2020-2021学年岳阳市平江一中高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年岳阳市平江一中高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.下列命题中正确的是()

A.若pAq为真命题，则pVq为真命题

已知那么％+-的最小值为

B.xeR,X2

2)>

C.命题'勺&eR,xl+x0+l<0”的否定是eR,x+x+l>0

D.命题“若久2>1,贝卜>1”的否命题为“若/>1,则％<1"

2.已知集合力={刈(久—3)(久+1)<0},B={x|2久+1>0},贝!MciB=()

A.(—3,|)B.(-3,-|)C.(|,3)D.(-|,3)

3.奇函数/解在区间一口]上是增函数，且翼f：=T,当潴您|[TR时，函数

典:喊三萨-氯碱普1对一切逐隹[-U]恒成立，则实数席的取值范围是()

A.T工整篝B.匹出或离壁鬟

C.窗臧唐逆・&D•唐匕一喊虐港兽或检=蚓

4.若y=/(X)在区间[a,加上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是()

A.若f(a)-f(b)<0,不存在实数ce(a,b),使得f(c)=0

B.若/(a)-f(b)<0,存在且只存在一个实数c6(a,b),使得/(c)=0

C.若f(a)-f(b)>0,不存在实数ce(a,b),使得f(c)=0

D.若/(a)-f(b)>0,有可能存在实数cC(a,b),使得/(c)=0

5.将函数"%)=3sin(-x)-2图象上每一点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的点再向右平移与

个单位得到函数g(x)的图象，若g(©在区间[一2,。]上的最大值为1,则。的最小值为()

7r7r

An"兀一冗

A.-B.-C.-D.—

1ZODlo

6.已知函数/(久)={1—2.:若/(x)2ax恒成立，贝必的取值范围是()

A.(-8,0]B.(-8,e]C.[―2,e]D.[—2,0]

7.已知事函数y=f(x)的图象过(4,2)点，则f©)=()

A.V2B.1C.7D.返

242

8.某校组建了甲、乙、丙3支羽毛球球队参加男女混合双打比赛，其中男队员有小王、小张、小李，

女队员有小红、小芳、小丽.若小王和小红不是搭档，小张和小丽不是搭档，小李和小芳不是搭

档，则()

A.小王的搭档一定是小芳B.小芳的搭档不可能是小张

C.小张的搭档不可能是小红D.小李的搭档可能是小丽

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.下面说法正确的有()

A.角;与角一|兀终边相同

B.终边在直线y=-无上的角a的取值集合可表示为｛a[a=k•360°-45°,kEZ｝

C.若角a的终边在直线y=-2x±,贝Us讥a的取值为平

D.67。30'化成弧度是?

o

10.设xe(0,+8),ye(0,+oo),S=x+y,P=xy,以下四个命题中正确的是()

A.若P=L贝US有最小值2B.若S+P=3,贝UP有最大值1

C.若S=2P,贝”有最小值4D.若S+P=3,贝US有最大值2

11.已知正数a,b,则下列不等式中恒成立的是()

A.a+b+^=＞2V2B.(a+6)G+》24

C.等22病D.&＞属

y/aba+b

12.已知函数/(久)=Wf2+2久一3,贝IJ()

A./(X)的值域为[0,+8)

B./(久)的单调递增区间为[一1,+8)

C./(%)的单调递减区间为(-8,—3]

D.f(x)是奇函数

三、单空题(本大题共3小题，共15.0分)

13.设｛a"是等比数列，则"的＜a?＜。3”是“数列｛5｝是递增数列”的条件.

14.已知xeR,则下列等式恒成立的是

A.sin(—%)=sinx

B.sinf——%)=cosx

C.sin(亨—x)—cosx

D.cos(x—n)——cosx

E.tan(x+7i)=tanx

15.函数y=叵的定义域是____.

/\x+2

四、多空题(本大题共1小题，共5.0分)

16.若2a+3b=12(a,6N0),则29o+2的最小值为___；最大值为_____

'k八、'砂+9心+4----------

五、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知函数/'(x)—x2—2acoskn-lnx(kGN*,aeR,且a>0).

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若k=2010,关于x的方程/(久)=2ax有唯一解，求a的值.

