数学名师选修1-1答案

第一章常用逻辑用语

1.1命题及其关系

第一课时

自测自评

1.下列语句中不是命题的是()

A.梯形是四边形

B.等边三角形是等腰三角形吗？

C.空集是任何集合的真子集

D.若ac=bc,则a=b

解析:B不是陈述句，所以不是命题.

答案:B

2.语句“若a>b,则a+c>b+c”()

A.不是命题B.是假命题

C.是真命题D.不能判断真假

解析:这是“若p,则q”形式的命题，是真命题.

答案:C

3.“若x、yGR且x2+y2=0,则x、y全为0”的否命题是()

A.若x、y《R且x2+y2W0,则x、y全不为0

B.若x、yeR且x2+y2#0,则x、y不全为0

C.若x、yeR且x、y全为0,则x2+y2=0

D.若x、yCR且xyWO,贝ijx2+y2W0

答案:B

4.命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的命题.

答案:逆

典例剖析

【变式训练1］判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题？

(1)一个等比数列的公比大于1时,该数列为递增数列；

(2)当x=4时,2x-l>0;

(3)若直线1不在平面a内,则直线1与平面a平行；

(4)所有的正偶数都是合数吗？

［解］(1)是命题，因为当等比数列的首项al<0,公比q>l时，该数列为递减数列，因此，是一个假命题.

(2)是命题，是一个真命题.

(3)是命题，因为直线与平面a可以相交，因此，是一个假命题.

(4)不是命题，它是一个疑问句，没有作出判断.

【变式训练2］把下列命题写成“若p,则q”的形式，并判断其真假.

(1)斜率相等的两条直线平行；

(2)垂直于同一平面的两平面平行.

［解］(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行，真命题.

(2)若两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面平行，假命题.

【变式训练3］写出命题“若在二次函数y=ax2+bx+c中,b2-4ac<0,则该函数图象与x轴有公共点”的逆命

题、否命题、逆否命题.

［解I逆命题:若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有公共点，则b2-4ac<0;

否命题:若在二次函数y=ax2+bx+c中,b2*4ac20,则该函数的图象与x轴无公共点；

逆否命题:若二次函数y=ax2+bx+c的图象」jx轴无公共点，则b2-4ac20.

技能演练

1.下列语句是命题的是（）

①72+1W50②5-x=0③存在xGR,使x2-4>0④平行于同一条直线的两条直线平行吗？

A.①②B.①③

C.②④D.③④

答案:B

2.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”和这个命题互为逆否命题的为（）

A.若一个数是负数，则它的平方是正数

B.若一个数的平方不是正数,则它不是负数

C.若一个数的平方是正数，则它是负数

D.若一个数不是负数,则它的平方是非负数

答案:C

3.以下三个命题:①分别在两个平面内的直线一定是异面直线;②过平面a的一条斜线有且只有一个平面与

a垂直;③平行于同一条直线的两个平面平行.其中真命题的个数是（）

A.OB.1

C.2D.3

解析:①错,异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线，②正确,③错.

答案:B

4.下列命题中是假命题的是（）

A.任意的锐角三角形ABC中，有sinA>cosB成立

B.命题“若x2-3x+2=0,则有x=l”的逆否命题为“若xWl,则x2-3x+2W0”、兀

C*y=sin3x（xWR）的图象上所有的点向右平移£个单位即可得到函数y=sin（3x-）芍R）的图象

D.直线x=乃是函数y=2sin（2x-乃）的图象的一条对称轴’

解析廊因为为锐婚G角形7+

222

sinA>sin（-—B）=cosB.BiE确正确函数的图象由斫有

点向右平移本单位得到函数的羯象in3（x-工）=sin（3x-—）

444

D不正确.

答案:D

5.下列命题中正确的是（）

①“若x2+y2#0,则x,y不全为零”

②“边数相等的正多边形都相似”

③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”

④“若x-3V是有理数，则x是无理数”

A.①②③④B.②③④

C.①②D.①③④

答案:A

6.有下列命题:①ax2+5x-l=0是一元二次方程;②抛物线y=ax2+2x-l与x轴至少有一个交点;③互相包含的两

个集合相等;④空集是任何集合的真子集.其中真命题的序号是.

答案:③

7.命题:若a>0,则二元一次不等式x+ay-l>0表示直线x+ay-l=O的右上方区域(包含边界)是命题

(“真”或“假”).

答案:真

8.“若a>b,则2a>2b-l”的否命题是.

