考点16三角函数图象与应用（解析版）

【2022版】典型高考数学试题解读与变式

考点16三角函数图象与应用

【考纲要求】

(1)能画出y=sinx,y-cosx,y=tanx的图像；

(2)了解函数丁=45m(8+。)的物理意义；能画出y=Asin(s+0)的图像，了解参

数4，包夕对函数图像变化的影响；

(3)了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问

题.

【命题规律】

三角函数的图象是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：(1)三角函

数图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；(2)利用

三角函数的图象求解与三角函数有关的函数的零点、方程的根、图象的交点等问题，通常以

选择题与填空题形式考查.

预计2022年高考对三角函数图象的考查也主要体现在函数图象的识别与应用，会以客观题

出现.

【典型高考试题变式】

(-)根据三角函数的解析式确定图象

【答案】D

【解析】因为y=sin/为偶函数，所以它的图象关于v轴对称，排除A、C选项；当?即工=士后

时，？M=1，排除B选项，故选D.

［方法技巧归纳】根据函数解析式判断函数的图象的方法：

(1)从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象上下的位置:

(2)从函数的单调性(有时可借助导数判断)，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；

(5)从函数的极值点，判断图象的拐点.

TT

【变式1】【例题中解析式改变了】函数y=sin2x-江在区间-~,7l上的简图是

2_

()

【答案】A

【解析】将x=X7T代入到函数解析式中得y=0,可排除C,D；将工=万代入到函数解析式

6

中求出函数值为-且负数，可排除B,故选A.

2

【变式2】【例题解析式改变了，且增加了一个参数，同时判断的问题也改变了】已知a是实

数，则函数/（x）=l+asin奴的图象不可能是（）

【答案】D

171

【解析】当a=0时，/（x）=l,对于振幅大于1时，三角函数的周期为T=：.T<171,

R,

而D不符合要求，它的振幅大于1,但周期反而大于了In,对于选项A,a<\,T>171,满足函数与图

象的对应关系，故选D.

（二）根据三角函数图象（或图象特征）确定解析式

例2.（2020年高考山东卷10）右图是函数y=sin（8+e）的部分图象，贝ljsin（0x+c）=

()

7T/5TT_

C.cos(2x+—)D・cos(-^—2x)

【答案】BC

【思路导引】首先利用周期确定。的值，然后确定"的值即可确定函数的解析式，最后利用

诱导公式可得正确结果.

727T7i27r24

【解析】由函数图象可知：-=—兀——=一，则。=—=—=2,所以不选A,

2362T71

2n

当丫§乃十6_5%时y=-12x—+^9=—+2^(A:GZ),解得：

x=-----=—

212

2

(P-2k7i+—7r^keZ),

即函数的解析式为：

y=sinI2x+二"+2%"|=sin|2x+—+—=cos2x+—=sin--2x,

I3JI62jI6jl3J

<兀、5乃

而cos2x+—=—cos(——lx),故选：BC.

k6J6

【专家解读】本题的特点是注重三角函数图象的应用，本题考查了三角函数图象及其性质，

考查数学运算、直观想象等学科素养.解题关键是正确确定(P的值.已知_/(x)=Asiw(ox+p)(4

>0,。>0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数。和小

常用如下两种方法：

(1)由3=］「即可求出。；确定9时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零

点“横坐标xo,则令(oxo+9=0(或coxo+9=?r),即可求出0.

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或"零点”)坐标代入解析式，再结合图形

解出。和9,若对A,。的符号或对9的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

【变式1】【例题给出的方式没有改变，解析式中增加了一个参数】如图所示，某地一天6~14

时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(s+°)+。，则这段曲线的函数解析式可以为

()

A.y=Asin任x+包A.(九5兀

+20,xe[6,14]B.y=Asin—x+——+20,

(84184

xe[6,14]

713兀7t5万

C.y=Asin-X-----+20,xe[6,14]D.y=Asin-x-----+20,

8484

xe[6,14]

【答案】A

2jrjr；(

【解析】由于T=—=2(14—6)=16,3=",A=30-10)=10,b=20,

CD8

10sin(/x+“+20,过点(14,30)有：30=10sin(£xl4+0)+20,

y

.ii77r।7T7Ti,71t..55乃1.371c.

sin1J=A1,。H—―2k7t+Et(/)—2kji—,krwZ,1[乂Zf=1,。,不J

4244

713万

y-lOsin—x+——+20,符合题意，故选A.

