北京市2021年中考数学真题卷（含答案与解析）

北京市2021年中考试卷

数学

本试卷满分100分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题

卡上，并检查条形码粘贴是否正确.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用25铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写

在本试卷上无效.

一、选择题（共16分，每题2分）第1一8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.如图是某几何体的展开图，该几何体是（）

A.长方体B.圆柱C.圆锥D.三棱柱

2.党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务.2014-2018年，中央财政累计投入“全

面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法

表示应为（）

A.0.1692xl012B.1.692xlO12C.1.692x10"1）.16.92x10'°

3.如图，点O在直线A3上,OCLOD.若ZAOC=120°,则ZBOD的大小为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

4.下列多边形中,内角和最大的是（

5.实数a/在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

--3‘-2""0'12

A.a>—2B.同>hC.a+Z?>0D.b-a<0

6.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（）

1112

A.—B.-C.—D.一

4323

7.已知432=1849,44?=1936,452=2025,46?=2116.若〃为整数且〃<<〃+1，则〃的值为

（）

A.43B.44C.45D.46

8.如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为mi,它的邻边长为阿，矩形的面积为Sn?.当

x在一定范围内变化时，,和S都随x的变化而变化，则y与x,S与x满足的函数关系分别是（）

y

A.一次函数关系，二次函数关系B.反比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，反比例函数关系D.反比例函数关系，一次函数关系

二.填空题（共16分，每题2分）

9.若G7在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

10.分解因式：5x2-5y2=.

21

11.方程——二—的解为_____________.

x+3x

L

12.在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=—（ZwO）的图象经过点A（l,2）和点8（—1,加），则用的

x

值为.

13.如图，PAP3是。。的切线，A5是切点.若NP=50°,则乙4。8=

A

14.如图，在矩形ABC。中，点E,F分别在6C,A。上，AF=EC.只需添加一个条件即可证明四边形

AECR是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）.

甲、乙两组数据方差分别为海2,坛2,则$甲2‘J（填“>”，或“="）.

16.某企业有A5两条加工相同原材料的生产线.在一天内，A生产线共加工4吨原材料，加工时间为

（4a+l）小时；在一天内，8生产线共加工匕吨原材料，加工时间为（抄+3）小时.第一天，该企业将5吨

原材料分配到A5两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线

的吨数与分配到8生产线的吨数的比为.第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配

了5吨原材料后，又给A生产线分配了加吨原材料，给B生产线分配了“吨原材料.若两条生产线都能在

一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则'的值为.

n

三、解答题（共68分，第17—20题，每题5分，第21—22题，每题6分，第23题5分，第

24题6分，第25题5分，第26题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算

步骤或证明过程.

17.计算：25也60。+疝+卜5|—（乃+夜）°.

4x-5>x+1

18.解不等式组：hx-4

<x

2

19.已知/+26一1=（）,求代数式（a—4+。（24+。）的值.

20.《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，

在地面上沿着杆的影子的方向取一点8,使8,A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B

处立一根杆；日落时，在地面上沿着点3处的杆的影子的方向取一点C,使C8两点间的距离为10步，

在点C处立一根杆.取C4的中点£>,那么直线03表示的方向为东西方向.

（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点4氏C的位置如图所示.使用直尺和圆规，在图中作C4

的中点。（保留作图痕迹）；

（2）在如图中，确定了直线。8表示的方向为东西方向.根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直

线C4表示的方向为南北方向，完成如下证明.

证明：在AAZ?。中，BA=，。是C4的中点，

:.CA±DB（）（填推理的依据）.

•••直线表示的方向为东西方向，

直线C4表示方向为南北方向.

21.已知关于x的一元二次方程尤2-4〃a+3〃/=0.

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若m>0,且该方程的两个实数根的差为2,求〃?的值.

22.如图，在四边形ABCO中，NACB=NC4D=90。，点E在上，AE//DC,EF±AB,垂足为F.

（1）求证：四边形AECD是平行四边形;

一4

(2)若AE1平分N84C,BE=5,cos8=《，求5/和AZ)的长.

23.在平面直角坐标系X0y中，一次函数丁=依+伙4¥0)的图象由函数y=gx的图象向下平移1个单位

长度得到.

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)当x>—2时，对于x的每一个值，函数y=g(，〃#())的值大于一次函数了=丘+人的值，直接写出加

的取值范围.