答案:若aWb,则2aW2b-l

9.把下列命题写成“若p,贝Uq”的形式，并判断其真假.

(1)实数的平方是非负数；

(2)偶函数的图象关于y轴对称.

解：(1)若个数是实数，则这个数的平方是非负数，是真命题.

(2)如果一个函数是偶函数，那么它的图象关于y轴对称，是真命题.

10.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断真假.

(1)实数的平方是非负数；

(2)对顶角相等；

⑶若mWO或nWO,则m+nWO.

分析:分清条件和结论,利用相关知识点判断真假.

解:(1)逆命题:若一个数的平方是非负数，则这个数是实数.真命题.

否命题:若一个数不是实数，则它的平方不是非负数.真命题.

逆否命题:若-个数的平方不是非负数，则这个数不是实数.真命题.

(2)逆命题:若两个角相等,则这两个角是对顶角.假命题.

否命题:若两个角不是对顶角，则这两个角不相等.假命题.

逆否命题:若两个角不相等，则这两个角不是对顶角.真命题.

⑶逆命题:若m+nWO,则mWO或nWO.真命题.

否命题:若m>0且n>0,则m+n>0.真命题.

逆否命题:若m+n>0,则m>0且n>0.假命题.

感悟高考

(2010福建文数设非空集合《哪品当时1}:xeS,

有婿出如下三个命题中：

1.,.1V2

①若删②若则三树③若贴—11;1=-,------

422

<m<0.其中正确命题的个数是()

A.OB.lC.2D.3

答案:D

第二课时

自测自评

1.命题“若函数f(x)=log.x(a>0,aWl)在其定义域内是减函数,则log2<0"的逆否命题是()

aa

A.若log/20,则函数f(x)=log.x(a>0,aWl)在其定义域内不是减函数

da

B.若logd2<0,则函数fd(x)=logx(a>0,a关1)在其定义域内不是减函数

C.若log220,则函数f(x)=logx(a>0,aNO)在其定义域内是减函数

aa

D.若log2<0,则函数f(x)=logx(a>0,a#l)在其定义域内是减函数

da

答案:A

2.在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以是()

A.1或2或3或4B.1或3

C.0或4D.0或2或4

答案:D

3.若命题p的逆命题是q,q的逆否命题是r,则命题r是命题p的()

A.逆命题B.否命题

C.逆否命题D.等价命题

答案:B

4.命题：“设a、b、cGR,若ac2〉bc2,则a〉b”及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有()

A.3个B.2个

C.1个D.0个

答案:B

典例剖析

【变式训练1】判断下列命题的真假.

(1)已知a、b、c、deR,若a#c或bWd,则a+b#c+d;

⑵若m>l,则方程x2-2x+m=0无实数根.

［解］(Da、b、c、dWR,若aWc或bWd,则a+bWc+d的逆否命题是：a、b、c、dGR,若a+b=c+d,则a=c

且b=d.

显然该命题是假命题(不妨举反例,取a=d=2,b=c=3),所以原命题是假命题.

(2)若m>l,则方程x2-2x+m=0无实数根的逆否命题为：若方程x2-2x+m=0有实数根，则mWl.

Vx2-2x+m=0有实数根，

A=4-4m>0即mWl.

...逆否命题成立,故原命题是真命题.

【变式训练2】下列命题中，是真命题的是()

A.命题“相似三角形的周长相等”的否命题

B.命题“若b=3,贝ijb2=9”的逆命题

C.命题“若AUB=B,则AB”的逆否命题

D.命题“若xy=l,则x,y互为倒数”的逆命题

［答案］D

【变式训练3］证明:已知函数f(x)是R上的增函数,a,beR,若f(a)+f(b)》f(-a)+f(-b),则a+b2O.

［分析I该题直接证明比较困难,可考虑证明它的逆否命题.

［证明］原命题的逆否命题是：

"若a+b<0,则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).,>

若a+bvO,则a<-b,b<-a,

又〈f(x)在R卜.是增函数，

/.f(a)<f(-b),f(b)<f(-a).

/.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).

即逆否命题为真命题，故原命题为真命题.

技能演练

1.若一个命题p的逆命题是一个假命题，则下列判断一定正确的是()

A.命题p是真命题

B.命题p的否命题是假命题

C.命题p的逆否命题是假命题

D.命题p的否命题是真命题

答案:B

2.有下列四个命题：

①“若x+y=O,则x、y互为相反数”的逆命题；

②“若a>b,则a2>b2的逆否命题”；

③“若xW-3,贝lJx2+x-6>0”的否命题；

④“若ab是无理数，则a、b是无理数”的逆命题.

