北京地安门中学高三数学理上学期期末试卷含解析

北京地安门中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知x，y满足且目标函数z=3x+y的最小值是5，则z的最大值是（）A．10 B．12 C．14 D．15参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】由目标函数z=3x+y的最小值为5，我们可以画出满足条件的可行域，结合目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数c的方程组，消参后即可得到c的取值，然后求出此目标函数的最大值即可．【解答】解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线x=2与直线﹣2x+y+c=0的交点A，使目标函数z=3x+y取得最小值5，故由，解得x=2，y=4﹣c，代入3x+y=5得6+4﹣c=5，?c=5，由?B（3，1）当过点B（3，1）时，目标函数z=3x+y取得最大值，最大值为10．故选A．2.已知函数，，若对于，，使得，则的最大值为（

）A.

B.

C.1

D.参考答案：D3.“”是“函数在区间上为增函数”的 A．充分条件不必要

B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略4.若函数在上既是奇函数又是增函数，则的图象是（

）

A

B

C

D参考答案：C5.记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=2，S6=18，则等于（）A．﹣3 B．5 C．﹣31 D．33参考答案：D【考点】8G：等比数列的性质．【分析】先由题设条件结合等比数列的前n项和公式，可以求出公比q，然后再利用等比数列前n项和公式求．【解答】解：根据题意，S3=2，S6=18，易得q≠1；∵S3=2，S6=18，∴，∴q=2．∴==．故选D．6.函数处分别取得最大值和最小值，且对于任意则

A．函数一定是周期为4的偶函数

B．函数一定是周期为2的奇函数

C．函数一定是周期为4的奇函数

D．函数一定是周期为2的偶函数参考答案：A7.（5分）（2015?哈尔滨校级二模）如图可能是下列哪个函数的图象（）A．y=2x﹣x2﹣1B．C．y=（x2﹣2x）exD．参考答案：C【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据函数解析式得出当x＜0时，y=2x﹣x2﹣1有负值，y=有无数个零点，y=，的图象在x轴上方，无零点，可以得出答案．解：根据函数的图象得出：当x＜0时，y=2x﹣x2﹣1有负值，故A不正确，y=有无数个零点，故B不正确，y=，y′=，y′==0，x=ey′=＞0，x＞ey′=＜0，0＜x＜e故（0，e）上单调递减，（e，+∞）单调递增，x=e时，y=e＞0，∴y=，的图象在x轴上方，故D不正确，排除A，B，D故选：C【点评】：本题考查了运用函数的图象解决函数解析式的判断问题，整体把握图象，看单调性，零点，对称性．8.已知正三角形的边长为1,点是边上的动点,点是边上的动点,且,则的最大值为A. B. C. D.参考答案：D9.若函数,则该函数在(-∞,+∞)上是

(

)

(A)单调递减无最小值

(B)单调递减有最小值

(C)单调递增无最大值

(D)单调递增有最大值参考答案：A10.已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则?的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣1，2]参考答案：C【考点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入?分析比较后，即可得到?的取值范围．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时，?=﹣1×1+1×1=0当x=1，y=2时，?=﹣1×1+1×2=1当x=0，y=2时，?=﹣1×0+1×2=2故?和取值范围为[0，2]解法二：z=?=﹣x+y，即y=x+z当经过P点（0，2）时在y轴上的截距最大，从而z最大，为2．当经过S点（1，1）时在y轴上的截距最小，从而z最小，为0．故?和取值范围为[0，2]故选：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.观察下列各式：13=1，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，由此推得：13+23+33…+n3=

．参考答案：【考点】F1：归纳推理．【分析】根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2=62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2=102，进而可得答案．【解答】解：根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2=62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2=102，则13+23+33+43+…+n3=（1+2+3+4+…+n）2=[]2=，故答案为：．12.在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若是等边三角形，则的值为___________.参考答案：313.若函数的值域为，则实数的取值范围是__________。参考答案：答案:14.记数列的前n项和为，且，则_______.参考答案：415.A，B为单位圆（圆心为O）上的点，O到弦AB的距离为，C是劣弧（包含端点）上一动点，若，则的取值范围为___.参考答案：【分析】以圆心为坐标原点建立直角坐标系，设，两点在轴上方且线段与轴垂直，分别表示出，两点的坐标，求出、向量，即可表示出向量，由于是劣弧（包含端点）上一动点，可知向量横纵坐标的范围，即可求出的取值范围。【详解】如图以圆心为坐标原点建立直角坐标系，设，两点在轴上方且线段与轴垂直，，为单位圆（圆心为）上的点，到弦的距离为，点，点，，，即，，，又是劣弧（包含端点）上一动点,设点坐标为，，，，解得：，故的取值范围为【点睛】本题主要考查了向量的综合问题以及圆的基本性质，解题的关键是建立直角坐标系，表示出各点坐标，属于中档难度题。16.计算：=

．参考答案：817.若点P（x，y）满足线性约束条件，O为坐标原点，则的最大值_________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知双曲线，分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为.过右焦点的直线与双曲线C的右支交于两点，设点位于第一象限内.（1）求双曲线的方程；（2）若直线分别与直线交于两点，求证：；（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.参考答案：（1）由题可知：

……1分

……2分

∴双曲线C的方程为：

……3分（2）设直线的方程为：，另设：

……4分

……5分又直线AP的方程为，代入

……6分同理，直线AQ的方程为，代入

……7分

……9分（3）当直线的方程为时，解得.易知此时为等腰直角三角形，其中，即，也即：.

……10分下证：对直线存在斜率的情形也成立.

……11分

……12分

……13分∴结合正切函数在上的图像可知，

……14分19.已知函数．（1）若关于x的方程有解，求实数a的最小整数值；（2）若对任意的，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a的取值范围．参考答案：（1）2（2）【分析】（1）化简方程得，问题转化为求的最小值，对求导，分析导函数的正负得的单调性，从而得出的最小值，可得解；

（2）分析函数的定义域和单调性，得出在的最小值和最大值，由已知建立不等式，再构造新函数，求导分析其函数的单调性，得其最值，从而得解.【详解】（1）化为，，，．令，，则，．的单调减区间为，单调增区间为，．，，．的最小整数值为2．（2），，，．．，的定义域为，且在是增函数．则，在上的最大值为，最小值为．由题意知，．，令，．在上是减函数，最大值为．，，的取值范围是．【点睛】本题综合考查运用导函数分析原函数的单调性、最值解决求参数的范围等问题，解决问题的关键是构造函数，对其求导，分析导函数的正负，得其构造函数的单调性和最值，属于难度题.20.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的坐标系中，直线l的极坐标方程为，直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的值.参考答案：【分析】把曲线化简为直角坐标方程，和直线l化成参数方程，利用参数的几何意义，求出弦长即可.【详解】曲线，直线，设直线的参数方程为(t为参数)，代入曲线，得，设的参数分别为，.成立，，，弦长.【点睛】本题考查了圆的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程和参数方程，属于基础题．21.已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）函数的定义域为，.由，可得或，当时，在上恒成立，所以的单调递增区间是，没有单调递减区间；当时，的变化情况如下表：所以的单调递减区间是，单调递增区间是.当时，的变化情况如下表：所以的单调递减区间是，单调递增区间是.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，