充要条件的理解及判定方法

高中数学复习专题讲座

人教版高中数学高考复习专题讲座充要条件的理解及判定方法主讲：特级教师王新敞5/6/20241特级教师王新敞----源头学子教学目的：教学重点：教学难点：1.掌握充分条件、必要条件的意义及判定．2.培养学生的逻辑推理能力．充分条件、必要条件的判断充分条件、必要条件的判断方法及证明格式．5/6/20242特级教师王新敞----源头学子1.定义：对于命题：若p(条件)，则q(结论).如果已知pq，则说p是q的充分条件；如果既有pq，又有qp，就记作pq则说p是q的充要条件；如果已知qp，则说p是q的必要条件；简化定义：如果已知pq，则说p是q的充分条件，

q是p的必要条件.一、知识点回顾5/6/20243特级教师王新敞----源头学子①pq，相当于PQ，即

PQ或P、Q

②qp，相当于QP，即QP或P、Q

③pq，相当于P=Q，即P、Q有它就行缺它不行同一事物

2.从集合角度理解以上的定义：一、知识点回顾5/6/20244特级教师王新敞----源头学子3.三种条件的理解，可以通过下列电路图来说明AB①DC②E③①A、B仅充分②C、D仅必要③E充要对于电路通一、知识点回顾5/6/20245特级教师王新敞----源头学子①认清条件和结论。②考察pq和qp的真假。4.判别步骤：①在句型：A是B的？条件中，A是条件，B是结论.②在句型：A的？条件是B中，B是条件，A是结论.注意：①可先简化命题.③将命题转化为等价的逆否命题后再判断.②否定一个命题只要举出一个反例即可.5.判别技巧：一、知识点回顾5/6/20246特级教师王新敞----源头学子例1

有A、B、C三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条.A盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”，B盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”，C盒子上的纸条写的是“苹果不在A盒内”.如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里？苹果在AAAB苹果在BBCC苹果在C分析：真真真真真假假假假二、重难点讲解

A苹果在BC5/6/20247特级教师王新敞----源头学子例1

有A、B、C三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条.A盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”，B盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”，C盒子上的纸条写的是“苹果不在A盒内”.如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里？解：若苹果在A盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为真，不合题意；若苹果在B盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为假，C盒子上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在B盒内；若苹果在C盒内，则B、C两盒子上的纸条写的为真，不合题意.综上，苹果在B盒内.二、重难点讲解

5/6/20248特级教师王新敞----源头学子二、重难点讲解

例2

已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s、r、p分别是q的什么条件?srpq解由已知r是q的充要条件、p是q的必要条件.s是q的充要条件、5/6/20249特级教师王新敞----源头学子二、重难点讲解

例3

命题p:x=－1或x=2;命题.试判断p是q的什么条件?解:

由q中方程解得x=2,x=－1,而x=－1是增根,应舍去,因此q:x=2,所以q的集合B={2},∴p是q的必要不充分条件.由题设P的集合A={－1，2},显然BA，5/6/202410特级教师王新敞----源头学子二、重难点讲解

若¬q是¬p的充分而非必要条件,求实数m的取值范围.解:由x2－2x＋1－m2≤0，得q:1－m≤x≤1＋m.所以“¬q”：A＝{x∈R｜x＞1＋m或x＜1－m,m＞0}所以“¬p”：B＝{x∈R｜x＞10或x＜－2}．解得m≥9为所求．另法：¬q是¬p的充分而非必要条件等价于p是q的充分而非必要条件，则[-2，10]就是[1-m，1+m]的真子集.1-m1+m-210由“¬q”是“¬p”的充分而不必要条件知：A

B．从而可得5/6/202411特级教师王新敞----源头学子二、重难点讲解

例5

判断:“b2-4ac=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实根”的什么条件？并证明结论。解：是充要条件.1。充分性：设b2-4ac=0将ax2+bx+c=0(a≠0)配方得：a(x+b/2a)2=(b2-4ac)/4a,(x+b/2a)2=(b2-4ac)/4a2∵b2-4ac=0∴(x+b/2a)2=0∴x1=x2=-b/2a即方程有两个相等的实数根.5/6/202412特级教师王新敞----源头学子二、重难点讲解

例5

判断:“b2-4ac=0”是“方程一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实根”的什么条件？并证明结论。解：是充要条件.2。必要性:设方程有两个相等的实数根x1=x2由根与系数的关系有:x1+x2=-b/a;x1x2=c/a∴“b2-4ac=0”是方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实根的充要条件.∵x1=x2,∴2x1=-b/a,x12=c/a可得（-b/2a）2=c/a即b2=4ac,∴b2-4ac=05/6/202413特级教师王新敞----源头学子例6

求关于x的方程x2+(m－2)x+5－m=0(m∈R)有两个都大于2的实根的充要条件.解:

令f(x)=x2+(m－2)x+5－m,则方程x2+(m－2)x+5－m=0的两根都大于2的一个充要条件是抛物线f(x)=x2+(m－2)x+5－m与X轴有两个交点,(特殊情况两个交点重合)并且两个交点在x=2的右侧.此时抛物线满足的充要条件是:解得－5<m≤－4.O2二、重难点讲解

5/6/202414特级教师王新敞----源头学子1.

已知条件P:x+y≠－2,条件q:x,y不是－1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解:由p:x+y≠－2,q:x,y不是－1,得P:x+y=－2,q:x=－1且y=－1,因为q能推出P,但P不能推出q.∴p是q的充分而不必要条件.选A.三、练习5/6/202415特级教师王新敞----源头学子三、练习2.“p或q为真命题”是“p且q为真命题”的()A.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件B.必要不充分条件本题可采用直接法推导,设甲:“p或q为真命题”可推出p真q真,或p真q假,或p假q真三种可能;设乙:“p且q为真命题”可知只有p,q皆真.所以乙能推出甲,但甲推不出乙.即甲是乙的必要不充分条件.答案:选B.5/6/202416特级教师王新敞----源头学子四、小结①充分而不必要条件的判定方法：若pq，qp，则p是q的充分而不必要条件.＞＞②必要而不充分条件的判定方法：若pq，qp，则p是q的必要而不充