广西壮族自治区玉林市第十二中学高三数学理联考试卷含解析

广西壮族自治区玉林市第十二中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件参考答案：C分析：先对模平方，将等价转化为0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.详解：，因为a，b均为单位向量，所以a⊥b，即“”是“a⊥b”的充分必要条件.选C.

2.已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（）A．（0，4） B． C． D．（0，1），（4，+∞）参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】结合函数图象求出f′（x）﹣f（x）＜0成立的x的范围即可．【解答】解：结合图象：x∈（0，1）和x∈（4，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＜0，而g′（x）=，故g（x）在（0，1），（4，+∞）递减，故选：D．3.在复平面内，复数（是虚数单位）所对应的点位于（

）A．第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：C4.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（﹣1，3]时，f（x）=，其中t＞0，若方程f（x）=恰有3个不同的实数根，则t的取值范围为（）A．（0，） B．（，2） C．（，3） D．（，+∞）参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的周期性．【分析】确定f（x）的周期为4，x∈（5，6）时，f（x）=t（x﹣5），x∈（6，7）时，f（x）=t（7﹣x），再利用t＞0，f（x）=恰有3个不同的实数根，可得t（2﹣1）＞，t（6﹣1）＜2，即可求出t的取值范围．【解答】解：由f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），故f（x）的周期为4，∵x∈（1，2）时，f（x）=t（x﹣1），x∈（2，3）时，f（x）=t（3﹣x），∴x∈（5，6）时，f（x）=t（x﹣5），x∈（6，7）时，f（x）=t（7﹣x），∵t＞0，f（x）=恰有3个不同的实数根，∴t（2﹣1）＞，t（6﹣1）＜2∴2＞t＞，故选：B．5.的值为

A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝1，，点D是边BC的中点，且，则△ABC的面积为A．

B．

C．或

D．或参考答案：D7.设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z的共轭复数为，则|（1﹣z）?|=（）A． B．2 C． D．1参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A8：复数求模．【分析】给出z=﹣1﹣i，则，代入整理后直接求模．【解答】解：由z=﹣1﹣i，则，所以=．故选A．8.若，则的大小关系为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D9.如果过曲线上的点P处的切线平行于直线，那么点P的坐标为A、（1,0）

B、（0，-1）

C、（1,3）

D、（-1,0）参考答案：A略10.若等差数列的前7项和，且，则(

)A.5 B.6 C.7 D.8参考答案：C

解得，知识点：等差数列性质

难度：1二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知||=2，||=3，，的夹角为60°，则|2﹣|=．参考答案：【考点】向量的模．【分析】利用两个向量的数量积的定义求出的值，由==求得结果．【解答】解：∵已知，，、的夹角为60°，∴=2×3cos60°=3，∴====，故答案为．12.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=60°，则棱锥S—ABC的体积为_____________. 参考答案：略13.已知函数，当时，有最大值13，则=

．参考答案：

15.

16.①②④14.在平面直角坐标系中，定义为,两点之间的“折线距离”．则原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是

▲

．参考答案：设,直线与坐标轴的交点坐标为，直线的斜率为。过P做于,则原点与直线上一点的“折线距离”为,因为为等腰三角形，所以,由图象可知，此时在的内部，所以原点与直线上一点的“折线距离”的最小距离为。15.菲波那切数列（Fibonacci,sequence）,又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契（LeonadodaFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1,2,3,5,8,13,21，…，则该数列的第10项为 .参考答案：55按要求，将数列列出来：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，···所以第10项为89。

16.定义：表示大于或等于的最小整数（是实数）．若函数，则函数的值域为____.参考答案：17.如图中,已知点D在BC边上,ADAC,则的长为_______________

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）如图，已知棱柱的底面是菱形，且面，，，为棱的中点，为线段的中点，（1）求证：面；（2）求证：面；（3）求面与面所成二面角的大小．参考答案：解析:（1）证明：连结、交于点，再连结…………1分且，又，且四边形是平行四边形，……………3分又面面

………………4分（2）证明：底面是菱形，

…………5分

又面，面

，面

……………6分又面

…………8分（3）延长、交于点

…………9分是的中点且是菱形又

…………10分由三垂线定理可知

为所求角

……………………12分在菱形中，

……………………14分19.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数（1）若对于任意的实数x，都有成立，求m的取值范围；（2）若方程有两个不同的实数解，求a的取值范围。

参考答案：解：（1）由于，所以的最小值为.又因为对任意的实数，都有成立，只需，即，解得，故的取值范围为。………5分（2）方程有两个不同的实数解，即函数与的图像有两个不同的交点，作出这两个函数图像，由图像可知，得取值范围是………10分