24.如图，OO是AABC的外接圆，AO是O。的直径，4。，5。于点£.

(1)求证：ZBAD=ZCAD；

(2)连接5。并延长，交AC于点F,交OO于点G,连接GC.若。0的半径为5,0E=3,求GC

和OF的长.

25.为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家

邮政企业，获得了它们4月份收入(单位：百万元)的数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了

部分信息.

甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下(数据分成5组：

6<^<8,8<x<10,10<x<12,12<x<14,14<^<16)：

b.甲城市邮政企业4月份收入的数据在10〈x<12这一组的是：10.0,10.0,10.1,10.9,11.4,11.5,11.6,

11.8

C.甲、乙两座城市邮政企业4月份收入数据的平均数、中位数如下：

平均数中位数

甲城市10.8m

乙城市11.011.5

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中机的值；

（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p.在乙城市抽

取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为.比较的大小，并说明

理由；

（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）.

26.在平面直角坐标系xOy中，点。,小）和点（3,在抛物线丁=52+法（q>0）上.

（1）若〃?=3,“=15,求该抛物线的对称轴；

（2）已知点（一l,y）,（2,%）,（4,%）在该抛物线上.若相〃<（），比较,，%，%的大小，并说明理由.

27.如图，在△MC中，AB=AC,NA4C=a,"为的中点，点。在上，以点A为中心，将线

段AD顺时针旋转a得到线段AE,连接BE,DE.

（1）比较N8AE与NC4。大小；用等式表示线段BE,之间的数量关系，并证明：

（2）过点M作的垂线，交。E于点N,用等式表示线段NE与的数量关系，并证明.

28.在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1,对于点A和线段BC,给出如下定义：若将线段3c绕点

A旋转可以得到QO的弦B'C（B',C分别是B,C的对应点），则称线段3c是。。的以点A为中心的

“关联线段”.

（1）如图，点4稣。1，82，。2，鸟,。3的横、纵坐标都是整数.在线段BdzG，83c3中，o。的以点A为

中心的“关联线段”是;

（2）AA6c是边长为1的等边三角形，点A（O,f）,其中txO.若8c是。。的以点A为中心的“关联线

段”，求f的值；

（3）在AABC中，AB=\,AC=2.若8C是O。以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小

值和最大值，以及相应的BC长.

参考答案

一、选择题（共16分，每题2分）第1一8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.如图是某几何体的展开图，该几何体是（）

A.长方体B,圆柱C.圆锥D.三棱柱

【答案】B

【解析】

【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项.

【详解】解：由图形可得该几何体是圆柱；

故选B.

【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键.

2.党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务.2014-2018年，中央财政累计投入“全

面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法

表示应为（）

A.0.1692X1012B.1.692xl012C.1.692x10"D.16.92x10'°

【答案】C

【解析】

【分析】根据科学记数法可直接进行求解.

【详解】解：由题意得:将169200000000用科学记数法表示应为1.692x10”；

故选C.

【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键.

3.如图，点。在直线A8上，OCLOD.若NAOC=120°,则的大小为（）

A.30°B,40°C.50°D.60°

【答案】A

【解析】

【分析】由题意易得/COB=60°,ZCOD=90°,进而问题可求解.

【详解】解：•.•点。在直线A3上，OC±OD,

：.ZAOC+/COB=180°,Z.COD=90°,

•••ZAOC=\20°,

：.NCO8=60°,

NBOD=90°-NCOB=30°；

故选A.

【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键.

4.下列多边形中，内角和最大的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根据多边形内角和公式可直接进行排除选项.

【详解】解：A、是一个三角形，其内角和为180。；

B、是一个四边形，其内角和为360°；

C、是一个五边形，其内角和为540°；

D、是一个六边形，其内角和为720°；

内角和最大的是六边形；

故选D.

【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键.

5.实数。力在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

-"3"-2""012

A.a>—2B.|a|>bC.a+b>0D.b-a<0

【答案】B

【解析】

【分析】由数轴及题意可得—3<a<-2,0<人<1,依此可排除选项.

【详解】解：由数轴及题意可得：—3<a<—2,0<8<1,

：.\a\>b,a+b<0,b-a>0,

只有B选项正确,

故选B.

【点睛】本题主要考查实数的运算及数轴，熟练掌握实数的运算及数轴是解题的关键.

6.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（）

I12

A.-B.-D.-

43°I3

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项.

【详解】解：由题意得：

..一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是尸=一=二；

42

故选C.

