随机变量的数学期望

随机变量的数学期望第四章随机变量的数字特征第一节数学期望第二节期望的性质与随机变量函数的期望第三节方差第四节协方差与相关系数第2页,共24页，2024年2月25日，星期天第一节数学期望随机变量的分布列或概率密度,全面地描述了随机变量的统计规律.但这样的全面描述并不使人感到方便.一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如果要比较两个品种的母鸡的年产蛋量,通常只要比较这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就可以了.平均值大就意味着这个品种的母鸡的产蛋量高.如果不去比较它们的平均值,而只看它们的分布列,虽然全面,却使人难以迅速地作出判断.第3页,共24页，2024年2月25日，星期天所以甲的射击技术较乙的好.0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数乙甲射手名称有甲，乙两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？解甲射击平均击中环数为乙射击平均击中环数为一离散型随机变量的数学期望第4页,共24页，2024年2月25日，星期天4.1.1数学期望的定义

定义4.1.1

设离散随机变量X的分布列为P(X=xk)=pk,k=1,2,...

若级数绝对收敛，则称该级数为X的数学期望，记为注：若则称随机变量X的数学期望不存在.第5页,共24页，2024年2月25日，星期天数学期望简称为期望.数学期望又称为均值.数学期望是一种加权平均.注意点第6页,共24页，2024年2月25日，星期天常见离散型随机变量的期望第7页,共24页，2024年2月25日，星期天例2设随机变量X服从二项分布,即则随机变量X的数学期望E(X)=np.证明第8页,共24页，2024年2月25日，星期天第9页,共24页，2024年2月25日，星期天二连续随机变量的数学期望定义2

设连续随机变量X的密度函数为p(x),若积分绝对收敛，则称该积分为X的数学期望，记为注:若则称连续型随机变量X的数学期望不存在.第10页,共24页，2024年2月25日，星期天常见连续型随机变量的期望例4第11页,共24页，2024年2月25日，星期天例5第12页,共24页，2024年2月25日，星期天例6

设连续型随机变量X~N(μ,σ2),则E(X)=μ.证明第13页,共24页，2024年2月25日，星期天所以E(X)不存在.但柯西分布数学期望不存在第14页,共24页，2024年2月25日，星期天三数学期望的性质

4.设X,Y是两个随机变量,若E(X),E(Y)存在,则对任意的实数a、b,E(aX+bY)存在,且有

E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)

此性质可推广到有限个随机变量的线性组合的情况.第15页,共24页，2024年2月25日，星期天5.设X,Y是互相独立的随机变量,则有

E(XY)=E(X)E(Y)此性质可推广到有限个互相独立的随机变量之积的情况.第16页,共24页，2024年2月25日，星期天第17页,共24页，2024年2月25日，星期天

四一维随机变量函数的数学期望第18页,共24页，2024年2月25日，星期天第19页,共24页，2024年2月25日，星期天例7第20页,共24页，2024年2月25日，星期天例8第21页,共24页，2024年2月25日，星期天五

二维随机变量函数的数学期望定理1

设(X,Y)是二维随机变量，

Z=g(X,Y)，则E(Z)=E[g(X,Y)]=第22页,共24页，2024年2月25日，星期天例14

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为试求XY的数学期望.解第23页,共24页，2