考点39数学归纳法（解析版）

考点39数学归纳法

1.（甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第三次模拟考试数学理）用数学归纳法证明

n4-1-n2

1+2+3+…+/2=---------

2,则当n=k+l时，左端应在n=k的基础上加上（）

A.公+1B.（人+1）2

(k++(k+1)2

C.(如+1)+(如+2)+"♦+(忆+1)2口.2

【答案】C

【解析】

当n=k时,等式左端=1+2+…+端,

当n=k+1时,等式左端=1+2+…+k2+k2+l+k2+2+…+(k+1)2,增加了项(k2+l)+(k2+2)+(k2+3)+…+

(k+1)2.

故选：C.

2.（河南省豫南九校2017・2018学年下学期高二第二次联考理）用数学归纳法证明不等式

--------1----------FH----->—(n>2)

“几十1九+22n24”时的过程中，由几=%到几=k+1,不等式的左边增加的项为（)

11।1

A.2(k+l)B.2fc+l+2(k+l)

111----------1------------1-----------1-------------------------------

C.2/c+12(k+1)k+1D.2(fc+1)k+1

【答案】C

【解析】

111113

-------41-…++------->—

当n=k时，不等式为k+1k+2---------/<+(/t-1)k+k24.

当九=k+1时，不等式为

1111113

--------------+---------------+…4------------------------+---------------+----------------------->—

(fc+1)4-1(k+l)+2(k+l)+(k-l)(k+l)+k(k+l)+(k+l)24,

1111113

-----F-------F+——+-------F—------->—

即k+2k+32k2k+12k+224,

111

--------+-------------------

比较可得增加的项为喋+12k+2k+1.

故选C.

3.(安徽省马鞍山市2019届高三高考一模理)已知正项数列｛""｝的前〃项和为S，，，数列｛S'的前〃项积

为T",若S，，+27；=l,则数列lAJ中最接近2019的是第项・

【答案】45

【解析】S“+27；=l,可得，+27；=1,且E=7J=；；

则+2RS2s3.・.S〃=1,即2562s3…=1-S〃,

S”+i+2sls2s3...SH+i=1,即2sls2s3...5rt+1=1-Sn+i,

11-S1

两式相除得：—n则sc“+]=「r，

»+11—»

13

由岳=—,解得§2=—；

35

由S2=],解得S3=1；

用数学归纳法证明，

当〃=1时，E=—,满足s“

32/7+1

假设当〃=左(0]\*)时，猜想成立，即跖=添了

1_1_2k+1

Sk+i===

则当〃=左+1时，2-Sl.22k-\2k+3>满足5"

~2k+1

2〃一1

故猜想成立，即S〃=—

2〃一12〃-3

2〃+l2n-l（2n-l）（2n+l）,

当"j4=§不满足为=⑵.1）（2〃+1），

3,〃=1

故一=＜（2〃1）（2〃+1）

,n>2

由(2〃f(2〃+l)»L

44

当〃=44时，442--=1935.75,

4

当”=45时，452--=2024.75,

4

当〃=46时，462--=2115.75.

4

综上可得数列,—\中最接近2019的是第45项.

故答案为：45.

4.(湖北省武汉市2019届高中毕业生二月调研测试理)已知正项数列｛4｝满足％=1,前〃项和S“满足

4S.=+3产(〃£2,〃GN*),则数列仅“｝的通项公式为an=.

【答案】2〃一1

【解析】

当〃=1时，％=1；

当”=2时，4s2=(q+3尸=16,S2=4,a2=3；

当〃=3时，4s3=(4+3)2=36,S3=9,%=5；

当〃=4时,4s4=(%+3)2=64,J=16,4=7,猜想得。”=2〃-1,

故为=2〃-1,下面用数学归纳法证明：

①％=1,满足alt=2n-\,

②假设〃=&时，结论成立，即4=2%-1,可得S*=r,

22

则45,+1=(4+3>=(2k+2)=4伏+1),

2

Sk+]=(k+1),ak+l=Sk+]-Sk=(2+1尸一r=2女+1

=2(左+1)-1,也满足。“=2〃一1,

结合①②可知，a„=2n-1,故答案为乙=2〃-1.

