2020-2021学年上海市奉贤区高二（下）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年上海市奉贤区高二（下）期末数学试卷

一.填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1.在平面直角坐标系xOy中，角0的顶点与坐标原点O重合，以Ox的正半轴为角0的始

边，终边经过点（-3,4）,则cosO=.

2.如果1-2i是关于x的实系数方程/+?田+4=0的一个根，其中i是虚数单位，则pq

3.若P：=110,则〃=.

4.函数y=cos2jc-sin2x的最小正周期是.

5.已知地球的半径为6371千米，上海的位置约为东经121。27',北纬31。台北的位置

约为东经121°27',北纬25°5，，则两个城市之间的距离约为千米.（结果精

确到1千米）

6.（l+a）12的二项展开式中的倒数第5项是.

7.用半径为2米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器，则这个容器的容积是

立方米.

8.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率

是.

9.在一次义诊送上门大型活动中，需要从某医院某科室的6名男医生（含一名主任医师）

和4名女医生（含一名主任医师）一共10人中分别选派3名男医生和2名女医生，要求

至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有种.（用数字作答）

2

10.设圆/+尸_2x-4），+4=0与双曲线的渐近线相切，则实数b

11.二次函数>=加（a>0）图象上的4、B两点均在第一象限.设点尸（0,—）,当依尸|

4a

=4,|8F|=2,|AB|=3时，直线48的斜率为.

12.在《九章算术》中定义“底面为直角三角形而有一侧棱垂直于底面的三棱锥为鳖席”.如

图，在鳖脯ABC。中，侧棱AB_L底面8CQ,AB=\,BC=2,CD=I,则异面直线AC

c

二.选择题（13-16每题5分，共20分）

13.在复平面内，复数z=sin2+icos2（i是虚数单位）对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

14.已知空间中不过同一点的三条直线，相n,I,则''〃?，n,1在同一平面”是am,n,1

两两相交”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

15.下列参数方程（f是参数）与普通方程尸=》表示同一曲线的方程是（）

x=t

A.<9

y=t

f.2

x=sint

D.<

y=sint

（x=t

ubVlTT

（_l-cos2t

D.（*l+cos2t

ly=tant

16.直线二工=1（MWO）与椭圆岂，+4=1相交于两点A/、N,点尸使得△「〃村的面

aba2b2

积为返工|，出，则这样的点P在椭圆上的个数有()

2

A.0个B.2个C.3个D.4个

三、解答题(14+14+14+16+18)

17.设z=x+yi(x,yeR),i为虚数单位，复数z在复平面对应的点为Z(x,y),已知邛

z-i

为实数.

(1)求Z(x,y)的轨迹方程；

(2)求|z-1|的取值范围.

18.我国发射的第一颗人造地球卫星，它的运行轨道是以地球的中心尸2为一个焦点的椭圆，

椭圆长轴的两个端点A、B分别为近地点和远地点，如图所示.卫星在近地点A与地球

表面的距离为439千米，在远地点2与地球表面的距离为2384千米，地球中心与A、B

在同一直线上.已知地球的半径R为6371千米，建立适当的平面直角坐标系，求卫星轨

19.已知函数/(x)=Asin(3x+(p)(3>0,0<q)<—)的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若/(3)=2,a=2,求△ABC

周长的取值范围.

20.(16分)如图，正方体ABC。-481GA,的棱长为2,点E为8囱的中点.

（1）求直线44i与平面。NE所成角的大小：

（2）作出过A,A,E三点的平面截正方体所得的截面a,并求截面a与侧面AOU4

所成的锐二面角的大小；

（3）点F为CG的中点，动点P在底面正方形ABCD（包括边界）内，若FP〃平面D^E,

求线段GP长度的取值范围.

22

21.（18分）已知椭圆々-^^=1，过动点M（0,机）（/n>0）的直线1交x轴于点N,

4b2

交椭圆于点4,P（点P在第一象限）,且例是线段PN的中点，过点尸作x轴的垂线交

椭圆于另一点Q，延长QM交椭圆于点B.点T（«,空）在椭圆上.

