专题11 数列-2024高考数学母题题源解密（全国）含解析

专题11数列-2024高考数学母题题源解密（全国通用）含解析专题11数列考向一等差数列【母题来源】2022年高考全国I卷【母题题文】记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．【试题解析】【小问1详解】∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；【小问2详解】∴【命题意图】本题考查利用等差数列的通项公式、累乘法及裂项求和法.【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空、解答题都有可能出现，多为中档题，是历年高考的必考题型．常见的命题角度有：（1）等差数列通项公式的求法；（2）等差数列前n项和公式的求法；【得分要点】；等差数列前n项和公式求法的几种形式；考向二等比数列【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】已知等比数列的前3项和为168，，则（）A.14 B.12 C.6 D.3【试题解析】详解：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.故选：D.【命题意图】本题考查等比数列的通项公式的简单运算.【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空、解答题都有可能出现，多为中档题，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）等比数列通项公式的求法；（2）等比数列前n项和公式的求法；【得分要点】；等差数列前n项和公式的求法；考向三等差数列、等比数列综合应用【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）【母题题文】记为数列前n项和．已知．（1）证明：是等差数列；（2）若成等比数列，求的最小值．【试题解析】【小问1详解】解：因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．【小问2详解】解：由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时．【命题意图】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以解答题的形式出现．多为中档题，数列是历年高考的热点，主要考查数列的通项公式及前n项和.【得分要点】高考命制综合题时，常将等差、等比数列结合在一起，形成两者之间的相互联系和相互转化，破解这类问题的方法是首先寻找通项公式，利用性质之间的对偶与变式进行转化．一、单选题1．（江西省抚州市2021-2022学年高二下学期学生学业发展水平测试（期末）数学（理）试题）已知等差数列的前项和为，若，则（

）A．44 B．33 C．66 D．552．（重庆市长寿区2021-2022学年高二下学期期末数学（B）试题）在等差数列中，，则的值是（

）A．36 B．48 C．72 D．243．（北京市海淀区2021-2022学年高二下学期学业水平调研数学试题）已知是等比数列，则“”是“为递减数列”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（广东省肇庆市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）等比数列中的项，是函数的极值点，则（

）A．3 B． C． D．5．（2022·上海奉贤·二模）若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（

）A． B． C． D．6．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知数列满足，且，，则（

）A．2021 B． C． D．7．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知数列满足，则数列的前5项和为（

）A． B． C． D．8．（2022·河南·模拟预测（理））《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为尺，最后三个节气日影长之和为尺，今年月日时分为春分时节，其日影长为（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺9．（2022·上海市实验学校模拟预测）.定义规范数列如下：共有项，其中项为，项为，且对任意，中的个数不少于的个数.若，则不同的“规范数列”共有（

）A．个 B．个 C．个 D．个10．（2022·山西太原·三模（理））斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的：已知

是该数列的第100项，则m=（

）A．98 B．99C．100 D．101二、填空题11．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列满足，，，则数列的前20项和为___________.12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设等比数列的前n项和为，若，且，则λ＝________.13．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知，若对于任意恒成立，则实数的取值范围是_______．三、解答题14．（2022·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，且．(1)求证：数列是等差数列；(2)若，，成等比数列，求正整数m．15．（2022·全国·模拟预测）已知是等比数列，，，．(1)求的通项公式；(2)记为数列的前n项和，求使得的正整数n的所有取值．16．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知数列满足.(1)证明是等比数列，并求的通项公式；(2)证明：.专题11数列考向一等差数列【母题来源】2022年高考全国I卷【母题题文】记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．【试题解析】【小问1详解】∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；【小问2详解】∴【命题意图】本题考查利用等差数列的通项公式、累乘法及裂项求和法.【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空、解答题都有可能出现，多为中档题，是历年高考的必考题型．常见的命题角度有：（1）等差数列通项公式的求法；（2）等差数列前n项和公式的求法；【得分要点】；等差数列前n项和公式求法的几种形式；考向二等比数列【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】已知等比数列的前3项和为168，，则（）A.14 B.12 C.6 D.3【试题解析】详解：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.故选：D.【命题意图】本题考查等比数列的通项公式的简单运算.【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空、解答题都有可能出现，多为中档题，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）等比数列通项公式的求法；（2）等比数列前n项和公式的求法；【得分要点】；等差数列前n项和公式的求法；考向三等差数列、等比数列综合应用【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）【母题题文】记为数列前n项和．已知．（1）证明：是等差数列；（2）若成等比数列，求的最小值．【试题解析】【小问1详解】解：因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．【小问2详解】解：由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时．【命题意图】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以解答题的形式出现．多为中档题，数列是历年高考的热点，主要考查数列的通项公式及前n项和.【得分要点】高考命制综合题时，常将等差、等比数列结合在一起，形成两者之间的相互联系和相互转化，破解这类问题的方法是首先寻找通项公式，利用性质之间的对偶与变式进行转化．一、单选题1．（江西省抚州市2021-2022学年高二下学期学生学业发展水平测试（期末）数学（理）试题）已知等差数列的前项和为，若，则（

