辽宁省沈阳市第九十八中学高一数学理上学期摸底试题含解析

辽宁省沈阳市第九十八中学高一数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图像必经过点（

）

A．（0,2）

B.（0,1）

C.（2,1）

D.（2,2）

参考答案：D略2.已知函数则有

（

）.是奇函数，且

.是奇函数，且.是偶函数，且

.是偶函数，且参考答案：C略3.若任意满足的实数x，y，不等式恒成立，则实数a的最大值为（）Ａ.

B.

C.

2

D.参考答案：B4.定义在R上的函数f(x)满足，且当时，.若对任意的，不等式恒，则实数m的最大值是（

）A．-1

B．

C.

D．参考答案：C函数为偶函数,且当时,函数为减函数,时,函数为增函数.若对任意的，不等式恒成立，则,即,所以.当时,,所以,解得,所以.当,时,不等式成立,当时,,无解,故,的最大值为.

5.圆心坐标为(1,－1)，半径长为2的圆的标准方程是（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据圆的标准方程的形式写.【详解】圆心为，半径为2的圆的标准方程是.故选C.【点睛】本题考查了圆的标准方程，故选C.6.求下列函数的定义域（1）；

（2）参考答案：（1）

（2）7.下列各函数在其定义域中，既是奇函数，又是增函数的是（）A．y=x+1 B．y=﹣x3 C．y=﹣ D．y=x|x|参考答案：D【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数图象的特点，减函数的定义，反比例函数在定义域上的单调性，奇函数的定义，二次函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找到正确选项．【解答】解：A．根据y=x+1的图象知该函数不是奇函数，∴该选项错误；B．x增大时，﹣x3减小，即y减小，∴y=﹣x3为减函数，∴该选项错误；C.在定义域上没有单调性，∴该选项错误；D．y=x|x|为奇函数，；y=x2在[0，+∞）上单调递增，y=﹣x2在（﹣∞，0）上单调递增，且y=x2与y=﹣x2在x=0处都为0；∴y=x|x|在定义域R上是增函数，即该选项正确．故选：D．8.设集合则下列表示P到M的映射的是（

）A

B

C

D

参考答案：C略9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则等于（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】利用正弦定理可求.【详解】由正弦定理得.故选：B.【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于容易题.10.的斜二侧直观图如图所示，则的面积为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）已知sinα+cosα=，且0＜α＜，则sinα﹣cosα的值为

．参考答案：﹣考点： 同角三角函数基本关系的运用．专题： 三角函数的求值．分析： 利用完全平方公式，先求出2sinαcosα，即可得到结论．解答： 由sinα+cosα=，平方得1+2sinαcosα=，则2sinαcosα=，∵0＜α＜，∴sinα﹣＜cosα，即sinα﹣cosα＜0，则sinα﹣cosα=﹣==﹣，故答案为：﹣；点评： 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．12.已知△P1P2P3的三顶点坐标分别为P1（1，2），P2（4，3）和P3（3，﹣1），则这个三角形的最大边边长是

，最小边边长是

．参考答案：，．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】利用两点间的距离公式分别求得三边的长，判断出最大和最小边的长度．【解答】解：|P1P2|==，|P2P3|==，|P1P3|==，∴最大的边长为，最短的边为故答案为：，．13.设a为常数且a＜0，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+﹣2，若f（x）≥a2﹣1对一切x≥0都成立，则a的取值范围为

．参考答案：[﹣1，0）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】通过讨论x的范围，得到不等式，解出即可求出a的范围．【解答】解：当x=0时，f（x）=0，则0≥a2﹣1，解得﹣1≤a≤1，所以﹣1≤a＜0当x＞0时，﹣x＜0，，则由对勾函数的图象可知，当时，有f（x）min=﹣2a+2所以﹣2a+2≥a2﹣1，即a2+2a﹣3≤0，解得﹣3≤a≤1，又a＜0所以﹣3≤a＜0，综上所述：﹣1≤a＜0，故答案为：[﹣1，0）．【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查了对勾函数的单调性，是一道基础题．14.在直角坐标系xOy中，已知任意角以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，若其终边经过点，且，定义：，称“”为“的正余弦函数”，若，则_________