其中真命题的个数是()

A.OB.1

C.2D.3

解析①逆命题上若、互加相反数则”，是滇命题0

②原命题是假命题其逆否命题是假命题.

③否命题:“若赃'物如x?+x-640,x=4>-3,

则有甥假命题=16+4-6>0.:..

答蒙逆命题:“若遍无理数则是无理数.举反例取，

a=事严,b=拒，则是有理数故为假命题

3.a,b,c另三条直线,a,B是两个平面,ba,ca,则下列命题不成立的是()

A.若a〃B,cJ.aJjp]c，B

B.“若b，B,则”的逆命题

C.若a是c在a内的射影,b_La,则b_Lc

D.“若b〃cMc〃a”的逆否命题

答案:B

4.下列命题：

①“全等三角形的面积相等”的逆命题；

②“正三角形的三个角均为60°”的否命题；

③“若k〈0,则方程x2+(2k+l)x+k=0必有两相异实数根”的逆否命题.

其中真命题的个数是()

A.0B.1

C.2D.3

解析:①的逆命题“面积相等的三角形必全等”是假命题.

②的否命题“不是正三角形的三个内角不全为60。”为真命题.

③当k<0时,△=(2k+l)2-4k=4k2+l>0,方程有两相异实根，原命题与逆否命题均为真命题.

答案:C

5.命题“若方程ax2+bx+c=0(aW0)的A=b2-4ac<0.则方程无实根”的否命题的逆否命题是()

A.若方程ax2+bx+c=0(a#0)的A=b2-4ac20,则方程有二实根

B.若方程ax2+bx+uO(a#O)无实根，则其A=b2-4ac<0

C.若方程ax2+bx+u0(a¥0)有二实根，则其A=b2-4ac20

D.以上均不对

答案:B

6.若命题p的逆命题是q,命题p的否命题是v,则q是v的命题.

答案:逆否

7.给出命题:若函数y=f(x)是基函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三

个命题中,是真命题的是________.

答案:逆否命题r

8.有下列四个命题①“若贝内=|‘由逆命题1A=也；

2

②“若刚二瞰递布检题inB;

③“若皿理数则都是无理数”的逆命题；

④“若则之曲逆待命题其中真命题.

的序号是.

答案:②④

9.判断命题“已知a、xGR,如果关于x的不等式x2+(2a+l)x+a2+2<0的解集非空，则a》l”的逆否命题的

真假.

解:原命题的逆否命题为：

已知a,xCR,如果a<l,则关于x的不等式x2+(2a+l)x+a2+2^0的解集为空集.

判断如下：

抛物线y=x2+(2a+l)x+a2+2开口向上，

判别式A=(2a+l)2-4(a2+2)=4a~7

Va<l,.\4a-7<0.

即抛物线y=x2+(2a+l)x+a2+2与x轴无交点，

••・关于x的不等式x2+(2a+l)x+a2+2^0的解集为空集.

故逆否命题为真.

10.设命题“如果a,b,c均为奇数,那么方程ax2+bx+c=0(aW0)没有等根”.试判断它的四种命题的真假.

解：设a=2m-l,b=2n-l,c=2p-l(m,n,p^Z),

则b2-4ac=(2n-l)2-4(2m-l)(2p-l)

=4[n2-n-(2m-l)(2p-l)]+l为奇数.

.\b2-4ac^0.

.,.方程ax2+bx+c=0(a*0)没有等根.

即原命题是真命题.

它的逆否命题“若方程ax2+bx+c=0(aW0)有等根,则a,b,c不全为奇数”也是真命题.

它的逆命题为“若方程ax2+bx+c=0(a#0)没有等根,则a,b,c均为奇数”

当a=l,b=0,c=-l时,方程x2T=0没有等根,其中b=0不是奇数.

所以它的逆命题是假命题.

它的否命题“如果a,b,c不全为奇数，则方程ax2+bx+c=0(a#0)有等根”也是假命题.

1.2充分条件与必要条件

自测自评

1.已知集合A、B,则“AUB”是“APB=A”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

答案:C

2."|x|<2”是ttx2-x-6<0w的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案:A

3.“a=l”是“直线x+y=O和直线x-ay=O互相垂直”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案:C

TT

4.“x=—”是“函数y=sin2x取得最大值”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件1).既不充分也不必要条件

答案:A

典例剖析

【变式训练1】指出下列各题中P是q的什么条件.

