《微积分》(中国商业出版社经管类)课后习题六

《微积分》(中国商业出版社经管类)课后习题答案

习题六

(A)

1.根据定积分的几何意义说明下列各式的正确性

2

(1)oosxdx0(2)2便1)dx22(x21)dx

020

(3)1x3dx0(3)1|2xbx4Jdx

11o

解：(1)该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，由对称性可知正确.

(2)该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且在(2,2)范围内对称，所

以是正确的.

(3)该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且关于原点对称，所以正确.

(4)原式21|x|dx

1

等式左边的定积分的几何意义是右边图形阴影部分面积的代数和的2倍，且又因为阴影部分

在(1」)范围内关于轴对称，所以等式两边相等.

2.不计算积分，比较下列积分值的大小

(1)与孙与1x3dx(2)%处与3x^x

0o11

42

(2)4Inxdx与(Inx)dx(4)2sinxdx与2xdx

33o0

解：(1)由定积分的比较性可知在(0,1)范围内x2x3,所以前者大于后者.

(2)由定积分的比较性可知在(1,3)范围内X2x3,所以前者小于后者.

(3)由定积分的比较性可知在(3,4)范围内Inx(lnx)2.所以前者小于后者.a1

(4)由定积分的比较性可知在(0,)范围sinxx，所以前者小于后者.

2

3.用定积分性质估计下列积分值

色

⑶上dx-sinx

(I)Zx2dx(2)4(1sin2xXix(4)2---dLx

000X

7

解：(1)因为eR在［0,1］范围内的最大值为1，最小值为e1

所以由定积分的估值定理可知：

1eidx1e^dx1ldx

ooo

e11eFdx1

o

(2)因为1的2乂在［「匕国向最大值为2,最小值为1。

442

所以由定积分的估值定理可知：

5_a_

4Idx4(1sin2x)dx42dx

444

5_

4(1sin2x)dx2

4

⑶设f(x)片

X

则f，(x)2gxa(109x)

1x21-/xcFx)

令f，(x)0

则4109x)0,1x0

10

解得：x0,x一

9

所以f(x)在(0,)上单调递增

所以f(x)在［0,1］的最小值为0,最大值是走

2

所以由定积分的估值定理可知：

10dx1X5,1、

i-dx-r-dx

oaxo2

0

1X5V2

0'dx--

ov/lx2

(4)由图中易知：AB

其中ABsinx»ADtanx，ACx

即：sinxxtanx

亦得到：1」____1

sinxcosx

sinx

Ocx—，/从A中lc一osx----1d

2x

由定积分性质有：

~sinx

2cosxdx2----dx21dx

00X0

sinx,

12----dx

x2

y

1

的)(1L骸爵嗨儿何意义是以原为辨心,2/半径的一个圆面积的一半，且在X轴的

所以原式1R2

21

(2)该定积分的几何意义是以(1/)为圆心，以1为半径的一个圆面积的一半且在x轴的上

方.所以原式1R2

2

1

2

5.求下列函数的导数一

x22eX2

⑴f(x)一⑵f(x)|n(1t)dt

1X

(3)f(x)*12dt(4)f(x)3x3)sintdt

xo

tetdt

解：(1)设tet%g(t)(t

v

2

1

44

则f(x)g(e)(g(x2)g(1)令x?m

(2)设(n(lt2)dtg(t)

则Wx)g'螂'g胳任产,

f'(x)g'(m)m'g'(x)exln(xe2*)ln(xx2)

(3)设a2dtg(t)

则f(x)g(x3)g(育令x3m,#n

f'(x)g'(m)m'g,(n)n'ex%x2ex

3

(4)设03x)sintg(t)

则f(x)g(x)g(0)

f'(x)g'(x)g,(0)o

6.求下列极限

(2)lim—Xarctantdt

_Xsint2dt

xox20

(1)lim1

0._____t---------

Xox3_JJ

⑶lim1>1t21t2)dt

x0X30

1x1t

(5)lim(1sin2t)tdtx1(x1)2

xoxo(8)limL(tt2)et2x2dt

(7)lime「dt"

xX

1x

X2

0

XX12dt

(9)lim0

xox*sinx-arctanx

lim1Xt2dt

解（D

x0产0-

1

1h3dt

%

3

1

3

(2)limi.1岬

xq

limx

-x-ox220

1_______

2—J厂

(3)lim1tan2t1sin2t)dt

xox1-0(-------

*"x"