5.（吉林省长春市2019届高三质量监测（四）数学理）已知数列｛4｝满足：％=1,点在

直线y=2x+l上.

⑴求生，的，%的值，并猜想数列｛4｝的通项公式；

(2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想.

【答案】(I)。2=3,%=7,4=15;。“=2"-1.(H)见解析.

【解析】解：(I)因为点(4M“+J,eN*)在直线y=2x+l上

所以。〃+]=+1,

因为4二1,

故。2=2xl+l=3,

q=2x3+l=7,

4=2x7+1=15,

由上述结果，猜想：

(II)1°,当〃=1时，%=2-1=1成立,

2°，假设当〃=时，4=2—成立,

那么，当〃=后+1时，4M=24+1=2(2«—1)+1=2印一1成立，

由1°，2°可得。“=2"-1.

6.(江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二)已知数列｛a,,｝,q=2,且%+1=片一。“+1对任

意"eN*恒成立.

(1)求证：an+l=anan_xan_2%+l("wN*)；

n

(2)求证：an+x>n+l(/?eN,).

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

22

(1)①当〃=1时，a2=«,—6Z,+1=2—2+1=3

满足。2=%+1成立.

②假设当〃=左时，结论成立.即：ak+i=akak_xak_2々。1+1成立

下证：当〃=%+1时，ak+2=ak+xakak_x々4+1成立。

因为ak+2=d+i—+1=4+i(4+i-1)+1

=(%+J(4%-4-2%+1T)+1=ak+xakak_xak_2a2a]+1

即：当“=%+1时，ak+2=ak+}akak_}44+1成立

由①、②可知，«„+|=anan_tan_2出4+l(〃eN*)成立。

(2)(1)当〃=1时，。2=2?-2+1=3>『+1成立，

当〃=2时，/=—a,+1=a,(a,-1)+1>3X2+1=7>2~+1成立，

(ii)假设〃=左时(左23),结论正确，即：4M>3+1成立

下证：当〃=%+1时，见+2>(%+1)*'+1成立.

因为4+2=吮-％+1+1=见+13+1T)+1>优+1*+1=%”+公+1

要证％2>伙+

只需证-人+"+1>(左+1)m+1

只需证：二*>伏+i『，

只需证：In/〉m(%+1广’

即证：2ZlnZ-(攵+l)ln(Z+l)>0(k>3)

记力(x)=2xlnx—(x+l)ln(x+l)

/.hf(x)=2(lnx+l)-[ln(x4-l)+l]=21nx-ln(x+l)4-l

=In———F1=Infx+1+---21+1

x+1Ix+1)

当x+l22时，ln[x+l+—^—2]+lNln[2+g-2]+l=lng+l>ln，+l=0

所以及(x)=2xlnx-(x+l)ln(x+l)在［l,+oo)k递增，

又/?(3)=2x31n3-41n4=ln36-ln44=In729-In256>0

所以，当xN3时，7?(力之M3)>0恒成立。

即：当左23时，〃(左)2〃⑶>0成立。

即："1左23时，2klnk—(左+l)ln(左+1)>0恒成立.

所以当左23,a-2>仕+l)i+1恒成立.

由(i)(ii)可得：对任意的正整数“eN*，不等式。,用>""+1恒成立，命题得证.

7.(江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二)已知数列｛4｝是各项都不为0的无穷数列，对任意

的龙3,“eN”,«,«2+a2a3++4-1”“=2(〃-1)44”恒成立.

111

(1)如果一，—,一成等差数列，求实数2的值；

a｛a2%

(2)已知；1=1.①求证：数列是等差数列；②已知数列｛4｝中，勾声生.数列｛2｝是公比为4的

等比数列，满足々=一，％=—，4=-(ieN*).求证：g是整数，且数列｛a｝中的任意一项都是数列

'中的项.

