中考数学经典几何证明题60例附试题分析和参考答案

中考数学经典几何证明题60例

一、解答题(共60小题)

1.(遵义)在RSABC中，NBAC=90。，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作

AFIIBC交BE的延长线于点F.

(1)求证：△AEF合△DEB；

(2)证明四边形ADCF是菱形；

(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积.

2.(珠海)已知△ABC,AB=AC,将△ABC沿BC方向平移得到△DEF.

(1)如图1,连接BD,AF,则BDAF(填"<"或"=")；

(2)如图2,M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC,DE,DF于点G,

H,N,连接BH,GF,求证：BH=GF.

3.(镇江)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,分别延长OA,0c到点E,

F,使AE=CF,依次连接B,F,D,E各点.

(1)求证：△BAE2△BCF；

(2)若NABC=50。，则当NEBA=。时，四边形BFDE是正方形.

4.(漳州)如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在

边BC上的点F处，过点F作分、FGIICD,交AE于点G连接DG.

(1)求证：四边形DEFG为菱形；

(2)若CD=8,CF=4,求强的值.

DE

D

5.(玉林)如图，在。0中，AB是直径，点D是。0上一点且NBOD=60。，过点D作。0

的切线CD交AB的延长线于点C,E为俞的中点，连接DE,EB.

(1)求证：四边形BCDE是平行四边形；

(2)已知图中阴影部分面积为6H,求。0的半径r.

6.(永州)如图，在四边形ABCD中，NA=NBCD=90。，BC=DC.延长AD到E点，使

DE=AB.

(1)求证：ZABC=ZEDC；

(2)求证：△ABC2AEDC.

7.(营口)如图，点P是。O外一点，PA切0O于点A,AB是的直径，连接OP,过

点B作BCII0P交。0于点C,连接AC交0P于点D.

(1)求证：PC是的切线；

(2)若PD=*,AC=8,求图中阴影部分的面积；

3

(3)在(2)的条件下，若点E是AB的中点，连接CE,求CE的长.

E

8.(徐州)如图，点A,B,C,D在同一条直线上，点E,F分别在直线AD的两侧，且

AE=DF,ZA=ZD,AB=DC.

(1)求证：四边形BFCE是平行四边形；

(2)若AD=10,DC=3,ZEBD=60°,则BE=时，四边形BFCE是菱形.

9.(宿迁)如图，四边形ABCD中，ZA=ZABC=90°,AD=1,BC=3,E是边CD的中

点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.

(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；

(2)若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积.

10.(湘西州)如图，在。ABCD中，DE_LAB,BFJLCD,垂足分别为E,F.

(1)求证：△ADE2△CBF；

11.(咸宁)已知关于x的一元二次方程mx?-(m+2)x+2=0.

(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根；

(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根.

12.(咸宁)如图，在△ABC中，ZC=90°,以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰

好与BC相切于点D,分别交AC、AB于点E、F.

(1)若NB=30。，求证：以A、0、D、E为顶点的四边形是菱形.

(2)若AC=6,AB=10,连结AD,求00的半径和AD的长.

13.(梧州)如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平

分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q,过E作EHJLAB于H.

(1)求证:HF=AP；

(2)若正方形ABCD的边长为12,AP=4,求线段EQ的长.

14.(威海)如图，在△ABC中，AB=AC,以AC为直径的。。交AB于点D,交BC于

点E.

(1)求证：BE=CE；

(2)若BD=2,BE=3,求AC的长.

15.(铜仁市)已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接

DF并延长交BC的延长线于点E,EF=FD.

求证：AD=CE.

D.

BE

16.(通辽)如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中NBAE=NBCE=NACD=90。,

且BC=CE,求证：△ABC与^DEC全等.

17.(铁岭)如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=6,点E、F分别在边CD、AB±.

(1)若DE=BF,求证：四边形AFCE是平行四边形；

(2)若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长.

18.(天水)如图，AB是。。的直径，BC切。。于点B,0C平行于弦AD,过点D作

DELAB于点E,连结AC,与DE交于点P.求证：

(1)AC・PD=AP・BC；

(2)PE=PD.