1Xtanxsinxdt

lim—

xox30

X

X2dt

xOX30

IIoX

lim——

xox33b

2

3

7lX21

(4)lim

x-0

ln(1t)dt

o

Vlx21

lim

x-o

ln(1t)d(1t)

o

lim

xo(In1)

(5)lim2.[1Sin2t)tdt

xoxo

1

(1sin2t)t

lim7-----------------dt

xo

洛必达法则lim(sinx)-

x0X

lim(1吗2

xo

e2

xInt

•~~dt

x1(X俨

Inx

lim-——

x12x2

1

..1Inx1..71_

lim----—limJ

2

xi2x12Xi2x4

J_exlimln(Xe>2dt)^

⑺limxetzdt

x00

lim

exoe

(arctant)2dt

(8)(jm■o-==—

X

(limarctan)2dt

2

G"""x2"

X

⑼1(tt2)et2X2dt

limXQ

X

x(tt2)et2

lim-o-----------dt

xxex2

洛必达法则lim(Xx我x2

xeX"(12x2)2

7.设F(x)在［a,b］上连续，且f(x)0

Xx1

F(x)f(t)dt—dt

abTv/

恭正(1)F'(X)2；

(2)F，(x)在［a,b］内有且仅有一个实根.

解：证明：

(1)设f(t)dtg(t)-^-dth(t)

F(x)g(x)g(a)h(x)h(b)

1

F'(x)g'(x)-g'(a)h'(x)-h'(b)f(t)—

又因为f(t)0,F,(x)2

(2)因为F(X)田a,b］上单调增加，又因为F(a)。」_由b

bf⑴a

b

F(b)f(t)dt0

又因为F(x)在区间［a,b］上连续.

所以在区间［a,b］内紧有一个实根.

8.设f(x)为连续函数，且存在常数a满足

ex'1x3f(t)dt

求f(x)及常数a.

解：设f(e)deg(t)

则ex1xg(a)g(x)

对等式两边求导，得:

ex1xg'(a)g'(x)f(x)

所以f(x)1ex1

所以af(t)dtaex1dxxex1aea1ex1x

xxx1

所以a1

9.议X(xt)f(t)dt1oosx，说明2f(x)dx1•

oo

解：

Q'(t)“t),P'(t)Q(t)

X(xt)f(t)dt

o

40(x)Q(0)]Xtf(t)dt

o

X

…'、Q.•'—，.'

X

Q.

Xx

00**八',,

xQ(x)dt1cosx

o

即

P(x)-P(O)1-cosx

Q(x)sinx

f(x)cosx

2f(x)dxsinx厂1

o|b

10.用牛顿-莱布尼茨公式计算下列积分

<2

8dx_1e2(l必dxarcsinx,

(1)(2)(exeX)dx(3)(4)2

14X2

1版11X

2

1dx2(ix

(5)|cosx|dx⑹2|x|dx(7)(8)

X2

014x2o4

与12

eX2mx2(11)(12)4dx

(9)dx(10)3tanxdx3tan2xdx

1X1

66

3

(⑶*岫")0E(⑸三寺”(16)max{1,x^dx

1

4

解⑴8%2xff上

1阪212

[X[

⑵(exe)dx(Hex)0

1I

(3)621!!12^e(lnx)12d(lnx)—(lnx)3[

1xi31

、2M

2ax2arcsinxdarcsmx

,V1X2X

2।入2

石

1---122

-arcsin2x2-(——)

21_21636

52

288

X

(5)|cosx|dx^c^xdxcosxdxsinx2sinx(2

oo0x|-

2

⑹他°xdx:xdx咒12|UxI

⑺arcsin2S1-

1V4x?2113

2dx1xR

(8)arct9

0-7llT

e,eNlinx12e

xdx----dx-xInxdlnx

1

31

12122

"(e1)2I(lnx)(e3)

2212

Incosx'3'in3

(10)」tanxdx

—2

66

(11)-xdx--

」tan2」」(setfx1)dx

cos2x

666

2ln21

4

(19)/Vx1.2.4X2&1,4.21

11乙“(一产改--------dx1-7=­dx

1Jx,|x[Jxx

厂4

(x4>4Inx]