84

【变式2］【例题由直接给出图象改为由描述性给出图象特征，所求也适当有变化】若以函

数），=Asin5（s>0）的图象中相邻三个最值点为顶点的三角形是面积为1的直角三角形,

则0的值为（)

A.1B.2C.71D.24

【答案】C

1l

【解析】如图所示,由题意可得3ABe=葺4X3C=1,・・.=3C=&则T=HC=2>。=亍=〃,

故选C.

【变式3】【例题中正弦变式为余弦】.(2021全国甲卷理⑹已知函数/(x)=2cos(3t+°)

部分图象如图所示，则满足条件〉0的最小正

【分析】先根据图象求出函数“X)的解析式，再求出了(-一),/(——)的值，然后求解三角

43

不等式可得最小正整数或验证数值可得.

313兀713it2)

【解析】由图可知二7=上一乙=」，即7=」=%,；.啰=2；由五点法可得

41234CD

-TCTC7C£,、cc兀।

2x—cp=—,即(p—-,•*./(x)=2cos2x.

326\6J

7兀、三(1171^1.-4无、三/5兀1八

•••/(-彳)=2叫---1=1,/(y)=2cosly1=0,

•••由(f(x)-f(--))(f(x)-0可得/(x)>1或f(x)<0,

方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足/(x)<0,即cos|2x-聿<0,

解得％兀+'<%<左兀+三次eZ,令攵=0,可得［<x<¥，可得x的最小正整数为2.

3636

方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足f(x)<o,又/(2)=2COS(4-£)<0,符

合题意，可得》的最小正整数为2.故答案为：2.

【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解根据

特殊点求解

(三)三角函数图象的变换

例3.(2021高考全国乙卷理7)把函数y=/(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来

|TTIT：I

的1倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移m个单位长度，得到函数丁=sin[x-^J的

图如则/(x)=()

xn,c7兀

B.sin一+一Csinlx-----

(212JI12J

【答案】B

【分析】思路一：从函数y=/(x)的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到

y=即得/2(x—=再利用换元思想求得y=/(x)的

解析表达式.思路二：从函数y=sin(x-出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换

法则得到y=f(x)的解析表达式.

【解析】解法一：函数y=/(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的!倍，纵坐标不变,

得到y=f(2x)的图象，再把所得曲线向右平移工个单位长度，应当得到y=/2\x-

3\3

的图象，根据已知得到了函数y=sin[x-的图象，.♦./=sin[x—令

t71TCt71t7t

则x=—+—,x——=—+——/(r)=sin----1-----

234212212

x乃、

〃x)=sin—+一

212J

解法二:由已知的函数丁=sin1九一5逆向变换;

n71

第一步:向左平移。个单位长度，得到y=sin(x+(-=sinx+与的图象;

37I12)

XTC

第二步:图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin一+一

212

的图象,

即为y=/（x）的图象，故选B.

【点睛】本题考查三角函数的图象的平移和伸缩变换，属基础题，可以正向变换，也可以

逆向变换求解，关键是要注意每一步变换，对应的解析式中都是％的变换，图象向左平移

。个单位，对应X替换成x+a,图象向右平移。个单位，对应X替换成龙-牢记“左加

X

右减”口诀；图象上每个点的横坐标伸长或缩短到原来的k倍，对应解析式中/替换成丁.

k

【变式1】【由例题确定平移过程改为了确定平移后的函数解析式】把函数y=cosx的图象

7T

向左平移2个单位，然后把图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），则

4

所得图形对应的函数解析式为（)

17T

A.y=cos—x+—B.y=cos12x+?