19.(泰安)如图，△ABC是直角三角形，且NABC=90。，四边形BCDE是平行四边形，E

为AC中点，BD平分NABC,点F在AB上，且BF=BC.求证：

(1)DF=AE；

(2)DF±AC.

20.（随州）如图，射线PA切OO于点A,连接PO.

（1）在PO的上方作射线PC,使NOPC=NOPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作

法），并证明：PC是OO的切线；

（2）在（1）的条件下，若PC切于点B,AB=AP=4,求篇的长.

21.（绥化）如图1,在正方形ABCD中，延长BC至M,使BM=DN,连接MN交BD延

长线于点E.

（1）求证：BD+2DE=V^BM.

（2）如图2,连接BN交AD于点F,连接MF交BD于点G.若AF：FD=1：2,且CM=2,

则线段DG=.

22.（苏州）如图，在△ABC中，AB=AC,分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方

画弧.设两弧交于点D,与AB、AC的延长线分别交于点E、F,连接AD、BD、CD

(1)求证：AD平分NBAC；

(2)若BC=6,NBAC=50。，求DE、DF的长度之和(结果保留H).

23.(上海)已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点0,点E在边BC的延长

线上，且OE=OB,连接DE.

(1)求证:DE_LBE；

(2)如果OE_LCD,求证：BD・CE=CD・DE.

24.(厦门)如图，在平面直角坐标系中，点A(2,n),B(m,n)(m>2),D(p,q)

(qVn),点B,D在直线y=」x+l上.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,且

2

ABHCD,CD=4,BE=DE,△AEB的面积是2.

求证：四边形ABCD是矩形.

25.(庆阳)如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平

分线于点F,交DC于点G,且AE_LEF.

(1)当AB=2时，求AGEC的面积；

(2)求证：AE=EF.

BE

26.(青海)如图，梯形ABCD中，ABIIDC,AC平分NBAD,CEIIDA交AB于点E.求

证：四边形ADCE是菱形.

27.(钦州)如图，AB为。。的直径，AD为弦，NDBC=NA.

(1)求证：BC是的切线；

(2)连接OC,如果0C恰好经过弦BD的中点E,且tanC=LAD=3,求直径AB的长.

2

28.(黔东南州)如图，已知PC平分NMPN,点0是PC上任意一点，PM与00相切于

点E,交PC于A、B两点.

(1)求证：PN与。0相切；

29.(潜江)如图，AC是。0的直径，0B是。0的半径，PA切。O于点A,PB与AC的

延长线交于点M,ZCOB=ZAPB.

(1)求证：PB是OO的切线；

(2)当0B=3,PA=6时，求MB,MC的长.

30.(盘锦)如图1,AB为。0的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CDLAB,

垂足为P,过点B的直线与线段AD的延长线交于点E且NF=NABC.

(1)若CD=2炳,BP=4,求的半径；

(2)求证：直线BF是的切线；

(3)当点P与点O重合时，过点A作。0的切线交线段BC的延长线于点E,在其它条件

不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？请在图2中补全图象并证明你的

结论.

31.(内江)如图，将。ABCD的边AB延长至点E,使AB=BE,连接DE,EC,DE交BC

于点O.

(1)求证：△ABD空△BEC；

(2)连接BD,若NBOD=2NA,求证：四边形BECD是矩形.

32.(南通)如图，在。ABCD中，点E,F分别在AB,DC上，且EDJ_DB,FB±BD.

(1)求证：△AED空△CFB；

(2)若NA=30°,ZDEB=45°,求证：DA=DF.

33.(南平)如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O相切于

点D,连接AD,BD.

(1)求证：ZBAD=ZBDC；

(2)若NBDC=28°,BD=2,求O0的半径.(精确到0.01)

BA

34.（南京）如图，四边形ABCD是。O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于

点E,且DC=DE.

（1）求证：ZA=ZAEB；

（2）连接OE,交CD于点F,OE_LCD,求证：△ABE是等边三角形.