18.经过市场调查，某门市部的一种小商品在过去的20天内的日销售量(件)与价格(元)均为时间t(天

)的函数，且日销售量满足函数g(t)=80-2t(件)，而日销售价格满足于函数/(t),且/(t)的图

象为下图所示的两线段

(1)直接写出/(。的解析式;

(E)求出该种商品的日销售额y与时间t(0<t<20)的函数表达式;

(HI)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.

19.设函数/(久)=sin(a)x-y)(a)>0)的最小值正周期为兀

⑴求3;

(2)若+书=今且ae(~K),求tana的值.

ZoZb乙乙

20.某商场就一新款儿童玩具进行促销活动，活动时长是30天，这30天内第犹1<x<30,x6N+)天

的销售单价(单位:元/件)为p(“)=黑皖舞北上，销售量(单位:件)为q(x)=n-

%,1<x<30,xEN+,且第20天的销售额为1800元(销售额=销售单价X销售量).

(1)求n的值，并求出第5天的销售额；

(2)求这30天内单日销售额的最大值.

21.已知函数/(乃为奇函数，且当x>0时，/(*)=/+/

(1)求当x<0时，/'(%)的解析式;

(2)求/(x)解析式.

22.在城4的西南方向上有一个观测站B,在城4的南偏东15。的方向上有一条笔直的公路，一辆汽车

正沿着该公路上向城4驶来.某一刻，在观测站B处观测到汽车与B处相距31km,在10分钟后观

测到汽车与B处相距21km.若汽车速度为120km",求该汽车还需多长时间才能到达城4?

参考答案及解析

1.答案：A

解析：解：对于4：若pAq为真命题，则命题p和命题q都为真命题，贝!IpVq为真命题，故A正确；

对于B：当x>0时，x+§22(当且仅当x=1时，等号成立)，故B错误；

对于C：命题X^+XQ+KO"的否定是、x€R,x2+x+l>0,,故C错误；

对于。：命题“若久2>1,则久>1”的否命题为“若/wi,贝kwi”故。错误.

故选：A.

直接利用真值表中且命题和或命题的关系、基本不等式、命题的否定和否命题的关系的应用判定4

B、C、。的结论.

本题考查的知识要点：真值表，命题的否定和否命题的关系，基本不等式的的应用，主要考查学生

的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.

2.答案：D

-1

解析：解：4={久|一1<x<3},B=(x\x>--］；

=c-|,3).

故选：D.

可以求出集合4B,然后进行交集的运算即可.

考查描述法、区间表示集合的定义，以及一元二次不等式的解法，交集的运算.

3.答案：D

解析：试题分析：奇函数/(久)在［一1,1］上是增函数，M/(-i)=-i,在［-1,1］最大值是1,Mt?—

2czt+1,当t=0时显然成立，当t力0时，贝！|产一2at20成立，又a6［—1,1］,令g(a)=2at-/，

a£［-1,1］,当t>0时，g(a)是减函数，故令仪1)20,解得t22,当t<0时，g(a)是增函数，故

令g(—l)>0,解得t<-2,综上知，t>2或t<-2或t=。.选D.

考点：1.函数的单调性；2.函数的奇偶性；3.函数恒成立问题的应用

4.答案:D

解析:根据函数的零点存在性定理，当f(a),f(b)<0时，必须存在一个实数ce(a,b),使得/(c)=0,

但不唯一，所以4,B选项错，

当若f(a)"(b)>0,有可能存在实数ce(a,6),使得f(c)=0,故选项D正确.

5.答案：D

解析：解：将函数f(x)=3sim-久)-2图象上每一点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的：，

可得y=-3s出3%-2的图象；

再向右平移罟个单位得到函数g(x)=-3sin(3x-y)-2的图象.

当久e［一(,0］,3x—等e［一等,38—争，由于g(x)的最大值为1,即sin(3x—争=—1,

故当8最小值时，38—?=—，9=2

故选：D.

由题意利用函数y=AsinQatx+0)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再正弦函数的图象和性质，

求得。的最小值.

本题主要考查函数y=4s讥(3久+0的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题.

6.答案：C

解析：

本题考查分段函数及运用，考查不等式恒成立问题转化为图象问题，通过图象观察得到结论，属于

中档题.

画出y=/(%)的图象和直线y=ax,分别考虑x>0时，直线与曲线相切，%<0时，直线与曲线相切，

运用导数求出切线的斜率，然后由图象观察即可得到答案.

