安徽省六安市苏南中学高三数学文联考试卷含解析

安徽省六安市苏南中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.陈老师常说“不学习就没有出息”，这句话的意思是：“学习”是“有出息”的（）A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A2.已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，连结AF1、BF1，若|AB|=|BF1|且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF1|﹣|BF2|=2a，结合等腰直角三角形可得|AF1|=4a，设|BF1|=x，运用勾股定理，可得a，c的关系，由离心率公式即可得到所求．【解答】解：由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF1|﹣|BF2|=2a，相加可得|AF1|+|BF1|﹣|AB|=4a，|AB|=|BF1|且，∴|AF1|=4a，设|BF1|=x，则，，又∵，即有8a2+（2a﹣2a）2=4c2，化简可得（5﹣2）a2=c2，即有e==．故选：B．3.函数在坐标原点附近的图象可能是（

）参考答案：A4.已知等比数列满足，，则（

）A．-48

B．48

C.48或-6

D．-48或6参考答案：D5.设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|，则a与b夹角为（）A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.设在可导，则等于A.

B.

C.

D.0参考答案：C7.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积不可能是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：8.设集合A={x|1<x<4}，集合B={x|x2-2x-3≤0}，则A∩（СRB）=

A．（1，4）

B．（3，4）

C．（1，3）

D．（1，2）∪（3，4）参考答案：B略9.将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法种数为（

）A．18

B．30

C．36

D．48参考答案：答案：B解析：分两步：（1）先排，=2，有2种；=3有2种；=4有1种，共有5种；（2）再排，共有种，故不同的排列方法种数为5×6=30，选B10.如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是(

) A． B． C． D．参考答案：A考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图判断几何体的形状与特征，利用三视图的数据求出几何体的表面积．解答： 解：由三视图可知，该几何体为两个半圆锥的对接图形．显然圆锥的底面圆的半径为1，母线长为2，但是这个对接圆面不是底面，底面正好是轴截面．所以该几何体的表面积为：=2（）．故选A．点评：本题考查几何体的表面积的求法，几何体的特征是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等比数列满足，.设数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为

．参考答案：（-∞，2]12.已知，且则

.参考答案：13.已知函数,则__________．参考答案：略14.不等式的解集为_________________参考答案：【知识点】绝对值不等式的解法．E2

解析：：∵|2x+1|-2|x-1|＞0，∴|2x+1|＞2|x-1|≥0，

∴（2x+1）2＞4（x-1）2，∴．∴不等式|2x+1|-2|x-1|＞0的解集为．

故答案为：．【思路点拨】由不等式|2x+1|-2|x-1|＞0?不等式|2x+1|＞2|x-1|?（2x+1）2＞4（x-1）2即可求得答案．15.函数

参考答案：答案：16.

给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数

最近的整数，记作，即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：（1）的定义域是R，值域是[0，]（2）是周期函数，最小正周期是1（3）的图像关于直线(k∈Z)对称（4）在上是增函数

则其中真命题是__

参考答案：答案：（1）、（2）、（3）17.为参加2012年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择线路旅游团数的数学期望

；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.袋中装有大小、质地相同的8个小球，其中红色小球4个，蓝色和白色小球各2个．某学生从袋中每次随机地摸出一个小球，记下颜色后放回．规定每次摸出红色小球记2分，摸出蓝色小球记1分，摸出白色小球记0分．（Ⅰ）求该生在4次摸球中恰有3次摸出红色小球的概率；（Ⅱ）求该生两次摸球后恰好得2分的概率；（Ⅲ）求该生两次摸球后得分的数学期望．参考答案：（Ⅰ）“摸出红色小球”，“摸出蓝色小球”，“摸出白色小球”分别记为事件A，B，C．由题意得：，．

