浙江省杭州市西湖区云城中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含答案)

-2024学年浙江省杭州市西湖区云城中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列交通标志是中心对称图形的为（）A． B． C． D．2．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．2x2﹣3y﹣5＝0 B．x2＝2x C．+4＝x2 D．y2﹣﹣3＝03．（3分）若是最简二次根式，则a的值可能是（）A．24 B．25 C．26 D．274．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（）A．16 B．18 C．20 D．225．（3分）若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（）A．至少有一个角是钝角或直角 B．没有一个角是锐角 C．每一个角都是钝角或直角 D．每一个角是锐角6．（3分）一组数据2，2，2，3，4，7，8，若加入一个整数x，一定不会发生变化的统计量是（）A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差7．（3分）某地区1月初疫情感染人数a万人，通过社会各界的努力，3月初感染人数减少至b万人．设1月初至3月初该地区感染人数的月平均下降率为x，根据题意列方程为（）A．a（1﹣2x）＝b B．a（1﹣x）2＝b C．a（1+2x）＝b D．a（1+x）2＝b8．（3分）若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（）A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，09．（3分）如图，在△ABC中，点E，点F分别是AB和AC的中点，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，BC＝8，则边DF的长为（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．210．（3分）已知方程甲：ax2+2bx+a＝0，方程乙：bx2+2ax+b＝0都是一元二次方程，其中a≠b．以下说法中错误的是（）A．若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙没有实数解 B．若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解 C．若x＝1是方程甲的解，则x＝1也是方程乙的解 D．若x＝n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1取﹣1二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）已知二次根式，则a的取值范围是．12．（3分）已知一个多边形的每个外角都是72度，那么它是边形．13．（3分）用配方法将方程x2﹣4x﹣2＝0变形为（x﹣2）2＝m，则m＝．14．（3分）已知一组数据，x1，x2，x3的平均数是15，方差是2，那么另一组数据2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的平均数是，方差是．15．（3分）商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此，若销售单价为元时，商场每天盈利达1500元．16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90°，BC＞AB，点E、F分别在边BC和CD上，AE＝6，AF＝8，∠EAF＝60°．（1）若AE⊥BC，AF⊥CD，则CD：BC＝；（2）若点E、F在分别是边BC和CD的中点，则AD＝．三、解答题（共8题，共72分）17．（6分）计算：（1）；（2）．18．（6分）解方程：（1）6x2+x﹣7＝0；（2）（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2．19．（8分）某中学举行“中国梦・校园好声音”歌手大赛，七年级和八年级根据初赛成绩，各选出5名选手组成年级代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．（1）根据图示填写下表；平均数（分）中位数（分）众数七年级85八年级85100（2）哪一个代表队选手成绩较为稳定．20．（8分）如图，在平面直角坐标系内，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（3，4）．（1）将△ABC沿水平方向向左平移4个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；（3）若△A1B1C1与△A2B2C2关于点P成中心对称，则点P的坐标是21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且AB＝BE．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）连结BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，AB＝16，求四边形ABCD的面积．22．（10分）【材料阅读】把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．例如：化简．解：．上述化简的过程，就是进行分母有理化．【问题解决】（1）化简的结果为：；（2）猜想：若n是正整数，则进行分母有理化的结果为：；（3）若有理数a，b满足，求a，b的值．23．（12分）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝米．（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长．（3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系平行四边形OABC中，点C坐标为（2，m），点A在x轴上，CA⊥OC，∠COA＝60°．动点P从点O出发，沿射线OC以每秒2个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发沿AO边向点O以每秒1个单位的速度运动．当点Q到达点O时，点P也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）OC的长为，OA的长为；（2）当t为何值时，线段PQ恰好被BC平分？（3）如图2，若在y轴上有一点D，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为（直接写出答案）．参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列交通标志是中心对称图形的为（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．