(l)p：四边形对角线互相平分,q：四边形是矩形；

(2)在△ABC中，p:NA〉/B,q:BC>AC;

(3)p:在aABC中，/A#60°,q:sin忆YL

(4)p:m>0,q:x2+x-m=0有实根.

[答案](1)P是q的必要不充分条件.

(2)p是q的充要条件.

(3)p是q的既不充分也不必要条件.

(4)p是q的充分不必要条件.

【变式训练2】求不等式ax2+2x+l>0恒成立的充要条件.

［解当时项恒成立逆时).a*0,

ax2+2x+l>0恒成立.

a>0A

<=>a>

=4-4a<0

所以频成立的充要条件是a>1.

【变式训练3］求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充要条件是a+b+c=O.

［分析］明确问题的条件是“a+b+c=O”，结论为“有一根为1".由条件=结论是证明条件的充分性；由结论

=条件是证明条件的必要性.

［证明］必要性：由关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1,

则将x=l代入方程满足aXF+bxl+c=O,

即a+b+c=O.

充分性：Va+b+c=O,

o

c=-a-b代入ax+bx+c=0中有

ax^+bx-a-b=0,即(xT)(ax+a+b)=0,

故方程ax2+bx+c=O有一个根为1.

综上所证知关于x的方程ax^+bx+c=O有一根为1的充要条件是a+b+c=O.

技能演练

1.(2009北京)号“”的6咫2a=g

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析低=工,cos2a=cos工=工cos2(z=—,

6322

得妣珥1»等至keZ,a

36

则“茂喈”的充公派不多要条件

答案:A

2.（2010•福建月考）设m、n是整数，则“m、n均为偶数”是“m+n是偶数”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案:A

3.（2009•四川卷）已知a、3c、d为实数，且c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析由而"na>b;a=c=2,

c>d

b=d=l时满足,柒%立a-c>b-d,

所以“'温的泌妥前淬充分条件选，B.

答案:B

4.“直线与平面a内无数条直线垂直”是“直线与平面a垂直”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

答案:B

5.有下述说法:①a>b>0是a2>b2的充要条件;②a>b>0是的充要条件;③a>b>0是a3+b3>0的充要条

件.其中正确的说法有（）

A.0个B.1个

C.2个D.3个

答案:A

6.已知^^{xIx?-4x+30},Q={xly=Jx+l+j3-x}

，则,爱"”的黜殳.

解析:P=[1,3],Q=[T,3],...P<Q,

则xWP=xWQ,但xGQ^xGP,

故xGP是xCQ的充分不必要条件.

答案:充分不必要

答案正总

8.圆x*12+3y2=l与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是

解析当圆与直统浜有公共点底kx+2,

有y>1,“2+1<2,...k2<二—百<%<6.

答案：―6〈人<6

V,—1

9.已知p:-2<l—<2,q:x2-2x4-1-m2<0(m>0),

且悬的必装不充分条件求实数的取值范围.

分析：(1)用集合的观点考察问题,先写出W和rq,然后，由rq=rp,但rp4rq来求m的取值范围;

(2)将rp是rq的必要不充分条件转化为p是q的充分不必要条件再求解.

解解法由W褥W霎*l-m20,1-mx1+m,

/.-)q:A={xIx>1+m或x<l-m,m>0}.

由4导1一-2<X<10,

3

1P:B={xlx〉10或是的典要「p-iq

不充分条件结合数轴

1-m-2101+;77

m>0,

At/B=<导2m9.

1+m^lO

解法2:rp是rq的必要不充分条件,

・"q=~>p

，p=q且q#p,即p是q的充分不必要条件.

结合数轴

1

,.IPAQ=如l-2WW^^ql9汗设Il-mxl+m,m>0).

1+m210,

,\CUD,:.<...m>9.

1—mW—2,

所以实数的取值范围是2{mlm9}.

K).在直角坐标系中求点(2x+3X耘)

在第四象限的充要条件.

2X+3-X2>0

解该点在第四象限o2工一3

--------<0

、2-x

3

=一1<x<一或2<x<3.