【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键.

7.已知43?=1849,44?=1936,45?=2025,46?=2116.若“为整数且〃<<〃+1，则〃值为

（）

A.43B.44C.45D.46

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可直接进行求解.

【详解】解：V432=1849,442=1936,452=2025,462=2116,

M<2021<45?,

44<,2021<45，

n=44；

故选B.

【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键.

8.如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为由，它的邻边长为）m,矩形的面积为sm?.当

x在一定范围内变化时，N和S都随x的变化而变化，则y与x,S与x满足的函数关系分别是（）

y

X

A.一次函数关系，二次函数关系B.反比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，反比例函数关系D.反比例函数关系，一次函数关系

【答案】A

【解析】

【分析】由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除选项.

【详解】解：由题意得：

2（x+y）=10,整理得：y=—x+5,（O<x<5）,

S=Ay=x（—x+5）=—A?+5x,（0<x<5）,

与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系；

故选A.

【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键.

二、填空题（共16分，每题2分）

9.若G7在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

【答案】x>l

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解.

【详解】解：由题意得：

x—120,

解得：x>7；

故答案为x27.

【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键.

10.分解因式：5X2-5/=.

【答案】5（x+y）（尤-y）

【解析】

【分析】根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解.

【详解】解：5d-5y2=5（x2-y2）=5（x+y）（x-y）；

故答案为5（x+y）（x-y）.

【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

21

11.方程一^=一的解为

x+3x

【答案】x=3

【解析】

【分析】根据分式方程的解法可直接进行求解.

【详解】解：—

x+3x

2x=x+3，

x=3，

经检验：x=3是原方程解.

故答案为：x=3.

【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键.

12.在平面直角坐标系尤0y中，若反比例函数y=8（人声0）的图象经过点A（l,2）和点3（—1,加），则m的

x

值为.

【答案】-2

【解析】

【分析】由题意易得k=2,然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题.

【详解】解：把点A（l,2）代入反比例函数丁=人（左#0）得：k=2,

—lxm=2,解得：〃?=—2,

故答案为-2.

【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键.

13.如图，PAP8是。。的切线，是切点.若/尸=50°,则NA03=.

【答案】130°

【解析】

【分析】由题意易得NQ4Q=N~BO=90。，然后根据四边形内角和可求解.

【详解】解：•••PA,P3是。。的切线,

NPAO=NP5O=90°,

.•.由四边形内角和可得：NAO5+NP=180。，

NP=50°,

ZAOB=130°；

故答案为130。.

【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键.

14.如图，在矩形48CD中，点瓦厂分别在上，AF=EC.只需添加一个条件即可证明四边形

【答案】AF^AE（答案不唯一）

【解析】

【分析】由题意易得四边形AECE是平行四边形，然后根据菱形的判定定理可进行求解.

【详解】解：•.•四边形ABC。是矩形，

AD//BC,

AF=EC,

：.四边形AECF是平行四边形，

若要添加一个条件使其为菱形，则可添力HAF=AE或AE=CE或CE=CF或AF=CF,理由：一组邻边相等

的平行四边形是菱形；

故答案为AE=AE（答案不唯一）.

【点睛】本题主要考查菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定定理、矩

形的性质及平行四边形的判定是解题的关键.

15.有甲、乙两组数据，如表所示：

甲1112131415

乙1212131414

甲、乙两组数据的方差分别为S甲2,吃2,则"2s/（填或"="）.

【答案】＞

【解析】

【分析】根据甲、乙两组数据分别求出甲、乙的平均数，然后再利用方差公式进行求解比较即可.

【详解】解：由题意得：

—11+12+13+14+15——12+12+13+14+14…

乐日——-13,~=13,

,2[(11-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(15-13)2

.♦。——2，

十5

,[(12-13)2+02—13)2+03—13)2+(14-13)2+(14-13)2

4

.c2、c2

••、甲/»乙；

故答案为〉.

【点睛】本题主要考查平均数及方差，熟练掌握平均数及方差的计算是解题的关键.

16.某企业有AB两条加工相同原材料的生产线.在一天内，A生产线共加工4吨原材料，加工时间为

(牝+1)小时；在一天内，8生产线共加工。吨原材料，加工时间为(加+3)小时.第一天，该企业将5吨

原材料分配到A,5两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线

的吨数与分配到8生产线的吨数的比为.第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配

了5吨原材料后，又给A生产线分配了M吨原材料，给3生产线分配了〃吨原材料.若两条生产线都能在

一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则'的值为.

n

【答案】①.2：3②.