2．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．2x2﹣3y﹣5＝0 B．x2＝2x C．+4＝x2 D．y2﹣﹣3＝0【解答】解：A、2x2﹣3y﹣5＝0是二元二次方程，故A错误；B、x2＝2x是一元二次方程，故B正确；C、+4＝x2是分式方程，故C错误；D、y2﹣﹣3＝0是无理方程，故D错误；故选：B．3．（3分）若是最简二次根式，则a的值可能是（）A．24 B．25 C．26 D．27【解答】解：A、＝＝2，a的值不能是24，不符合题意；B、＝5，a的值不能是25，不符合题意；C、是最简二次根式，a的值能是26，符合题意；D、＝＝3，a的值不能是27，不符合题意；故选：C．4．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（）A．16 B．18 C．20 D．22【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，∴OA＝AC＝6，BD＝2OB，∵AB⊥AC，AB＝8，∴OB＝＝10，∴BD＝2OB＝20．故选：C．5．（3分）若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（）A．至少有一个角是钝角或直角 B．没有一个角是锐角 C．每一个角都是钝角或直角 D．每一个角是锐角【解答】解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，首先应该假设这个四边形中每一个角是锐角，故选：D．6．（3分）一组数据2，2，2，3，4，7，8，若加入一个整数x，一定不会发生变化的统计量是（）A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差【解答】解：A、原来数据的众数是2，加入一个整数x后众数仍为2，符合题意，选项正确；B、原来数据的平均数是4，加入一个整数x后，平均数有可能变化，不符合题意，选项错误；C、原来数据的中位数是3，加入一个整数x后，如果x≠3，中位数一定变化，不符合题意，选项错误；D、原来数据的方差加入一个整数x后的方差一定发生了变化，不符合题意，选项错误，故选：A．7．（3分）某地区1月初疫情感染人数a万人，通过社会各界的努力，3月初感染人数减少至b万人．设1月初至3月初该地区感染人数的月平均下降率为x，根据题意列方程为（）A．a（1﹣2x）＝b B．a（1﹣x）2＝b C．a（1+2x）＝b D．a（1+x）2＝b【解答】解：根据题意，得a（1﹣x）2＝b，故选：B．8．（3分）若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（）A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0【解答】解：由题意知，方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数，∴m+1+2m﹣4＝0，解得m＝1，∴m+1＝2，2m﹣4＝﹣2，故选：C．9．（3分）如图，在△ABC中，点E，点F分别是AB和AC的中点，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，BC＝8，则边DF的长为（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【解答】解：∵点E是AB的中点，AE＝3，∴AE＝BE＝3．∵点E，点F分别是AB和AC的中点，∴EF是△ABC的中位线．∴EF∥BC，EF＝BC＝4．∴∠EDB＝∠DBC．∵BD是∠ABC的平分线，∴∠EBD＝∠DBC．∴∠EDB＝∠EBD．∴BE＝ED＝3．∵DF＝EF﹣ED＝4﹣3＝1．故选：B．10．（3分）已知方程甲：ax2+2bx+a＝0，方程乙：bx2+2ax+b＝0都是一元二次方程，其中a≠b．以下说法中错误的是（）A．若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙没有实数解 B．若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解 C．若x＝1是方程甲的解，则x＝1也是方程乙的解 D．若x＝n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1取﹣1【解答】解：若方程甲有两个不相等的实数解，则Δ＝（2b）2﹣4a•a＞0，解得4b2＞4a2，所以4a2﹣4b2＜0，而方程乙：bx2+2ax+b＝0中，Δ＝（2a）2﹣4b•b＝4a2﹣4b2＜0，所以方程乙没有实数解，故说法A正确；若方程甲有两个相等的实数解，则Δ＝（2b）2﹣4a•a＝0，解得4b2＝4a2，所以4a2﹣4b2＝0，而方程乙：bx2+2ax+b＝0中，Δ＝（2a）2﹣4b•b＝4a2﹣4b2＝0，所以方程乙有两相等实数解，故说法B正确；若x＝1是方程甲的解，所以a+2b+a＝0，即a＝﹣b，则方程乙：bx2+2ax+b＝0变为bx2﹣2bx+b＝0，解得x1＝x2＝1，所以x＝1也是方程乙的解，故说法C正确；若x＝n既是方程甲的解，又是方程乙的解，所以，①﹣②得（a﹣b）n2﹣2（a﹣b）n+（a﹣b）＝0，∵a≠b，∴n2﹣2n+1＝0，解得n1＝n2＝1，故说法D错误，故选：D．二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）已知二次根式，则a的取值范围是a≤3．【解答】解：二次根式，则3﹣a≥0，解得：a≤3．故答案为：a≤3．12．（3分）已知一个多边形的每个外角都是72度，那么它是五边形．【解答】解：∵一个多边形的每个外角都是72度，∴多边形的边数为＝5，故答案为：五．13．（3分）用配方法将方程x2﹣4x﹣2＝0变形为（x﹣2）2＝m，则m＝6．【解答】解：∵x2﹣4x﹣2＝0，∴x2﹣4x＝2，则x2﹣4x+4＝2+4，即（x﹣2）2＝6，∴m＝6，故答案为：6．14．（3分）已知一组数据，x1，x2，x3的平均数是15，方差是2，那么另一组数据2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的平均数是26，方差是8．【解答】解：∵数据x1，x2，x3的平均数是15，∴数据2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的平均数是2×15﹣4＝26；∵数据x1，x2，x3的方差是2，∴数据2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的方差是22×2＝8；故答案为：26，8．故答案为：26，8．15．（3分）商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此，若销售单价为150或170元时，商场每天盈利达1500元．【解答】解：设销售单价为x元，则每天可销售70﹣（x﹣130）＝（200﹣x）件，依题意得：（x﹣120）（200﹣x）＝1500，整理得：x2﹣320x+25500＝0，解得：x1＝150，x2＝170．