因每次摸球为相互独立事件，故4次摸球中恰有3次摸出红色小球的概率为：．

…………4分（Ⅱ）该生两次摸球后恰好得2分的概率．…8分（Ⅲ）两次摸球得分的可能取值为0，1，2，3，4．则；；；；

∴．

………………12分19.已知抛物线的焦点为F，是C上一点，且．（1）求C的方程；（2）过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，分别过点A，B两点作抛物线C的切线，两条切线相交于点P，点P关于直线AB的对称点Q，判断四边形是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由．参考答案：（1）（2）见解析【分析】（1）由是上一点，可以得到一个等式；由抛物线定义，结合，又得到一个等式，二个等式组成一个方程组，解这个方程组，这样就可以求出抛物线的方程；（2）设出直线方程为，与抛物线方程联立，设点，利用根与系数的关系可以求出，利用弦长公式可以求出的长，利用导数求出两条切线的斜率，可以证明出，的外接圆的圆心为线段的中点，线段是圆的直径，即可证明四边形存在外接圆，根据长度的表达式，可以求出外接圆面积的最小值.【详解】（1）解：根据题意知，①因为，所以②联立①②解得．所以抛物线的方程为．（2）四边形存在外接圆．设直线方程为，代入中，得，设点，则，且所以，因为，即，所以．因此，切线的斜率为，切线的斜率为，由于，所以，即是直角三角形，所以的外接圆的圆心为线段的中点，线段是圆的直径，所以点一定在的外接圆上，即四边形存在外接圆．又因为，所以当时，线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为．【点睛】本题考查了抛物线的定义的运用、抛物线的切线的斜率的应用、证明四边形是否存在外接圆问题.20.某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把企业的所有岗位共分为A、B、C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000、6000、2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）：工种类别ABC赔付频率

已知A、B、C三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此业务的过程中固定支出每年10万元.（1）求保险公司在该业务所获利润的期望值；（2）现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给出意外的职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.参考答案：(1)详见解析；(2)方案2．试题分析：（1）设工种职工的每份保单保险公司的收益为随机变量，可得其分布列，分别求解数学期望，即可得到该工资的期望值；（2）分别求出方案1和方案2中企业每年安全支出与固定开支，即可作出比较得到结论．试题解析：（1）设工种A、B、C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X、Y、Z，则X、Y、Z的分布列为X25PY25PZ40

P

保险公司的期望收益为；；；保险公司的利润的期望值为，保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元．（2）方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为：，方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为：，，故建议企业选择方案2．21.已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，AD⊥AB，PD⊥CD，PD⊥PB，AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：①平面PAD⊥平面PBC；②RS∥平面PAD；（Ⅱ）若点Q在线段AB上，且CD⊥平面PDQ，求二面角C﹣PQ﹣D的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）①由已知得AD⊥平面APB，从而PB⊥AD，由此能证明平面PAD⊥平面PBC．②取PB中点M，连结RM，SM，由已知推导出平面PAD∥平面SMR，由此能证明RS∥平面PAD．（Ⅱ）由已知得AP=1，BP=，PQ=，AQ=，BQ=，以Q为原点，QP为x轴，QB为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣PQ﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）①证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥AB，∴AD⊥平面APB，又PB?平面APB，∴PB⊥AD，∵PD⊥PB，AD∩PD=D，∴PB⊥平面PAD，∵PB?平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC．②证明：取PB中点M，连结RM，SM，∵R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，∴SM∥CB∥AD，RM∥AP，又AD∩AP=A，∴平面PAD∥平面SMR，∵RS?平面SMR，∴RS∥平面PAD．（Ⅱ）解：由已知得，解得AP=1，BP=，PQ=，AQ=，BQ=，以Q为原点，QP为x轴，QB为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则Q（0，0，0），P（），D（0，﹣，1），C（0，，2），∴，，=（0，，2），设平面PDQ的法向量，则，取y=2，得，设平面PCQ的法向量，则，取b=4，得=（0，4，﹣3），设二面角C﹣PQ﹣D的平面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴二面角C﹣PQ﹣D的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．22.（本小题满分12分）已知函数，其中为自然对数的底数.（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的面积；（Ⅱ）若函数存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为，求的值.参考答案：（本小题满分12分）解：（Ⅰ），

……………2分当时，，，，所以曲线在处的切线方程为，

………………3分切线与轴、轴的交点坐标分别为，，

………………5分所以，所求面积为.

………………6分（Ⅱ）因为函数存在一个极大值点和一个极小值点，所以，方程在内存在两个不等实根，

………………7分则