35.(南充)如图，△ABC中，AB=AC,AD_LBC,CEXAB,AE=CE.求证:

(!)△AEF"ACEB；

(2)AF=2CD.

36.（南昌）（1）如图1,纸片DABCD中，AD=5,S“ABCD=15,过点A作AE_LBC,垂足

为E,沿AE剪下AABE,将它平移至△DCE，的位置，拼成四边形AEED,则四边形AEED

的形状为____________

A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形

（2）如图2,在（1）中的四边形纸片AEED中，在EE，上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,

将它平移至△DEF的位置，拼成四边形AFFD.

①求证：四边形AFFD是菱形.

②求四边形AFFD的两条对角线的长.

37.（梅州）如图，已知△ABC,按如下步骤作图:

①以A为圆心，AB长为半径画弧；

②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；

③连接BD,与AC交于点E,连接AD,CD.

(1)求证：△ABCSAADC；

(2)若NBAC=30。，NBCA=45。，AC=4,求BE的长.

38.(龙岩)如图，E,F分别是矩形ABCD的边AD,AB上的点，若EF=EC,且EF_LEC.

(1)求证：AE=DC；

(2)已知DC=我，求BE的长.

39.(柳州)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆。0恰好相

切于点A,边CD与。。相交于点E,连接AE,BE.

(1)求证：AB=AC；

(2)若过点A作AHJ_BE于H,求证：BH=CE+EH.

40.(辽阳)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。。分别交BC,AC于点D,

E,DG_LAC于点G,交AB的延长线于点F.

(1)求证：直线FG是。。的切线；

(2)若AC=10,cosA=—>求CG的长.

C,

G,

41.(连云港)如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F

处，DF交AB于点E.

(1)求证；ZEDB=NEBD；

(2)判断AF与DB是否平行，并说明理由.

F(C)

42.(莱芜)如图，△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,分别以AB,AC为直角边向

外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE,G为BD的中点，连接CG,BE,CD,BE与CD

交于点F.

(1)判断四边形ACGD的形状，并说明理由.

(2)求证：BE=CD,BE±CD.

43.(酒泉)如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm,BC=5cm,ZB=60°,G是CD的中点,

E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F,连结CE,DF.

(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；

(2)①当AE=cm时，四边形CEDF是矩形；

②当AE=cm时;四边形CEDF是菱形.

(直接写出答案，不需要说明理由)

44.（荆门）已知I,如图，AB是00的直径，点C为OO上一点，0FJLBC于点F,交

于点E,AE与BC交于点H,点D为0E的延长线上一点，且N0DB=NAEC.

（1）求证：BD是的切线；

（2）求证：CE2=EH・EA；

2

45.（吉林）如图①，半径为R,圆心角为n。的扇形面积是$娜=史见，由弧长1=匚当,

360180

2

得S南阳=史通」•二2哒・R=9R.通过观察，我们发现S就J1R类似于S三防而Jx底X高.

3602180222

类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环）

的面积公式及其应用.

（1）设扇环的面积为S房环，源的长为h,而的长为12,线段AD的长为h（即两个同心圆

半径R与r的差）.类比S梯形=L（上底+下底）x高，用含h,12,h的代数式表示S扇环，

2

并证明；

（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时,

花园的面积最大，最大面积是多少？

46.（黄石）在AAOB中，C,D分别是OA,OB边上的点，将△OCD绕点。顺时针旋转

到4OC'D'.

(1)如图1,若NAOB=90。，OA=OB,C,D分别为OA,OB的中点，证明：①AC=BD，；

②ACJLBD，；

(2)如图2,若△AOB为任意三角形且NAOB=。，CDIIAB,AC与BD，交于点E,猜想

NAEB=e是否成立？请说明理由.

图1

47.(黄冈)已知：如图，在△ABC中，AB=AC,以AC为直径的00交AB于点M,交

BC于点N,连接AN,过点C的切线交AB的延长线于点P.

(1)求证：ZBCP=ZBAN

(2)求证：里生.

