高数微积分第六章多元函数微积分

高数微积分第六章多元函数微积分§6.2多元函数的基本概念一、平面区域的概念二、二元函数概念三、二元函数的极限四、二元函数的连续性第2页,共143页，2024年2月25日，星期天注：

设P0(x0

y0)是xOy平面上的一个点

是某一正数

点P0的

邻域记为U(P0

)

它是如下点集邻域

如果不需要强调邻域的半径

则用U(P0)表示点P0的某个邻域

点P0的某个去心邻域记作下页第3页,共143页，2024年2月25日，星期天下页

任意一点P

R2与任意一个点集E

R2之间必有以下三种关系中的一种

点与点集之间的关系

内点

如果存在点P的某一邻域U(P)

使得U(P)

E

则称P为E的内点

外点

如果存在点P的某个邻域U(P)

使得U(P)

E

则称P为E的外点

边界点

如果点P的任一邻域内既有属于E的点

也有不属于E的点

则称P点为E的边点

边界点内点外点

E的边界点的全体

称为E的边界

记作

E

第4页,共143页，2024年2月25日，星期天开集

如果点集E的点都是内点,则称E为开集.下页闭集如果点集的余集Ec为开集

则称E为闭集

举例

点集E

{(x

y)|1<x2

y2<2}是开集也是开区域

点集E

{(x

y)|1

x2

y2

2}是闭集也是闭区域

点集E

{(x

y)|1

x2

y2

2}既非开集

也非闭集

区域(或开区域)

连通的开集称为区域或开区域

闭区域开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域

第5页,共143页，2024年2月25日，星期天有界集

对于平面点集E

如果存在某一正数r

使得E

U(O

r)

其中O是坐标原点

则称E为有界点集

无界集

一个集合如果不是有界集

就称这集合为无界集

点集{(x

y)|x

y

0}是无界闭区域

点集{(x

y)|x

y

0}是无界开区域

举例

点集{(x

y)|1

x2

y2

4}是有界闭区域

下页第6页,共143页，2024年2月25日，星期天注：二、二元函数概念下页举例二元函数的定义

设D是R2的一个非空子集

称映射f

D

R为定义在D上的二元函数

通常记为z

f(x

y)

(x

y)

D(或z

f(P)

P

D)其中D称为该函数的定义域

x

y称为自变量

z称为因变量

函数值

与自变量x、y的一对值(x

y)相对应的因变量z的值称为f在点(x

y)处的函数值

记作f(x

y)

即z

f(x

y)

值域

f(D)

{z|z

f(x

y)

(x

y)

D}

函数也可以用其它符号

如z

z(x

y)

z

g(x

y)等

第7页,共143页，2024年2月25日，星期天多元函数的定义域

函数z

ln(x

y)的定义域为

{(x

y)|x

y>0}

函数z

arcsin(x2

y2)的定义域为

{(x

y)|x2

y2

1}

举例

下页第8页,共143页，2024年2月25日，星期天z=ax+by+c二元函数的图形点集{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)

D}称为二元函数z

f(x,y)的图形.

二元函数的图形是一张曲面.

z=ax+by+c表示一张平面.举例

方程x2+y2+z2

a2确定两个二元函数分别表示上半球面和下半球面,其定义域均为D={(x,y)|x2+y2

a2}.首页第9页,共143页，2024年2月25日，星期天

二重极限概念可以推广到多元函数的极限.三、多元函数的极限二重极限的定义

设二元函数f(P)

f(x

y)也记作下页第10页,共143页，2024年2月25日，星期天下页

例

设22221sin)(),(yxyxyxf++=,

求),(lim)0,0(),(®yxfyx.),(lim)0,0(),(®yxfyx=0第11页,共143页，2024年2月25日，星期天必须注意

(1)二重极限存在,

是指P以任何方式趋于P0时,

函数都无限接近于A

.

(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时,

函数趋于不同的值,

则函数的极限不存在.