（1）求椭圆的焦距；

（2）设直线PM的斜率为比直线的斜率为火，证明：--为定值；

k

（3）求直线AB倾斜角的最小值.

参考答案

一.填空题(1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)

1.在平面直角坐标系xOy中，角。的顶点与坐标原点。重合，以Ox的正半轴为角0的始

边，终边经过点(-3,4),则cos8=-g.

解：由题意，角。的顶点与坐标原点O重合，以3的正半轴为角。的始边，终边经过

点(-3,4),

所以x=-3,y=4,r=5,

故答案为：-

5

2.如果1-2/是关于x的实系数方程/+内+4=0的一个根，其中i是虚数单位，则pci=-

10.

解：1-2/是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根,

则1+万也是方程的根，

mJ-p=(l-2i)+(l+2i)(

|q=(l-2i)(l+2i)

解得p=-2,4=5,

所以pq=~10.

故答案为：-10.

3.若P：=110,则〃=11.

解：=110,则〃=11,

故答案为：II.

4.函数y=cos2x-sin2x的最小正周期是it.

解：Vy=cos2x-sin2x=cos2x,

・・・故答案为：n.

5.已知地球的半径为6371千米，上海的位置约为东经121。27,北纬31。8\台北的位置

约为东经121°27',北纬25°51,则两个城市之间的距离约为672千米.（结果精

确到1千米）

解：因为上海和台北在同一经线上，

所以它们在地球的同一个大圆上，

则这个大圆上，设地球的球心为0,上海、台北分别为点A,B,

由上海、台北的经纬度可知，NA0B=6°3',

地球的半径为r=6371,

6°3,

故AB的弧长为s=2X6371XKX~672千米,

360°

所以上海和台北两个城市之间的距离约为672千米.

故答案为：672.

6.（1+“）―的二项展开式中的倒数第5项是495a8.

【分析】由题意可得，本题即求展开式的第9项，再利用二项展开式的通项公式，得出

结论.

8

解：（1+“）12的二项展开式中的倒数第5项，即展开式的第9项，为4=C12*a8=495as,

故答案为：495*.

7.用半径为2米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器，则这个容器的容积是返兀立

一3一

方米.

【分析】由题意，圆锥的母线长为/=2,由圆锥的底面周长等于半圆弧长列式求圆锥底

面半径，根据勾股定理计算圆锥的高，代入体积公式计算.

解：由题意，圆锥的母线长为/=2,

设圆锥的底面半径为r,则2m=2m即r=l,

圆锥的高仁;a，

二圆锥的体积v=^-«立.仁和.«=噂.兀.

333

故答案为：返兀.

3

8.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是《.

一2一

【分析】首先用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列找出分子，再全部排列找到

分母，再利用古典概型求概率.

解：用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有AWA?=12种排法，

再所有的4个人全排列有A：=24种排法，

利用古典概型求概率0=暑=1，

故答案为：

9.在一次义诊送上门大型活动中，需要从某医院某科室的6名男医生（含一名主任医师）

和4名女医生（含一名主任医师）一共10人中分别选派3名男医生和2名女医生，要求

至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有90种.（用数字作答）

【分析】根据题意，按照男女主任医师是否被选中分3种情况讨论，由加法原理计算可

得答案.

解：根据题意，分3种情况讨论：

①只有男主任医师被选出，有C52c32=30种选法；

②只有女主任医师被选出，有C53c3i=30种选法；

③男女主任医师都被选出，有C51c31=30种选法；

则有30+30+30=90种选派方法：

故答案为：90.

10.设圆/+y2-陵-4），+4=0与双曲线*2-二=1的渐近线相切，则实数3=_±W_.

b2—L

【分析】先由圆的方程得圆心，半径，由双曲线的方程，得渐近线的方程，则圆心（1,

|±b+2|

2）到渐近线y=-bx的距离d=&+b2=，=1，记得b,即可得出答案.