MNBP

48.(湖北)如图，△ABC中，AB=AC=1,NBAC=45。，△AEF是由△ABC绕点A按顺

时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D.

(1)求证：BE=CF；

(2)当四边形ACDE为菱形时，求BD的长.

49.(葫芦岛)如图，△ABC是等边三角形，AOXBC,垂足为点0,。。与AC相切于点

D,BE_LAB交AC的延长线于点E,与00相交于G、F两点.

(1)求证：AB与。0相切；

(2)若等边三角形ABC的边长是4,求线段BF的长？

50.(呼伦贝尔)如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是

对角线.

(1)求证：△ADES△CBF；

(2)若NADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论.

51.(呼伦贝尔)如图，已知直线1与00相离.OA_L1于点A,交00于点P,OA=5,

AB与。。相切于点B,BP的延长线交直线1于点C.

(1)求证：AB=AC；

(2)若PC=2旄，求0O的半径.

52.(贺州)如图，AB是。。的直径，C为。0上一点，AC平分NBAD,ADJLDC,垂

足为D,OELAC,垂足为E.

(1)求证：DC是。O的切线；

(2)若OE=J^cm,AC=2V13cm,求DC的长(结果保留根号).

53.(贺州)如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点

F.若DE=4,BD=8.

(1)求证：AF=EF；

(2)求证：BF平分NABD.

54.(河南)如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延

长BP到点C,使PC=PB,D是AC的中点，连接PD、P0.

(1)求证：△CDaAPOB；

(2)填空：

①若AB=4,则四边形AOPD的最大面积为；

②连接0D,当NPBA的度数为时，四边形BPDO是菱形.

55.(桂林)如图，在。ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点.

(1)求证：四边形EBFD为平行四边形；

(2)对角线AC分别与DE、BF交于点M、N,求证：△ABN2&CDM.

56.(贵港)如图，已知AB是00的弦，CD是OO的直径，CD_LAB,垂足为E,且点E

是0D的中点，。0的切线BM与A0的延长线相交于点M,连接AC,CM.

(1)若AB=4J5，求金的长；(结果保留Ji)

(2)求证：四边形ABMC是菱形.

57.（甘南州）如图1,在AABC和AEDC中，AC=CE=CB=CD；ZACB=ZDCE=90°,

AB与CE交于F,ED与AB,BC,分别交于M,H.

(1)求证：CF=CH；

(2)如图2,△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到NBCE=45。时，试判断四边形ACDM

是什么四边形？并证明你的结论.

图1图2

58.(东莞)如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将AADE沿AE

对折至AAFE,延长EF交边BC于点G,连接AG.

(1)求证：△ABGS△AFG；

(2)求BG的长.

59.(大庆)如图，四边形ABCD内接于。O,ADIIBC,P为BD上一点，ZAPB=NBAD.

(1)证明：AB=CD；

(2)证明：DP・BD=AD・BC；

(2)证明：BD2=AB2+AD»BC.

60.(赤峰)如图，AB为OO的直径，PD切00于点C,与BA的延长线交于点D,DE±PO

交PO延长线于点E,连接PB,ZEDB=ZEPB.

(1)求证：PB是的切线.

(2)若PB=6,DB=8,求OO的半径.

中考数学经典几何证明题60例

参考答案与试题解析

一、解答题(共60小题)

1.(遵义)在RSABC中，ZBAC=90°,D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作

AFIIBC交BE的延长线于点F.

(1)求证：△AEF2ADEB；

(2)证明四边形ADCF是菱形；

(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积.

考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中

位线定理.

专题：证明题.

分析：(1)根据AAS证4AFE”△DBE；

(2)利用①中全等三角形的对应边相等得到AF=BD.结合已知条件，利用“有一组

对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由"直角三角形斜边的中

线等于斜边的一半”得到AD=DC,从而得出结论；

(3)由直角三角形ABC与菱形有相同的高，根据等积变形求出这个高，代入菱形面

积公式可求出结论.