【答案】(1)1

(2)①见解析②见解析

【解析】

(1)由题可得：当〃=3时，.4+a2a3=丸(3—1).%

1122

两边同除以％%%，可得：—+—=—

%q%

I11112

因为一，一，一成等差数列，所以一+—=—

q%6%a\a2

222

所以——=一，解得：2=1

a2a2

aa

(2)①由题可得：当〃23时，«,«2+2i+=(〃一1)4见…(I)

用〃+1代上式中的〃，可得：

%出+。2a3++%-4+q4+1=…(II)

(11)-(I)得：4%+]=3M“+]

1n(n-1)

上式两边同除以qa“a用可得：一=一一-——-

4册«„+!

1(I1、11

整理得：—--------=----------

“Iqan+\Janan+\

1n1

整理得：——=7-77——7一丁

4川(〃-1)””(〃-1)%

I।1

(i)由(1)得，当〃=3时，一一，一成等差数列，结论正确.

q

I1I1

(ii)假设〃=%时，结论正确。即:一，一，一，…一成等差数列，且公差为d

4%44

11111

下证〃=%+1时，一,一,一，…一,---成等差数列.

a

q2«3a*ak+i

11

即证--------=dJ

ak+\ak

11k1111

%+i4(kT)a*(%T)4ak[k-\)ak(左一l)q

i(iiAi

<x(k-l)d=d.

=7仅-----1-)71%-------a-J=7--(--"----I)

11

所以---------dJ成立.

ak+\ak

由(i)(ii)可得：对任意的〃23,数列J」-｝是等差数列.

②由①得：数列《卜是等差数列,公差为d

所以丁丁(7=[32

,1,1,1

又4=一,%=一,仇=一成等比数列，

axa2%

/\2z、2r

所以一L=—X—,即：—+d=」-x—+(z-l)J

<^2/_a\

1d

整理得：一二—7

a.i-3

所以4=牛=上q一=i-2,所以q是整数

工7^3

数列也｝中的任意一项2=刎"T=-x(i-2)"~'

%

令b“=上,则2-x(i—2)“।=工+(%—1)1

ak<2,q

整理得：=*+(k—l)d,整理得：(z-2)n

-l=(Z:-l)(z-3)

又(z-2广|-1=［(i—3)+-1

=Ci0-3广，*(i-3)7+…+*(i-3)+C：二;-1

=［。3(>3广2+CL(Z-3广+...+喟］63)

2

所以［C：_,(z-3f+<,(/-3尸+…+C：：Q(i-3)=(k-f

解得：k=d—3广2+C3(/-3广3+...+C；;2+1

,1

即：存在％eZ,使得：2=一成立

ak

所以数列｛bj中的任意一项都是数列，—\中的项.

8.(江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学理)已知函数/(x)=4(l-alnx),a&R.

(I)若f(x)在(0/］上存在极大值点，求实数。的取值范围；

(n)求证：^Inz>2(Vrt-l)2,其中〃wN+，〃22.

i=\

【答案】(I)a>^-(II)见证明

2

【解析】

/、1-1/、

解：(I)由于f(x)=/x2,

I

则①当a〉0时，/'(x)>0<=>lrir<----,

即当xe0,e~时，/'(x)>0,/(x)单调递增；

\7

(\-2a\

当xeea,+oo时，/'(x)<0,/(x)单调递减；

I/

故/(x)在x=e与“处取得极大值，

则0<e于4r解得：a-\'-

②当a=0时，尸(力>0恒成立，/(力无极值，不合题意舍去;

1-2/7

③当〃<0时，/<(x)>0oliix>----

a

/l-2a、

即当XG0,厂时，/'(x)<0,f(x)单调递减;

I7

(\-2a\

当工£ea,+0C时，/(力>0,/(%)单调递增；

故/(X)在x=e字处取得极小值，不合题意舍去；

因此当a时，〃力在(0,1］匕存在极大值点；

(II)法一：令a=g,/(x)=4(l_gln_r］,

由(I)得：/(%)在x=l处取得极大值1,且该极值是唯一的，

故当，之2时，lni>21-(V1-J-1),

因此£lni=£l由==

/=1!=2/=2

法二：下面用数学归纳法证明：£1亩>2(6一1)2,对V〃£N+，〃22恒成立.

