2024年初二上册数学期末考试专项复习28《实数与近似数》（提高）知识讲解

2024年初二上册数学期末考试专项复习实数与近似数—知识讲解（提高）【学习目标】1.了解无理数及实数的意义；2.了解无理数的概念、实数的分类,无理线段的作法；3.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其精确度；4.体会近似数在生活中的实际应用.【要点梳理】【高清课堂：389317实数，知识要点】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.（3）注意是一个有理数，因为它是一个分数，所有的分数都是有理数.=3.1428571428571……，切不可因为它的值接近，就说它是无理数.要点二、实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类①按定义分：实数②按与0的大小关系分：实数2.实数与数轴上的点一一对应数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.无理线段的作法无理线段可以在数轴上表示出来，一般是把被开方数拆成m2+n2的形式，例如：①，特点是被开方数可化为一个完全平方数+1的形式；②，特点是被开方数可以化成两个平方数的和的形式；③，特点是被开方数可以化成几个平方数的和的形式.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用.要点五、近似数及精确度1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是大于5还是小于5,4舍5入.2.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.要点诠释：①精确度是指近似数与准确数的接近程度.②精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米.【典型例题】类型一、实数概念 1、把下列各数分别填入相应的集合内：，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）…有理数集合…无理数集合【答案与解析】有理数有：，，，，0，无理数有：，，，，，，0.3737737773……【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，，.举一反三：【高清课堂：389317立方根实数，例1】【变式】判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示，并说明理由.

(1)无理数都是开方开不尽的数.()

(2)无理数都是无限小数.()

(3)无限小数都是无理数.()

(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.()

(5)不带根号的数都是有理数.()

(6)带根号的数都是无理数.()

(7)有理数都是有限小数.()

(8)实数包括有限小数和无限小数.()

【答案】(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020020002…这类的数也是无理数.(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数.(4)(×)0是有理数.(5)(×)如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.(6)(×)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数.(7)(×)有理数还包括无限循环小数.(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以实数可以用有限小数和无限小数表示.类型二、实数大小的比较与运算2、比较与的大小．【思路点拨】根据，，则来比较两个实数的大小．【答案与解析】解：因为，．所以＜.【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、通分子法、倒数法等.举一反三：【高清课堂：389317立方根实数，例2】【变式】已知实数、、在数轴上的对应点如图所示，试化简：．【答案】由图可知：，，．∴，，，．∴．3、（2016秋·富顺县校级期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，，求的值．【思路点拨】利用相反数，倒数，以及绝对值的定义得到a+b，cd，以及x的值，代入原式计算即可得到结果．【答案与解析】解：根据题意得：a+b=0，cd=1，x=1或-1，则当x=1时，原式=-2；当x=-1时，原式=2．【总结升华】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．举一反三：【高清课堂：389317立方根实数，例3】【变式】若a的两个平方根是方程的一组解．（1）求a的值；（2）求的算术平方根．【答案】解：（1）∵a的平方根是的一组解，则设a的平方根为，，则根据题意得：解得∴a为．（2）∵．∴的算术平方根为4．类型三、近似数及精确度4、1000米与1.0×103米有无区别？请说明理由．【思路点拨】应考虑两种情况：当这两个数作为准确值时没有区别；但如果是两个近似值时，精确程度不同．【答案与解析】当这两个数作为准确值时没有区别；当是两个近似值时有区别，1000米精确到1米，而1.0×103米精确到100米．【总结升华】本题应分情况讨论,主要考查的是近似数的精确度的概念．5、体育委员给王磊、赵立两位的身高都记为1.7×102cm，可有的同学说王磊比赵立高9cm，这种情况可能吗？请说明你的理由．【思路点拨】根据科学记数法的表示方法，得出两人的身高可能值，进而得出答案.【答案与解析】解：有这种可能．理由如下：∵1.65×102≈1.7×102，1.74×102≈1.7×102，