则由于(e*)'=ex,则有/=I,ek=a,ak—I,求得a=e,

设xWO时，直线与曲线相切于

则由于(——2x)'=2比—2,则有2ni—2=a,am=n,m2—2m=n,解得a=-2.

通过图象观察得到，若恒成立，贝Ua的取值范围为：[-2,e].

故选C.

7.答案：D

a

解析：解：由题意可设f(x)=x,又函数图象过定点(4,2),二4a=2,二a=1,从而可知,⑺=xl，

•••fG)=(芋=T-

故选D

本题考查的是累函数的图象与性质以及求解析式问题.在解答时可以先设出暴函数的解析式，由于

过定点，从而可解得函数的解析式，故而获得问题的解答.

本题考查的是累函数的图象与性质以及求解析式问题.在解答的过程当中充分体现了塞函数的定义、

性质知识的应用，同时待定系数法求参数的思想在此题中也得到了淋漓尽致的展现.

A、小王的搭档有可能是小丽，不符合题意.

8、小芳的搭档可能是小张，不符合题意.

C、小张的搭档可能是小红，不符合题意.

。、小李的搭档可能是小丽，也可能是小芳，符合题意.

故选：D.

根据题意列出表格，由此直接得到答案.

本题考查了简单的合情推理及阅读能力，属基础题.

9.答案：AD

解析：解：对于4与角g终边相同的角可写为a=g+2/OT,(kCZ),

当k=时，可得角g与角—|兀终边相同，故正确；

对于8,直线y=-比过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线,

故在0。〜360。范围内终边在直线y=-％上的角有两个：135°,315°.

因此，终边在直线y=-％上的角的集合

S={a\a=135°+k•360。,々eZ}U{a\a=315°+k-360%fcGZ]

={a\a=135°+2k•180。#EZ}U{a\a=135°+(2/c+1)-180。★GZ)

={a\a=135°+k-180%fceZ}.

故错误；

—2.CL—2(1

对于C,在角a的终边在直线y=-2%上取一点(a,-2a),a。0,则s)a=强+(_2研=两面，当。>。

时，sina=——；当a<0时，si?ia=壁，故错误；

55

对于。，由180。=加弧度，可得1。=高弧度，则67。30'=¥X会=整弧度，故正确.

-LouZlo(Jo

故选：AD.

对于4,写出与角g终边相同的角的集合，然后取k=-l可得答案；

对于8,由终边相同的角的定义，先写出终边落在射线y=-x(x>0)的角的集合，再写出终边落在

射线y=-x(%<0)的角的集合，最后求两个集合的并集即可写出终边在直线y=-久上的角的集合S；

对于C,由题意利用任意角的三角函数的定义，求得结果；

对于D,由180。=兀弧度即可求解.

本题考查终边相同的角的求法，考查角所在象限的判断等基础知识，考查角度制与弧度制的互化，

考查运算求解能力，是基础题.

10.答案：AB

解析：解：对于4,若=1,有S=x+y>2yjxy=2,当且仅当xy=1时取等号，故选项A正确；

对于B,若％+y+xy=3,则有3=x+y+xy>2^/xy+xy,解得0<xy<1,当且仅当x=y=1

时取等号，故选项8正确；

对于C,若x+y=2xy,有x+y=2孙W(售产,可得久+丫22,当且仅当x=y=1时取等号，故

选项C错误；

对于。，若x+y+xy=3,有3=久+y+xyW久+y+*也解得x+y?2,当且仅当x=y=1

时取等号，故选项。错误.

故选:AB.

利用基本不等式对四个选项进行逐一的分析判断，即可得到答案.

本题考查了基本不等式的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相

等，属于中档题.

11.答案：ABC

解析：

本题考查基本不等式的性质，属于中档题.

根据基本不等式分别判断即可.

解：对于4,Ta>0,b>0,

二a+6+N2、ab+—2V2)

当且仅当a=6=返时取等号，故A正确；

2

对于B,(a+6)C+}=2+：+£22+2^|^|=4，

当且仅当a=b时取等号，故3正确；

对于C,a>0,b>0,

222ab,即->2y[ab,

a+b>)7二ab

当且仅当。=b时取等号，故C正确；

对于。，a>0,Z)>0,

a+6>2y[aby即<Vab,

a+b

当且仅当a=6时取等号，故D错误.

