测试系统动态特性

一阶系统的频率响应函数负值表示相角的滞后二阶系统（Second-ordersystem)数学表述静态灵敏度(Transductionconstant)系统固有频率(Angularnaturalfrequency)阻尼比(Dampingratio)归一化后频率响应函数：幅频特性函数相频特性函数二阶系统（Second-ordersystem)如一正弦信号（单一频率）输入到一个一阶系统，一阶系统的运动微分方程为将

代入后可求解出微分方程

测试系统对正弦激励信号的响应若将此信号输入到一个二阶系统，此二阶系统微分方程若为

将

代入求解得式中

衰减项一阶和二阶系统的

时域响应均是由衰减项与不衰减项组成。衰减项称为瞬态响应分量，它将随时间逐渐衰减到零，反映了系统的固有特性。不衰减项称为稳态响应分量，随时间增长而趋于稳定。测试系统对正弦激励信号的响应重要结论频响函数是一系统对输入与输出皆为正弦信号传递关系的描述。它反映了系统稳态输出与输入之间的关系。传递函数是系统对输入是正弦信号，而输出是正弦叠加瞬态信号传递关系的描述。它反映了系统包括稳态和瞬态输出与输入之间的关系。如只研究稳态过程的信号，则用频响函数来分析系统。如研究稳态和瞬态全过程信号，则用传递函数来分析系统。如果输入信号是单位脉冲信号，即:

经拉氏变换,

h(t)常称为脉冲响应函数.测量系统对瞬态激励的响应

瞬态过程，反映了系统的固有特性。评价系统动态特性的一个重要方法就是分析系统对瞬态输入信号的反应。

系统对单位脉冲函数的响应单位脉冲函数的定义：，

为单位脉冲响应，它反映了系统在时域内的传输特性。系统相对原点有一时移的单位脉冲信号的响应为。既然面积为1的信号所引起的系统响应为，那么位于原点上的面积为的窄条信号输入后所引起的该系统响应应为，偏离原点的位置的窄条面积信号的响应信号应为。系统因此由很多窄条叠加而成的所引起的总的响应应为各窄条分别的响应之和。当Δt→0

，则从时域看测试系统的输出是输入与单位脉冲响应的卷积。可通过拉氏变换描述测试系统对任意输入的响应。

系统对任意输入信号的时频域响应信号通过系统在时域内所得的响应（输出）是输入信号与系统的脉冲响应函数的卷积；在频域内响应信号的频谱函数是输入信号的频谱函数与系统的频响函数的乘积。一阶测试系统的单位脉冲响应

对于一阶测试系统，传递函数,则单位脉冲响应为

二阶测试系统的单位脉冲响应

对于二阶测试系统，传递函数，则不同阻尼度的单位脉冲响应分别为：在欠阻尼0<ξ<1时

在临界阻尼ξ=1时

在过阻尼ξ>1时

一阶测试系统对阶跃输入响应阶跃输入x(t)=1的拉氏变换x(S)=1/S,将它和一阶测试系统的传递函数相乘

对Y(S)求拉氏逆变换可得一阶测试系统的单位阶跃响应:

测试系统的初始上升斜率为1/τ

。当时间t=τ时，y(t)=0.632。当t=4τ时，y(t)=0.982,其输出相对于输入的误差已降到2%以下，因此通常称t=4τ为调整时间。若要求误差不大于5%，则可选用t=3τ。调整时间是指测试系统的输出达到最终示值，在规定误差范围内所需要的时间。

一阶测试系统对阶跃输入响应经过10S后测得的温度为

偏离最终示值的相对误差为

说明调整时间过短，输出值不能不失真地反映输入情况，因此必须增加调整时间或选择更小时间常数的测试系统。

例子:用热电阻温度计测量热源的温度，将该温度计从20℃的室温突然放入85℃的热源时,相当于输入一阶跃信号x(t)，其响应曲线如图所示。已知一阶测试系统热电阻温度计的时间常数τ=6S，求经过10S后测得的温度和最终示值的相对误差？二阶测试系统对阶跃输入响应将单位阶跃输入的拉氏变换和二阶测试系统的传递函数相乘，得：在欠阻尼0<ξ<1时

在临界阻尼ξ=1时

在过阻尼ξ>1时

测试系统频率特性的确定测定频响函数的方法：用标准信号输入，测出其输出信号，从而求得需要的特性。输入的标准信号有正弦信号、脉冲信号和阶跃信号。用频率响应法测定动态特性参数

理论依据：方法：给被测系统输入一定频率的正弦信号，然后测出输出与输入的幅值比和相位差。不断改变输入信号的角频率，就会对应地得到相应的幅值比和相位差，从而求得测试系统在一定频率范围内的幅频特性曲线和相频特性曲线，根据这些曲线就可确定动态特性参数。是最为精确的方法。2.5典型系统的动态响应2.5典型系统的动态响应传递函数法0.707在阻尼度时，幅频特性的共振点稍偏离固有角频率，共振点幅频特性的峰值为