2ln21

1-1

(13)6(-sinx)dx2(sinxTdx

o2-2

6

3右

x

(14)y[\~sin2xdxIsinxcosx|ix4(cosxsinx)dx(sinxcosx)dx

oooK

4

(sinxcosx)4(cosxsinx)(

0x

4

(15)(xcosxsinxdx二d(xsinx)

—(xsinx)2—

4

...1x32

(16)3maxfl.x^dxIdxxdxx——io—

1i11313

11.攻f(x)1I加2出，问x取何值时，f(x)取极大值或极小值・

解：设t(tl)e-2kleg(t)

则f(x)g(x)g(e)

所以f，(x)g'(x)x(x1)ex(x1)e

因为「凶在(,0),(1,),(-1,)上大于0,在(0,1)内小于0

所以f(x)在(，0),(1,)上率调鹿增，在(0,1)内单而递增.

所以当x0时，f(x)取极大值，x1时，f(x)取极小值。

12.设

I2sinxo」

*1_2

1X，八

2

|21(sinxcosx)dx

2

137

(sin5xVcosx)dx

2

比较|,1,1的大小.

123

解：

,-sinx,

I2---------cos2xdx

1-1X2

0

I2(sinxcosx)dx

2_

2

2

I2(sin5x7»sx)dx

3_

2

2^cosxdx

2

Q7Jcosxdx0

2

2Jcosxdx0

2

III

312

13.用换元积分法计算下列各定积分

sinxIn3dxe/dx

(1)L(2)(3)

o1coszxoJiex1JiInx

2Jx21/

1dxax2Va2x2dx

(4)(5)dx(6)

°J(1X2)31x0

」3dx1菽、

(7)(8)--------(9)4tan(lncosx)dx

1xv'1X2oVexex0

e6J31nx2」dx2

(10)------------dx(11)(12)sin9xdx

Xv'ex7(1lnx)lnx0

(13)2dx(14)1-^-dx

1x22x5

1

解（1）•dcosx

o1co^x

x

arctan(cosx)

0

2

(2)令Vlex

2

则xln(t1)

xIn3，时t2；x0>时t

2日

25t

In

X1||、2

[In321n(51)]

e2dx

(3)

[xVlInx

2..2-

xsinxdxxsinxdx2

o

2

3

2

(4)x12dx

3033

X22(1X2)2

♦x12dx1

3(1x2)30X2)；。

L’2

2n

2

(5)2x21dx

1X

212

x21arccos

1x1

,xa

(6)in一

aO

0—a4

1616

（7）令xtant，则积分区域为-JO一

43

>3dx~(sect)2dt

1VlX2-tantsect

3dt丁dcost

sint1cos2t

44

1d(cost)13dcost

-3

2一1cost2—1cost

44

^ln(1cost)3£ln(1ast)

T了

1L1厂

-ln(2V2)-In3(2V2)

ln(2石)：ln6

(8)令ext

(9)

(10)令tinx则xe,

e6v13lnx26c--

axV3t2dt

eX1

-(3t2)2

9

14

（11）令Inxt,则积分上下限变为L与L

2

edx1dt

v17xJ(1Inx)lnx(1t)t

令tsiMx积分上下限为：：一

42

2sinxdsinx?2dsinx

।siMxsinx76siMx

ln(sinx1

-1亚2

In-?=-----lIn-------匕

V2V31y/3

(12)sin9xdx

(1COS2x)4dCOSX

0

2

8642乂1)dC0SX

0

(13)令x2sec3a则dxsecatana

2dx~secatanada

v'2x2Vx21-sec2tana

§向石

3cosadasina---

(14)令x1a

1x3」2a2」

---------------dx-------da

1X22x5oa24

12d降4)22

2oa24oa24

122

-In2---------da

oa24

-In2

2

1

",n2（7°）

1.c1

—In2-

24

14.用分部积分法计算下列各定积分

1

(1)x2e泌⑵(x,忸^dxxln(1x)dx

o

(4)e(lnx)3dx(5))nx|dx(6)2xsinxdx

o

(7)1xarctanxdx(8),2Inx*1

(9)e2x(4x3由

oe(X俨0

，ln22e2sinlnx

(10)'x3e(11)Ixsinxldx(⑵()dx

001X2

(13)12xVlx2arcsinxdx(14)e2

0e1

解(1)1x2dex

0

11

(x4xeX2xdx

(e112xdxx)

o

1

(e12e12exj

(3e12e12)

