离散数学5-3-4省公开课一等奖全国示范课微课金奖

主要内容代数系统基本概念1半群与含幺半群（独异点）2群（阿贝尔群与循环群）3子群与陪集4同态与同构5环与域61第1页定义1：<S,*>是一个代数系统，S为非空集合，*是定义在S上二元运算：*是封闭代数系统称为广群；*可结合广群称为半群；含有幺元半群，称为独异点（含幺半群）；*可交换（含幺）半群，称为交换（含幺）半群。例： <R,->是代数系统，但不是半群 因为-在R上封闭，但不可结合； <R,•>是半群，而且含有幺元1 所以也是独异点，是可交换独异点。2第2页定理1：<S,*>是半群，BS，且*在B上封闭，则<B,*>是半群。通常称<B,*>是<S,*>子半群。证实：要证实<B,*>是半群，只要证*在B上封闭、可结合 ∵<S,*>是半群，∴*在S上可结合，而BS ∴a,b,cB，有a*(b*c)=(a*b)*c， 即*在B上可结合 又∵已知*在B上封闭 ∴<B,*>是半群例： <R,•>是半群，∵区间(0,1)R，且•在(0,1)上封闭， ∴<(0,1),•>是<R,•>子半群3第3页定理2：<S,*>是半群，若S是有限集,则必有a

S，使a*a=a。证实：对bS∵<S,*>是半群，*在S上封闭，∴b*b

S记b2=b*b，则b2*b=(b*b)*b=b*(b*b)=b*b2记b3=b2*b=b*b2……记bn=bn-1*b=b*bn-1……∵S是有限集，∴依据鸽巢原理，存在j>i，使得bi=bj记p=j-i(则p≥1)，则j=p+i∴bi=bj=bp+i=bp*bi，∴bi*b=bp*bi*b∴bi+1=bp*bi+1……br=bp*br(r≥i)∵p≥1，∴总能够找到k≥1使得kp≥i∴bkp=bp*bkp=bp*(bp*bkp)=b2p*bkp=…=bkp*bkp∵*在S上封闭，∴bkpS令a=bkp，则a*a=a4第4页定理3：<S,*>是独异点，则在关于*运算表中，任何两行或两列都是不一样。证实：令e是<S,*>幺元，则a，bS，且a≠b， ∵e*a=a≠b=e*b，∴任意两列都不一样 ∵a*e=a≠b=b*e，∴任意两行都不一样*……e……a……b…...e……e……a……b…...a……a……………...b……b……………...5第5页定理4：<S,*>是独异点，a，bS，且都有逆元，则

(1)(a-1)-1=a；

(2)a*b有逆元，且(a*b)-1=b-1*a-1。证实：令e是<S,*>幺元，(1)∵a-1*a=e=a*a-1，∴a-1与a互为逆元， ∴(a-1)-1=a(2)∵(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1

=a*e*a-1=a*a-1=e (b-1*a-1)*(a*b)=b-1*(a-1*a)*b =b*e*b-1=b*b-1=e ∴(a*b)-1=b-1*a-16第6页例1：<{a,b},*>是半群，其中a*a=b，求证：

(1)a*b=b*a；

(2)b*b=b。证实：(1)a*b=a*(a*a)=(a*a)*a=b*a(2)b*b=b*(a*a)=(b*a)*a ∵<{a,b},*>是半群，∴*在{a,b}上封闭， ∴b*a=a或者b*a=b 若b*a=a，则b*b=a*a=b 若b*a=b，则b*b=b*a=b7第7页作业P190（5）8第8页主要内容代数系统基本概念1半群与含幺半群（独异点）2群（阿贝尔群与循环群）3子群与陪集4同态与同构5环与域69第9页定义1：每个元素都有逆元独异点，称为群。定义2：若群还满足交换律，则称为交换群（阿贝尔群）。定义3：<G,*>是群，若G是有限集，称<G,*>是有限群；

G中元素个数称为该有限群阶数，记为|G|；

若G无限，则<G,*>称为无限群。定义4：<G,*>是群，a是G中任意元素，nN，定义元素a幂为：

a0=e，a1=a，……，

an+1=an*a，

a-n=(a-1)n(其中a-1是a逆元) 显然，am*ak=am+k，(am)k=amk（m,k

I）1.群概念10第10页定义5：<G,*>是群，a是G中任意元素，若存在nZ+，使an=e，则称元素a阶是有限，最小正整数n称为元素a阶；若不存在这么正整数n，则称元素a含有没有限阶。解：e1=e，∴e阶是1 a2=a*a=b， a3=a2*a=b*a=e ∴a阶是3 同理，b阶也是3 a3k=e*eabeabeababbeea例：11第11页例1：判断<I,•>，<R,+>，<P(S),∪>，<P(S),∩>，<P(S),>是否是群？解：<I,•>，幺元是1，只有幺元有逆元，其它元素没逆元，

∴不是群；<R,+>，幺元是0，x+(-x)=0，每个元素都有逆元，

∴是群<P(S),∪>和<P(S),∩>不是群，因为无逆元；<P(S),>是群， ∵ØA=A=AØ∴Ø是幺元 AP(S)，有AA=Ø∴A-1=A， 每个元素都有逆元12第12页例2：集合Zm是模m同余类组成同余类集，即

