江苏高中数学竞赛夏令营函数讲稿(扬州)市公开课一等奖省赛课获奖

函数扬州第1页1.函数值域为______________.解1：解2：第2页

2.

已知正数a、b、c满足：则取值范围是________.化简第3页3.设函数与在区间[1,4]同一点上取相同最小值，试求在该区间上最大值。若在区间[1,2]同一点上取相同最小值呢？若在区间

同一点上取相同最小值呢？第4页4.设函数f(x)=|lg(x+1)|，实数a,b(a<b)满足求a,b

值.解：（舍去）或第5页5.已知是实数，函数

当时，（1）证实：（2）证实：当时，（3）设，当时，最大值为2，求。第6页又

是函数对称轴第7页6.设当函数f(x)零点多于一个时，求f(x)在以其最小零点与最大零点为端点闭区间上最大值.由题意，f(x)是偶函数.1.当函数f(x)零点为2个时，oooo2.当函数f(x)零点为3个时，3.当函数f(x)零点为4个时，

f(x)最大值为0(此时q<0)

q(此时q>0)；

f(x)最大值为0(此时q=0)；

f(x)最大值为q(此时q>0).o第8页

7.

若函数y=f（x）在处取得极大值或极小值，则称为函数y=f（x）极值点。已知a、b是实数，1和-1是函数两个极值点。（1）求a和b值；（2）设函数g（x）导函数，求

g（x）极值点；（3）设h（x）=f（f（x））-c，其中，求函数y=h（x）零点个数。第9页

当|t|<2

时，f（x）=t零点数为3且零点|x|<2.解：（1）（2）（3）-0+0+

所以，g（x）极值点为－2.设f（x）=t,2-2-22x=2x=-2

当|t|=2

时，f（x）=t零点数为2

(零点为x=-1、x=2或x=-2、x=1）；

所以，当|c|=2时，y=h（x）=f(f(x))–

c零点数为5(2+3)；当|c|<2时，y=h（x）零点数为9（3+3+3).第10页8．设二次函数，满足条件：（1）当时，且；（2）当时，；（3）在R上最小值为0.求最大，使得存在，只要，就有.第11页8.是二次函数f(x)对称轴—必要条件经验算恒有—m可能值第12页

9.

设f（x）、g（x）分别是定义在R上奇函数、偶函数，当x<0时，F（x）=f（x）g（x）在（－∞，0）上是增函数，且g（2）=0.则不等式f（x）g（x）<0解集是_____________.-22xOyF(x)是奇函数第13页10.设f(x)是定义在R上函数：（1）求证：（2）若f(x)在R上是增函数，判断M=N是否成立，并证实你结论。(1)(2)或f(x)在R上是增函数f(x)在R上是增函数∴M=N.第14页11.设f(x)是定义在R上函数，a是大于0实数，满足：试证实：f(x)是周期函数。证实：探索化简第15页若，则12.函数在[0,1]上有定义，假如对于不一样，都有

求证：证实：若，则不妨设第16页由f(y)≥0，得f(x)在[0,1]上是不减函数.13.已知f(x)是定义在[0,1]上非负函数，且f(1)=1，对任意x，y，x+y∈[0,1]都有f(x+y)≥f(x)+f(y).证实：f(x)≤2x（x∈[0,1]）.证实：所以，原命题成立.[f(x+y)≥f(x)

]当0<x<

时，存在正整数n,使得当x=0或时，显然命题成立.第17页14.已知函数（1）证实：（2）在区间（1,e)上f(x)>x恒成立,求实数a取值范围;（3）当时，证实：解：（1）证实：（2）设设（舍去）第18页（3）当时，证实：（3）证实：当n=k+1时，①当n=1时，所以n=1时不等式成立.②假设n=k时，不等式成立.即故当n=k+1时，不等式也成立.所以，当时，第19页15.已知函数（1）求函数f(x)最小值；（2）求证：当时，;（3）对于函数h(x)和g(x)定义域上任意实数x，若存在常数k、b，使得不等式和都成立，则称直线y=kx+b是函数h(x)与g(x)“分界限”。设，试问函数h(x)与g(x)是否存在“分界限”？若存在,求出常数k、b值；若不存在，说明理由。第20页15.解（1）（2）由（1）（3）第21页16.设f