25e1

Q[

(2)(xx)e)dx(xx)e处

1

o

1

2xdex

o

(2e12e12)

24e1

(3)=十e%(x

t°2

(Xln(x

(4)x(lnx)3已

1

e3lnxdx

e

1

5ex—dx

e3(xlnx,x

e3[e(e1)]

e3

1

11xtx

(5)(xlnx11x-dx)xlnx

-x

e

1；)]e(e1)

(1

e

11

2

(6)2xdcosx

0

(xcosx2cosxdx)

20

0

sinx

x

0

1

(7)11arctanxdx2

2o

1

21o1

—(xarctanxX2dx)

200

1

4—

214

-4

42

(8)

ln(1e)-

e

(9)—1(4x3)de2x

2

o

3x[

ie9

74x3wl0zV4dx]

0

1212x|

一(7e34飞

220

122

-[7e32(e1)]

2

为21)

(10)1^x2deX2

2o

v，

1r2x2Vin2ln29

//e°2xexdx]

IIn2vln27

~[ln2edexj

2o

1r1.„x2^n2,

二[二In2ex

2l2|0

11

331n2eln21]

111

In2-1

2L22J

刎21)

(H)xsinxdx2xsinxdx

o

:2

(xcosxcosxdx)(xcosxcosxdx)

0o

4

(12)

e2sinlnxdx2sinlnxd1

2

1x,.o-x

1

sinlnx^2cosinxdx

;<1_1XX

1

sinInxb2“cosinxd

1x

X卜

110211

sinInxe2cosinxe2sinInxdx

x.X.1XX

111

八(sinInxooslnx)©2

2'xX1

T)

2

e2

12x^/1

x2arcsinxdx

0

(13)

Z2—1-1

—(1x)2arcsinx(1x2)2(1x2)2dx

4

—(1x)dx—

9

(3)cosxarccosxdx

ie°e。11

2lnxx2x2dx

e1e!X

11111

(1)3sin2xln(x1x2)dx(2)(z_)dx

12x21821

3

触(1)设f(x)sin2xln(x1x2)

则f(x)sin2xln(x1x2)

f(x)f(x)sin2x[ln(x1x2)ln(xx2)]

sin2xln(1x2x2)0

所以f(x)为奇函数

因为f(x))在(-3,3)上连续且为奇函数，所以原式等于0；

⑵设f(x)1(11)

2x21ex2

f(x)1(11)

2x21ex2，

111

f(x)f(X)(1)0

xx

2x21e1e

所以f(x)为奇函数且f(x)在(T，1)上连续。

所以原式等于0;

(3)设4(5)dx3(4)dx54dx

544

因为f(x)cosxarccosxf(x)

所以f(x)为偶函数。

1

2cosxarccosxdx

o

200

16.求（X）dx，其中（x）是x到离它最近的整数的距离.

o

11

W：[2xdx(1x)dx]200

0-

12112

2(x—1_x20)0]

22

02

50

17.求5[x]dx，其中国是不超过x的最大翻弘简称“取整

5

解：4(5)dx3(4)dx54dx

544

5432134

5

18.设函数f(x)，9仅)在(，)上连续，且满足等式

22

f(x)3x2g(x)dx，g(x)x33x2f(x)dx

oo

求f(x)g(x)的极小值点.

解：令1f(x)dxC(C为常数)

o

则g(x)x33Cx2

2g(x)dx(Lx4Cx3)r

o4P

48C

f(x)3x28C4

2|2

f(x)dx(x38Cx4x)1C

即：816C8C

C0

f(x)g(x)3x24x3

[f(x)g(x)]'6x-3x20

x。或x2

当x0时[f(x)g(x)],4

min

当x2时[f(x)g(x)]2o

当X0时取极小值。

19.求下列定积分

(1):a尸in/1

(2)ln(1向xd(3)4in(1tanx)dx

工Jx(1x)oo

4

解：⑴arcsin-k/x",

2/dx

37x(1x)

4

2t华正d4

1JiX

4

/arcsinv'xdarcsin、攵

4

1