解答：(1)证明：①：AFIIBC,

ZAFE=ZDBE,

••,E是AD的中点，AD是BC边上的中线，

AE=DE,BD=CD>

在△AFE和4DBE中，

'/AFE=NDBE

-NFEA=/BED，

AE=DE

AAFE2ADBE(AAS)；

(2)证明：由(1)知，△AFE^△DBE,贝ijAF=DB.

DB=DC,

AF=CD.

AFIIBC,

四边形ADCF是平行四边形，

,NBAC=90。，D是BC的中点，E是AD的中点，

AD=DC=1BC,

2

四边形ADCF是菱形;

(3)解：设菱形DC边上的高为h,

RTAABC斜边BC边上的高也为h,

'''BC=q52+4

DC」BC=VS,

22

.h=4X5=20

一FF'

菱形ADCF的面积为：DC・h=YSx筌=10.

2V41

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，菱形

的面积计算，主要考查学生的推理能力.

2.(珠海)已知△ABC,AB=AC,将△ABC沿BC方向平移得到△DEF.

(1)如图1,连接BD,AF,则BD=AF(填">"、"<"或"=")；

(2)如图2,M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC,DE,DF于点G,

H,N,连接BH,GF,求证：BH=GF.

图1图2

考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平移的性质.

专题：证明题.

分析：(1)根据等腰三角形的性质，可得NABC与NACB的关系，根据平移的性质，可得

AC与DF的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；

(2)根据相似三角形的判定与性质，可得GM与HN的关系，BM与FN的关系，根

据全等三角形的判定与性质，可得答案.

解答：(1)解：由AB=AC,

得NABC=ACB.

由4ABC沿BC方向平移得到△DEF,

得DF=AC,ZDFE=ZACB.

在4ABF^lADFB中，

'AB=DF

,ZABF=ZDFB，

,BF=FB

△ABa△DFB(SAS),

BD=AF,

故答案为：BD=AF；

(2)证明：如图：

MNIIBF,

△AMG—△ABC,△DHN—ADEF,

叫幽,Mj=DK)

BCAB,EFDF)

MG=HN,MB=NF.

在4BMH和aFNG中，

'BM=FN

<NBMH=/FNG，

畔NG

△BMH空△FNG(SAS),

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了平移的性质，相似三角形的判定与性质,

全等三角形的判定与性质.

3.(镇江)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,分别延长0A,0C到点E,

F,使AE=CF,依次连接B,F,D,E各点.

(1)求证：△BA於△BCF；

(2)若NABC=50°,则当NEBA=20。时,四边形BFDE是正方形.

考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定.

专题：证明题.

分析：(1)由题意易证NBAE=ZBCF,又因为BA=BC,AE=CF,于是可证^BAE里△BCF；

(2)由已知可得四边形BFDE对角线互相垂直平分，只要NEBF=90。即得四边形BFDE

是正方形，由△BA型△BCF可知NEBA=NFBC,又由NABC=50。，可得

ZEBA+ZFBC=40。，于是NEBA=lx40°=20°.

2

解答：(1)证明：・.・菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,

AB=BC,ZBAC=ZBCA,

ZBAE=ZBCF>

在ABAE^ABCF中，

'BA=BC

,ZBAE=ZBCF

AE=CF

，ABAE空ABCF(SAS)；

(2)•.,四边形BFDE对角线互相垂直平分，

只要NEBF=90唧得四边形BFDE是正方形，

△BAEg&BCF,

ZEBA=NFBC,

又；NABC=50°,

ZEBA+ZFBC=40。，

ZEBA=lx40°=20°.

2

故答案为：20.

点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的判定.本题关键是根

据SAS证明△BAE2白BCF.

4.(漳州)如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在

边BC上的点F处，过点F作分、FGIICD,交AE于点G连接DG.

(1)求证：四边形DEFG为菱形；

(2)若CD=8,CF=4,求还的值.

DE

考点：翻折变换(折叠问题)；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质.

专题：证明题.

分析：(1)根据折叠的性质，易知DG=FG,ED=EF,Z1=Z2,由FGIICD,可得N1=N3,

易证FG=FE,故由四边相等证明四边形DEFG为菱形；

(2)在RtAEFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE,从而求出显的值.