(x)是定义在上函数，其导函数为。假如存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意都有h(x)>0，使得，则称函数f(x)含有性质P(a)。

（1）设函数，其中b为实数。

①求证：函数f(x)含有性质P(b)；②求函数f(x)单调区间。

（2）已知函数g(x)含有性质P(2)。

给定，设m为实数，，

且，

若，求m取值范围。第22页16.（1）①证实由，得函数f(x)含有性质P(b).②解在上单调增；∴当在上单调减；在上单调增.第23页第24页16.（2）解由题意在上单调增。∴区间与区间中点重合。在上单调增,又或第25页17.为常数，且（1）求对全部实数成立充要条件（用表示）（2）设为两实数，且若求证：在区间上单调增区间长度和为（闭区间长度定义为）第26页17.（1）所以，所求必要条件是（2）①当时，

此时，增区间为，它长度是第27页②当时，设所以，单调增区间长度和为第28页18.已知函数（1）若曲线在点P（0,1）处切线l与C有且只有一个公共点，求m值；（2）求证：函数存在单调递减区间[a,b]，并求出单调递减区间长度t=b-a取值范围。由有惟一实数解设解：（1）（适合题意）∴m=1.∴在（-1，0）上，方程还有一解（不合题意）第29页（2）第30页19.已知a，b是实数，函数和是导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致.（1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数b取值范围；（2）设且，若函数和在以a，b为端点开区间上单调性一致，求|a-b|最大值。解：（1）第31页（2）①b<a<0，②a<b

≤0，③a<0<b，（不合题意）综上，第32页20.已知函数（1）求函数单调区间和极值；图象与函数图象关于直线对称，证实当时，（3）假如，且，证实（2）已知函数第33页20.（1）解：f'由f'(x)=0,解得x=1.在()内是减函数。)内是增函数，所以f(x)在(函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=.当x<1时，f'(x)>0;当x>1时，f'(x)<0.（2）证实：令F(x)=f(x)-g(x),即于是F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)当x>1时，2x-2>0,从而又

所以F'(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。又F(1)=，所以时，有第34页（3）证实：不失普通性，设

若或由（1）可知，所以，若,只可能有由及（2）可知，,从而因为又由及函数f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以，即第35页1.求函数最值.解：解2：解1：第36页2．设最小值为，求实数a值。（舍去）第37页3.若,则取值范围为________________.解1：解2：由函数是增函数原式可化为第38页4.设三角函数，其中k≠0.试求最小正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包含这两个整数）改变时，函数f（x）最少有一个极大值M与一个极小值m。第39页5.设（1）求f(x)最小正周期；（2）对于任意正数a，是否能找到大于a，且小于a+1两个数m和n，使得f(m)=1且f(n)=－1?（3）若（2）中a改为任意自然数，你能得到怎样结论?不一定.取不存在.第40页6.已知且满足

试比较a，b，c大小.反设（此为矛盾）反设（此为矛盾）解：第41页7.在锐角ΔABC中，若，求∠B取值范围.解1：解2：（当且仅当a=b=c等号成立）第42页8.在ΔABC中，若

求证：ΔABC中最少有一个角为60°.证实：所以，ΔABC中最少有一个角为60°.第43页9.在ΔABC中，证实：证实1：同理第44页9.在ΔABC中，证实：证实2：同理第45页10.凸四边形ABCD中，没有一个内角是直角，求证：证实：设A≤B≤C≤D，则A+B与A+C中最少有一个不为90°.不失普通性，设A+B≠90°.第46页11．已知函数图象与直线有且仅有三个交点，交点横坐标最大值为a.求证：

第47页12.已知函数，求最小值.减第48页关于对称任意存在，使得第49页13.已知a>0，b>0，又α、β为实数且满足

求证：证实：第50页第51页

设是椭圆

上两点，O为椭圆中心。即要证实：令OA=m，OB=n，即要证实第52页由在上是减函数，14.在直角ΔABC中，∠C为直角.求使得成立最大k值.解：由题意，可设设,则第53页15.已知是圆上三点，且满足证实：证实1：由题意，可设则其中所以，原命题成立.第54页15.已知是圆上三点，且满足证实：证实2：由题意，可设则且所以，ΔABC是正三角形.所以，原命题成立.设则第55页16.若x、y、z均为正实数，且，求：（1）最小值；（2