24

171(犬+/

C.y=cos-X-----D.y=cos2

28

【答案】B

【解析】把函数y=cosx的图象向左平移:个单位，得到函数y=cos；x+gj的图象，再把图象上的所有

点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），得到y=cos；2x+g；,故选B.

【变式2］【例题中的一个函数的解析式改变为较复杂的解析式，变换过程改为一个】为了

得到函数y=Gin3x+cos3x的图象，可以将函数y=2sin3x的图象（）

IT7TTT

A.向右平移三个单位B.向左平移生个单位C.向右平移上个单位D.向左

6618

平移三TT个单位

18

【答案】D

【解析】函数y=V3sin3x+cos3x=2sinbx+?=2sin3ix+—，将函数y=2sin3x

I18

的图象向左平移/个单位可得函数y二百sin3x+cos3x的图象，故选D.

（四）三角函数图象的应用

cos(27Lr-2m),x<a,

例4.（2021年高考天津卷9）设aeR,函数/（x）=<0/\7'若

x-2(a+l)x+a+5,x>«

函数/（X）在区间（0,+8）内恰有6个零点，则Q的取值范围是)

5117

A.21U||,yB.C.

4122494小

<4广]4）

【答案】A

【分析】由f—2（。+1）》+。2+5=0最多有2个根，可得cos（2m—2a）=0至少有4个

根，分别讨论当x<。和xN以时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.

【解析】-2（a+l）x+q2+5=0最多有2个根，，cos（2兀r-271a）=0至少有4个根，

TT171U1

由2兀1一2兀。=—Fku,€Z可得x=—I—,由0<—I—vu<ci可得

22424

-2c。—1<k,<—1.

22

17Q

（1）x<a时，当一5K—2a—]<-4时，/（x）有4个零点，即

1Q11

当一6«—2a——<-5,f（x）有5个零点，即二<a<一；

244

当—74—2a—,<一6,有6个零点，即U<〃4?.

244

（2）当xNa时，/（x）=f-2（0+1）%+〃+5,△=4（a+l）：:—4（〃+5）=8（。一2）,

当a<2时，4<0，/（%）无零点；当a=2时，△=（）,/（x）有1个零点；

当a>2时，令/'（4）=。2-24（4+1）+/+5=-2。+520,则2<a4'1,此时/（x）有

2个零点；.•.若a时，有1个零点.

综上，要使f（x）在区间（0,+8）内恰有6个零点，则应满足

[7/9

—<a<—1113

444——<a<-

<4或.44，则可解得。的取值范围是（2,Ui%

2<a4—=2或a>-a<2

I2

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分x<a和xNa两种情况分别讨论两个函数的零点

个数情况.

【方法技巧归纳】利用函数图象处理函数的零点（方程根）主要有两种策略：（1）确定函数

零点的个数：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断;

•(2)已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围：通常也转化为两个新函数的交点，即在同

一坐标系中作出两个函数的图象，通过观察它们交点的位置特征建立关于参数的不等式来求

解.

【变式11【将例题中求函数的零点个数改为求函数的零点之和】

2兀11兀1971

函数/(x)=cos2x-+4COS2X-2----所有零点之和为

3%一兀1212

()

2兀4兀n8兀

A.—B.—C.2nD.—

333

【答案】B

713117119兀

【解析】化简/(x)=V3sin|2x+—xe令

33%一兀1212

(x)=V3sin(2x+方)，这两个函数的图象均关于点后,0对称，分别

g比)=高

作出g(x),〃(x)的图象，如图所示，函数g(x)与/z(x)的图象交点的横坐标，即为函数

/(X)的零点，观察图象可知，%+*4=々+七=亍，所以函数的所有零点之和为

4兀

玉+/+9+七=故选B.