DE

解答：(1)证明：由折叠的性质可知：DG=FG,ED=EF,Z1=Z2,

FGIICD,

Z2=Z3,

FG=FE,

DG=GF=EF=DE,

四边形DEFG为菱形；

(2)解：设DE=x,根据折叠的性质，EF=DE=x,EC=8-x,

在RtAEFC中，FC2+EC2=EF2,

即42+(8-x)2=x2,

解得：x=5,CE=8-x=3,

•里3

DT?

点评：本题主要考查了折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理，熟知折叠的性质和菱形的判

定方法是解答此题的关键.

5.（玉林）如图，在。0中，AB是直径，点D是。。上一点且NBOD=60。，过点D作。0

的切线CD交AB的延长线于点C,E为俞的中点，连接DE,EB.

（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；

（2）已知图中阴影部分面积为6兀，求。0的半径r.

考点：切线的性质；平行四边形的判定；扇形面积的计算.

专题：证明题.

分析：-

（1）由NB0D=6（TE为AD的中点，得到AE二DE二BD，于是得到DEIIBC,根据CD

是。。的切线，得到OD_LCD,于是得到BEIICD,即可证得四边形BCDE是平行四

边形；

（2）连接OE,由（1）知，AE=DE=BD.得到NBOE=120。，根据扇形的面积公式列

方程即可得到结论.

解答：解：（1）NBOD=60°,

ZAOD=120\

BD=^AD«

2

,•,E为俞的中点，

...AE=DE=BD»

/.DEIIAB,OD±BE,

即DEIIBC,

••1CD是OO的切线，

OD±CD,

BEIICD,

四边形BCDE是平行四边形;

(2)连接OE,由(1)知，AE=DE=BD>

ZBOE=120",

••・阴影部分面积为6n,

点评：本题考查了切线的性质，平行四边形的判定，扇形的面积公式，垂径定理，证明

AE=DE=俞是解题的关键.

6.(永州)如图，在四边形ABCD中，NA=NBCD=90。，BC=DC.延长AD到E点，使

DE=AB.

(1)求证：ZABC=ZEDC；

(2)求证：△ABC空△EDC.

考点：全等三角形的判定与性质.

专题：证明题.

分析：(1)根据四边形的内角和等于360。求出NB+NADC=180。，再根据邻补角的和等于

180。可得/CDE+ZADE=180°,从而求出NB=ZCDE；

(2)根据"边角边"证明即可.

解答：(1)证明：在四边形ABCD中，•••ZBAD=ZBCD=90°,

90°+ZB+90°+zADC=360°,

ZB+ZADC=180\

又rZCDE+ZADC=180°,

/.ZABC=ZCDE,

(2)连接AC,由(1)证得NABC=NCDE,

在AABCEDC中，

'AB=DE

"NABC=NCDE，

BC=CD

二△ABC空△EDC(SAS).

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据四边形的

内角和定理以及邻补角的定义，利用同角的补角相等求出夹角相等是证明三角形全等

的关键，也是本题的难点.

7.(营口)如图，点P是00外一点，PA切00于点A,AB是00的直径，连接OP,过

点B作BCII0P交。0于点C,连接AC交0P于点D.

(1)求证：PC是0O的切线；

(2)若PD=上，AC=8,求图中阴影部分的面积；

3

(3)在(2)的条件下，若点E是标的中点，连接CE,求CE的长.

考点：切线的判定；扇形面积的计算.

专题：证明题.

分析：(1)连接0C,证明APAO2APCO,得到NPCO=NPAO=90。，证明结论；

(2)证明△ADP”△PDA,得到成比例线段求出BC的长，根据Sw=S©o-SAABC

求出答案；

(3)连接AE、BE,作BM_LCE于M,分别求出CM和EM的长，求和得到答案.