Zm={[0],[1],[2],…,[m-1]}，[i]Zm，[j]Zm，定义运算：[i]+m[j]=[(i+j)modm]，

[i]×m[j]=[(i×j)modm]，

判断当m=4时代数系统<Zm,+m>,<Zm,×m>是否为群？证实：m=4时，运算表： 封闭、可结合、 有幺元[0]、 每个元素都有逆元

[0]-1=[0]

x≠0时，[x]-1=[4-x]∴<Z4,+4>是群，阶数是4+4[0][1][2][3][0][0][1][2][3][1][1][2][3][0][2][2][3][0][1][3][3][0][1][2]13第13页小结： {群}{独异点}{半群}{广群}{代数系统} 半群在广群基础上还要求运算可结合； 独异点在半群基础上要求存在幺元； 群在独异点基础上要求每个元素都有逆元。×4[0][1][2][3][0][0][0][0][0][1][0][1][2][3][2][0][2][0][2][3][0][3][2][1] 封闭、可结合、 有幺元[1]、 但元素[0]、[2]没有逆元 ∴<Z4,×4>不是群14第14页2.群性质1)群中无零元。证实：设<G,*>是群， 若|G|=1，则G唯一元素是幺元，∴无零元； 若|G|>1，设<G,*>有幺元e、零元，则≠e xG，x*=*x=≠e∴无逆元 这与<G,*>是群相矛盾，

∴<G,*>中无零元15第15页2)<G,*>是群，a,bG，必存在唯一xG，使得a*x=b证实：

aG，设a逆元为a-1 ∵<G,*>是群，∴*在G上是封闭，∴a-1*bG 令x=a-1*b，则a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b

∴存在x，使得a*x=b 设另有x1G，使得a*x1=b，则有 x=a-1*b=a-1*(a*x1)=(a-1*a)*x1=

e*x1=x1

∴x=x1

∴使a*x=b成立x是唯一。说明：证实存在性时，只要找出一个满足条件即可；证实唯一性时，通常设另一个满足条件，再证两个相等16第16页3)<G,*>是群，a,b,cG，若a*b=a*c或b*a=c*a，则b=c（消去律）证实略（两边同时与a-1进行*运算即可）4)在群<G,*>中，只有幺元e是等幂元证实：∵e*e=e，∴e是等幂元 设有另一个等幂元a，则a*a=a ∵e*a=a=a*a，由消去律，得a=e5)在有限群<G,*>中，每个元素都含有有限阶，且阶数至多是|G|。（利用鸽巢原理证实）17第17页定义6：S是一个集合，从S到S一个双射，称为S一个置换。例：设S={a,b,c,d} f(a)=b,f(b)=c,f(c)=d,f(d)=a是S一个置换 f(a)=d,f(b)=a,f(c)=b,f(d)=c是S另一个置换 这两个置换可表示为：abcdbcdadabc18第18页6)在群<G,*>运算表中每一行或每一列都是G元素一个置换。证实：(1)G中任一元素b，在G每一行中必出现 对

xG，由封闭性，得x-1*bG， ∵x*(x-1*b)=(x*x-1)*b=b ∴对x行，必定在x-1*b列上出现元素b ∴任一元素b在每一行中都会出现(2)G中每个元素在每行中只出现一次（反证法）

设cG，在对应于a那行中出现两次， 则必有b1G，b2G，且b1≠b2，使得a*b1=a*b2=c， 由消去律，得b1=b2，产生矛盾，∴假设错 由(1)(2)可知运算表每一行都是G一个置换， 同理，每一列也是G一个置换。19第19页例3：结构一个三阶群解：设e是幺元，G={e,a,b}， 结构三阶群<G,*>运算表以下：结构方法：先写出幺元对应行和列运算结果

再按置换要求，填写其它运算结果*eabeabeababbeea20第20页3.循环群定义7：<G,*>是群，若存在aG，使得G中任意元素都由a幂组成，则称<G,*>为循环群；元素a称为它生成元。例：令A={2i|iI}，则<A,•>是循环群，2是生成元例：<I,+>是循环群， ∵<I,+>是群，0是幺元， 10=0、11=1、12=1+1=2、 13=12+1=1+1+1=3、……、1n=n、…… 1-1=-1、1-2=(1-1)2=1-1+1-1=(-1)+(-1)=-2、……、 1-n=-n、…... ∴1是<I,+>生成元21第21页同时： ∵(-1)0=0、(-1)1=-1、(-1)2=(-1)+(-1)=-2、……、 (-1)n=-n、…… (-1)-1=1、(-1)-2=(-1-1)2=(-1)-1+(-1)-1=1+1=2、……、 (-1)-n=n、…... ∴-1也是<I,+>生成元可见，一个循环群生成元能够是不唯一。22第22页定理1：任何一个循环群必是交换群。证实：设<G,*>是循环群，a是生成元，则 x,yG，必有m,nI， 使得x=am，y=an， x*y=am*an

=am+n=an+m

=an*am=y*x ∴<G,*>是交换群。23第23页定理2：<G,*>是有限循环群，a为生成元，若|G|=n，则an=e且G