/=!

12Z1、41

(1)当〃=2时，左边=ln2>/〃G=一,右边=2(血—1,<2--=—

212J2

左边〉右边，结论成立；

(2)假设当〃=左时，结论成立，即£)2>2(4-1)2,

/=1

当〃=左+1时，左边=+In(女+1)>2(々一I)?+In(%+1)

/=11=1

=2(〃TT_1)2_20+2〃_2Vm)+In仕+1),

42

而In化+1)-2(1+2五-2VTTT)=ln(A+l)-2+>ln(Zc4-l)-2+-----,

〃+1+瓜'7yjM

令a=g,=,

由(I)得：/(x)在x=l处取得极大值1,且该极值是唯一的，

则J7(l—glnx卜1,即lnx22(l-9，当且仅当尤=1时取“=”，

则ln(Z+l)—2+7」>0对VZeN+恒成立，即

7k+l

2(7^71-1)2-2(1+2«-27^)+111(%+1)>2(7^71-1『成立

故当〃=%+1时，结论成立，

因此，综合(1)(2)得£lni>2(6—1),对V〃cN+，〃22恒成立

9.(广东省江门市2018年普通高中高三调研测试理)已知数列｛册｝的前n项和为上,VneN”,

1,、1

Sn=7(2n+1)册+7

qq.

(1)求。亚/；

(2)猜想数列｛册｝的通项公式，并用数学归纳法给予证明.

【答案】(1)%=1,。2=3,。3=5⑵an=2n-l

【解析】

(I)分别取”=123得

c31c5171

Saa+Sa+aa+

i=i=4i42=i2=42453=a1+a2+a3=-a3+-

解得%=La2=3,a3=5.

(2)猜想时=2nT

〃=1时，由(1)知，%=1=2x1-1,猜想成立，

假设〃=k(〃eN+)时，ak=2k-l

1111

则以+1=S〃+1-S〃=字2"+3)ak+1+-]-[^(2fc+1)外+-]

=扣4+3)/+1-；(24+1)纵

所以扣卜-1网+】13+1)%

因为a/r=2k-l,所以纵+]=2卜+1=2(卜+1)-1

所以，”=卜+1时%=2”1成立，

综上所述，任意%=

.x

10.(江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研)已知函数记/'”+式¥)为fn(x)的

导数，r6N*。

(1)求/"2(*)/3(*)；

(2)猜想fn(x)，〃eN*的表达式，并证明你的猜想。

1x

f“(x)、=-cosX-f一式x)、=--1st.n-

【答案】(I)27、,22,73142(2)见解析

【解析】

X1X1X

)W=sin-/2(x)=^cos-/3(x)=--sin-

(1

1/n-lx>

-----sin7T+一

fnM=2…

（2）猜想:22,

下面用数学归纳法证明:

x

九（%）=sin-

①当几=1时，】2,结论成立;

火一1x

fk0）=~T~^sin-----n+-

②假设n=k（kNl且k€N*）时，结论成立，即2八】、22

「/、「・/、11

,fk+1W=fkW=5X--cos7T+-

当?i=k+l时，22h12,

1火一17TXX

=—sin

2k、222)

1.r(^+i)-iX]

—-----——sin7T+一

2(%+1)-122

所以当〃=卜+1时，结论成立.

所以由①②可知对任意的neN'结论成立.

11.（浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟考试数学试题（一）

fyj+V+l1…

已知数列｛4｝满足%=1,an+i=­z—a”+—,nEN

n+n2n

⑴证明:当"22时，an>2(neN*)；

1111

a+2---

%+1=内+曰+…+

（2）证明:n-(n+1)2RwN*)；

43

为自然常数

（3）证明:

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）（用数学归纳法证明）

31

①当4二2时，々2=51+5=222,

所以结论成立;

②假设当n=k(k>2,/cGW*)时结论成立，即直22.

