湖南省湘潭市新湘中学高三数学理上学期摸底试题含解析

湖南省湘潭市新湘中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从1，3，5，7，9这5个奇数中选取3个数字，从2，4，6，8这4个偶数中选取2个数字，再将这5个数字组成没有重复数字的五位数，且奇数数字与偶数数字相间排列．这样的五位数的个数是（A）180 （B）360（C）480 （D）720参考答案：D2.已知0<a<1,0<x≤y<1，且logax·logay＝1，那么xy的取值范围是()[学

A．(0，a2]

B．(0，a]

C.

D.参考答案：A略3.函数在R上为减函数，则()

A．

B．

C．

D．参考答案：A略4.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则2a+b的值等于（）A．2B．﹣1C．1D．﹣2参考答案：C考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先求出函数的导数，再由导数的几何意义、把切点坐标代入曲线和切线方程，列出方程组进行求解，即可得出结论．解答：解：∵解：由题意得，y′=3x2+a，∴k=3+a

①∵切点为A（1，3），∴3=k+1

②3=1+a+b

③由①②③解得，a=﹣1，b=3，∴2a+b=1，故选C．点评：本题考查直线与曲线相切，考查学生的计算能力，属于基础题．5.下列函数中，以为最小正周期的是(

)A.

B.

C.

D．参考答案：D6.在中，若,则A．是锐角三角形

B．是直角三角形

C．是钝角三角形

D．的形状不能确定参考答案：B7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．π B．27π C．27π D．π参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球，从而求得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面是边长为3的正方形，且高为3，其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球，所以外接球半径R满足：2R==，所以外接球的表面积为S=4πR2=27π．故选：B．8.已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an=

(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B9.函数y=3sin（2x+）的图象关于点（，0）中心对称，那么||的最小值为（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：C略10.在平面直角坐标系中,已知三点,O为坐标原点若向量与在向量方向上的投影相等,则的最小值为(

)A．

B．

C.12

D．144参考答案：B本题考查平面向量的坐标运算以及投影问题,考查运算求解能力.因为向量与在向量市方向上的投影相同,所以，,即点在直线上的最小值为原点到直线的距离的平方,因为，所以的最小值为.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某普通高中有3000名学生，高一年级800名，男生500名，女生300名；高二年级1000名，男生600名，女生400名；高三年级1200名，男生800名，女生400名，现按年级比例用分层抽样的方法抽取150名学生，则在高三年级抽取的女生人数为________．参考答案：20略12.设的内角的对边分别为,且,则

,的面积

.参考答案：13.若曲线Γ：（θ为参数且），则Γ的长度为．参考答案：π

考点：参数方程化成普通方程；弧长公式．专题：直线与圆．分析：根据同角三角函数关系消去参数θ，即可求出曲线Γ的普通方程，得出是一段圆弧，再利用弧长公式求其长度即可．解答：解：由（θ为参数且），即，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=9．其中得∴曲线Γ表示一段圆心角为，半径为3的圆弧，如图．其弧长为l=αR==π．故答案为：π．点评：本题主要考查了圆的参数方程，以及参数方程化成普通方程，属于基础题．14.已知平面向量满足,,则 .参考答案：由已知得，于是，，.15.（坐标系与参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为，它与曲线为参数）相交于A和B两点，则AB=

．参考答案：略16.记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知，，则_______.参考答案：【分析】设等比数列的公比为，将已知条件等式转化为关系式，求解即可.【详解】设等比数列的公比为，，.故答案为:.【点睛】本题考查等比数列通项的基本量运算，属于基础题.17.棱长为1的正三棱柱中，异面直线与所成角的大小为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(13分)已知钝角三角形中,为钝角,若向量.且.

(1)求的大小;

(2)设函数,若恒成立,求实数的取值范围.参考答案：(1)由

由A为钝角∴

∴

(2)∵

∴

∵

∴时

∴

19.设函数,（其中）(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当k＞0时，讨论函数f(x)在(0,+∞)上的零点个数.参考答案：（1）定义域为：.当时，令得得在上单调递减，在上单调递增

-------2分②当时，得和ⅰ）当时此时在上单调递增-------3分ⅱ）当时，当和时，当时，此时，在和上单调递增在上单调递减；

------------4分ⅲ）当时，当和时，，当时，此时，在和上单调递增，在上单调递减-----------5分（2）=当时，，所以在上无零点故只需讨论函数在上的零点个数--------6分若，则当时，，在上单调递增在上有且只有一个零点-------7分②若，则在上单调递减，在上单调递增----------8分令，则，--------9分在上单调递增在上单调递增-------------10分，在上有且只有一个零点---------------------------11分20.已知，椭圆C：+=1（m＞n＞0）短轴长是1，离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F（﹣，0）的直线交椭圆C于点M，N，G（，0），求△GMN面积的最大值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）可设椭圆的半焦距为c，从而根据条件可以得到，这样即可解出m=1，从而可以写出椭圆C的方程为y2+4x2=1；（Ⅱ）可以看出直线斜率存在且不为0，从而可设直线方程为，带入椭圆方程消去x便可得到，根据韦达定理及弦长公式便可求出|MN|=，而由点到直线的距离公式可以求出G到直线距离，即△GMN的高d=，从而可以表示出△GMN的面积，这样根据基本不等式即可得出△GMN面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c，；∵椭圆C的离心率，；∴m=1；∴椭圆C的方程是，即y2+4x2=1；（Ⅱ）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：；联立：，得；∴△=192a2﹣44（1+4a2）=16a2﹣44＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2）；则，∴=；△GMN的高即为点G到直线的距离；∴△GMN的面积为=；∵；当且仅当，即时，等号成立；∴S的最大值为，即△GMN的面积的最大值为．【点评】考查椭圆的标准方程，椭圆的短轴、焦距的概念，以及椭圆的离心率的计算公式，直线的点斜式方程，韦达定理，弦长公式，以及点到直线的距离公式，基本不等式用于求最值，在应用基本不等式时，需判断等号能否取到．21.在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足=，?=3．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若b+c=6，求a的值．参考答案：【考点】二倍角的余弦；平面向量数量积的运算；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式利用=求得cosA，进而求得sinA，进而根据求得bc的值，进而根据三角形面积公式求得答案．（Ⅱ）根据bc和b+c的值求得b和c，进而根据余弦定理求得a的值．【解答】解：（Ⅰ）因为，∴，又由，得bccosA=3，∴bc=5，∴（Ⅱ）对于bc=5，又b+c=6，∴b=5，c=1或b=1，c