常微分方程考研复试题库及答案

第页123――――132133――――138139――――143144――――145146――――150151――――156157――――162164――――167168173174――――177178――――180181184185―――――189190――――192193――――194195――――198199――――202203――――205206――――210211――――216217――――221222――――226227――――229230――――233234――――235236――――241242将（2x-4y+6）dx+(x+y-3)dy=0化为齐次方程。243求解=f(x+y+1)244说明当p(x连续时，线性齐次方程的0解唯一。245证明线性齐次方程任意两个解的和及差仍是它的解。246常数变易法用变换y=C(x)exp(-dx)及线性齐次方程通解有什么不同248dy/dx--y=0.249求初值问题的解250求解－2xy=4x.251求解方程y－2y=xexp(2x),y(0)=0.252解方程=253设y(x),y(x)是一阶线性方程两个不相同的特解，试用这两个特解来表示通解。254.用变量替换或微分方法将下面方程化为线性xdx=(x－2y+1)dy(x+1)(yy-1)=yy(x)=x+1255化下列方程为线性方程y’-y=xy’=y--x-1256将方程ydx+(y-x)dy=0给两种解法。257试证明：凡具有通解为y=C(x)+(x)式的一阶方程都是线性方程。其中(x)，(x)为可微函数。常微分方程2答案123――――132133――――138139――――143144――――145146――――150151――――1562157――――162163164――――167168――――173174――――177178――――180181――――184185――――189190――――192193――――194195――――198199――――202203――――205206――――210211――――216217――――221222―――226227――――229230――――233234――――235236――――241242方程变形为=，它的分子，分母两条直线交点为（1,2）作变换，于是得到＝，它已经是齐次方程。243令z=x+y+1,则＝1＋，于是=1+f(z),只要＋f(z)0,可分离变量得x=+C244因p(x)连续，y(x)=yexp(-)在p(x)连续的区间有意义，而exp(-)＞0。如果y＝0，推出y(x)=0,如果y(x)0,故零解y(x)=0唯一。245设有两个解y(x),y(x),则y(x)+p(x)y(x)0,y(x)+p(x)y(x)0,则（y(x)y(x)）＋y(x)(y(x)+y(x))=(y(x)+p(x)y(x))+y(x)+p(x)y(x)0表明y(x)y(x)仍是解。246在线性齐次方程通解公式中C是任意常数而在常数变易法中C（x）是x的可微函数。将任意常数C变成可微函数C（x），期望它解决线性非齐次方程求解问题，这一方法成功了，称为常数变易法。247用线性齐次方程通解公式得y=Cexp（sinx）249p(x)=-cosx用线性齐方程初值问题解公式即得y=exp(sinx)250用线性方程通解公式：y=exp(-)(C+)dx)=exp(-x)(C+2exp(-x))=2+Cexp(-x)251公式求得方程通解y(x)=exp(2x)(C+xexp(2x)exp(-2x)dx)=exp(2x)(c’+x)利用初始条件代入上式y(0)=0=C,故y=xexp(2x)252x看作自变量，y看成函数，则它是非线性方程，经变形为＝x+y以x为未知函数,y是自变量，它是线性方程，则通积分为x=exp()(c+=cexp(y)-y-1253任一解y(x)满足（y(x)-y(x)）/y(x)-y(x))=C,或(y(x)--y(x))+|y(x)这就是一阶方程通解的结构。254令z=x,则dz=2xdx,代入方程得1/2dz=(z-2y+1)dy它已经是线性方程。令u=y,则=2yy’,代回原方程得（x+1）(1/2u-1)=u,变形为=＋2这已经是线性方程。它不是微分方程，但对它求导后得＝y(x)+1,这已经是线性方程。-2xy=exp(x)cosx此为线性方程，从而通解为y=exp()(C+cosxexp(-)dx)=exp(x)(C+sinx)+y(x)(x),((x)是已知可微函数)此方程为线性方程，从而通解为y=exp(--dx)(C+(x)(x)exp((x)dx)dx=exp(-(x))(C+exp((x))((x)-1)=Cexp(-(x))+(x)-1255此为贝努利方程。令z=得－z=,它是线性方程。此为黎卡提方程，通