【变式2]【将例题中求零点个数改为求根据零点个数求参数的取值范围】

若函数y=sin'x-log“|x|的图象至少有12个零点，则a的取值范围是()

A.(1,14]B.[14,C.(1,7]D.[7,+oo)

【答案】D

【解析】Vj=sin^-x与y=logj"都是偶函数，所以y=sin】x-logjx|是偶函数，只需x>0时,

有至少6个零点，即可画出x>0时，函数>=singx的图象与），=1。84卜|的图象，如图，由图可知，

7

loga<l,a>7,^a的取值范围是［7,收），故选D.

【数学思想】

1.转化与化归的思想

在三角函数图象中主要体现在当平移前与平移后的函数名称不一致时，常常要利用诱导公式

将它们转化为同名函数；研究三角函数的零点时;常常转化为三角方程来求解.

2.数形结合的思想

研究与三角函数有关的零点、方程的根、图象的交点问题时，通常要将其转化为两个新函数

的交点，通过作出它们的图象来解决;求不常规的三角函数的单调性区间可利用图象来解决.

3.分类讨论思想

遇到画形如y=Asin（（vx+°）+8的图象中时，如果解析式中的A3，O，B有符号不确定的

字母参数时，常常要分类作其可能的图象来研究问题.

【处理三角函数图象问题注意点】

1.五点作图法画图列表时要注意借助于整体代换思想的应用，特别是作已知区间上的图象

时，注意确定起始点与终止点.

2.图象变换中，注意区分两种变换方式：“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”在平移

单位的确定上的差异：同时在坐标伸缩上的也须注意确定其倍数.

3.根据函数的图象求函数的解析式时，注意确定三角函数的零点、最值点与函数的周期的

关系，特别是求初相"时，要尽量取非零点来确定..

4.注意正切函数的图象的对称性，正切函数只有对称中点，没有对称称，且不要误认为正

切函数的对称中心为函数的零点.

【典例试题演练】

1.（2022•河北•天津十四中高三月考）已知函数_y（x）=Asin®x+*）（A>0,o>0，M|<封是

奇函数，将y=/(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像

对应的的函数为g(x),若g(x)的最小正周期为2万，且卜伉则(今卜()

A.-2B.-及C.72D.2

【答案】C

【分析】只需根据函数性质逐步得出值即可.

【解析】:f(x)为奇函数,；./(0)=Asin9=(),(p-kn,:.k=G,<p=0-

,=Asin—<yx,.\T==2TT,~,，万、r-

又521(9=2,又g(—)=j2,A=2,：.f(x)=2sin2x,

—CD4

2

37r/-

/(—)=V2,故选C.

o

2.(2022•苏州市相城区陆慕高级中学高三月考)函数"x)=x-cos(;rx),则它的图像大致

【分析】先判断函数的奇偶性，判断出函数〃X)=XCOS(G)是奇函数，排除B,根据

乃1

时，f(x)>0,当］<X<1时，f(x)<0,排除C、D.

【解析】已知/(—x)=—xcos(—万x)=-xcos(7x)=-/(x),，函数/(x)=xcosx是奇函数，

排除B,XV0<x<yHt,/(x)>0,当g<x<l时，f(x)<0,故排除C,D,故选A.

3.(2022•上海奉贤区致远高级中学高三月考)若将函数〉=曲犬+6«)5*(xeR)的图像

向左平移m(m>0)个单位后，所得图像关于原点对称，则4的最小值是()

A—B.工C.空D.红

6336

【答案】C

【分析】求出平移后的解析式，根据图象对称可求出加.

【解析】y=sinx+73cosx=2sin(x+yL向左平移机(机>0)个单位后可得

7T

y=2sinx+〃2+—,

3

•••所得图像关于原点对称，，m+W=k7r,ZeZ,即机=eZ,当Z=1时，机取得

33

最小值为2年4，故选C.

4.(2022・四川青羊•树德中学高三月考(理))已知/(x)=sin(ox+?)(“>0),

/闺=/百|,且/(x)在区间信()上有最小值，无最大值，则。=()

AB,将

-I3c

D.\co\co=Sk-^-,keZ

【答案】B

7171

【分析】根据题意得了(X)在石+§=%处取得最小值,得3=84-与(kwZ),结合周期的

24

范围可得解.