2

【解析】

【分析】设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为(5-x)吨，依题意可得

4x+l=2(5—x)+3,然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为

4(2+加)+1=2(3+〃)+3,进而求解即可得出答案.

【详解】解：设分配到A生产线吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为(5-x)吨，依题意可得：

4%+1=2(5—x)+3,解得：x=29

，分配到8生产线的吨数为5-2=3（吨），

分配到A生产线的吨数与分配到8生产线的吨数的比为2：3：

.♦.第二天开工时，给A生产线分配了（2+〃。吨原材料，给8生产线分配了（3+〃）吨原材料，

加工时间相同，

/.4（2+m）+l=2（3+〃）+3,

解得：m=-n,

2

m1

・・一二一;

n2

故答案为2:3,

【点睛】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的

应用及比例的基本性质是解题的关键.

三、解答题（共68分，第17—20题，每题5分，第21—22题，每题6分，第23题5分，第

24题6分，第25题5分，第26题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算

步骤或证明过程.

17.计算：2sin60。++卜5|—（zr+J^）°.

【答案】36+4

【解析】

【分析】根据特殊三角函数值、零次幕及二次根式的运算可直接进行求解.

【详解】解：原式=2x3+26+5-1=36+4.

2

【点睛】本题主要考查特殊三角函数值、零次累及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次哥及

二次根式的运算是解题的关键.

4x-5>x+l

18.解不等式组：—4

-----<x

I2

【答案】2<x<4

【解析】

【分析】根据一元一次不等式组的解法可直接进行求解.

4x-5>x+1①

【详解】解：,3x-4△

------<X2）

I2

由①可得：x>2,

由②可得：x<4,

原不等式组的解集为2Vx<4.

【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键.

19.已知Y+zk-uo,求代数式（口一。）2+可24+。）的值.

【答案】1

【解析】

【分析】先对代数式进行化简，然后再利用整体思想进行求解即可.

【详解】解：（a-bf+b（2a+b）

=。2-2ab+b2+2ab+b2

=a2+2b2>

Va2+2b2-1=Q>

•••/+2/=1，

代入原式得：原式=1.

【点睛】本题主要考查整式的乘法运算及完全平方公式，熟练掌握利用整体思想进行整式的化简求值是解

题的关键.

20.《淮南子•天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，

在地面上沿着杆的影子的方向取一点8,使区A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点8

处立一根杆；日落时，在地面上沿着点5处的杆的影子的方向取一点C,使C6两点间的距离为10步，

在点C处立一根杆.取C4的中点O,那么直线08表示的方向为东西方向.

（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A,8,。的位置如图所示.使用直尺和圆规，在图中作C4

的中点。（保留作图痕迹）;

（2）在如图中，确定了直线。B表示的方向为东西方向.根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直

线C4表示的方向为南北方向，完成如下证明.

证明：在AABC中，B4=，。是C4的中点，

:.CA±DB（）（填推理的依据）.

•••直线表示的方向为东西方向，

直线CA表示的方向为南北方向.

【答案】（1）图见详解；（2）BC,等腰三角形的三线合一

【解析】

【分析】（1）分别以点A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与AC

的交点即为所求点。；

（2）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答.

【详解】解：（1）如图所示：

（2）证明：在中，BA=BC,。是C4的中点，

:.CA±DB（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）.

•.•直线表示的方向为东西方向，

，直线CA表示的方向为南北方向；

故答案为8C,等腰三角形的三线合一.

【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图及等

腰三角形的性质是解题的关键.

21.已知关于x的一元二次方程V一4〃a+3机2=0.

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若m>0,且该方程的两个实数根的差为2,求〃?的值.

【答案】（1）见详解；（2）m=l

【解析】

【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证;

（2）设关于x的一元二次方程/一4/^+3〃22=0的两实数根为知马，然后根据一元二次方程根与系数的

关系可得玉+々=4m=3，/,进而可得（王一%）2=4,最后利用完全平方公式代入求解即可.