解：圆/+）?-2x-4）计4=0化为标准方程得（尤-1）2+（y-2）2=1,

圆心为（1,2）,半径r=l,

2

双曲线J=1的渐近线为y=±bx,

b2

|±b+2|

所以圆心（1,2）到渐近线y=-bx的距离d=&b2='=1'

解得6=±g,

4

故答案为：土

4

11.二次函数），=底（。＞0）图象上的A、8两点均在第一象限.设点产（0,上），当|AF|

4a

=4,|BF1=2,|AB|=3时，直线AB的斜率为_2返

5

【分析】将二次函数^=加转化为焦点在），轴正半轴的抛物线，结合抛物线的定义，以

及两点之间的距离公式，即可求解.

解：•.•二次函数为丫=以2,

x21y,即该方程可看作，焦点在y轴正半轴的抛物线，即焦点F（0,1-），

a4a

设4（XA,明）,B（加，如），

V|AF|=4,\BF]=2f

由抛物线的定义，可得丫4小=4，yB-^-=2«

两式相减，可得划-班=2,

V|AB|=3,

22

（xA-xB）+（yA-yB）=9，

又「4、3两点均在第一象限，且YR二ax/,yp=axB^，如＞以，

/.XA-xn＞09

・•・XA-XB=A/5,

...直线AB的斜率为上红=/=挛.

XA-XBV55

故答案为：空5.

5

12.在《九章算术》中定义“底面为直角三角形而有一侧棱垂直于底面的三棱锥为鳖席”.如

图，在鳖脯ABC。中，侧棱底面BCD,48=1,BC=2,CD=1,则异面直线AC

与B£)所成角的大小为arccos^或arccos义运.

【分析】分别取45,AD,BC,8。的中点E,F,G,0,连接EF,EG,OG,FO,FG,

由EF//BD,EG//AC,可得NFEC为异面直线4c与3。所成的角，由已知中的定义，分

ZBCD=90°和NBOC=90°两种情况讨论，利用余弦定理求解即可.

解：如图，分别取A8,AD,BC,8。的中点E,F,G,O,连接EREG,OG,FO,

FG,

贝IJEF//8D,EG//AC,

所以NFEC为异面直线AC与B。所成的角，

易知FO/1AB,且平面8CD,所以尸0L0G,

因为AB=1,BC=2,ABLBC,

所以AC=JE，所以EG=?C=喙，

当/BC£>=90°时，由C£>=1,BC=2,

可得BD=JW，所以跖喙.

又因为ObOG=—CD=—,

2222

所以FG=JOF20G2=苧，

所以cos/尸和=."2+%2二也

2EF-EG5

即异面直线AC与BD所成的角为arccos-^;

5

当NBDC=90°时，由0)=1,BC=2,

可得BD=«,EF=£BD=邛~.

因为。尸=」AB=工，OG-—CD=—y

2222

所以尸G=G环南=第，

所以cos"EG=1EiQ*i=逆，

2EF-EG5

即异面直线AC与BD所成的角为arccos^S.

5

综上可得，异面直线AC与BD所成的角为arccos"1■或arccos'五.

C

二.选择题（13-16每题5分，共20分）

13.在复平面内，复数z=sin2+icos2（i是虚数单位）对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】由2在第二象限可解决此题.

解：：2在第二象限，/.sin2>0,cos2<0,

.•.复数2=7（12+心《2（i是虚数单位）对应的点位于第四象限.

故选：D.

14.已知空间中不过同一点的三条直线〃，I,则“〃?，〃，1在同一平面”是“〃?，n,1

两两相交”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】根据空间直线和平面的位置关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即

可.

解：①若根，小/在同一平面内，则〃?，n,/可能平行，可能相交，即“2,〃，/两两相

交不一定正确，即充分性不成立，

②若小，n,/两两相交，且不过同一点，则相，n,/一定在同一平面内，即必要性成立,

-'-m,n,/在同一平面内是加，n,/两两相交的必要不充分条件，

故选：B.

15.下列参数方程（/是参数）与普通方程丁=》表示同一曲线的方程是（）

x=t

A.

y=t"9

f.2

D.4x=sint

y=sint

（x=t

C-lyVFT

（_l-cos2t

D.（*l+cos2t

ly=tant

【分析】由代入法、正弦函数的值域和三角函数的二倍角公式，将参数方程化为普通方

程，可得结论.