2

感悟高考

1.(2010•北京)若a,b是非零向量，"aJ_b”是“函数f(x)=(xa+b)•(xb-a)为一次函数”的()

A.充分而不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:f(x)=x2a,b-a2•x+b2,x-a,b

=a•bx2+(b2-a2)•x-a•b,

若f(x)为一次函数，只须a・b=0,且b2-a2/0,

...a_Lb是f(x)为一次函数的必要不充分条件.

答案:B

2.(2010广东)“用足“一元二次方程"x2+x+m=0

有实数解的()

A充分非必要条件充分必要糜件

C必要非充分条件非充分必要条件

11_4;n1

解析由知2+x+m=0,(x+—y=-------->0<=>m<—.

244

答案:A

1.3简单的逻辑联结词

自测自评

1.命题：“不等式(x-2)(x-3)<0的解为2Vx<3"，使用的逻辑联结词的情况是()

A.没有使用逻辑联结词

B.使用了逻辑联结词“且”

C.使用了逻辑联结词“或”

D.使用了逻辑联结词“非”

答案:B

2.命题p与非p()

A.可能都是真命题

B.可能都是假命题

C.一个是真命题，另一个是假命题

D.只有p是真命题

答案:C

3.(2010•广东河源高二质检)如果命题“p或q”与命题中“rp”都是真命题，那么()

A.命题p不一定是假命题

B.命题q一定是真命题

C.命题q不一定是真命题

D.命题p与命题q的真假相同

解析:因为即是真命题，则p为假命题.又p或q为真命题，故q为真命题，故选B.

答案:B

4.给出命题23>1用:442,3｝厕在下列三个命题：“p且q”“p或q”“非p”中，真命题的个数为()

A.3B.2

C.lD.0

答案:C

典例剖析

【变式训练1］分别指出下列命题的形式及构成它的命题，并判断真假.

(1)相似三角形周长相等或对应角相等；

(2)9的算术平方根不是-3;

(3)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所时的两段弧.

［分析］根据组成上述各命题的语句中所出现的逻辑联结词，并用真值表判断真假.

［解］(1)这个命题是pVq的形式，其中p:相似三角形周长相等;q:相似三角形对应角相等，因为p假q真，所以

pVq为真.

⑵这个命题是rp的形式，其中p：9的算术平方根是-3,因为p假，所以rp为真.

(3)这个命题是pAq的形式，其中P：垂直于弦的直径平分这条弦;q:垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧,

因为p真q真，所以pAq为真.

X

【变式训练2】(2010•河南高二上期末)已知命题p:不等式——<0的解集为｛xKRxcl｝;

x-1

命题q:在4ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”成立的必要不充分条件.有下列四个结论:①p真q假;②"pAq”

为真;③“pVq”为真;④p假q真.其中正确结论的序号是.(请把正确结论的序号都填上)

［解析］的解为0<x<l,故命题p为真命题.

—<0

y_1

在4ABC中,A>BOsinA>sinB,

故A>B是sinA>sinB的充要条件，

故q为假命题.故选①③.

［答案］①③

【变式训练3】设p:关于x的不等式ax>l的解集是｛x|x<0),q:函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,如果p

和解根麻蒯现篇的取兽内围a。

a>0,1

又若禀由,na>一

A=l-4a2<02

若暇■可且保有(T个正确，

当真脚寸当锻知*4综亡所述得，a2L

u［l,+oo).

技能演练

1.（2010•陕西延安）若命题p:2是偶数，命题q:2是3的约数厕下列命题中为真的是（）

A.非pB.p且q

C.p或qD.非p且非q

答案:C

2.有下列说法：

①“p/\q”为真是“pVq”为真的充分不必要条件；

②“pAq”为假是“pVq”为真的充分不必要条件；

③“pVq”为真是“R”为假的必要不充分条件；

④“rp”为真是“pAq”为假的必要不充分条件.

其中正确结论的个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

答案:B

3.已知命题p:040国:{1}『1,2},由它们构成的作3"、“pAq”和形式的命题中，真命题有（）

A.0个B.1个

C.2个D.3个

答案:B

4.命题p:若不等式x2+x+m>0恒成立，则m>l/4命题q:在AABC'I1,A>B是sinA>sinB的充要条件，则（）

八邛真4假B.“pAq”为真

C.“pVq”为假D."rp\/rq”为真

解析:x2+x+m>0恒成立，只须△=l-4m<0,即m>1/4,...命题p正确.在AABC中，A>B=sinA>sinB,.,.命题q正

确.故选B.