∴1.74×10

2-1.65×102=9（cm）．

故有可能．【总结升华】此题考查了科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的近似数，得出两人身高的可能值是解题关键．类型四、实数的综合运用【高清课堂：389317立方根实数，例4】6、已知，且，求的值．【答案与解析】解：∵，且，．∴，即，．解得＝3，＝5，得＝64．∴．【总结升华】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由，可求、，又，所以＝64，则可求．举一反三：【变式】（2015春•定州市期末）（1）计算：﹣|﹣3|+（2）若+（3x+y﹣1）2=0，求的值．【答案】解：（1）原式=4﹣3++6=7+；（2）∵+（3x+y﹣1）2=0，∴，解得：，则原式==3．7、如图所示：在平行四边形ABCO中，点A、C的坐标分别是，．（1）写出点B的坐标；（2）将平行四边形ABCO向左平移个单位长度，求所得平行四边形四个顶点的坐标；（3）求平行四边形ABCO的面积．【思路点拨】（1）由C点坐标可知，由于AB＝OC，所以B点坐标是纵坐标与A点坐标相同，横坐标即将A点坐标右移．（2）平行四边形向左平移个单位后，四个顶点的纵坐标不变，横坐标分别减去．（3）平行四边形的面积用OC为底边，A点或B点的纵坐标为高来求的．【答案与解析】解：（1）．（2）将四个顶点、、、的横坐标分别减去得：，、、．（3）．【总结升华】有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用，在实数范围内，加、减、乘、除、乘方五种运算同有理数一样.《实数》全章复习与巩固——知识讲解（基础）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.理解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求非负数的平方根，会用立方运算求数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，理解实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.5.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其精确度，体会近似数在生活中的实际应用.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂：389318实数复习，知识要点】要点一：平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论要点二：实数有理数和无理数统称为实数.

1.实数的分类①按定义分：实数②按与0的大小关系分：实数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.三类具有非负性的实数

在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式：

（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；

（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；

（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即().

非负数具有以下性质：

（1）非负数有最小值——零；

（2）有限个非负数之和仍是非负数；

（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较

有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.（1）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；（2）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；（3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.要点三、近似数及精确度1.近似数接近准确值而不等于准确值的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.2.精确度近似数中，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米.【典型例题】类型一、平方根和立方根 1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的有（）A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B；【解析】①负数有立方根；②0的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1.【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键.举一反三：【变式】下列运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】C；2、若，则±＝若，，则【答案】±1.01；7.16；【解析】102.01的小数点向左移动2位变成1.0201，它的平方根的小数点向左移动1位，变成1.01，注意符号；0.3670的小数点向右移动3位变成367，它的立方根的小数点向右移动1位，变成7.16【总结升华】一个数的小数点向左移动2位，它的平方根的小数点向左移动1位；一个数的小数点向右移动3位，它的立方根的小数点向右移动1位.类型二、与实数有关的问题3、计算（1） （2）（3）【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行运算.【答案与解析】解：（1）＝（2）＝（3）＝.【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法去求一个数的立方根、平方根.举一反三：【变式】（2015春•北京校级期中）计算：+．【答案】解：原式=7﹣3+﹣1+=+．4、若，化简【思路点拨】由判断＞0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉绝对值.【答案与解析】解：∵，∴＞0，∴∴【总结升华】含绝对值号的代数式的化简是重点也是难点.分类的标准应按正实数,负实数,零分类考虑.要掌握好分类标准,不断加强分类讨论的意识.举一反三：【变式1】（2016秋·安徽期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为.【答案】解：∵-1＜＜0，1＜,∴＋2＞0，－＜0，∴＝＋2－(－＋)＝＋2.【高清课堂：389318实数复习，例5】【变式2】实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是：；【答案】；类型三、近似数与精确值5、某工人执行爆破任务时，点燃导火索后往100m外的安全地带奔跑的速度为7m/s，已知导火索燃烧的速度为0.11m/s，求：导火索的长度至少多长才能保证安全？（精确到0.1m）【思路点拨】先算出往100米外的安全地带奔跑所用时间，再根据导火索燃烧的速度为0.11m/s，求出导火索的至少长度，最后根据有效数字的表示方法，即可得出答案．【答案与解析】根据题意，得导火索的长度至少为：×0.11≈1.6（m）；

