可测函数的定义与性质概述省公开课一等奖全国示范课微课金奖

第11讲可测函数定义与性质目标：熟练掌握可测函数定义，熟悉其性质，掌握常见一些可测函数。重点与难点：可测函数引入，性质证明。第1页第11讲可测函数定义与性质基本内容：一．可测函数定义为了定义新积分，我们已经对Rn中普通集合定义了测度概念，但同时也看到了，Rn中确存在一些集合，它们是不可测，所以，有必要对定义于Rn中某个可测子集E上函数f，考查形如第2页第11讲可测函数定义与性质

集合这可测性,假如对一切上述集合都是可测，则下面和式就有意义了（见本书引言），从而能够讨论其极限存在性，本章目标，就是研究使得集合第3页第11讲可测函数定义与性质

对一切都可测函数之结构。（1）关于∞运算因为我们允许函数值取，所以需作一些要求，我们所讨论函数都是指单值实函数，而且要求（i）（ii）对任意第4页第11讲可测函数定义与性质（iii）对任意（iv）不过第5页第11讲可测函数定义与性质

及是没有意义，所以，不允许作这种运算。（2）定义定义1假设是可测集，是E上函数，假如对任意常数a，集合都是可测集，则称f是E上可测函数。第6页第11讲可测函数定义与性质问题1：为了定义函数Lebesgue积分，须要求这些函数满足什么条件？问题2：列举几类可测函数例子？第7页第11讲可测函数定义与性质（3）简单函数可测性定义设是可测集,E1，E2，…，En

是E互不相交可测子集，且

C1,C2，…,Cn是常数，则称E上函数为简单函数。/dx//dx/150910/4694207.html/dx/151205/4738748.html/dx/151205/4738750.html/dx/151205/4738751.html/dx/150910/4694176.html/dx/150907/4692216.html/dx/150905/4691645.html/dx/150902/4691147.html/dx/151207/4739192.html/dx/151207/4739197.html/dx/151207/4739201.html/dx/151207/4739215.html/dx/150902/4691141.html/dx/151208/4740618.html/dx/151208/4740619.html/dx/151209/4741159.html/dx/151209/4741163.html/dx/151209/4741170.html/dx/151209/4741172.html/dx/151210/4741687.html第8页第11讲可测函数定义与性质记为特征函数，则显然有命题1对任意可测集E，E上简单函数是可测。证实：设是E上简单函数，不失普通性，假设第9页第11讲可测函数定义与性质（若，则将看作某个Ek

），往证对任意

是可测集。显然，

第10页第11讲可测函数定义与性质

所以是可测集。证毕。（4）非负函数可测性等价定义假如可测函数，则称其为非负可测函数。定理1假如是可测集上非负函数，则以下各陈说相互等价：第11页第11讲可测函数定义与性质（i）在E上非负可测；（ii）存在E上非负简单函数列使得证实，其中第12页第11讲可测函数定义与性质是E上非负简单函数，满足则对任意实数a及任意是可测集，但故是可测集。(i)

(ii)假设f是E上非负可测函数，即第13页第11讲可测函数定义与性质任意实数a,是可测集,不难看到故是可测集，于是对任意常数a，b，集合也是可测。第14页第11讲可测函数定义与性质对任意正整数m及令则是互不相交可测集，且定义简单函数

第15页第11讲可测函数定义与性质能够证实（请读者自行验证）。下面证实若使则对任意，所以若则可取正整数则当时，第16页第11讲可测函数定义与性质所以。证毕。因为定理1中（i）与(ii)等价性，所以，也可将（ii）作为非负可测函数定义。第17页第11讲可测函数定义与性质（5）普通可测函数等价定义而对普通实值函数，能够作正负部分解：第18页第11讲可测函数定义与性质

则,于是又可利用可测性来定义f可测性。即称可测当且仅当都是可测函数。能够证实该定义与定义1是等价。第19页第11讲可测函数定义与性质定理2设是Rn中可测集E个函数，则在E上可测当且仅当以下条件之一成立。

(i)对任意常数a,可测；

(ii)对任意常数a,可测；第20页第11讲可测函数定义与性质(iii)对任意常数a,可测；证实：因为第21页第11讲可测函数定义与性质

故可测

(i)

(ii)

(iii)

可测。证毕。问题3：可否用E{x|f(x)=α}(α∈R)可测性作为可测函数定义？为何？第22页第11讲可测函数定义与性质问题4：可否用E{x|α≤f(x)<β}可测性作为可测函数定义？问题5：若f是可测函数，则E{f(x)=±∞}是否可测？第23页第11讲可测函数定义与性质命题2若是E上可测函数，则都是可测集。证实由立得证实。第24页第11讲可测函数定义与性质

二．可测函数性质（1）几乎处处相等函数下面讨论可测函数基本性质。普通地，假如E是可测集，是与x相关命题，且存在E零测子集E0，使得对任意，命题成立，则说在E上几乎处处成立。第25页第11讲可测函数定义与性质性质1假如两个函数与在上几乎处处相等，则当其中一个在E上可测时，另一个也可测。证实：假设可测，则对任意实数是可测集，因为

是零测集，且

第26页第11讲可测函数定义与性质故是可测集与一个零测集并，它当然可测。证毕。第27页第11讲可测函数定义与性质

从性质1能够看到，函数可测性与其在零测集上取值无关，所以，讨论函数可测性允许在任何零测集上改变其值，比如，我们来看看Dirichlet函数。第28页第11讲可测函数定义与性质

因为，故能够在上重新定义D值，从而得新函数这是常值函数，它与几乎处处相等，所以与可测性相同。尽管处处不连续，但和一个常值函数却是几乎处处相等。在第四章中将会看到，这么函数即使不是Riemann可积，却是最简单Lebesgue可积函数。事实第29页第11讲可测函数定义与性质

上，它正是我们前面定义简单函数。（2）

可测函数定义域分割性质2假如是E上可测函数，E0是E可测子集，则也是E0上可测函数。反之，假如已知在每一个Ei上都可测，i=1,2,3,…,则在可测。第30页第11讲可测函数定义与性质证实：由立得性质2。因为我们允许可测函数取值为，所以讨论两个可积函数和、差、商可第31页第11讲可测函数定义与性质

测性，需假定这些运算是被允许。（3）

可测函数和与差可测性性质3若，都是E上可测函数则（i）在E上可测。

(ii)当在E上几乎处处有意义时，在E上可测；第32页第11讲可测函数定义与性质证实：若，则，它当然在E上可测。若，则对任意

从而由可测性知可测。

第33页第11讲可测函数定义与性质若则故仍可测。（i）证毕。为证(ii)，不妨设处处有意义，将R1中全体有理数排成序列，则对任意第34页第11讲可测函数定义与性质

由可测