【解析】•••/(》)=sin内只有最小

"3且俗闾

n7i

值、无最大值，/(x)在％+〉="处取得最小值.

2-4

—<y+—=2kn——GZ)..*.co=8k——(ZceZ).

易知周期7=至-巳=巳，<y<12

。366

"<,<«>0.；.当％=1时，<y=8--=—,故选B.

33

5.(2022・四川巴中•高三月考(理))已知函数/(》)=疝(公1+9)(0>0,0<夕<1)的部分

图象如图所示，则下列结论正确的是()

B./(x)的图象向右平移2个单位后得到V=sin2x的图象

C.〃x)在区间0,^的最小值为一日

D.+为偶函数

【答案】D

【分析】先由图象求出〃x)解析式，再结合三角函数的性质与图像变换逐一判断即可求解

7T7T

【解析】由图象知f(O)=sin*=；,又0<s<g，故*=占；

226

再由图象知且勺<7<年，故等+£=与，解得④=2,即

\JJJ3362

/(x)=sin(2x+5],

对于A：由=-1知A选项错误;

项错误;

当xe0,gU寸，2x+ge/，?，

2J6|_66_

.•".(X)在0,|上的最小值为=故C错误.

由/(x+^)=sin(2x+])=cos2x,+为偶函数，故D选项正确，故选D.

6.(2022•河南高三月考(文))将函数f(x)=-2sin2x的图象向右平移?个单位长度后，

再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则

下列区间是g(x)的一个单调递减区间的为()

A.［-4,-2］B.C.［-7,-6］D.［6,8］

【答案】D

【分析】由图象变换写出g(x)的解析式，再根据正弦函数的性质求g(x)的单调减区间为

TT，冗

2k7r,—+2kn(AwZ),结合各选项的区间，讨论人值判断是否在单调减区间内即

O+O

可.

【解析】由题设，g(x)=-2sin(x-1

由2k兀-gwx-y<2k兀+%,得一+乃<x<^-+2kjr^keZ).

；.g(x)的单调递减区间为--+2U,—+2k7T(fceZ),

”'M=T时，减区间为［一学当左=0时，减区间为［-J,学］,显然可排除A、

6666

B、C；

［［九■177r

当A=1时，减区间为［一,二］,显然［6,8］在该区间内，故D正确.

故选D

7.(2022•河南高三月考(文))己知函数/(x)=4sin(5+e)(4>0,。>0,|夕|<|^的部分

图象如图所示，则下列说法中正确的是()

B./(x)=2sinf|x-yj

C.点(等,0)是〃x)图象的一个对称中心

D.直线x=2%是f(x)图象的一条对称轴

【答案】C

【分析】选项A：根据题干所给图像即可求解；选项B：结合已知条件，首先根据图像最

高点纵坐标求出A,利用正弦型函数的最小正周期公式求出通过代入图像中的点求出

9即可求出函数Ax)解析式；选项CD：通过代入检验法即可求解.

【解析】对于选项A：由图象可知，/(x)的最小正周期T=4')=4万，故A错

误;

对于选项B：由图可知A=2,T=—,—=4/r,E!|J<y=—,故

COCD2

/(x)=2sin(；x+e

・.•点($2］在的图象上，・・・2=2sin6x?+e即l=sin《+ej,又网若，

71

：./(x)=2sin(^x+y

故B错误;

对于选项C：等)=2sin(科+?)=0,.♦.点(手,0)是图象的一个对称中心,

故C正确：

对于选项D：:/(Z%)=2疝卜+?卜±2,故D错误，故选C.

8.(2022•云南曲靖一中高三月考(理))已知函数〃x)=sin(<yx+f](&>0)在10,军〕上

单调递增，在[7,万J上单调递减，则/“）的最小正周期为（）

A.2万B.4%C.6〃D.87r

【答案】B

兀

【分析】根据题意，x=午2时，"X）取得最大值，进而列出等式，求出“，进一步再根据

9n（区间长度）得到答案.

