a处在同一平面上，此时B转过来的位置记为F,

B点的位置记为B\则A、B，之间最短路线应该是线段AB*,设这

条线段与墙棱线交于一点P,那么，折线4PB就是从A点沿着两扇

墙面走到B点的最短路线.

A\

证明：在墙棱上任取鼻手5*掣山点，若沿折线APB走，也

就是沿在墙转90。后的路线AP'B，走都比直线段APB，长，所姗线

APB是壁虎捕蛾的最短路线.

由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之

间的爵豆路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一

平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条

线段所构成的折线，就是所求的最短路线.

例3长方体ABCD—A'B'C'D'中，AB=4,A'A=2',AD=1,

有一只小虫从顶点6出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎

样爬距离最短？（见图（1））

TrJ

（1）@）⑶

解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D'、B

两点的两个相邻的面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的

平面上D'B间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从D'

点出发，到B点共有六条路线供选择.

①从D，点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两

个面摊开在一介平面上（上页图（2））,这时在这介平面上D；B间

的最短路线距离就是连接D'、B两点的直线段，它是直角三角形

ABD'的斜边，根据勾股定理,

DB2=DA2+AB2=（1+2）2+42=25,.D'B=5.

②容易知道，从D'出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最

睡离也是5.

③从D，点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点.将这

两个面摊开在同一平面上，同理求得在这个平面上D\B两点间的

最短路线（上页图（3））,有：

DB2=22+（1+4）2=29.

④容易知道，从D，出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最

短距离的平方也是29.

⑤从D，点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这

两个平面摊开在同一平面上，同理可求得在这个平面上D'、B两点

间的最短路线（见图），

II'DC

AJ2A4B

DB2=（2+4）2+12=37.

⑥容易知道，从D，出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最

短距离的平方也是37.

比较六条路线，显然情形①、②中的路线最短，所以小虫从D'

点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点（上页图（2））,

或者经过后侧面然后进入下底面到达B点的路线是最短路线，它的

长度是5个单位长度.

利用例2、例3中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻

折的方法，可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧

面上A和B两点之间的酸豆路线问题（下左图），同样可说巴A、B

两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面

（下右图），连接A、B成线段AP1P2B,Pl、P2是线段AB与

两条侧棱线的交点，则折线AP1P2B就是AB间的最短路线.

圆由撞遍短就是屋摩二匾^后也是直线，这条曲

线称为螺旋线.因为它具有最短的性质，所以在生产和生活中有着

很广泛的应用.如：螺钉上的螺纹，螺旋输粉机的螺旋道，旋风除

尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题.

例4景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下

左图，如果将金线的起点固定在A点，绕一周之后终点为B点，问

沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？

A~——

解：蒋土左图中圆柱面沿母线AB的开,展开成平面图形如上页

右图（把图中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时，A'、B'分别与

A、B重合），连接AB，，再将上页右图还原成上页左图的形状，则

AB，在圆柱面上形成的曲线就是连接AB且绕一周的最短线路.

圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线.请看下面例

题.

例5有一圆锥如下图，A、B在同一母线上，B为A0的中点,

试求以A为起点，以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线.

解：将圆锥剪开,展开如上右图《向石卤中的扇形

卷成上图中的面隔j,A\B，分别与A、B重合匕在扇形中连

则将扇形还原成圆锥之后，，所成的曲线为所求.

AB*fAB

例6如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬

到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是

12厘米，B点沿母线到桶口D点的距离是8厘米，而C、D两点

之间的（桶口）弧长是15厘米.如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该

怎么走？路程总长是多少？

分析我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），

由于B点在里面，不便于作图，设想将BD延长到F,使DF=BD,

即以直线CD为对称轴，作出点B的对称点F,用F代替B,即可

找出最短路线了.

解:霜1胜面展成平面图形（上图），延长BD至F,使DF=BD,

即作点B关于直线CD的对称点F,i^AF,交摘口沿线CD于0.

因为桶口沿线CD是B、F的对称轴，所以OB=OF,而A、F

之间的最短线路是直线段AF,又AF=AO+OF,那么A、B之间

的最短距离就是AO+OB,故蚂蚁应该在桶外爬到0点后，转向桶

内B点爬去.

延长AC到E,使CE=DF,易知3EF是直角三角形，AF是斜

边，EF=CD,根据勾股定理，AF2=（AC+CE）2+EF2=（12

+8）2+152=625=252,解得

AF=25.即蚂蚊爬行的最短路程是

25厘米.

例7A、B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要

在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸.请你在河的两岸选择合

适的架桥地点，使A、B两个村子之间路程最短.

E

分析因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找

出这条折线很困难，于是想到要把折线化为直线.由于桥的长度相

当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定值.因此，从A点作河岸

的垂线,并在垂线上取AC等于河宽，就相当于把河宽预先扣除，

找出B、C两点之间的最短路线，问题就可以解决.

解：如上图，过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长为河

宽，连结BC交河岸于D点，作DE垂直于河岸，交对岸于E点，

D、E两点就是使两村行程最短的架桥地点.即两村的最短路程是

AE+ED+DB.

例8在河中有A、B两岛（如下图），六年级一班组织一次划

船比赛，规则要求船从A岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再

到B岛，最后回到A岛,试问应选择怎样的路线才能使路程最短?

