新人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间中直线、平面的平行培优练习题

第2课时空间中直线、平面的平行

《必备知识-圈圜1

知识点空间平行关系的向量表示

(1)两直线平行的判定方法

设“1,“2分别是直线11,/2的方向向量，则11〃一="1〃〃2=m几©R,使得

U1=2〃2・

(2)直线和平面平行的判定方法

设〃是直线/的方向向量，〃是平面a的法向量，IQa,则/〃a=〃

=0.

(3)平面和平面平行的判定方法

设”1,“2分别是平面a,4的法向量，则

60nm=34wR,使得n\=Xm.

疆点拨--------------------------------

(l)w,wi,U2,n,m,"2都是非零向量.

(2)用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合；证明线面平行时，

必须说明直线不在平面内；证明面面平行时，必须说明两个平面不重合.

。即时训练

1.(2022•辽阳高二月考)若两条不重合直线Zi和/2的方向向量分别为vi=(l,

0,-1),V2=(-2,0,2),则/i和/2的位置关系是()

A.平行B.相交

C.垂直D.不确定

解析：选A.由题意知V2=(—2,0,2),所以V2=—20，即V2与共线，所

以两条不重合直线/1和/2的位置关系是平行，故选A.

2.根据下列条件，判断相应的平面与平面、直线与平面的位置关系：

(1)两个不同的平面a,4的法向量分别是〃=(1,3,0),v=(—3,~9,0)；

(2)直线/的方向向量、平面a的法向量分别是a=(3,2,1),〃=(—1,2,

解：⑴因为〃=(1,3,0),v=(-3,-9,0),

所以y=—3u,所以〃〃v,且平面a,夕不重合，所以a〃及

(2)因为a=(3,2,1),"=(—1,2,-1),

所以au=—3+4—1=0,

所以a_L〃，所以/uy或/〃Q.

关键能力0提升

考点一直线与直线平行的证明

图TH如图所示，在四棱锥PA3CD中，底面A3CD为矩

形，平面ABC。，E为CP的中点，N为DE的中点，DM

=1DB,DA=DP=1,CD=2.求证：MN//AP.

【证明】方法一：由题意知，直线DA,DC,DP两两垂直，如图所示，

以。为坐标原点，DA,DC,。尸所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角

坐标系，

则。(0,0,0),A(l,0,0),P(0,0,1),A(0,I，j,

*，I，0),所以崩=(—1,0,1),MN=(-?0,I

1

-

所以MN4又故MN〃AP.

方法二：由题意可得疚=MD+加BDDEBD+|x|

(DC+IJP)=；BDIX：DPBCDP(AD+DP)=：

AP,又〃弘;5,所以MN〃AP.

胭题技巧---------------------------------

证明直线平行的两种思路

形.

证明：以点。为坐标原点，分别以D4,DC,DDi所在直线为x轴，y轴，2

轴建立空间直角坐标系，则施，FCi,ECi,套分别为直线AE,FC\,ECi,AF

的方向向量，不妨设正方体的棱长为1,则A(l,0,0),@0,0,Ci(0,1,

1),F(l,1,J,

所以屐=1—1,0,=0,1j,EC\=[0,1,AF=fo,1,1

所以施=户6,EC\=AF,

所以靛〃病i,ECi//AF

又因为尸四石，F^ECi,

所以AE〃歹Ci,ECi//AF,

所以四边形AECR是平行四边形.

考点二直线与平面平行的证明

ET21如图所示，在正方体A3CD-ALBCI»中，。是BLDI

的中点，求证：31c〃平面ODG.

【证明】方法一：建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示,

设正方体的棱长为1,

则可得31(1,1,1),C(0,1,0),。&，11,G(0,1,1),D(0,0,0),

所以疵=(T,0,-1),ob=f-|,-11OCi=f-1,I，0

设平面ODCi的法向量为"=(xo,yo,zo),

f11

rnOD=Q,一产一歹。—zo=O,(,

由得＜11解得,_

n-OCi=0,一尹)+p)=0,")XQ

令xo=l,得〃=(1,1,-1),布•“=—1+1=0,所以旅,〃，又平

面ODG,所以5c〃平面ODCi.

方法二：因为屈7=氏白+麻=就＞+灰'1+屈9+济=虎1+历,

所以麻，OCi,5b共面.

又310a平面ODC1,所以BC〃平面ODC1.