【解析】由题意可知彳="时，〃x）取得最大值，则§0+U+2E/eZ）,解得

3362

0=《+33由于则0<0«],故0=]，最小正周期7=4兀，故选B.

22322

9.（2022•四川高三月考（理））已知函数/（xMZsinQx+ejoAOJoKm）的最小正周期

TN当,且犬=二是函数/（x）的一条对称轴，佟,。]是函数/（x）的一个对称中心，则函数

412<3）

/（X）在上的取值范围是（）

I46」

A.（―1,V3JB.（—1,2]C.f-—JD.[—1,2]

【答案】B

【分析】依题意求出了（X）的解析式，再根据X的取值范围，求出2x+q的范围，再根据正

弦函数的性质计算可得；

【解析】解：函数〃©=2411（5+9）（0>0,|0|<5）的最小正周期7'2今，

:—•->解得。<叫，,

0）43

由于X=^|是函数/（X）的一条对称轴，且[?，°）为/（X）的一个对称中心，

:.雪=5=5+gr=U（；+§,（无eZ）,则6y=2+4%,GZ）,则<y=2,

又+,（4eZ）,由于|夕|</,；•*=?，故/（x）=2sin（2x+5）,

•.•xe'?,?,二2x+（e,看片，,sin（2x+（）《-g,l,/./（x）e（-l,2]

故选B.

10.（2022•天津市第四十七中学高三月考）已知函数〃》）=<：0$（0》+夕）（0>0,|9|<5）的最

小正周期为%其图象关于直线X=?对称.给出下面四个结论：①将“X）的图象向左平

移彳个单位长度后得到的函数图象关于y轴对称；②点（葛,0）为f（X）图象的一个对称中

心；③/仁卜;；④f（x）在区间0,y上单调递增.其中正确的结论为（）

A.①@B.②③C.②④D.①④

【答案】A

JT

【分析】根据题设条件，结合三角函数的性质，求得函数的解析式〃x）=sin（2x+”），再

6

结合三角函数的图象变换和三角函数的性质，逐项判定，即可求解.

【解析】•.•函数f（x）=8S（0x+s）的最小正周期为左，其图象关于直线X=J对称,

O

24

——=Rco=2

CD

解得

(p=——+k冗、keZ

—a)+(p=k兀、keZ

6

I_7CI.._7兀T、

：Id＜于:•甲=-飞，因此/（x）=cosI2x-yI=sin(2x+—),

6

①将/（X）=sin（2x+令的图象向左平移2个单位长度后函数解析式为

/(x)=sin2卜+2)+?71=cos2x,

6

是偶函数，故得到的函数图象关于y轴对称，故①正确;

②由2》+9=既《€2,解得x=_二+竺，即函数f（x）的对称中心为

6122

----7--t---1---k--7-i-,0peZ,令4+与喑，贝必=ieZ,故②正确;

122

71717152故③错误;

③由/

26

rrT7T1715万

④当xe0,—时，2x+—e=，令X=2X+£71,•.•y=sinX在三名上不单调(先

3666o66666

71

增后减），因此了（“在区间°-6上不单调,故④错误.

故选A.

11.（2022•河南高三月考（理））已知函数/（x）=2cos（s+⑼［。＞0,冏

，其图象两相

邻对称中心之间的距离为若对任意的/UX-1,则8的取值范围是

7171TC冗

B.'6'2C.D.

【答案】c

【分析】由小）两相邻对称中心之间的距离峰，则T",从而可求出。的值，再由对任

意的普）/UX-1,可得与+夕4暮且今+94与，从而可求出。的取值范围

【解析】•.•/（x）两相邻对称中心之间的距离为则7=乃，。=2,则

2

/（X）=2COS（2%4-^9）,

..II71.乃247左

+0,・\（p\<一,..一<----\-（p<—,

112636

♦.4+02寻且?+夕<W，解得04夕41，故

33636

选C.