则当万=上+1时

上？+上+111121c

1k2+k2k炉+上2kk2+k2”

所以%=k+1时，结论成立.

由①②可知，当花之2(neN*)时，％之2成立

11

(2)由题意得/a=♦：，+%*+1■L4-------------4H------

/+«2*«(«+1)2*

所以限—%=看％+5

所以“2-41=运■丐+亍，

11

以3—以？=+中，

11

以4一以3=y^«3+/，

11

4+1一%

力5+1)2

以上各式两边分别相加可得4+1-/=工"1+;^%+…+/［八+2+3+--•+2，

INN5双力+1)NNN

又/二1

111

斤以4+1=-----以1+-----以2-------------------4+1+---------H

'1f+】121232力5+1)*

2

111cl

=----cty+-----a、+-—I--------------a*+2——.

1.22-3«(«+1)2"

(3)由题意得见占丝1(%+1)+招523),

n+«2

11

M1+嘉h河

-+1»八11v11

力”^刖+达+下)<皿+萍'

11]1

_______I-____+n+1

ln(a*+i+DTn(a*+1)<2,Trx«+l2

n+n2*+1\nn4-1/

由累加法得

11\/I1V.,1.11

+5/\nn+1/23242n+1

111

<一+-V-

382,

3d

所以。3+12.

%+1

--〈乖

所以。3+1,

43

故册+1<0+1)&=正面

43

an<75-1声为自然常数

所以iz.

12.(浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷二)

“r、*n2+n4-11,

nEN

已知数歹”{aj辆足%=1,Q〃+i=-3----an+~-

n+n2n

71

(I)证明：当之2时，an>2(nG/V*).

1111

⑺证明：％+】=d】+rr2+^巾-,然心

43

册<”;&-1£为自然常数

(III)证明：42、

【答案】(1)见解析(U)见解析(HD见解析

【解析】

(I)数学归纳法证明％22时，%之2

31

①当〃=2时,町=/“I+万=222成立;

②当？?=化时，假设@之2成立，则%=上+1时

化？+上+111121c

a女=—s------a*Htr=%d5------诙r-2d5+—r>2

k2+k2k炉+k2kk2+k2k

所以力二k+1时，线+i>2成立

综上①②可知，力之2时，an>2

,/+%+1111

(HTT)由.1=——7------a*H-----=&+---------&H----

B+1n2+nx2n*«(«+l)*2X

得%+1-%===/+白

«(«+!)2

…1111

所以4?-«]=q+―f；%—《2=«2+―j*；

I,222*32

111,1

%-%=获%+梦■-喂—%=许%+A

j111111„

故以]-白]=4-----aHF----------F—4--4F—,又a】=1

S+111-212322呦+1)21222"1

j+j+…+，4+2」

1.22-3«(«+1)2n

+t、%+l,—f

(/T1T1T1x)%+i+lX—2-----[a+1)4--—p(«>3)

n+阀n2

区MJ+I/I1.11%+i+l—“11、11

=-----W]H—5-----+g.i=In-------Mln(l+-x-----+i)<--2-----H—zTr

&及+1加+M2«次+1%+%2n+w2

11

ln(%+i+l)-ln(%+1)<--2---.---T1--r1-M--+1-

n+%2

由累加法得：ln(aa+l)-ln(a3+l)<[+[<』

382

所以In主?<《=%+l<33+1)g=2/故%<—^-1

%+121212

13.(陕西省西安市西北工业大学附属中学2017届高三下学期第七次模拟考试理)已知函数/(x)=xk)g“x.

(1)当。=2时,求函数尸(x)=,f(x)+/(l—X)的最值；

(2)当a=e时，对任意x»0都有恒成立，求实数加的取值范围；

(3)当心e时，设函数G(旬=/j(),数列也｝满足0<a<1,〃+]=G(〃J,求证：

0<“<hn+]<1,nsN*.