乙

E

昌别作A、B关于甲岸缘乙岸线的对称点A

和连绮*、B'分别交甲岸线、乙岸线于E、F两点，则A-E

TF—B—A是最短路线,即最短路程为:AE+EF+FB+BA.

证明：由对称性可知路线A-E-F-B的长度恰等于线段AB*

的长度.而从A岛到甲岸，又到乙岸，再到B岛的任意的另一条路

线，利用对称方法都可以化成一条连接A'、B，之间的折线，它们的

长度都大于线段A'B\例如上图中用“------"表示的路线A-E'

TF—B的长度等于折线AE'F'B的长度，它大于A'B'的长度,所

以ATE—F—B—A是最短路线.

•对称问题

教学目的：进一步理解从实际问题转化为数学问题的方法,对于轴

对称问题、中心对称问题有一个比较深入的认识，可以通过对称的

性质及三角形两边之和与第三边的关系找到证明的方法。

教学重点和难点：猜想验证的过程，及几何问题的说理性。

一、点关于一条直线的对称问题

问题超市：一天，天气很热，小明想回家，但小狗想到河边去喝

水。有什么办法能让小狗到河边喝上水，同是回家又最近？

问题数学化：设小明与小狗在A处，家在____________L

B处，小河为L,小明要在直线L上找一个点、C

（小狗在C处饮水），使得AC+BC最短。（如上

图所示）

知识介绍：两条线段之和最短，往往利用对称的思想，把两条线

段的和变为一条线段来研究，利用两点之间的线段最短，可以得出

结果。

中学数学中常见的琳隋两类，一类是轴对称，一类是中心对肌，轴

对称有两个基本特征：垂直与相等。构造点M关于直线PQ

的轴对称点N的方法是：过M作M。垂直于PQ于点0,并延长

M0到点N,使NO=MO,则点N就是点M关于直线PQ的对称

A'A'

问题分析：过A作A。垂R0卜_

A

Az\\

线L于点O,延长A0到点A',A，\B\B

使A'0=A0,连接A'B,交直线L于点

Cf则小明沿着ACB的路径就可以满

足小狗喝上水，同时又使回家的路

程最短。

问题的证明方法：三角形两边之和大于第三边及对称的性质。

问题的延伸1：已知直线L夕隋一个定点P,在直线L上找两

点A、B,使AB=m，且PA+PB簸（其中m为定值）

P

提示：作PC平行于AB,且PC==AB,则问L

题变为：在直线L

上找一个点B,使它到P、

C两点的距离之和最短。

问题的延伸2:在两条

相交线之外有一个定点

P,分别在两条直线上找点B、C使得PB+BC+CP最短，如何确定

B、C的位置？

提示：分别作点关于直线和直线的对称点和连

PIL2P］P2,

接PF?分别与两直线交于欧C点，则PB+BC+PC最短。证明方

法同上。

二、桥该建在哪里：

问题超市：农场里有一条小河，里面养了很多鱼。在河的两岸有

两个加工厂，农场主经常要在这两个工厂之间来回奔波。农场新买

了一辆汽车，想在农场内建造一条马路，同

.A

时在河上修建一座桥。要求桥与河岸垂直，

可是桥应该建在何处，才能使两个加工厂之L

间的路程最短？C2

问题数学化：在直线和直线之间作一条垂线段,使得

L］L2CD

BC+CD+DA最短。

知识介绍：

关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：

(1)在连接两点的所有线中，线段最短(两点之间，线段最短)；

(2)三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

(3)在三角形中，大角对大边，小角对小边。

TSB锦，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利

用两点之间线段最短或者三角形两边之和大于第三边来加以证

明。

另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。

（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形

是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。）

问题分析：由于CD

的长度一定，所以

BC+CD+DA最短，只

Li

需BC+DA最短既可。L2

我们想办法把线段AD

平移到和线段BC共线的位置，于是变化为下面两图。

问题的总结与结论：TS来说，我们利用图形的渤性融到最近

的位置，然后利用三角形和对称的性质去证明你所选取的位置是题

目中所要求的位置即可。

问题的延伸：如果有两条河，需要建

造两座桥,又该如何呢？如图，把A向下{

平移到A'的位置，使线段AA'等于河,

I-L2的宽度;把B向上平移到&的位BZ^E4

置，使线段BB，等于河L3-L4的宽度。陷

连接线段B'A'，交L?于点C,交L3于点Fo过C、F分别作垂线

段CD、FE,就是建桥的位置。如果有三条河又如何？更多的河流

建更多的桥又如何呢？

三、对称问题的进一步延伸。

我们已经可以应用轴对称的特点找到一些特殊位置使得线段和

最小，那么对于线段差最小的问题，是否可以得出一些相关的结论

呢？

1、直线L的异侧有两个点A、B,在直线L上求一个点C,使

得：A、B到C的距离的差的绝对值最小。

2、你认识一些什么样的轴对称图形，它们各自有什么样的几何

性质？

等腰三角形、矩形、正多边形等。

四、如何平分土地：

问题超市：水渠旁有一大块耕地，要画一Fp

条直线为分界线，把耕地