/

x=t

解：对于A,由《9,可得y=/；

'.2.

由＜x=sin,可得尸=不（0&W1）；

y=sint

t

由[xr—,可得丁=|%|;

（y=Vltl

l-cos2t.2

xl+cos2t,可得x=-SI丁2t=1@口2/=3,g[]y2=x.

{y=tant2cost

故选：D.

22

16.直线与工=1（必¥0）与椭圆与■+'=1相交于两点"、M点尸使得△PMN的面

aba2b2

积为返21必I，则这样的点P在椭圆上的个数有（）

2

A.0个B.2个C.3个D.4个

【分析】设点P的坐标为（6fcos0,加in。）,0G[O,2n）,结合题意可得

TT

|祀sin（8^-）-11=V2-1,方程有几个解就有几个P点.

解：因为点尸在椭圆上，设点尸的坐标为(acosS,bsinQ),其中。£[0,2n),

不妨设M(a,0),N(0,b),因为△FMN的面积为咛1Jab|，

|MN|=7a2+b2＞设P点到直线MN的距离为“，贝I]

5功冲得」耐力小卷坐-①

,,Yv~一|abcos0+absin9-abI

直线三♦=l=bx+ay-ab二C,所以h="②,

abva+b

TT

①②联立得|V2sin(0'R~“A1I=V2-1,

兀n

即如sin(9-H^')-1=A/2_1,或后sin(0-1=1-亚，

故选：C.

三、解答题(14+14+14+16+18)

17.设z=x+yi(x,yGR),/•为虚数单位，复数z在复平面对应的点为Z(x,y),已知岑

z-i

为实数.

(1)求z(x,y)的轨迹方程；

(2)求|z-1|的取值范围.

【分析】(1)由2=X+巾，根据邛为实数得到关于x,y的方程，即可得到Z(x,y)

的轨迹方程；

(2)求出|z-l|,利用二次函数的性质求出范围即可.

解：(1)因为z=x+yi(x,yGR),复数z在复平面对应的点为Z(x,y),

..z+2_x+2+yi_x(x+2)+y(y-l)+[xy-(x+2)(y-1)]i

所以k声x2+(y-l)2

因为岑为实数，所以孙-(x+2)(y-1)=0,

Z-1

所以Z(x,y)的轨迹方程为x-2y+2=o,点(0,1)除外.

(2)I2-,l=7(x-l)2+y2=7(2y-2-l)2+y2

=际《产得＞^，

所以|z-1|的取值范围为[华,g).

18.我国发射的第一颗人造地球卫星，它的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆,

椭圆长轴的两个端点A、B分别为近地点和远地点，如图所示.卫星在近地点A与地球

表面的距离为439千米，在远地点8与地球表面的距离为2384千米，地球中心与A、B

在同一直线上.已知地球的半径R为6371千米，建立适当的平面直角坐标系，求卫星轨

道的方程.

【分析】以卫星轨道的中心为原点O,线段AB所在直线为x轴示方向为x轴的正方向,

建立平面直角坐标系,设椭圆的方程为则

=1,F2(c,0)a-c=AFi,a+c=

BF2,解得a,C,b,即可得出答案.

解：以卫星轨道的中心为原点O,线段A3所在直线为x轴,

示方向为X轴的正方向，建立平面直角坐标系，

22

设椭圆的方程为二天yD=I,F2(0,o),

a」L

设A',是直线AB与地球表面的两个交点,

则a-c=AF2=AA'+R=6371+439=6810,

a+c=BF2=AB'+R=6371+2384=8755,

a=7782.5,c=972.5

^=77782.52-972.52=77215，

2222

所以椭圆的标准方程为一-六——-7=1.即Z______+,X_____=1.

7782.527721.5260567306.2559621550

19.已知函数/'(x)=Asin(cax+<p)(w>0,0<(p<-y)的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式;

A

(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若f号)=2,a=2,求AABC

周长的取值范围.