【详解】（1）证明：由题意得：a=\,b=c=3m2,

•*-A=-4ac=16nr-4x1x3//=4m2，

Vm2>0，

***A=4m2>0，

・・・该方程总有两个实数根；

（2）解：设关于x的一元二次方程优+3m2=0的两实数根为3,々，则有：

玉+尢2=4占•无2=3"?2,

V|%1-^|=2,

2）=（%+9）-4玉工2-16m2-12m2=4,

解得：m=±L

*.*m>0,

/.m=1.

【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及

根与系数的关系是解题的关键.

22.如图，在四边形ABC。中，NACB=NCAT）=90。，点后在上，AE//DC.EF±ABf垂足为尸.

（1）求证：四边形AECZ）是平行四边形;

4

（2）若Af平分N84C,BE=5,cosB=y,求B/45*7和AD的长.

【答案】（1）见详解；（2）BF=4,AD=3

【解析】

【分析】（1）由题意易得AD〃CE,然后问题可求证；

4

（2）由（1）及题意易得EF=CE=AD,然后由BE=5,cosB=y可进行求解问题.

【详解】（1）证明：•••NAC5=NCW=90°,

：.AD//CE,

'：AE//DC,

四边形AECO是平行四边形；

（2）解：由（1）可得四边形AECD是平行四边形，

CE-AD,

VEFrAB,AE平分Za4C,ZACB=90°,

：.EF=CE,

:.EF=CE=AD,

4

BE=5,cosB=—,

5

4

BF=BE-cosB=5x—=4,

5

•••EF=\IBE2-BF2=3,

，AD=EF=3.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握

平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键.

23.在平面直角坐标系xOy中，一次函数丁=区+伙女工0）的图象由函数y=的图象向下平移1个单位

长度得到.

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）当x>-2时，对于X的每一个值，函数y=g（机工0）的值大于一次函数y=H+b的值，直接写出m

的取值范围.

【答案】（1）y=-x-l；（2）-<m<\

22

【解析】

【分析】（1）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式;

（2）由题意可先假设函数y=/nr（mHO）与一次函数y=的交点横坐标为—2,则由⑴可得：m=l,

然后结合函数图象可进行求解.

【详解】解：（1）由一次函数〉="+匕化HO）图象由函数y=gx的图象向下平移1个单位长度得到可

得：一次函数的解析式为y=-

（2）由题意可先假设函数丁=如（加。0）与一次函数＞=依+8的交点横坐标为—2,则由（1）可得：

-2m=；x（—2）—1,解得：m=1,

...当x＞—2时，对于x的每一个值，函数y=（加。0）的值大于一次函数y=的值时，根据一次函

数的k表示直线的倾斜程度可得当m=g时，符合题意，当机＜g时，则函数y=ax（m，0）与一次函数

丫=履+匕的交点在第一象限，此时就不符合题意，

综上所述：

2

【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键.

24.如图，是AABC的外接圆，AO是的直径，于点E.

B

（1）求证：ZBAD=ZCAD；

（2）连接50并延长，交AC于点F,交O。于点G,连接GC.若O。的半径为5,0E=3,求GC

和OF的长.

25

【答案】（1）见详解；（2）GC=6,0F=—

【解析】

【分析】（1）由题意易得BO=CO,然后问题可求证；

（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为3c的中点，则有0E='CG,OE//CG,进而可得AAOFSACG厂,

2

然后根据相似三角形的性质可进行求解.

【详解】（1）证明：；AO是的直径，ADLBC,

BD=CD，

：.ZBAD=ZCAD；

（2）解：由题意可得如图所示：

由（1）可得点E为BC的中点,

•••点。是BG的中点,

OE=-CG,OE//CG,

2

，AAOFSACGF，

.OA_OF

"CG~GF'

OE=3,

CG=6，

QO的半径为5,

OA-OG=5,

,5OF

••一=，

6GF

【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形

中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键.

25.为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家

邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了

部分信息.

。.甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：

6<x<8,8<x<10,10<x<12,12<x<14,14<%<16）：

b.甲城市邮政企业4月份收入的数据在10«尤<12这一组的是：10.0,10.0,10.1,10.9,11.4,11.5,11.6,

11.8

c.甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下:

平均数中位数

甲城市10.8m

乙城市11.011.5

根据以上信息，回答下列问题：

(1)写出表中的值；

(2)在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为小.在乙城市抽

取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为2•比较P2的大小，并说明

理由；

(3)若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入(直接写出结果).

【答案】(1)相=10.1;(2)Pi<〃2,理由见详解：(3)乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万

元.