解答：(1)证明：如图1,连接OC,

「PA切。0于点A,二NPAO=90°,

•••BCIIOP,

ZAOP=ZOBC,ZCOP=ZOCB,

•.OC=OB,AZOBC=ZOCB,

ZAOP=ZCOP,

在4「人0和4PCO中,

'OA=OC

<NAOP=NCOP，

OP=OP

/.APAO2APCO,

ZPCO=ZPAO=90°,

PC是。0的切线；

E

(2)解：由(1)得PA,PC都为圆的切线，

PA=PC,OP平分NAPC,ZADO=ZPAO=90",

ZPAD+ZDAO=NDAO+ZAOD,

ZPAD=ZAOD,

二AADP-AODA,

.AD_DO；

一而而

AD2=PD«DO,

AC=8,PD=V,

3

AD=—ACM,OD=3»AO=5,

2

由题意知OD为4的中位线，

BC=6,OD=6,AB=10.

S阴=上<30-SAABC=251-24；

22

(3)解：如图2,连接AE、BE,作BM_LCE于M,

ZCMB=ZEMB=ZAEB=90。，

.•,点E是篇的中点，

ZECB=ZCBM=NABE=45°,

CM=MB=30，

BE=AB»cos45°=5y[2,

EM=7BE2-BM2=4^

贝IjCE=CM+EM=7«.

E

点评：本题考查的是切线的判定和性质、扇形面积的计算和相似三角形的判定和性质，灵活

运用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径和切线的判定是解题的关键.

8.(徐州)如图，点A,B,C,D在同一条直线上，点E,F分别在直线AD的两侧，且

AE=DF,ZA=ND,AB=DC.

(1)求证：四边形BFCE是平行四边形；

(2)若AD=10,DC=3,ZEBD=60°,则BE=4时，四边形BFCE是菱形.

考点：平行四边形的判定；菱形的判定.

专题：证明题.

分析：(1)由AE=DF,ZA=ZD,AB=DC,易证得△AEC空△DFB,即可得BF=EC,

ZACE=ZDBF,且ECIIBF,即可判定四边形BFCE是平行四边形；

(2)当四边形BFCE是菱形时，BE=CE,根据菱形的性质即可得到结果.

解答：(1)证明：；AB=DC,

AC=DF,

在4AEC和4DFB中

fAC=DB

*NA=/D，

AE=DF

AAEC2ADFB(SAS),

BF=EC,ZACE=NDBF

ECIIBF,

四边形BFCE是平行四边形；

(2)当四边形BFCE是菱形时，BE=CE,

VAD=10,DC=3,AB=CD=3,

BC=10-3-3=4,

•••ZEBD=60°,

BE=BC=4,

当BE=4时，四边形BFCE是菱形，

故答案为：4.

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定

与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题综合性较强，难度适中，注意

数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法.

9.（宿迁）如图，四边形ABCD中，NA=NABC=90。，AD=1,BC=3,E是边CD的中点,

连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.

（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积.

考点：平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质.

专题：证明题.

分析：（1）根据同旁内角互补两直线平行求出BCIIAD,再根据两直线平行，内错角相等

可得NCBE=NDFE,然后利用“角角边"证明△BEC和AFCD全等，根据全等三角形

对应边相等可得BE=EF,然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；

（2）分①BC=BD时、利用勾股定理列式求出AB,然后利用平行四边形的面积公式

列式计算即可得解；②BC=CD时，过点C作CG_LAF于G,判断出四边形AGCB

是矩形，再根据矩形的对边相等可得AG=BC=3,然后求出DG=2,利用勾股定理列

式求出CG,然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解；③BD=CD时，BC边上

的中线应该与BC垂直，从而得至BC=2AD=2,矛盾.

解答：（1）证明：NA=NABC=90°,

BCIIAD,

•.NCBE=ZDFE,

在4BEC与^FED中，

'/CBE二NDFE

-ZBEC=ZFED-

CE=DE

ABE8AFED,

BE=FE,

又E是边CD的中点，

/.CE=DE,

四边形BDFC是平行四边形；

（2）①BC=BD=3时，由勾股定理得，AB=JBD2-32_^272-

所以，四边形BDFC的面积=3x2后=6圾；

②BC=CD=3时，过点C作CGJ_AF于G,则四边形AGCB是矩形，

所以，AG=BC=3,

所以，DG=AG-AD=3-1=2,

由勾股定理得，CG=ylp—[)Q3^~2,

所以，四边形BDFC的面积=3x岳3、而；

③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2,矛盾，此时

不成立；__

综上所述，四边形BDFC的面积是6&或3疾.