故选：ABC.

12.答案：AC

解析：解：f(x)=+l)2-2>0,即函数的值域为[0,+8),

由/+2x—3>0得(x—l)(x+3)>0,得％>1或久<—3,

由复合函数的单调性的关系知当x21时，/(%)为增函数，当xW-3时/(x)为减函数，故B错误，故

C正确，

函数/(%)关于％=—1对称，则/。)不是奇函数，故。错误，

故选：AC.

根据复合函数的性质分别进行判断即可.

本题主要考查函数值域，单调性以及奇偶性的判断，利用复合函数单调性之间的关系是解决本题的

关键，是中档题.

13.答案：充要

解析：解：,.・｛M｝是等比数列，.•.若“药<a2<a3",

则”数列｛即｝是递增数列”，充分性成立，

n

若“数列｛5｝是递增数列"，则“1<a2<a3成立,即必要性成立,

故"的<a?<。3”是“数列｛即｝是递增数列”的充要条件，

故答案为：充要

根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的定义是解决本题的关键.

14.答案：DE

解析：解：由于sin（-x）=-sinx,故A不成立；

由于sin（w—%）=—cosx,故5不成AL；

由于C0S（7T—X）=—COSX,故C不成立；

由于COS（%—7T）=C0S（7T—%）=—COSX,故。成立；

由于tan（%+7T）=tanx,故E成立，

故答案为：DE.

由题意利用诱导公式，得出结论.

本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题.

15.答案：（―8,-2）u[l,+8）

解析：解：由岩之0且X+2H0解得：X<—2或久之1

故答案为：（-oo,-2）U[1,+oo）.

偶次开方一定要非负，即并且分母不能为0,即x+2大0,进而求出x的取值范围.

x+2

定义域是高考必考题通常以选择填空的形式出现，通常注意偶次开方时被开方数一定非负，分式中

分母不能为0,对数函数的真数一定要大于0,指数和对数的底数大于0且不等于1.另外还要注意正切

函数的定义域.

16.答案：1

V2+1

2

解析：解：若2a+3%=12(a-bN0),则aN0,b>0,有基本不等式12=2a+3b22V2a-36,

(当且仅当a=3,6=2时"=”成立)，得0WabW6,

又由(2a+36)2=I22,得4a2+%2=144-12ab,

令y=/+岛，

用||_9(&2+4)+4(a2+9)_4a2+9b2+72_12(18-a&)

人—(a2+9)(&2+4)-4a2+9匕2+。2b2+36-(18-a&)2-24(18-aD)+288，

令t=18—ab,贝lj,12<18-ab<18,

y=J匕？(12WCW18),则y，=/筌赢，令y，=0,得t=12/或t=—12&(舍去)，

••・当te[12,12&)时，y'>0,当te(12或,18],y'<0

・•・函数y=f2：288'在区间当[12,12鱼)上单调递增，在区间当(12段,18]上单调递减，

・・・当t=12a时，y有最大值，最大值是：然，

又因为，当1=12时，y=1,当t=18时，y=|,1•11<|>

所以，y的最小值为：1

故答案为：1；四.

2

把己知2a+3b=12(联620)两边平方，把七+共通分化成关于ab为自变量的函数，利用函数

的单调性即可求出最值.

本题考查了基本不等式、函数的导数与单调性的基本知识.属于难题.

17.答案：解：(1)由己知得%>0且r(x)=2x—(―

当k是奇数时，f'(x)>0,则/(久)在(0,+8)上是增函数；

当k是偶数时，则/(无)=2x-^=2(工+丹"®.

所以当x6(0,6)时，f'(x)<0,

当xe“H,+8)时，尸(久)>0.

故当k是偶数时，/(%)在(0,正)上是减函数，

在(份,+8)上是增函数.

(2)若k=2010,则f(%)=x2-2alnx(kEN*).

t己g(%)=/(%)-2ax=x2—2alnx—2ax,

“(%)=2x——2a=|(%2—ax—a),

若方程f(%)=2a%有唯一解，即g(%)=0有唯一解；

令。'(%)=。，得%?—ax—a—0.因为a>0,%>0,

所以与=匕耳亘<0(舍去)，

a+Va2+4a

X=------------

z?2

当久G(0,%2)时，g'(x)<0,g(%)在(0,%2)是单调递减函数；

当％E(%2，+8)时，“(%)>0,g(%)在(%2，+8)上是单调递增函数.