12.（2022•安徽镜湖・芜湖一中高三月考（理））已知函数

/（外=485（公^+8）+〃（4>0,0>0,|*|<|^的大致图象如下所示；将函数/⑶的图象上点

TT

的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移7个单位，得到函数痣）的图象,则函数四）

的单调递增区间为（）

B.3k九，3k7t十二—(kGZ)

_2_

!TTTTjr57r

C.-------卜3k/r,---卜3k汽(keZ)D.------卜3kjv,---卜3k兀(kwZ)

4444

【答案】c

【分析】根据三角函数的图象求/(x)的解析式，再由平移过程写出g(x)解析式，最后结合

余弦函数的性质求g(x)的单调递增区间.

【解析】依题意，IA+Z?=1解得\A="2:故，。)=23即+呐，而

则0)=2.・.2cos吟+°-1=1,故

—+(p=lk7u(k^Z),又19K乙，故夕=一工，I./(x)=2cos[-1；

626V6J

将函数f(X)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，得到y=2COS(1X-看＞1,

再向左平管个单位,得到g(x)=2c°s(|呜一升l=2c°s(|呜卜,

2TC77rTC

令一万+2k4<-X4■—<2k兀也GZ),故----+3k兀<x<—+3k兀(kGZ),

3644

JTT7T

故函数g(x)的单调递增区间为-丁弘万,北+3.(壮Z),故选c.

13.(2022•北京市大兴区兴华中学高三月考)己知函数/(k=卜泊刀|+石,则

■jr

①在万,％上的最小值是1；

②〃X)的最小正周期是

③直线*=与(3)是“X)图象的对称轴；

④直线y=与〃x)的图象恰有2个公共点.

兀

其中说法正确的是.

【答案】①③④

【分析】结合三角函数的图像和性质，数形结合思想求解，求出即可判断②,

分人为奇数，4为偶数，讨论即可判断③.

TT

【解析】解：对•于①，当xe-,n时，

_/'(x)=|sinx|+\/3sin(x-])=|sinx|+G|cosx|=sinx_8cosx=2sin(x-。)且

则当x-f=2时，函数f(x)取最小值，即/(x)mM=2sin5=l,故①正

633366

确；

对于②，；.f(x)=binx|+75|cosx|,f(O)=6=l,贝ij：/(。卜/仁)，

rr

故函数〃X)的最小正周期不是②错误；

对于③，若k为奇数，则

/(^-x)=|sin(^-x)|+>/3|cos(人万-x)|=卜inH+6|-cosx|=|sinx|+石|cosx|=/(x)；

若女为偶数，则

/(-j：)=|sin(-x)|+-73|COS()|=|-sinA:|+>/3|cosx|=|sinx|+|cosx\=/，(x).

由上可知,当无eZ时，〃版■-x)=/(x),.•.直线》='(止Z)是图象的对称轴,

③正确：

文寸于④，

/(x+^)=|sin(x+^)|+V3|cos(x+^)|=|-sinA:|+>/3|-cos=|sinx|+A/3|COSx|,I."为函数

的周期.

当OKx时，/(x)=sinx-V3cosx=2sinfx-yj<2；

当/Vx«万时，/(x)=sinx—Gcosx=2sin(x7T<2.

综上可知，/(%)«2.

当无<0时，—x<0,f(x)=IsinA^I+73Icosjd>0,即函数y=2%与“%)在(-oo,0)上的图

TC71

象无交点：

当X>万时，-x>2,〃X)42,.♦.函数y与/(x)在(巴田)上的图象也无交点.作

7t71

7

出函数y=与函数〃x)在[(),句上的图象如下图所示:

71

7

由图像可知，直线y=4x与f(x)的图象恰有2个公共点，故④正确.故答案为：①③

71

④.

14.(2022.盐城市伍佑中学高三月考)已知函数〃x)=Asin®x+e)[A>O,0>O，M</)的

【答案】0+1##1+&

【分析】根据图象求得函数产/⑺的解析式，化筒函数y=/U)+