答案:B

5.命题p:若a,bGR,则a>l是⑸>1的充分不必要条件;命题q:函数y=J|x一11一2的定义域是（-8,-1]U

[3,+8）,则（）'

A."p或q”为假B.“p且q”为真

C.p真q假D.p假q真

答案:B

11

6.已知命题p：若实数x、y满足2/+2/=0,则x、y全为0;命题q:若a>b,则％<'，给出下列四个命题:①p

其中真命题是.

解析:命题P为真命题,命题q为假命题，...pX/q与F为真命题,故填②④.

答案:②④

7.命题p：菱形的对角线互相垂直，则p的否命题是「p是.

答案:不是菱形的四边形,其对角线不互相垂直

菱形的对角线不互相垂直

8.已知命题p:（x+2）（x-6）WO,命题q:-3WxW7,若"p或q”为真命题，“p且q”为假命题,则实数x的取值范围

为.

解析:由题条件可知p与q-真一假,p为真命题时,x满足-2WxW6,.•.满足条件的x的范围是[-3,-2）U

（6,7].

答案:[-3,-2）U（6,7]

9.已知命题p:lg（x2-2x-2）20;命题q:0<x<4.若p且q为假,p或q为真,求实数x的取值范围.

解：由lg（x2-2x-2）20,得X2-2X-221,

.•・x23或x^-1.B|Jp:x23或x

/._|p：-l<x<3.又,.,q:（Kx<4,

...「q:x24或xWO,

由p且q为假,p或q为真知p、q一真一假，

当真假时由3或*2或W卷3或W0X4X-1,

当假巽时由得一1<X<30<X<40<x<3,

.,•实数的取值范围是・我喊法10<x<3x4}.

10.已知p:|3x-4|>2,q:——--->0,

x—x—2

求和对应的的取值范围9

解员8解得神>2,「p:|3-x4|<2,-x2.

q:-*---------->0,即是—x—2>0,―iQ:x—-x—20,

x-x-2

解得WlWx2.

感悟高考

（2010•全国新课标卷）已知命题P]:函数y=2x-2-x在R上为增函数;P2：函数y=2x+2-x在R上为减函数.则

:pp,

在命题qj：P|Vp2,q2l^2。3：（*1）Vp2和q/P1八（*2）在真命题是（）

A.Qpq.3B.q?,

C.qpq4D.q2,q4

解析：由题知,P]为真命题,P2为假命题,

."1方4为真命题,故选C.

答案:C

1.4全称量词与存在量词

自测自评

1.下列命题中是全称命题的是（）

A.圆有内接四边形

B.V3>V2

D.舞绕斓三边长分别为3、4、5.则这个三角形为直角三角形

答案:A

2.下列命题为存在性命题的是（）

A.偶函数的图象关丁・y轴对称

B.正四棱柱都是平行六面体

C.不相交的两条直线是平行直线

D.存在实数大于等于3

答案:D

3.将“x2+y2,2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是()

A.Vx,yGR,都有x2+y222xy

B.mx,yGR,使x?+y2》2xy

C.Vx>0,y>0,都有x2+y2>2xy

D.三x<0,y<0,使x2+y2<2xy

答案:A

4.下列四个命题：

①VndR,n2^n;

②VndR,n2<n;

③VnGR,SmGR,m2<n;

(4)3nGR,VmGR,m•n=m.

其中真命题的序号是.

答案:③④

典例剖析

【变式训练11判断下列命题是否是全称命题或特称命题,并判断其真假.

⑴有一个实数a,sin2a+cos2a#1；

(2)任何一条直线都存在斜率；

(3)对所有实数a,b,方程ax+b=O恰有唯一解；

(4)存在实数X,使得丁!一=2.

X-X+1

［解］(1)(4)是特称命题，(2)(3)是全称命题.

⑴对于VaCR,都有si/a+cos2a=1,.•.⑴是假命题.

(2)当直线的倾斜角是90°时,不存在斜率，(2)是假命题.

(3)当a=0,b=-l时,方程无解，二(3)是假命题.

(4)..•对于任意xGR,1W2,；.(4)是假命题.

【变式训练2】写出W列命题的“否定”.

(1)VxGR,x3-x2+1^0;

(2)VxRR,有cosxWl;

2

(3)3x0GR,X0-2X0<1;

(4)有些三角形是锐角三角形.

［解］(1)否定：mxGR,x3-x2+l>0.

(2)否定：^x£R,使cosx>l.

2

⑶否定:VX0GR,X0-2X0^1.

(4)否定:所有的三角形不是锐角三角形.

