测试技术教案4

第三节瞬变非周期信号与连续频谱

第三节瞬变非周期信号与连续频谱

第三节瞬变非周期信号与连续频谱

主要内容：1.非周期信号频谱处理方法2.傅立叶变换与逆变换二.傅立叶变换的主要性质三.典型信号的频谱一.傅立叶变换与连续频谱

第三节瞬变非周期信号与连续频谱时域描述频域描述傅立叶级数展开傅立叶级数展开傅立叶变换周期信号频谱分析，采用傅立叶级数分析。对于非周期信号，用什么方法进行频谱分析呢？

方法：将非周期信号看成是周期无限长的周期信号，结果所有都可以看作周期信号来处理。一.傅立叶变换与连续频谱1.非周期信号频谱处理方法

第三节瞬变非周期信号与连续频谱例：周期性方波信号的频谱，当T——4——8——16——∞变化时增大周期T

第三节瞬变非周期信号与连续频谱频谱线的包络线不变

第三节瞬变非周期信号与连续频谱将非周期信号看成是周期无限长的周期信号周期为的信号就成为非周期信号离散频谱连续频谱

第三节瞬变非周期信号与连续频谱2.傅立叶变换与逆变换设x（t）为(-T/2,T/2)区间上的一个周期函数。它可表达为傅里叶级数的形式：

式中

当T→∞时，区间(-T/2,T/2)变成(-∞,∞)，另外，频率间隔Δω=ω0=2π/T变为无穷小量，离散频率nω0变成连续频率ω，求和就转变成积分。将代入式得

第三节瞬变非周期信号与连续频谱傅立叶积分（1－4）将式中括号中的积分记为：

它是变量ω的函数。（1－5）傅立叶变换傅立叶逆变换则式（1－4）可写为：(1－6)FTIFT

第三节瞬变非周期信号与连续频谱若将上述变换公式中的角频率ω用频率f来替代，则由于ω=2πf，式（1－5）和（1－6）分别变为：（1－7）（1－8）由于X(f)一般为实变量f的复函数，故可将其写为：

将上式中的(或，当变量为ω时）称非周期信号x(t)的幅值谱，φ(f)（或φ(ω)）称x(t)的相位谱。注意：区别非周期信号的幅值谱与周期信号的幅值谱

第三节瞬变非周期信号与连续频谱例：求图示单边指数函数的频谱解：由式（1－7）有于是单边指数函数e-atu(t)(a>0)

第三节瞬变非周期信号与连续频谱单边指数函数e-atu(t)(a>0)的频谱连续幅值谱连续相位谱

第三节瞬变非周期信号与连续频谱例：求图示矩形窗函数的频谱解：矩形脉冲函数sinc

函数？

第三节瞬变非周期信号与连续频谱其幅频谱和相频谱分别为：矩形窗函数的频谱W(f)

第三节瞬变非周期信号与连续频谱二.傅立叶变换的主要性质线性奇偶性对称性（亦称对偶性）尺度变换性翻转时移性频移性（亦称调制性）卷积时域微分和积分频域微分和积分

第三节瞬变非周期信号与连续频谱1.线性如果有例：求下图波形的频谱则用线性叠加定理简化

第三节瞬变非周期信号与连续频谱+X1(f)X2(f)所求信号频谱X1(f)+X2(f)

第三节瞬变非周期信号与连续频谱2.奇偶性x(t)为时间t的实函数X(f)实部为偶函数，虚部为奇函数x(t)为偶函数（x(t)=x(-t)）x(t)为奇函数（x(t)=-x(-t)）x(t)为时间t的虚函数X(f)实部为奇函数，虚部为偶函数x(t)为偶函数（x(t)=x(-t)）x(t)为奇函数（x(t)=-x(-t)）X(f)为f的实、偶函数X(f)为f的虚、奇函数X(f)为f的虚、偶函数X(f)为f的实、奇函数

第三节瞬变非周期信号与连续频谱3.对称性若则或若则证明：以-t替换t得t与f互换得所以

第三节瞬变非周期信号与连续频谱例：FTIFTFTIFT时间波形与其频谱的对称性

第三节瞬变非周期信号与连续频谱4.尺度变换性若则证明：若信号x（t）在时间轴上被压缩至原信号的1/k，则其频谱函数在频率轴上将展宽k倍，而其幅值相应地减至原信号幅值的1/k。信号的持续时间与信号占有的频带宽成反比