【分析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换和函数的图象求出函数的解析式;

(2)利用函数的关系式求出A的值，进一步利用正弦定理和三角函数的关系式和正弦型

函数的性质的应用求出周长的范围.

解：(1)根据函数的图象，函数的周期T=2Xd*一^)=兀,

故3=2.

由于点(瑞，0)满足函数的图象,

所以Asin(2X-^---Kp)=0,

由于0＜（pV-

所以叩=勺TT.

6

由于点（0,1）在函数的图象上,

所以A=2.

故函数/(x)=2sin(2r+——).

6

AK

(2)由于/(上)=2sin(A+--)=2,

26

所以A=g".

由正弦定理：*-=a=］，整理得b=*sinB，

sinBsinAv3v3

同理c=^^"sinC=^"sin("^"--B)，由于(0,N；)，

449JTK

所以1ZiABC=a+b+c=2•+^y^sinB-+^j^-sin=2+4sin(B)

由于B€(0,?),

o

_兀广/兀5兀、

所以B=E（T，~T），

所以sin（B+^）E弓,11-

所以：/&IBC€(4,6J.

20.（16分）如图，正方体A8CD-4SG。，的棱长为2,点E为8与的中点.

（1）求直线A4i与平面。1AE所成角的大小；

（2）作出过人，A,E三点的平面截正方体所得的截面a,并求截面a与侧面AOU4

所成的锐二面角的大小；

（3）点F为CG的中点，动点尸在底面正方形ABCQ（包括边界）内，若FP〃平面DtAE,

求线段GP长度的取值范围.

【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定

系数法求出平面DiAE的法向量，由线面角的向量计算公式求解，结合反三角函数即可

得到答案;

（2）利用（1）中的结论，再取侧面ADU4的法向量，然后由二面角的向量计算公式求

解，结合反三角函数即可得到答案:

ro<x<2

(3)设尸(.x,y,0),利用而・2=0,得到x和y的关系，然后由求出x

10<y<2

的范围，利用距离公式表示出CiP,由二次函数的性质求解即可.

解：（1）以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示,

则Oi(2,0,2),E(0,2,1),4(0,0,2),

所以为=(0,0,2),袍=(2,0,2),AE=(0,2,1),

设平面的法向量为n=（x,y,z）,

n*AD,=0(2x+2z=0一

则1,即;1,令k1,则x=2,z=-2,故n=(2,1,-2)，

n*AE=012y+z=0

lAA/nl4_2

所以|cos<_KM，n>I

IAAJ||n|2XJ4+I+43

故直线AAi与平面DiAE所成角的大小为arcsin-1；

0

（2）取侧面AOA4的法向量为1=（0,1,Q）,

由（1）可知，平面OiAE的法向量为二=（2,1,-2），

|n,m|

则|cos<n，m>l-1_1

7><3~3

InIImI

故截面a与侧面ADDtAi所成的锐二面角的大小为arccosj；

(3)因为尸(2,2,1),Ci(2,2,2)，设尸(x,y,0),

则祚=(x-2,y-2,T),

因为分7/平面则而,二=0，

故2x+y=4,

0<x<20<x<2

因为则解得1WXW2,

0<y<2'0<4-2x<2,

所以C]F=d(x-2)2+(y—2产+4=y5x2-⑵+12(1WXW2)，

故JPE

所以线段GP长度的取值范围为

22

21.(18分)已知椭圆々一送胃=1，过动点“(0,/»)(m>0)的直线1交x轴于点N,

4b2

交椭圆于点A,P(点P在第一象限)，且M是线段PN的中点，过点尸作x轴的垂线交

椭圆于另一点Q,延长QM交椭圆于点艮点T(J§,零)在椭圆上.

(1)求椭圆的焦距；

(2)设直线PM的斜率为八直线QM的斜率为,证明：--为定值；

k

(3)求直线A8倾斜角的最小值.

【分析】(1)把7点代入椭圆方程，解出8,即可求焦距2c；

(2)设尸(xo,加)，则直线PM的斜率女生旦1,直线QM的斜率k'二世叫=/里,

x