由共振点估计固有角频率和阻尼度的方法称为共振法。

阶跃信号激励阶跃信号激励是用来测量系统频响函数中的决定性参数，如固有频率和阻尼率1.一阶系统2.二阶系统第二章、测试系统特性

一阶系统时间常数测量：阶跃响应0.63一阶测试系统的阶跃响应函数

测得单位阶跃响应后，取若干组ti、yi(t)的值，计算出相应的Zi并依次描点，如果所有各点均匀分布在一条直线上，说明该系统是一阶测试系统，否则就不是一阶测试系统。

二阶测试系统的阶跃响应从测试不失真的角度讲，二阶测试系统均应为欠阻尼系统。典型的欠阻尼二阶测试系统的单位阶跃响应是以角频率

作自由衰减振荡，阻尼比越大，超调量M就越小，振荡波形衰减越快。其周期为

欠阻尼二阶测试系统的单位阶跃响应曲线如图所示。按照求极值方法，可以求出各振荡峰值所对应的时间t=0,π/ωd,2π/ωd,……。t=π/ωd的最大过冲量由此式可得

设过冲量Mi对应的时间为ti，过冲量Mi+n对应的时间为ti+n，而且ti与ti+n之间的间隔为n个整数周期nTd,则ti+n可用ti表示成将它们分别代入式，即可求得过冲量Mi和Mi+n，由此可得

整理后可得

其中若测试系统是典型二阶系统，则严格成立，此时用n=1、2、3……和对应的过冲量Mi、Mi+n分别求出的阻尼度ξ值均应相等。若分别求出的阻尼度ξ值都不相等，则说明该系统不是二阶测试系统。阻尼度ξ值之间的差别越大，说明该系统与二阶测试系统的差别也越大。固有角频率为

计算固有角频率ωn时，先在二阶测试系统的单位阶跃响应曲线上测取周期Td的值，然后根据Td及计算出的阻尼ξ值,即可求出固有角频率ωn的值。

例如:给某加速度传感器突然加载，得到的阶跃响应曲线如图所示。由图中实际测量得：M1=15mm,M3=4mm，在0.01s的标线内有4.1个衰减的波形，求加速度传感器的阻尼比ξ及固有频率。为了计算阻尼度ξ的数值，首先计算中选用了n=2，可得

由阻尼度ξ和周期Td，可得固有角频率为

固有频率为例如给某加速度传感器突然加载，得到的阶跃响应曲线如图所示。由图中实际测量得：M1=15mm,M3=4mm，在0.01s的标线内有4.1个衰减的波形，则阻尼周期为2二阶系统2.5典型系统的动态响应称重(应变片)F加速度第二章、测试系统特性

案例：音响系统性能评定y(t)=x(t)*h(t)Y(f)=X(f)H(f)

改进：脉冲输入/白噪声输入，测量输出，再求输出频谱。实验：悬臂梁固有频率测量2.3测试系统的动态响应特性2.3测试系统的动态响应特性案例:桥梁固频测量原理：在桥中设置一三角形障碍物，利用汽车对障碍物的冲击对桥梁进行激励，再通过应变片测量桥梁动态变形，得到桥梁固有频率。2.3测试系统的动态响应特性阶跃响应函数测量

实验求阶跃响应函数简单明了，产生一个阶跃信号，再测量系统输出就可以了。原理：在桥中悬挂重物，然后突然剪断绳索，产生阶跃激励，再通过应变片测量桥梁动态变形，得到桥梁固有频率。案例：桥梁固有频率测量

设测试系统的输出y(t)与输入x(t)满足关系

y(t)=A0x(t-t0)2.5系统不失真测量条件第二章、测试系统特性

该系统的输出波形与输入信号的波形精确地一致，只是幅值放大了A0倍，在时间上延迟了t0而已。这种情况下，认为测试系统具有不失真的特性。tAx(t)y(t)=A0x(t-t0)时域条件y(t)=A0x(t-t0)

Y(ω)=A0e-jωt0X(ω)2.4系统不失真测量的条件

不失真测试系统条件的幅频特性和相频特性应分别满足

A(ω)=A0=常数φ(ω)=-t0ω做傅立叶变换

频域条件信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度大小和时间先后的不同，而没有波形的变化。

实际测量工作中，测量系统和被测对象会产生相互作用。测量装置构成被测对象的负载。彼此间存在能量交换和相互影响，以致系统的传递函数不再是各组成环节传递函数的叠加或连乘。

2.6负载效应

第二章、测试系统特性

ER1R2VRmV=ER2/(R2+R1)V=ER2Rm/[R1(Rm+R2)+RmR2]令R1=100K,R2=150K,Rm=150K,E=150V。得:V实=90V,

V测=64.3V，误差达28.6%2.6负载效应

1．用一阶测量环节测量时引起的负载效应图为两个低通滤波器串联前后的电路系统。输出电压与输入电压之间关系分别为上述两式求拉氏变换可得传递函数分别为2.6负载效应

若将这两个环节直接串联，则连接点右侧阻抗为

故两个环节串联后的传递函数为

理想情况下两个环节串联后的传递函数为

为了使测量结果准确地反映被测环节的动态特性，而排除测量环节的负载影响，应使H(S)≈H1(S)。因此在选择测试系统时，应选用τ2《τ1，即