方法三：因为疵=痴力，BiiAiD,

所以BiC〃4D

又AIDU平面ODG,BiCQ平面ODCi,

所以31c〃平面ODCi.

陶题技巧---------------------------------

利用空间向量证明线面平行的方法

(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内

的一个基底表示.

(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面

平行判定定理得证.

(3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面

的法向量垂直.

＜跟踪训练如图，在四棱柱ABCD-ALBCLDI中，n

"1

侧棱AiA,底面ABC。，ABLAC,AB=1,AC=AAi=2,

N

AD=CD=小，且点"和N分别为5C和的中点.求

D

证：MN〃平面ABCD

证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题章

可得A(0,0,0),C(2,0,0),0(1,-2,0),Bi(0,1,2);

£>1(1,-2,2).

因为M,N分别为BiC,DLD的中点，所以从1,1,1

Ml,-2,1).

依题意，可得〃=(0,0,1)为平面A3CD的一个法向量，又疝V=(0,-|,0

则加.“=(),又直线AfW平面ABCD,所以MN〃平面ABCD

考点三平面与平面平行的证明

EB1如图所示，平面平面A3CD,A3CD为正方形,

△心。是直角三角形，且R4=AD=2,E,F,G分别是线段必,

PD,CD的中点.求证：平面ERG〃平面PBC.

【证明】由题意知A3,AP,AD两两垂直，以A为原点，AB,AD,AP所

在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角

坐标系,则40,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,

0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(l,2,0).

所以度=(0,-1,0),FG=(1,1,-1),BC=(0,

2,0),PB=(2,0,-2),

设〃i=yi,zi)是平面GEF的法向量,

一一{m-FE=0y

则ni.LFE,m.LFG,即J

[〃iFG=0,

fi=0,

得八

%i+yi—zi=0,

令zi=l,则％i=l,yi=0,

所以〃i=(l,0,1).

设打2=(%2,丁2,Z2)是平面P3C的一个法向量,

由n2-LPB,m^BC,

|ni-PB=2x2—2Z2=0,

得1_

[鹿2\BC=2y2=0,

丁2=0,

即J

[X2—Z2=0,

令Z2=l,得％2=1,y2=0,

所以"2=(1,0,1).

因为m="2,所以平面EFG//平面PBC.

胭题技巧---------------------------------

证明面面平行问题的两种方法

⑴转化为相应的线线平行或线面平行；(2)分别求出这两个平面的法向量，然

后证明这两个法向量平行.本例题采用的是方法(2),解题过程虽复杂，但思路清

晰，是证明面面平行的常用方法.

《跟踪训练如图，在直四棱柱ABCD-ALBICLDI中，底

面A3CD为等腰梯形，AB//CD,AB=4,BC=CD=2,

=2,R是棱A3的中点.

求证：平面AALDLD〃平面RCCi.

证明：因为AB=4,BC=CD=2,R是棱A3的中点,

所以3R=3C=CR,

所以△3CR为正三角形.

因为ABCD为等腰梯形，所以NA4D=NABC=60。.

取AR的中点连接DM,

则DM±AB,所以DMLCD.

以。为原点，DM,DC,DDi所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角

坐标系，

则。(0,0,0),£)1(0,0,2),A他,-1,0),F(y[3,1,0),C(0,2,0),

Ci(0,2,2),

所以历i=(0,0,2),DA=(yj3,-1,0),CF=(V3,-1,0),CCi=(0,0,

2),

所以防i〃Qi,DA//&,

又。DinZM=D,CGnCF=C,DDi,ZMu平面AALDLD,CCI,CTu平面

FCCi,

所以平面AALDLD〃平面FCCi.

课堂巩固口自1测

1.已知向量a=(2,4,5),6=(3,x,y)分别是直线/i,/2的一个方向向量,

若h〃b,则()

B.x=3,y=^2

A.x=6,y=15

c/15

C.x=3,y=15D.x=6,y=~2

3%2~，/15

解析：选D.由题意得万=5,所以x=6,y=^2・

2.(2022•辽宁高二月考)若直线/的方向向量为a=(l,0,2),平面a的法向

量为〃=(—2,1,1),则()

A.I//aB./_La

C.lua或/〃aD./与a斜交

解析：选C.因为a=(l,0,2),〃=(—2,1,1),所以a・〃=lX(—2)+0Xl

+2X1=0,所以/ua或/〃a.故选C.