【答案】(1)Fix].=-1,无最大值.(2)m<\(3)见解析

\/min

【解析】试题分析：(1)先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定单调性，进而确

定最值(2)当尤>0时/("+1)2n,利用导数易得+1)为单调递增函数,且Xf0,"x+l)f1,

XXX

因此加<1(3)先证明G(x)为单调递增函数，再利用数学归纳法证明0<么<么用<1

试题解析：(1)V/(x)=xlog2x,/.^(^)=/(x)+/(l-x)=^log2x4-(l-x)log2(l-x),xe(0,l)

v-1

二尸(x)=log2工,令尸(x)=0,得％=工则下(x),F(x)随％«0,1)变化如下:

1—x2

X2

2

尸3——0+

尸QO-1

所以尸(X).二一1,无最大值.

(2)设〃(x)=/(x+l)-mr=(x+l)ln(x+l)-mr,则〃'(x)=ln(x+l)+l-m，

当加时，且xNO,/ir(x)=ln(x+l)+l-m>0，函数〃(x)在[0,小心)上是增加的，

A/z(x)>/z(O)=O,/(x+l)2〃式成立；

当机>1时，令"(x)=ln(x+l)+l—机=0,得x=e"i-l,当工金[。,，'"-1),〃'(％)<(),

函数/z(x)在工£[0,/“一1)上是减小的，而〃(0)=0,所以，当X£[o,e'e—1)时，〃(x)<0,

所以/(x+1)优不恒成立，

综上，对任意xNO都有/(x+l)2〃优恒成立时，m<1.

(3)*.*G(x)=x-/(x)=x-xlogflx,G(x)=-logf/x+1-log^e,

乂aNe,当％£(0,1]时，G'(x)=-k)gaXN(),,G(x)=x-xlog〃x在光£(0,1]上是增加的,

所以1°,当〃=1时，V0</?,<1,AG(l)=1>G(/?j)=h}-b}logab}=b](1-log^)>^>0,

而仇=G(4),J0<4<%<1成立.

2°,假设n=k时，0<4<4+]<1成立，那么当n=k时

G。)=1>G也.J=bk+]-bk+l\ogabk+i=矶(1一log,%1)>bk+}>0,

而4+2=6(限1),..0<bk+l<bk+2<1成”，

综合1°,2°得：V〃eN*,0<2<仇+]<1成立.

14.（江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试）（1）用数学归纳法证明：当〃eN*时,

.(n

sin〃+—\x

I

cosx+cos2x+cos3xH----Fcosnr--(xeR,且xw2Z;r,kwZ)：

.1

2osin-x2

2

/-、-u，•nc..37r..4万与八ic•2018万,,

(2)求sin——i-2sin----b3sin-----i-4sin-----1-…+2018sm--------的值.

66666

【答案】(i)见解析(2)百-竺”

2

【解析】

J

（1）①当〃=1时，等式右边=

2

(.1.1W.1.1、

sinxcos—x+cosxsin-x-sinrcos—x-cosxsin—x

一I22JI22J

0-1

2sinx

2

=cosx=等式左边，等式成立.

②假设当〃=人时等式成立,

sink+—\x

即cosx+cos2x+cos3xH---hcoskx=——-——1,

2sin-x

2

那么，当力=左+1时，有

COSX+cos2x+cos3xH---Fcoskx+COS(Z+1)X

sink+—\x

I2)1z.

——-—-----+cos(Z+l1)Ax

2sin—x一

2

sin+—x+2sin—xcos(Z:+l)x]

.12

2osinx

2

sin(Z:+l)xcos-x-cos(Z:+l)xsin-x+2sin-xcos(Z:+l)x]

c•1

2sm-x

2

sin(%+1)xcos—x+cos(Zr+l)^sin—x1

=_____________Z________________2____

.12

02sm-x

2

,sinIk+1+—2j\x1

.12

29sin-x

2

这就是说，当〃=攵+1时等式也成立.