【解析】

【分析】(1)由题中所给数据可得甲城市的中位数为第13个数据，然后问题可求解；

(2)由甲、乙两城市的中位数可直接进行求解；

(3)根据乙城市的平均数可直接进行求解.

【详解】解：(1)由题意可得，”为甲城市的中位数，由于总共有25家邮政企业，所以第13家邮政企业的

收入作为该数据的中位数，

•；6Mx<8有3家，8Kx<10有7家，10Kx<12有8家，

中位数落在10<x<12上，

m=10.1；

(2)由(1)可得：甲城市中位数低于平均数，则P1最大12个；乙城市中位数高于平均数，则〃2至少

为13个,

Pl<P2；

(3)由题意得：

200x11=2200(百万元)；

答：乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元.

【点睛】本题主要考查中位数、平均数及统计与调查，熟练掌握中位数、平均数及统计与调查是解题的关

键.

26.在平面直角坐标系xOy中，点和点（3,N）在抛物线丁=口？+区（“＞（））上.

（1）若加=3,n=15,求该抛物线的对称轴；

（2）已知点（一l,y）,（2,必）,（4,%）在该抛物线上.若加?＜0，比较%，%，%的大小，并说明理由.

【答案】（1）x=-l；（2）当＜弘＜为，理由见解析

【解析】

【分析】（1）由题意易得点（1,3）和点（3,15）,然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行

求解即可；

（2）由题意可分当机＜0,〃＞0时和当机＞0,〃＜0时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可.

【详解】解：（1）当加=3,〃=15时，则有点（1,3）和点（3,15）,代入二次函数丫=磔2+乐（。＞0）得：

a+b-3a=1

c.，解得：1

9a+3〃=15、b=2'

•••抛物线解析式为y=V+2x,

抛物线的对称轴为x==-1；

2a

（2）由题意得：抛物线丫=磔2+笈（。＞0）始终过定点（0,0）,则由加〃＜0可得：

①当机＞0,〃＜0时，由抛物线y=ax2+bx（a＞0）始终过定点（0,0）可得此时的抛物线开口向下，即a＜0,

与Q＞0矛盾；

②当mv0,0时，

•..抛物线y=ax2+bx（a＞0）始终过定点（0,0）,

13

•••此时抛物线的对称轴的范围为一＜x＜2,

22

•.•点（-1,y）,（2,%）,（4,%）在该抛物线上，

3S1357

.•.它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为巳＜%-（—1）＜/,—＜2—》＜二,己＜4—X＜一，

2''22222

•：a＞Q,开口向上，

由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，

%M<%•

【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

27.如图，在AA6c中，==为8c的中点，点。在上，以点A为中心，将线

段AD顺时针旋转a得到线段AE，连接BE,DE.

（1）比较与NC4D的大小；用等式表示线段BE,之间的数量关系，并证明；

（2）过点M作A3的垂线，交DE于点、N,用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明.

【答案】（1）ZBAE=ZCAD,BM=BE+MD，理由见详解；（2）DN=EN,理由见详解.

【解析】

【分析】（1）由题意及旋转的性质易得NB4C=NE4£>=a,AE=AD，然后可证△ABEg^AC。，

进而问题可求解；

（2）过点E作垂足为点Q,交AB于点”，由（1）可得Z45E=NACZ）,BE=CD,易证

BH=BE=CD,进而可得=然后可得ADMNSADHE,最后根据相似三角形的性质可求证.

【详解】（1）证明：•.•/R4C=NE4T>=a,

ZBAE+ZBAD=ZBAD+ZCAD=a,

/.ZBAE=ZCAD,

由旋转的性质可得AE=4D，

AB^AC,

：.^ABE^ACD（SAS）,

BE=CD,

•.•点M为8C的中点，

BM=CM,

'：CM=MD+CD=MD+BE,

；•BM=BE+MD；

（2）证明：DN=EN,理由如下：

过点E作EHLAB,垂足为点2,交A8于点”，如图所示:

...ZEQB=ZHQB=90°,

由（1）可得△ABE也△AC。，

AZABE=ZACD,BE=CD,

AB=AC,

：.ZABC=NC=ZABE,

•••BQ=BQ,

：.^BQE^BQH(ASA),

BH=BE=CD,

■:MB=MC,

HM=DM，

'：MN±AB,

MN//EH,

:.ADMNS&DHE,

.DMDN1

•■---------——,

DHDE2

DN=EN.

【点睛】本题主