【变式训练3】已知函数f(x)=x2-2x+5.

(1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意xGR恒成立,并说明理由.

(2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求实数m的取值范围.

［解］(1)不等式m+f(x)>0可化为m>-f(x),

即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.

要使m>-(x-l)2-4对于任意xGR恒成立,只需m>-4即可.

故存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x£R恒成立,此时,只需m>-4.

(2)不等式m-f(x0)>0可化为m>f(x0),若存在一个实数x0,使不等式m>f(xQ)成立,只需m>f(x)min.

又f(x)=(xT)2+4,,\f(x)min=4,.•・m〉4・

所以，所求实数m的取值范围是(4,+8),

技能演练

1.(2010•山东日照质检)命题“Vx>0,x2+x>0”的否定是()

A.3x>0,使得x2+x>0

B.3X>0,X2+X<0

C.Vx>0,都有x2+xW0

D.VxWO,都有x2+x>0

答案:B

2.(2010•北京东城区期末)下列四个命题中的真命题为()

A.3xQeZ,K4x0<3

B.3XQGZ,5XQ+1=0

C.VxWR,x2-l=0

D.VxSR,X2+X+2>0

答案:D

3.(2010•福建高二质检)已知命题p:VxeR,sinxW14iJ()

A.「p:3x^R,sinx^l

B.-»p:Vx£R,sinx>1

C.->p:3x^R,sinx>l

D.-ip:Vx£R,sinx>1

答案:c

4.命题“存在点P(xo，yo),使Xo2+y02-iwO成立”的否定是()

22

A.不存在点P(x0,y0),使xQ+y0-l>0成立

22

B.存在点P(x0,y0),使x0+y0-l>0成立

C.对任意的点P(xg,YQ),使x2+y2-l>0成立

D.对任意的点P(x0,y0),使x2+y2-l<0成立

答案:C

5.给出下列四个命题：

①p:VxGR,有x4>x2;

②q:Ea£R,使sin3a=3sina；

③r:mxER,使得|x+l|Wl且X2>4;

@s:V4>€R,函数y=sin(2x+6)都不是偶函数.

以上命题的否定为真命题的序号是()

A.①②③B.①③④

C.②③D.①③

解析:①X=1时,X4=X2,Ap是假命题，*是真命题.

②当a=0时，sin(3X0)=3sin0,Aq为真命题,为假命题.

③由Ix+11W1,得-2Wx<0,由x2>4得x>2或x<-2,命题r是假命题，T为真命题.

TTTT

④当小=,时，函数y=si〃(2x+,)是偶函数，故s为真命题,飞为假命题.

答案:D

6.已知命题p:VxGR,乂220,贝bp：.

答案：3XGR,X2<0

7.已知命题：”存在xe[1,2],使x2+2x+a20”为真命题,则a的取值范围是

答案：［-8,+8)

8.(2010•福建莆田月考)下列命题是真命题的是.

①命题“若x2-3x+2=0,则x=l”的逆否命题为“若xNl,则x2-3x+2W0”；

②若命题P：3xeR,x2+x+l=0,则中为VxGR,x2+x+l#：0;

③全称命题“VxGR,x2是有理数”是真命题；

©□a,BGR,使sin(a+B)=sina+sinB.

答案:①②④

9.写出下列命题的否定，并判断其真假.

⑴p：mxo，yoGZ,使得缶o+*=3；

(2)q:VxFR,x2+x-4>0.

解：(l)rp：Vx,yGZ,J2x+yW3,

当x=0,y=3时，J2x+y=3,

因此rp是假命题.

(2)rq：3xeR,X2+X-4^0,

当x=0时，X2+X-4=-4W0,

因此F是真命题

10.(2010•湖南长沙月考)已知函数f(x)=2x2-2ax+b,f(T)=-8.对VxGR,都有f(x)2f(-1)成立,记集合

A={xIf(x)>0},B={x||x-t|Wl}.

(1)当t=l时,求(CRA)UB；

(2)设命题p:AC!BW。,若为真命题,求实数t的取值范围.

解：由题意(-1,-8)为二次函数的顶点，

f(x)=2(x+1)2-8=2(X2+2X-3).

A={xx<-3或x>l}.

(l)B={x||x-l|Wl}={x|0WxW2}.

A(CRA)UB={X|-3WX0}U{X|0WXW2}

={x|-3WxW2}.

(2)B={x|t-lWx〈t+l}.

t-l>-3

't+l<l

”的否定是.