当%=%2时，g'(%2)=0，gMmin=g(%2)・

因为gQ)=0有唯一解，所以g(%2)=。・

而但(%2)=0(x2-2alnx-2ax=0

则匕3)=。即Hni7-吟2-。=20

两式相减得2a仇%2+ax2—a=0，

因为a>0,所以2仇%2+汽2—1=。(*)・

设函数Zi(%)=2lnx+x—1,

因为当％>0时，/i(%)是增函数，所以以%)=0至多有一解.

因为h(l)=0,所以方程(*)的解为%2=1，

从而解得a=|.

解析：本题考查的是函数与方程的综合类问题.在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、

分类讨论的思想以及求导的知识，属于难题.

(1)要先对函数求导，然后分k为奇偶数讨论导函数大于和小于零时的自变量范围，由此即可获得解

答;

(2)利用k=2010先将方程化简，从而得到函数g(x)=/(%)-2ax=x2-2alnx-2ax有唯一的零点,

。(乂2)=。

进而将问题转化为函数的零点问题，然后利用导数知识分析单调性，从而结合求解即可.

3'。2)=0

15+jt,0<t<10

18.答案:解：(1)/(。=

25——t,10<t<20

1

(15+))(80-2t)(0<t<10)

(2)y=-

(25-1t)(80-2t)(10<t<20)

(—/+10t+1200(0<t<10)

y~[t2-90t+2000(10<t<20)

(3)当lWt<10时，可得t=l.时，ymin=1209；t=5时，ymax=1225,

当10<t<20时，可得t=10时，ymax=1200；t=20时，ymin=600,

因此，该商品在第5天可取得日销售额y的最大值1225元；

第20天，日销售额y取得最小值600元.

解析：(1)根据图象得出f(t)的解析式即可；

(2)日销售额=销售量x价格，根据条件写成分段函数即可；

(3)分别求出函数在各段的最大值、最小值，取其中最小者为最小值，最大者为最大值.

19.答案：解：⑴•."(>)=sin@久一?)(3>0)的最小值正周期为兀，即：-=7i,

4Ci)

•••3=2,

(2)由(1)可得:/(%)=sin(2x-y),

tz,3TT、..3TT、3TTT.24

/r(ZI+石)=sm[2q+-)--]=sina=

•，ae(—/),

•••cosa=V1—sin2a=—.

25

sina24

**•tCUTOL=-----=—.

cosa7

解析：(1)由已知利用三角函数周期公式即可计算得解.

(2)由(1)可得：/(%)=sin(2%-誓)，由已知可求sina,利用同角三角函数基本关系式可求COSQ,进

而可求tcma=史”的值.

cosa

本题主要考查了三角函数周期公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了计算能力和转化思想，

属于基础题.

20.答案:解:⑴设单日销售额为y元，则…(力q(")=｛霏制第k箕职贵

整理有_厂2%2+(2n-50)x+50n,1<x<10,xEN+

2

寸"1%—(n+80)%+80n,10<%<30,xE.N+'

当第=20时，y=400-20(n+80)+80n=1800,解得荏=50,

2

,,_(—2x+5Ox+2500,1<x<10,xEN+

y2

~lx-130x+4000,10<x<30,%GN+)

当久=5时，y=2700,

即第5天的销售额为2700元；

(2)由(1)知,当1WXW10,久GN+时，y=-2，+50%+2500单调递增,

则单日销售额的最大值为一2x102+50x10+2500=2800,

当10〈久W30,%eN+时，y=/—130%+4000单调递减，

则单日销售额的最大值为1/-130X11+4000=2691元，

综上所述，这30天内单日销售额的最大值为2800元.

解析：(1)先求出单日销售额的解析式，然后令x=20即可求出门的值，代入解析式即可求出第5天的

销售额；

(2)由(1),分段求出函数的最大值，比较即可求解.

本题考查了根据实际问题建立数学模型，考查了分段函数的最值问题，属于中档题.

21.答案：解：(1)当x<0时，-x>0,

1.,x>0时，/(%)=%2+1,