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质,

(1)确定出全等三角形是解题的关键，(2)难点在于分情况讨论.

10.(湘西州)如图，在。ABCD中，DE_LAB,BF_LCD,垂足分别为E,F.

(1)求证：△ADE空△CBF；

考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质.

专题：证明题.

分析：(1)由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边

形得到AD=BC,对角相等，利用AAS即可的值；

(2)由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到NCDE为直角，利用三个角

为直角的四边形为矩形即可的值.

解答：证明：(1)DE±AB,BF_LCD,

ZAED=ZCFB=90",

V四边形ABCD为平行四边形，

AD=BC,ZA=ZC,

在^ADE和△CBF中，

'/AED=/CFB

«ZA=ZC，

AD=BC

△ADE2△CBF(AAS)；

(2)四边形ABCD为平行四边形，

/.CDIIAB,

ZCDE+ZDEB=180°,

•••ZDEB=90",

ZCDE=90°,

ZCDE=ZDEB=ZBFD=90。，

则四边形BFDE为矩形.

点评：此题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌

握矩形的判定方法是解本题的关键.

11.(咸宁)已知关于x的一元二次方程iw？-(m+2)x+2=0.

(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根；

(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根.

考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法.

专题：证明题.

分析：(1)求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；

(2)利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值.

解答：(1)证明：△=(m+2)2-8m

=m2-4m+4

=(m-2”，

•.,不论m为何值时，(m-2)2>0,

:&>0,

方程总有实数根；

(2)解：解方程得，x=-2±_(叱2)_,

2m

Q

Xl=—,X2=l,

IT

•••方程有两个不相等的正整数根，

m=l或2,m=2不合题意,

m=l.

点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情

况与判别式△的关系：△>00方程有两个不相等的实数根；△=0=方程有两个相等

的实数根；△<0=方程没有实数根是解题的关键.

12.(咸宁)如图，在△ABC中，ZC=90°,以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰

好与BC相切于点D,分别交AC、AB于点E、F.

(1)若NB=30。，求证：以A、0、D、E为顶点的四边形是菱形.

(2)若AC=6,AB=10,连结AD,求。O的半径和AD的长.

考点：切线的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质.

专题：证明题.

分析：(1)连接OD、OE、ED.先证明△AOE是等边三角形，得至UAE=AO=OD,则四边

形AODE是平行四边形，然后由OA=OD证明四边形AODE是菱形；

(2)连接OD、DF.先由△OBD-△ABC,求出。0的半径，然后证明△ADO△AFD,

得出AD2=AC«AF,进而求出AD.

解答：(1)证明：如图1,连接OD、OE、ED.

•­,BC与。。相切于一点D,

OD_L.BC,

ZODB=90°=ZC,

ODIIAC,

ZB=30°,

ZA=60°,

OA=OE,

*e•△AOE是等边三角形，

二AE=AO=OD,

・•・四边形AODE是平行四边形,

•,OA=OD,

・•・四边形AODE是菱形.

(2)解：设。。的半径为r.

,/ODIIAC,

△OBD”△ABC.

..@口，即10r=6(10-r).

AC-AB

解得『K,

4

OO的半径为K.

4

如图2,连接OD、DF.

•••ODIIAC,

/.ZDAC=ZADO,

---OA=OD,

/.ZADO=ZDAO,

=ZDAC=NDAO,

••1AF是00的直径，

ZADF=90°=ZC,

△ADC~△AFD,

.ADAF

AC^AD'

AD2=AC«AF,

,；AC=6,AF岑X2考，

AD2=KX6=45,

2_

AD=V^=3遥.

B

点评：本题考查了切