提示讨论下页第12页,共143页，2024年2月25日，星期天四、多元函数的连续性二元函数连续性定义

二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去.下页第13页,共143页，2024年2月25日，星期天性质1(有界性与最大值最小值定理)

在有界闭区域D上的多元连续函数

必定在D上有界

且能取得它的最大值和最小值

多元连续函数的性质性质2(介值定理)

在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值

结束第14页,共143页，2024年2月25日，星期天§6.3偏导数一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数上页下页铃结束返回首页第15页,共143页，2024年2月25日，星期天一、偏导数的定义及其计算法

类似地,可定义函数z

f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数.偏导数的定义

设函数z

f(x

y)在点(x0

y0)的某一邻域内有定义

若极限存在

则称此极限为函数z

f(x

y)在点(x0

y0)处对x的偏导数

记作>>>第16页,共143页，2024年2月25日，星期天一、偏导数的定义及其计算法偏导数的定义偏导数的符号

如果函数z

f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么f(x,y)对x的偏导数是x、y的函数,这个函数称为函数z

f(x,y)对x的偏导函数(简称偏导数),记作偏导函数第17页,共143页，2024年2月25日，星期天一、偏导数的定义及其计算法偏导数的定义偏导数的符号偏导函数偏导函数的符号>>>第18页,共143页，2024年2月25日，星期天偏导数的求法求函数对一个自变量的偏导数时,只要把其它自变量看作常数,然后按一元函数求导法求导即可.偏导函数第19页,共143页，2024年2月25日，星期天

例

求z

x2

3xy

y2在点(1,2)处的偏导数.

解

偏导函数第20页,共143页，2024年2月25日，星期天

解

例

例

求z

x2sin2y的偏导数.

解

第21页,共143页，2024年2月25日，星期天证原结论成立．第22页,共143页，2024年2月25日，星期天有关偏导数的几点说明：１.２.求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解第23页,共143页，2024年2月25日，星期天3.偏导数存在与连续的关系？偏导数存在连续.一元函数中在某点可导

连续，多元函数中在某点偏导数存在

连续，

对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.第24页,共143页，2024年2月25日，星期天但函数在点(0,0)并不连续.在点(0,0),有fx(0,0)

0,fy(0,0)

0,提示：当点P(x

y)沿直线y

kx趋于点(0

0)时

有因此

函数f(x

y)在(0

0)的极限不存在

当然也不连续

第25页,共143页，2024年2月25日，星期天偏导数的几何意义

fx(x0,

y0)=[f(x,

y0)]x0

fy(x0,

y0)=[f(x0,

y)]y0

z=f(x,

y0)z=f(x0,

y)

是截线z=f(x,

y0)在点(x0,

y0)处的切线Tx对x轴的斜率.

是截线z=f(x0,

y)在点(x0,

y0)处的切线Ty对y轴的斜率.第26页,共143页，2024年2月25日，星期天偏导数的几何意义

fx(x0,

y0)=[f(x,

y0)]x0

fy(x0,

y0)=[f(x0,

y)]y0

是截线z=f(x,

y0)在点(x0,

y0)处的切线Tx对x轴的斜率.

是截线z=f(x0,

y)在点(x0,

y0)处的切线Ty对y轴的斜率.第27页,共143页，2024年2月25日，星期天设某产品的需求量偏导数的经济意义其中为该产品的价格，为消费者收入。称需求对价格的偏弹性需求对收入的偏弹性第28页,共143页，2024年2月25日，星期天偏导数的经济意义科布-道格拉斯生产函数其中是由用品的成本）。偏导数分别称为人力的边际生产力和资本的边际生产力。个人力单位和个资本单位生产出的产品数量（资本是机器、场地、生产工具和其它第29页,共143页，2024年2月25日，星期天二、高阶偏导数二阶偏导数

如果函数z

f(x,y)的偏导数fx(x,y)、fy(x,y)也具有偏导数,则它们的偏导数称为函数z

f(x,y)的二阶偏导数.

函数z

f(x,y)的二阶偏导数有四个:其中fxy(x,y)、fyx(x,y)称为混合偏导数.

类似地可定义三阶、四阶以及n阶偏导数.第30页,共143页，2024年2月25日，星期天

解

此例中两个混合偏导数是相等的.

例

设z=x3y2-3xy3-xy+1,

求22xz¶¶、33xz¶¶、xyz¶¶¶2和yxz¶¶¶2.

第31页,共143页，2024年2月25日，星期天那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等

定理

解

例

设z=x3y2-3xy3-xy+1,

求22xz¶¶、33xz¶¶、xyz¶¶¶2和yxz¶¶¶2.

第32页,共143页，2024年2月25日，星期天

证

例

第33页,共143页，2024年2月25日，星期天

证

例提示

第34页,共143页，2024年2月25日，星期天

证

例第35页,共143页，2024年2月25日，星期天一、全微分的定义二、全微分在近似计算中的应用§6.4全微分上页下页铃结束返回首页应用

一元函数y=f(x)的微分近似计算估计误差第36页,共143页，2024年2月25日，星期天由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分（perfectdifferential)第37页,共143页，2024年2月25日，星期天全增量(perfectincrement)的概念第38页,共143页，2024年2月25日，星期天全微分的定义其中A、B不依赖于

x、

y而仅与x、y有关,则称函数z

f(x,

y)在点(x,

y)可微分,

而A

x

B

y称为函数z

f(x,

y)在点(x,

y)的全微分,

记作dz,

即

dz

A

x

B

y.