答：导火索的长度至少1.6m才能保证安全．【总结升华】此题考查了列代数式和近似值，关键是读懂题意，列出代数式，再根据近似值的要求进行用四舍五入法取近似值即可．6、（新罗区校级月考）用激光技术测得地球和月球之间的距离为377985654.32米，请按要求分别取得这个数的近似值．（1）精确到千位；（2）精确到千万位；（3）精确到亿位．【思路点拨】（1）首先利用科学记数法表示，然后对千位以后的数位进行四舍五入；（2）首先利用科学记数法表示，然后对千万位以后的数位进行四舍五入；（3）首先利用科学记数法表示，然后亿位以后的数位进行四舍五入；【答案与解析】解：（1）精确到千位；377985654.32米≈377986000米，即3.77986×108米（2）精确到千万位；377985654.32米≈380000000米，即3.8×108米（3）精确到亿位；377985654.32米≈400000000米，即4×108米．【总结升华】本题考查了近似数，对于用科学记数法表示的数，精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．类型四、实数综合应用7、现有一面积为150平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加6米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果精确到0.1）？【答案与解析】解：因为原正方形鱼池的面积为150平方米，根据面积公式，它的边长为（米）．由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（12.247＋6）米，所以扩建后鱼池的面积为≈333.0（平方米）．答：扩建后的鱼池的面积约为333.0（平方米）．【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为150平方米，由此可得原鱼池的边长，再加上增加的6米，故新鱼池面积可求．举一反三：【变式】一个底为正方形的水池的容积是486，池深1.5，求这个水池的底边长．【答案】解：设水池的底边长为，由题意得,,.答：这个水池的底边长为18.《实数》全章复习与巩固——知识讲解（提高）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.理了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求非负数的平方根，会用立方运算求数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.5.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其精确度，体会近似数在生活中的实际应用.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂：389318实数复习，知识要点】要点一：平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论要点二：实数有理数和无理数统称为实数.

1.实数的分类①按定义分：实数②按与0的大小关系分：实数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.三类具有非负性的实数

在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式：

（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；

（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；

（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即().

非负数具有以下性质：

（1）非负数有最小值——零；

（2）有限个非负数之和仍是非负数；

（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较

有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.（1）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；（2）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；（3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.要点三、近似数及精确度1.近似数接近准确值而不等于准确值的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.2.精确度近似数中，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米.【典型例题】类型一、平方根和立方根【高清课堂：389318实数复习，例1】1、已知，求的值.【思路点拨】由被开方数是非负数，分母不为0得出的值，从而求出值，及的值.【答案与解析】解：由题意得，解得＝－3＝－2∴＝.【总结升华】根据使式子有意义的条件列出方程，解方程，从而得到的值.举一反三：【变式1】已知，求的平方根.【答案】解：由题意得：解得＝2∴＝3，，的平方根为±3.【变式2】若和互为相反数,试求的值.【答案】解：∵和互为相反数,∴3－7＋3＋4＝0∴3（）＝3，＝1.2、（2015秋•东台市期中）已知5a﹣1的平方根是±2，6a+2b﹣1的立方根是3，求b﹣4a的平方根．【答案与解析】解：∵5a﹣1的平方根是±2，6a+2b﹣1的立方根是3，∴5a﹣1=4，6a+2b﹣1=27，解得：a=1，b=11，则b﹣4a=11﹣4=7，7的平方根为±．【总结升华】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．类型二、与实数有关的问题3、已知是的整数部分，是它的小数部分，求的值．【思路点拨】一个数是由整数部分＋小数部分构成的.通过估算的整数部分是3，那么它的小数部分就是，再代入式子求值.【答案与解析】解：∵是的整数部分，是它的小数部分，∴∴.【总结升华】可用估值法来确定，即看介于哪两个相邻的完全平方数之间，然后开平方.这个数减去它的整数部分后就是它的小数部分.举一反三：【变式】已知5＋的小数部分为，5－的小数部分为，则＋的值是；－的值是_______.【答案】；提示：由题意可知，.4、阅读理解，回答问题.在解决数学问题的过程中，有时会遇到比较两数大小的问题，解决这类问题的关键是根据命题的题设和结论特征，采用相应办法，其中巧用“作差法”是解决此类问题的一种行之有效的方法：若－＞0，则＞；若－＝0，则＝；若－＜0，则＜.例如：在比较与的大小时，小东同学的作法是：∵∴请你参考小东同学的作法，比较与的大小.【思路点拨】仿照例题，做差后经过计算判断差与0的关系，从而比较大小.【答案与解析】解：∵∴＜【总结升华】实数比较大小常用的有作差法和作商法，要根据具体情况加以选择.举一反三：【变式】（2016春·高安市期中）已知实数a、b、c在数轴上的位置如