解析:特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”.这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在

量词.

答案:对任意xGR,都有X2+2X+5^0

第二章圆锥曲线与方程

2.1椭圆

2.1.1椭圆及其标准方程

自测自评

2，

L椭圆“副标为()

259

A.(5,0),(-5,0)B.(9,0),(-9,0)

C.(4,0),(-4,0)]D.(O,4),(O,-4)

答案:C

2.椭圆的焦点坐标为(4,0),(40),椭圆上一点到两焦点的距离之和为10,则椭圆的标准方程为()

22

6.工+匕=1

169259

2222

C'+皂=1D工+J

9252516

答案:B,,

3.焦点在轴上的椭圆弧热事则

2,m

m4

A.8B.5C.5或3D.6

答案:B

4.已知a=4,c=3,焦点在y轴上的椭圆的标准方程为.

22

答案:三+汇=1

716

典例剖析

【变式训练11求适合下列条件的椭圆的标准方程.

(1)两个焦点的坐标分别为年卿圆性触点(5,0);

(2)焦点伽上且经过两个点和仙2)(1,0);

(3)经过点Pg,；),2(0,-；).

［分析］求椭圆的标准方程时，要先判断焦点的位置,确定出适合题意的椭圆的标准方程的形式，最后由条件

确懒靠嬲Kfe在轴上x,

22

设它的标准方程为・+当=1(«>^>0).

ah~

2a=J(5+守+J(5-4)2=10,

a=5.

又c=4,

b2=a2-c2=25-16=9.

故所求椭圆的方程为《+£=1.

259

(2)•.•椭圆的焦点而轴上，

22

设它的标准方程为3+与=l(a>b>0).

a~b~

又椭圆经过点即,2)(1,0),

4O

-+F

a2=1,a2=4

oI=>V

+F/=1

a2二1

2

故所求椭圆的方程为v匕+X2=1.

4

(3)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,mwn

铲二］

m=5

n=4

1

故所求的椭圆方程为5x2+4y2=1.

【变式训练2】过椭圆4x2+y2=l的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一个焦

点F2构成AABF2的周长是（）

A.2B.4C.V2D.273

［分析］依题意画出图形，根据椭圆的定义可得出结果.

［解析］如下图所示，•••|AF］|+|AF2l=2,

IBF/+IBF2U2,

|AFil+|BF]|+|AF21+|BF2l=4,

即|AB|+|AF2l+|BF21=4.

［答案］B

【变式训练3］已知4ABC的一边BC长为8,周长为20,求顶点A的轨迹方程.

［分析］注意顶点A到B和C的距离之利为定值，故可考虑利用椭圆的定义来求其方程.

［解］以BC边所在直线为x轴,BC中点为原点,建立如下图所示的直角坐标系，则B、C两点的坐标分别为

(-4,0)、(4,0).

•.1AB|+|BC|+|CA|=20且|BC|=8,

A|AB|+|AC|=12,12>|BC|,

.♦.点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆(除去与x轴的交点).

由2a=12,2c=8及a2=b2+c2得a2=36,b2=20.

故所求的轨迹方程为

22

—+2L=l(y^0).

1.已知两定点F](-4,0),F2(4,0),点P是平面上一动点，且|PF1|+|PF2I=8,则点P的轨迹是()

A.圆B.直线

C.椭圆D.线段

答案:D22

2.椭圆酢感卷机为()

169')

A.(5,0),(-5,0)B.(O,5),(O,-5)

C.(0,12),(0,-12)D.(12,0),(-12,0)

答案:C

22

3.设F悬椭圆的唠邸圆上一点P,

则曲惬为()

A.16B.18C.20D.不确定

答案:B

4.如果方程x2+ky2-2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是()

A.(0,2)B.(O,+oo)

C.(-8,1)D.(0,1)

22

解析将方程化为标准方程为—+^-=l,.-.k>0.

22

k

又因为焦点在轴上即•脩>2,k<l,0<k<l.

答案:D2

5.椭圆百两伞焦点为过作垂直下,F2，F2x

轴的直线与椭圆相交L个交点为则，等,用()

A.y/3B.~C.-DA

22]

解析由轴得_Lx,|PF2|=-,

7

|PFj=2a—|P同=了

答案:C

6.与椭圆x2+4y2=4有公共的焦点,且经过点A⑵1)的椭圆的方程为.

解析椭圆舱标准历程的?+/=1,