3.设平面a的法向量为(1,2,-2),平面用的法向量为(一2,-4,k),若

a//p,则左=()

A.2B.14

C.4D.-2

]2—2

解析：选C.因为a〃“，所以--=~~=~r,所以左=4.

-2—4K

4.如图，在正方体A3CD-AEC。中，点M,N分别是面

对角线43与面对角线4c的中点.求证：MN〃侧面A。；

MN//AD',并且MN*AD).

证明：设AB=a,AD=b,AAr=c,

一1一1

则AM=2(a+c),AN=c+](a+办),

所以疚=AN-AM=|S+c),

即MN与b,c共面.

因为MMt平面A。，

所以MN〃平面A。，

又因为Z>+c=A。'，

所以说V=|AD',

所以MN〃AD',MN=3ADL

课后达标0I检测

[A基础达标]

1.在空间直角坐标系中，A(l,2,3),3(—2,-1,6),C(3,2,1),D(4,

3,0),则直线A3与CD的位置关系是()

A.垂直B.平行

C.异面D.相交但不垂直

解析：选B.由题意得，AB=(-3,-3,3),CD=(1,1,-1),所以油=

-3CD,所以油与诙共线，又A3与CD没有公共点，所以AB〃CD

2.已知平面a的一个法向量是(2,-1,-1),a///3,则下列向量可作为平

面少的一个法向量的是()

A.(4,2,-2)B.(2,0,4)

C.(2,-1,-5)D.(4,-2,-2)

解析：选D.因为a〃色所以尸的法向量与a的法向量平行，又(4,-2,-

2)=2(2,-1,-1),故选D.

3.若协=XCD+//CE,则直线A3与平面CDE的位置关系是()

A.相交B.平行

C.直线在平面内D.平行或直线在平面内

解析：选D.因为筋=^CD+^CE,所以屈,CD,CE共面，则AB与

平面CDE的位置关系是平行或直线在平面内.

4.如图所示，在棱长为a的正方体AiBiCiDi-ABCD中，

M,N分别为ALB和AC上的点，AiM=AN=^-a,则MN与

平面BBC1C的位置关系是()

A.相交B.平行

C.垂直D.不能确定

解析：选B.如图，分别以C1B,C1D1,CiC所在直线为x,y,

\[2

z轴，建立空间直角坐标系，因为AiM=AZV=3a,

所以,节，§,

a

一(a

所以MN=(一1,。,

又Ci(O,0,0),£)i(0,a,0),

所以&bi=(o,a,0).

所以疝v・Gbi=o.

所以说V，&方1.因为日方1是平面331cle的一个法向量，且MNQ平面BBiCiC,

所以MN〃平面BBiCiC.

5.已知平面a的法向量是(2,3,-1),平面4的法向量是(4,1-2),若

a〃口，则丸的值是.

23

解析：因为a〃色所以a的法向量与£的法向量也互相平行，所以I=1=

一1

--,所以2=6.

答案：6

6.已知两个不重合的平面a与平面A5C,若平面a的法向量为m=(2,—3,

1),AB=(1,0,-2),AC=(1,1J),则平面a与平面ABC的位置关系是

解析：因为=0,ni-AC=0,ABCiAC=Ay所以〃i也是平面ABC的

法向量，又平面a与平面ABC不重合，所以平面a与平面ABC平行.

答案：平行

7.如图，在正方体ABCD-AiBCiDi中，棱长为2,M,N分别

为AiB,AC的中点.求证：MN//B1C.

证明：

方法一：如图，以点。为原点，DA,DC,所在直线分别为x轴、y轴、

z轴建立空间直角坐标系.则A(2,0,0),C(0,2,0),4(2,0,2),Bi(2,2,

2),M(2,1,1),N(l,1,0),所以疚=(—1,0,-1),B7C=(-2,0,-2).

所以m7=2疝V,所以属C〃讪,所以MN〃BiC.

方法二：如图，取空间一个基底{屈，AD,AAi},设协=a,AD=b,AAi=

c,则^c,MN=MA]+AiA+A?/=1'(c—a)+(—c)+1'(a+Z>)c),所

以加=；疵，所以疚〃疵，所以MN〃BC

[B能力提升]

8.如图所示，四边形ABCD为矩形，平面ABCD,PA=A