20.已知函数f（x）=ex﹣m﹣ln（2x）．（Ⅰ）设x=1是函数f（x）的极值点，求m的值并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明：f（x）＞﹣ln2．参考答案：（Ⅰ）解：∵f（x）=ex﹣m﹣ln（2x），∴f′（x）=ex﹣m﹣，由x=1是函数f（x）的极值点得f′（1）=0，即e1﹣m﹣1=0，∴m=1．

…于是f（x）=ex﹣1﹣ln（2x），f′（x）=ex﹣1﹣，由f″（x）=ex﹣1+＞0知f′（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，且f′（1）=0，∴x=1是f′（x）=0的唯一零点．

…因此，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）递减；x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增，∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．

…（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（0，+∞）时，ex﹣m≥ex﹣2，又ex≥x+1，∴ex﹣m≥ex﹣2≥x﹣1．

…取函数h（x）=x﹣1﹣ln（2x）（x＞0），h′（x）=1﹣，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，得函数h（x）在x=1时取唯一的极小值即最小值为h（1）=﹣ln2．…∴f（x）=ex﹣m﹣ln（2x）≥ex﹣2﹣ln（2x）≥x﹣1﹣ln（2x）≥﹣ln2，而上式三个不等号不能同时成立，故f（x）＞﹣ln2．…（14分考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：（Ⅰ）求出f′（x），由题意可知f'（1）=0，由此可求m，把m值代入f′（x），由f′（x）的单调性及f'（1）=0可知其符合变化规律，从而可得单调性；（Ⅱ）x∈（0，+∞）时，ex﹣m≥ex﹣2≥x﹣1恒成立，取函数h（x）=x﹣1﹣ln（2x）（x＞0），可得f（x）=ex﹣m﹣ln（2x）≥ex﹣2﹣ln（2x）≥x﹣1﹣ln（2x）≥﹣ln2，即可得出结论．解答：（Ⅰ）解：∵f（x）=ex﹣m﹣ln（2x），∴f′（x）=ex﹣m﹣，由x=1是函数f（x）的极值点得f′（1）=0，即e1﹣m﹣1=0，∴m=1．

…于是f（x）=ex﹣1﹣ln（2x），f′（x）=ex﹣1﹣，由f″（x）=ex﹣1+＞0知f′（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，且f′（1）=0，∴x=1是f′（x）=0的唯一零点．

…因此，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）递减；x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增，∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．

…（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（0，+∞）时，ex﹣m≥ex﹣2，又ex≥x+1，∴ex﹣m≥ex﹣2≥x﹣1．

…取函数h（x）=x﹣1﹣ln（2x）（x＞0），h′（x）=1﹣，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，得函数h（x）在x=1时取唯一的极小值即最小值为h（1）=﹣ln2．…∴f（x）=ex﹣m﹣ln（2x）≥ex﹣2﹣ln（2x）≥x﹣1﹣ln（2x）≥﹣ln2，而上式三个不等号不能同时成立，故f（x）＞﹣ln2．…（14分）点评：本题考查利用导数研究函数的极值、单调性，考查学生灵活运用知识分析解决问题的能力21.(本小题满分12分)小型风力发电项目投资较少，开发前景广阔.受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险.根据测算，IEC（国际电工委员会）风能风区分类标准如下：

风能分类一类风区二类风区平均风速m/s8.5——106.5——8.5某公司计划用不超过100万元的资金投资于A、B两个小型风能发电项目.调研结果是，未来一年内，位于一类风区的A项目获利%的可能性为0.6，亏损%的可能性为0.4；B项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2.假设投资A项目的资金为（）万元，投资B项目资金为（）万元，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目.（Ⅰ）请根据公司投资限制条件，写出满足的条件，并将它们表示在平面内;（Ⅱ）记投资A，B项目的利润分别为和，试写出随机变量与的分布列和期望，;（Ⅲ）根据（Ⅰ）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和的最大值，并据此给出公司分配投资金额建议.参考答案：解：(1)…………3分（2）A项目投资利润的分布列0.4x-0.2xP0.60.4…………6分B项目投资利润的分布列0.35y-0.1y0P0.60.20.2…………9分依线性规划的知识可知，x=50,y=50时,估计公司获利最大，最大为万元。………12分略22.某市为鼓励居民节约用水，拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米按2元/立方米收费，超出w立方米但不高于w+2的部分按4元/立方米收费，超出w+2的部分按8元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图所示频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使40%以上居民在该月的用水价格为2元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=2时，估计该市居民该月的人均水费．

参考答案：【考点】频率分布直方图．【分析】（1）1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2]的频率是0.2，从而求出w的最小值；（2）当w=2时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费．【解答】解：（1）我市居民用水量在区间[0.5，1]，（1，1.5]，（1.5，2]内的频率依次是：0.1、0.15、0.2、∴该月用水量不超过2立方米的居民占