）A．44 B．33 C．66 D．55【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和条件求出，然后利用等差数列的求和可得答案.【详解】设等差数列的公差为，因为为等差数列，所以，得，所以.故选：D.2．（重庆市长寿区2021-2022学年高二下学期期末数学（B）试题）在等差数列中，，则的值是（

）A．36 B．48 C．72 D．24【答案】A【解析】【分析】利用等差中项的性质求得，再由即可得结果.【详解】由题设，，则，所以.故选：A3．（北京市海淀区2021-2022学年高二下学期学业水平调研数学试题）已知是等比数列，则“”是“为递减数列”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由求出公比的取值范围，然后结合等比数列的通项即可判断数列的单调性，举出反例说明为递减数列不一定能得到，再根据充分条件和必要条件即可得出答案.【详解】解：设数列的公比为，若，则，所以，则，，所以，所以为递减数列；若为递减数列，当时，，数列为递减数列，此时，所以由为递减数列不一定能得到，所以“”是“为递减数列”的充分而不必要条件.故选：A.4．（广东省肇庆市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）等比数列中的项，是函数的极值点，则（

）A．3 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先根据题意确定函数的极值点，进而得到，然后根据等比中项求得答案.【详解】由题意，，则时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，于是x=1和x=3是函数的两个极值点，故，是的两个根，所以，所以，又，所以，，设公比为，，所以.故选：D.5．（2022·上海奉贤·二模）若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】对于等比数列，注意相邻项加减所成的数列含0的情况判断①③即可.【详解】若，，，为，则不为等比数列，①不符合；由，，，必非零且公比为，则也非零且公比为，②符合；若，，，为，则不为等比数列，③不符合；故选：B6．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知数列满足，且，，则（

）A．2021 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据题意整理得，结合等差数列通项公式可得，再利用裂项相消运算处理．【详解】∵，即，则∴数列是以首项，公差的等差数列则，即∴则故选：B．7．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知数列满足，则数列的前5项和为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求出，得到，利用裂项相消法求和.【详解】因为，所以.所以前5项和为故选：D8．（2022·河南·模拟预测（理））《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为尺，最后三个节气日影长之和为尺，今年月日时分为春分时节，其日影长为（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】A【解析】【分析】由题意构造等差数列，设公差为d，利用基本量代换求出通项公式，然后求.【详解】小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列，设公差为d，由题意得：，解得：所以，所以，即春分时节的日影长为4.5.故选：A【点睛】(1)数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换.9．（2022·上海市实验学校模拟预测）.定义规范数列如下：共有项，其中项为，项为，且对任意，中的个数不少于的个数.若，则不同的“规范数列”共有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【解析】【分析】根据数列新定义确定首末项分别为0、1，应用分类讨论及组合数求总排法数.【详解】依题意，由“规范01数列”得：第一项为0，第项为1，当时，只需确定中间的6个元素即可，且知中间的6个元素有3个“0”和3个“1”.①若0后接00，如：0001.后面四个空位可以随意安排3个1和1个0，则有种；②若0后接01，如：0011.后面四个空位可以排的数字为2个“0”和2个“1”，只有一种情形不符合题意，即01后面紧接11，除此外其它的情形故满足要求，因此排法有种；③若0后接10，如：0101.在10后若接0，则后面有种；在10后若接1，即010101，第五个数字一定接0，另两个位置0、1随意排，有种；综上，满足题意的排法有种.故选：C.10．（2022·山西太原·三模（理））斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的：已知

是该数列的第100项，则m=（

）A．98 B．99C．100 D．101【答案】B【解析】【分析】根据题意推出，，，，利用累加法可得，即可求出m的值.【详解】由题意得，，因为，得，，，，累加，得，因为是该数列的第100项，即是该数列的第100项，所以.故选：B.二、填空题11．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列满足，，，则数列的前20项和为___________.【答案】330【解析】【分析】分别讨论为奇数时，数列的通项公式与为偶数时，数列的通项公式，再利用分组求和法代入求和即可.【详解】由题意，当为奇数时，，所以数列是公差为，首项为的等差数列，所以，当为偶数时，，所以数列是公差为，首项为的等差数列，所以，，故答案为：33012．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设等比数列的前n项和为，若，且，则λ＝________.【答案】【解析】【分析】运用等比数列的相关性质，以及前n项和公式来进行相关运算即可.【详解】∵，∴，∴，∵，∴，，将代入，可得.故答案为：13．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知，若对于任意恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】先分离参数将问题转化为对于任意恒成立，进而转化为，构造，再作差判定单调性求出数列的最值，进而求出的取值范围.【详解】因为，且对于任意恒成立，所以对于任意恒成立，即，令，则，因为，，，且对于任意恒成立，所以，即，所以实数的取值范围是.故答案为：.三、解答题14．（2022·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，且．(1)求证：数列是等差数列；(2)若，，成等比数列，求正整数m．【答案】(1)证明见解析(2)7【解析】【分析】（1）根据化简整理，解得等差数列定义处理；（2）根据，，并代入运算求解．(1)因为，所以，即，则．又，，满足，所以是公差为4的等差数列．(2)由（1）得，，则．又，所以，化简得，解得m＝7或（舍）．所以m的值为7．15．（2022·