故答案为：150或170．16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90°，BC＞AB，点E、F分别在边BC和CD上，AE＝6，AF＝8，∠EAF＝60°．（1）若AE⊥BC，AF⊥CD，则CD：BC＝3：4；（2）若点E、F在分别是边BC和CD的中点，则AD＝．【解答】解：（1）连接AC，如图，∵平行四边形ABCD，∴S△ABC＝S△ACD，即•BC•AE＝CD•AF，∵AE＝6，AF＝8，∴3BC＝4AF，∴CD：BC＝3：4，故答案为：3：4．（2）延长AF与BC延长线交于点M，过点M作MN⊥AE交AE的延长线于点N，如图，∵平行四边形ABCD，∴AD＝BC，AD∥BM，∴∠ADF＝∠MCF，∵F为CD的中点，∴CF＝DF，在△AFD和△MFC，，∴△AFD≌△MFC（ASA），∴AD＝CM，AF＝FM，∴AM＝2AF＝16，∵∠EAF＝60°，∠N＝90°，∴∠AMN＝30°，∴AN＝AM＝8，MN＝＝8，∵AE＝6，∴EN＝AN﹣AE＝2，∴EM＝＝14，∵E为BC中点，∴EC＝＝AD＝，∴EM＝EC+CM＝CM＝AD，∴AD＝EM＝，故答案为：．三、解答题（共8题，共72分）17．（6分）计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝3﹣2+＝2；（2）原式＝××﹣6+1﹣2+5＝2﹣6+1﹣2+5＝0．18．（6分）解方程：（1）6x2+x﹣7＝0；（2）（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2．【解答】解：（1）6x2+x﹣7＝0，（6x+7）（x﹣1）＝0，∴6x+7＝0或x﹣1＝0，∴x1＝﹣，x2＝1；（2）（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2，（3x﹣4）2﹣（4x﹣3）2＝0，[（3x﹣4）+（4x﹣3）][（3x﹣4）﹣（4x﹣3）]＝0，（7x﹣7）（﹣x﹣1）＝0，∴7x﹣7＝0或﹣x﹣1＝0，∴x1＝1，x2＝﹣1．19．（8分）某中学举行“中国梦・校园好声音”歌手大赛，七年级和八年级根据初赛成绩，各选出5名选手组成年级代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．（1）根据图示填写下表；平均数（分）中位数（分）众数七年级858585八年级8580100（2）哪一个代表队选手成绩较为稳定．【解答】解：（1）七年级平均数为：（75+80+85+85+100）＝85（分），七年级85分出现两次，出现的次数最多，所以众数是85分；八年级的中位数是80分．故答案为：85，85，80；（2）七年级的方差是：[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，八年级的方差是：[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160．∵七年级的方差＜八年级的方差，∴七年级代表队选手成绩较为稳定．20．（8分）如图，在平面直角坐标系内，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（3，4）．（1）将△ABC沿水平方向向左平移4个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；（3）若△A1B1C1与△A2B2C2关于点P成中心对称，则点P的坐标是（﹣2，0）【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）如图，点P的坐标是（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）．21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且AB＝BE．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）连结BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，AB＝16，求四边形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵AB＝BE，∴∠E＝∠BAE，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF＝∠BAE，∴∠DAF＝∠E，∴AD∥BE，又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：∵AB＝BE，∠E＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴BA＝AE＝16，∠BAE＝60°，又∵BF⊥AE，∴AF＝EF＝8，∴BF＝＝＝8，∴S△ABF＝AF×BF＝×8×8＝32，∴▱ABCD的面积＝2×S△ABF＝64．22．（10分）【材料阅读】把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．例如：化简．解：．上述化简的过程，就是进行分母有理化．【问题解决】（1）化简的结果为：2+；（2）猜想：若n是正整数，则进行分母有理化的结果为：﹣；（3）若有理数a，b满足，求a，b的值．【解答】解：（1）＝＝＝2+，故答案为：2+；（2）＝＝＝﹣，故答案为：﹣；（3）化简得，＝（a+b）﹣（b﹣a），∵＝2﹣1，∴，得．23．（12分）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝24米．（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长．（3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．【解答】解：（1）BC＝45﹣8﹣2×（8﹣1）+1＝24（米）．故答案为：24．（2）设CD＝x（0＜x≤15）米，则BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+1＝（48﹣3x）米，依题意得：x（48﹣3x）＝180，整理得：x2﹣16x+60＝0，解得：x1＝6，x2＝10．当x＝6时，48﹣3x＝48﹣3×6＝30（米），30＞27，不合题意，舍去；当x＝10时，48﹣3x＝48﹣3×10＝18（米），符合题意．答：边CD的长为10米．（3）不能，理由如下：设CD＝y（0＜y≤15）米，则BC＝45﹣y﹣2（y﹣1）+1＝（48﹣3y）米，依题意得：y（48﹣3y）＝210，整理得：y2﹣16y+70＝0．∵Δ＝（﹣16）2﹣4×1×70＝256﹣280＝﹣24＜0，∴该方程没有实数根，∴饲养场的面积不能达到210平方米．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系平行四边形OABC中，点C坐标为（2，m），点A在x轴上，CA⊥OC，∠COA＝60°．动点P从点O出