如果函数在区域D内各点处都可微分,

那么称这函数在D内可微分.

下页

如果函数z

f(x,

y)在点(x,

y)的全增量

z

f(x

x,

y

y)

f(x,

y)可表示为第39页,共143页，2024年2月25日，星期天可微分与连续偏导数存在不一定连续,

但可微分必连续.

这是因为,

如果z=f(x,

y)在点(x,

y)可微,则

z

f(x

x,

y

y)

f(x,

y)

A

x

B

y

o(r),因此函数z=f(x,

y)在点(x,

y)处连续.下页于是从而第40页,共143页，2024年2月25日，星期天可微分的必要条件>>>应注意的问题>>>下页可微分与连续偏导数存在不一定连续,

但可微分必连续.

如果函数z

f(x

y)在点(x

y)可微分

则函数在该点的偏导

偏导数存在是可微分的必要条件

但不是充分条件

第41页,共143页，2024年2月25日，星期天可微分的充分条件

以上结论可推广到三元及三元以上函数.

下页可微分的必要条件可微分与连续偏导数存在不一定连续,

但可微分必连续.

如果函数z

f(x

y)在点(x

y)可微分

则函数在该点的偏导则函数在该点可微分.

第42页,共143页，2024年2月25日，星期天叠加原理

按着习惯,

x、

y分别记作dx、dy,

并分别称为自变量的微分,这样函数z=f(x,

y)的全微分可写作

二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理.

叠加原理也适用于二元以上的函数,

例如u

f(x,

y,

z)的全微分为下页第43页,共143页，2024年2月25日，星期天

例1

计算函数z

x2y

y2的全微分.

解

所以

例2

计算函数z

exy在点(2,1)处的全微分.

解

所以dz

2xydx

(x2

2y)dy.dz

e2dx

2e2dy.

下页因为因为第44页,共143页，2024年2月25日，星期天解第45页,共143页，2024年2月25日，星期天

解

首页

例3

因为所以第46页,共143页，2024年2月25日，星期天设解:

类似可得机动目录上页下页返回结束第47页,共143页，2024年2月25日，星期天二、全微分在近似计算中的应用下页

当函数z

f(x,

y)在点(x0,

y0)处可微，那么函数L(x,y)

f

(x0,y0)+fx(x0,y0)(x-x0)

fy(x,

y)(y-y0),

就称为函数z

f(x,y)在点(x0,y0)处的线性化.近似式

f(x,

y)

L(x,y)

称为函数z

f(x,y)在点(x0,y0)处的标准线性近似.

例求函数在点(3,2)处的线性化.第48页,共143页，2024年2月25日，星期天

当函数z

f(x,y)在点(x,y)的两个偏导数fx(x,y),fy(x,y)连续,并且|

x|,|

y|都较小时,有近似等式

z

dz

fx(x,y)

x

fy(x,y)

y,即f(x

x,y

y)

f(x,y)

fx(x,y)

x

fy(x,y)

y.

我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算.第49页,共143页，2024年2月25日，星期天

例4

有一圆柱体,

受压后发生形变,

它的半径由20cm增大到20.05cm,

高度由100cu减少到99cm.

求此圆柱体体积变化的近似值.

解

设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V,

则有V

r2h.

即此圆柱体在受压后体积约减少了200

cm3.

2

20

100

0.05

202

(

1)

V

dV

2

rh

r

r2

h

200

(cm3),

Vr

r

Vh

h下页f(x

x,

y

y)

f(x,

y)

fx(x,

y)

x

fy(x,

y)

y.

z

dz

fx(x,

y)

x

fy(x,

y)

y,

已知r

20,

h

100,

r

0.05,

h

1,根据近似公式,

有第50页,共143页，2024年2月25日，星期天

例5

计算(1.04)2.02的近似值.

(1.04)2.02所以

x

y

yx

y

1

x

x

ylnx

y,

f(x

x,

y

y)

f(x,

y)

fx(x,

y)

x

fy(x,

y)

y

1.08.

12

2

12

1

0.04

12

ln1

0.02

解

设函数f(x,

y)

xy.