第三节瞬变非周期信号与连续频谱窗函数的尺度变换例：

第三节瞬变非周期信号与连续频谱5.翻转如果有则证明：设以t替换t’得所以

第三节瞬变非周期信号与连续频谱6.时移性如果有则例：求图所示矩形窗函数的频谱

具有时移t0的矩形窗函数

解：该函数的表达式可写为可视为一个中心位于坐标原点的矩形窗函数时移至t0点位置所形成。则幅频谱和相频谱分别为

第三节瞬变非周期信号与连续频谱具有时移的矩形脉冲函数的幅频和相频谱图形位于坐标原点的矩形脉冲函数的幅频和相频谱图形不变

第三节瞬变非周期信号与连续频谱7.频移性如果有则例：x(t)cost的频谱x(t)cost的频谱FTIFTFTIFT

第三节瞬变非周期信号与连续频谱8.卷积特性卷积的定义时域卷积如果有则频域卷积则如果有

第三节瞬变非周期信号与连续频谱证明：根据卷积积分的定义有其傅里叶变换为由时移性可知代入上式得

第三节瞬变非周期信号与连续频谱例：y(t)2A2T02T0-2T00tY(f)卷积

第三节瞬变非周期信号与连续频谱9.时域微分和积分如果有则n阶微分的傅里叶变换公式：条件是X(0)=0以及证明：时域微分

第三节瞬变非周期信号与连续频谱时域积分设函数g(t)为其傅里叶变换为G(f)则利用时域微分性质得亦即

第三节瞬变非周期信号与连续频谱10.频域微分和积分如果有则进而可扩展为和条件是x(0)=0

第三节瞬变非周期信号与连续频谱习题：已知利用傅立叶变换的性质求的傅立叶变换表达式。解：按翻转－尺度变换－时移的性质求解已知翻转后得尺度变换，时域压缩2倍得时移6/2得

第三节瞬变非周期信号与连续频谱三.典型信号的频谱矩形窗函数的频谱函数的频谱周期函数的频谱密度函数

符号函数的频谱单位阶跃函数的频谱正、余弦函数的频谱密度函数周期单位脉冲序列的频谱密度函数

第三节瞬变非周期信号与连续频谱矩形窗函数的频谱

矩形窗函数

第三节瞬变非周期信号与连续频谱矩形窗函数的频谱W(f)

主瓣旁瓣主瓣宽度＝2/T

第三节瞬变非周期信号与连续频谱函数的频谱

函数的定义：在Δ时间内激发有一矩形脉冲pΔ(t)，面积为1。当Δ→0时，该矩形脉冲pΔ(t)的极限便称为单位脉冲函数或δ函数。从函数值极限角度看从面积的角度看

第三节瞬变非周期信号与连续频谱

函数的采样性质：

第三节瞬变非周期信号与连续频谱

函数与其他函数的卷积：卷积

第三节瞬变非周期信号与连续频谱卷积

第三节瞬变非周期信号与连续频谱

函数的频谱：其逆变换为即FTIFT

第三节瞬变非周期信号与连续频谱图示图示

第三节瞬变非周期信号与连续频谱周期函数的频谱密度函数周期函数不满足绝对可积的条件，如何进行傅立叶变换呢？将周期函数x(t)表示为的傅里叶级数的复指数形式：式中x(t)的傅立叶变换为：一个周期函数的傅里叶变换由无穷多个位于的各谐波频率上的脉冲函数组成。

第三节瞬变非周期信号与连续频谱例1正、余弦函数的频谱密度函数由欧拉公式，正、余弦函数可写成正、余弦函数的傅立叶变换为：

第三节瞬变非周期信号与连续频谱FTIFTFTIFT正弦函数的频谱密度函数余弦函数的频谱密度函数

第三节瞬变非周期信号与连续频谱例2周期单位脉冲序列的频谱密度函数等间隔的周期脉冲序列将x(t)表达为傅里叶级数的形式于是有梳状函数周期单位脉冲序列

第三节瞬变非周期信号与连续频谱作傅立叶变换有也是梳状函数

第三节瞬变非周期信号与连续频谱符号函数的频谱符号函数不满足绝对可积的条件，无法直接应用傅立叶变换进行计算。方法：采用极限的方法，先计算信号，的傅立叶变换，再令。即：

第三节瞬变非周期信号与连续频谱符号函数为实奇函数，则其频谱函数为虚奇函数。幅频谱相频谱

第三节瞬变非周期信号与连续频谱单位阶跃函数的频谱单位阶跃函数也不满足绝对可积的条件，无法直接应用傅立叶变换进行计算。方法：采用极限的方法，先计算信号，的傅立叶变换，再令。即：

第三节瞬变非周期信号与连续频谱因为实部虚部实部为一脉冲函数，其强度为单位阶跃信号的频谱为

第三节瞬变非周期信号与连续频谱幅频谱相频谱

第三节瞬变非周期信号与连续频谱练习:已知信号a(t)的频谱为A(f)。试求函数的傅氏变换