．参考答案：试题分析：根据正余弦函数定义，令，则可以得出，即.可以得出，解得，.那么，，所以故本题正确答案为.考点：三角函数的概念.15.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的全面积为且，则三棱锥的体积为

▲

．参考答案：

16.已知，，，则的最小值为__________．参考答案：8由题意可得：则的最小值为.当且仅当时等号成立.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．17.若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分析，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分析，则集合A={a1，a2，a3}的不同分析种数是

．参考答案：27【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】新定义；分类讨论．【分析】考虑集合A1为空集，有一个元素，2个元素，和集合A相等四种情况，由题中规定的新定义分别求出各自的分析种数，然后把各自的分析种数相加，利用二次项定理即可求出值．【解答】解：当A1=?时必须A2=A，分析种数为1；当A1有一个元素时，分析种数为C31?2；当A1有2个元素时，分析总数为C32?22；当A1=A时，分析种数为C33?23．所以总的不同分析种数为1+C31?21+C32?22+C33?23=（1+2）3=27．故答案为：27【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知a、b、c分别是锐角△ABC三个内角A、B、C的对边，且，且.(Ⅰ)求A的值；(Ⅱ)求△ABC面积的最大值；参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理将角化为边得，利用余弦定理可得；（Ⅱ）由及基本不等式可得，故而可得面积的最大值.试题解析：（Ⅰ）因为，由正弦定理有，既有，由余弦定理得，.（Ⅱ），即，当且仅当时等号成立，当时，,所以的最大值为.19.在数列{an}中，，．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前n项和Sn．参考答案：(1)证明见解析.(2).【分析】（1）根据数列通项公式的特征，我们对，两边同时除以，得到，利用等差数列的定义，就可以证明出数列是等差数列；（2）求出数列的通项公式，利用裂项相消法，求出数列的前n项和。【详解】（1）的两边同除以，得，又，所以数列是首项为4，公差为2的等差数列。(2)由（1）得，即,故，所以【点睛】本题考查了证明等差数列的方法以及用裂项相消法求数列前和。已知，都是等差数列，那么数列的前和就可以用裂项相消法来求解。20.已知||=1，||=，与的夹角为θ．（1）若∥，求?；（2）若﹣与垂直，求θ．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用向量共线直接写出夹角，然后利用向量的数量积求解即可．（2）利用向量垂直数量积为0，列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵||=1，||=，∥，∴θ=0°或180°，∴?=||||cosθ=±．…5’（2）∵﹣与垂直；∴（﹣）?=0，即||2﹣?=1﹣cosθ=0，∴cosθ=．又0°≤θ≤180°，∴θ=45°．…10’21.设奇函数f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是减函数且最大值为﹣5，函数g（x）=，其中a＜．（1）判断并用定义法证明函数g（x）在（﹣2，+∞）上的单调性；（2）求函数F（x）=f（x）+g（x）在区间[3，7]上的最小值．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）分别求出f（x）和g（x）的最小值，求出F（x）的最小值即可．【解答】解：（1）函数g（x）在（﹣2，+∞）上是减函数，证明如下：设﹣2＜x1＜x2，∵g（x）=a+，∴g（x2）﹣g（x1）=（a+）﹣（a+）=（1﹣2a）?，∵﹣2＜x1＜x2，∴＜0，∵a＜，∴g（x2）＜g（x1），∴a＜时，g（x）在（﹣2，+∞）递减；（2）由题意得：f（x）max=f（﹣7）=﹣5，且f（x）是奇函数，∴f（7）=5，即f（x）在区间[3，7]上的最小值是5，由（1）得：g（x）在[3，7]上也是减函数，∴F（x）min=f（7）+g（7）=．22.在△ABC中，角