根据①和②可知，对任何nGN*等式都成立.

sinI2018+12*9]x

(2)由(2)可知，cosx+cos2x+cos3xH----FCOS2018X=——------j———

2sin-x

2

两边同时求导，得—sinx-2sin2x-3sin3x----2018sin2018x

2018+—Jcos2018+—l.rsin-1x--sin(2018+—1Lrcos-1x

222222

2sin2-x

2

所以一sin---2sin----3sin2-------2018sin------

6666

-1j/cc.c1)兀.兀1.I-..-1]7t兀

2018+cos2018+—sin—sin201A8+cos

2)I2)6122I2)612

2sin2上

12

.nc.2万。.3万4.4万”,。・2018万/T2015

所rri以>lsin—+2sin---F3sin---K4sin---F,•,4-2018sin------=73------

666662

15.(江苏省姜堰、漂阳、前黄中学2018届高三4月联考)设M=N+,正项数列｛%｝的前〃项的积为

且VkeM,当〃>女时，JU+QT=7；Z都成立.

(1)若用=｛1｝,q=百，4=36,求数列｛%｝的前〃项和;

(2)若用=｛3,4｝,，求数列｛%｝的通项公式.

【答案】⑴—3"--(2)2n-'V2

22

【解析】

(1)当生2时，因为M=｛1｝,所以J/h+TTH-1=TnTi,可得an+产@同,

an+\,、

故-----=ai=3(n>2).

an

又出=百，a2=36,则｛aj是公比为3的等比数列，

故｛a0｝的前n项和为皿，Ji..见

1-322

(2)当n>k时，因为jTn+kT〃—k=TnTk，所以jTn+1+kTn+1—7=Tn+iTk，

所以“Tn+kTn心_=TnTk,即由…kcm+l—k=an+l,

[Tn+1+kTn+l-kTn+lTk

2

因为M={3,4},所以取k=3,当n>3时,Wan+4an.2=an+i；

2

取k=4,当n>4时，有an+5an-3=an+i.

由3n+5Hn-3=3n+r知,

数列az,*aio»ai4»ais,a22,...»a4n-2,…,是等比数列，设公比为q.…①

由dn+4an-2=an+l知，

数列a2,as,as»amau,an,...»aan-i，…，是等比数列,设公比为卬，…②

数列23,%39>ai2,ai5,ai8,33n,...»成等比数列，设公比为q2,…③

数列a*a7,aio,ai3,a®ai9,222,…，a3n+i,…，成等比数列，设公比为q3,…④

a14,al4,

由①@得，W=q3,且署=q/，所以卬=q4

a2

o\8且a竺l8=q2、所以q?=q4

由①③得，--=q>

a6a6

a22且a七22=q3,，所以q3=q4-

由①©得，----一一q，

〃10alO

3

所以qi=q2=q3=q4•

21

由①®得，a6=a?q,a6=asq2，WW—=—=q^,

alq2

_ciAcT

由①④得，aio=a2q2,aio=a4q32»所以——=-=q2,

alq3

\_\_

所以a2,a3,04是公比为q7的等比数列，所以｛aj（n>2）是公比为q”的等比数列.

因为当n=4,k=3时，T7T产T42T32；

当n=5,k=4时,T9T尸T52T42,

JL11

所以（q*）7=2a24»且（q，）10=2a26,所以q*=2,ak2母.

又a产血，所以｛&,｝（n£N*）是公比为q,的等比数列.

n

故数列｛an｝的通项公式是an=2'-V2.

16.（江苏省姜堰、滦阳、前黄中学2018届高三4月联考）己知数列｛《,｝满足

厂112「3厂”

q=端+.+*■?+&-4•…+J,〃eN*.

""222232"

(1)求q,a2,a3的值;

（2）猜想数列｛q｝的通项公式，并证明.

【答案】(1)q=2,4=4,%=8,⑵见解析

【解析】

(1)q=2,生=4,%=8-

(2)猜想：a=2n.

证明：①当〃=1,2,3时，由上知结论成立；

②假设〃=左时结论成立.，

曳+冬+冬+...+厚=2*.

222232k

!1L±1±i

则〃=左+1时，4+|=C；+i+^+^+^+[5+1+Z+1

由c：