显然,

要计算的值就是函数在

x

1.04,

y

2.02时的函数值f(1.04,2.02).

结束f(x

x,

y

y)

f(x,

y)

fx(x,

y)

x

fy(x,

y)

y.

z

dz

fx(x,

y)

x

fy(x,

y)

y,因为

取x

1,

y

2,

x

0.04,

y

0.02.第51页,共143页，2024年2月25日，星期天练习题第52页,共143页，2024年2月25日，星期天第53页,共143页，2024年2月25日，星期天练习题答案第54页,共143页，2024年2月25日，星期天第五节、复合函数微分法与隐函数微分法一元复合函数求导法则微分法则第55页,共143页，2024年2月25日，星期天一、多元复合函数求导的链式法则定理.

若函数处偏导连续,在点t可导,则复合函数且有链式法则1.复合函数的中间变量为一元函数情形第56页,共143页，2024年2月25日，星期天例如,上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.以上公式中的导数称为全导数.第57页,共143页，2024年2月25日，星期天定理22.复合函数的中间变量为多元函数情形第58页,共143页，2024年2月25日，星期天链式法则如图示第59页,共143页，2024年2月25日，星期天

第60页,共143页，2024年2月25日，星期天

设z

f(u

v)

u

(x

y)

v

(x

y)

则

例.

解:

exy[ysin(x

y)

cos(x

y)]

eusinv

1

eucosv

y

eusinv

exy[xsin(x

y)

cos(x

y)]

1

eucosv

x

设z

f(u

v)

u

(t)

v

(t)

则第61页,共143页，2024年2月25日，星期天

3.复合函数的中间变量既有一元又有多元函数情形第62页,共143页，2024年2月25日，星期天特殊地即其中两者的区别区别类似第63页,共143页，2024年2月25日，星期天解:第64页,共143页，2024年2月25日，星期天例.解:第65页,共143页，2024年2月25日，星期天为简便起见,引入记号例.设

f

具有二阶连续偏导数,求解:

令则第66页,共143页，2024年2月25日，星期天全微分形式不变性的实质：无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.全微分形式不变性二、多元复合函数的全微分第67页,共143页，2024年2月25日，星期天第68页,共143页，2024年2月25日，星期天例1.例.利用全微分形式不变性解例1.解:所以第69页,共143页，2024年2月25日，星期天三、隐函数微分法隐函数的求导公式第70页,共143页，2024年2月25日，星期天

例.

验证方程x2

y2

1

0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x

0时y

1的隐函数y

f(x),并求这函数的一阶与二阶导数在x

0的值.

解:

设F(x,y)

x2

y2

1,Fx

2x,Fy

2y,F(0,1)

0,Fy(0,1)

2

0.隐函数存在定理:则

设函数F(x

y)在点P(x0

y0)的某一邻域内具有连续偏导数

F(x0

y0)

0

Fy(x0

y0)

0

则方程F(x

y)

0在点(x0

y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y

f(x)

它满足条件y0

f(x0).

由隐函数存在定理,方程x2

y2

1

0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x

0时y

1的隐函数y

f(x).第71页,共143页，2024年2月25日，星期天

解:

设F(x,y)

x2

y2

1,Fx

2x,Fy

2y,F(0,1)

0,Fy(0,1)

2

0.则由隐函数存在定理,方程x2

y2

1

0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x

0时y

1的隐函数y

f(x).提示:

由方程F(x,y)

0确定的隐函数y

f(x)的导数为

例.

验证方程x2

y2

1

0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x

0时y

1的隐函数y

f(x),并求这函数的一阶与二阶导数在x

0的值.第72页,共143页，2024年2月25日，星期天

解:

设F(x,y)

x2

y2

1,Fx

2x,Fy

2y,F(0,1)

0,Fy(0,1)

2

0.则由隐函数存在定理,方程x2

y2

1

0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x

0时y

1的隐函数y

f(x).

例.

验证方程x2

y2

1

0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x

0时y

1的隐函数y

f(x),并求这函数的一阶与二阶导数在x

0的值.第73页,共143页，2024年2月25日，星期天隐函数存在定理>>>

设函数F(x

y

z)在点P(x0

y0

z0)的某一邻域内具有连续的偏导数

且F(x0

y0

z0)

0

Fz(x0

y0

z0)

0

则方程F(x

y

z)

0在点(x0

y0

z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z

f(x

y)

它满足条件z0

f(x0

y0)

并有第74页,共143页，2024年2月25日，星期天解:令则第75页,共143页，2024年2月25日，星期天内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,2.全微分形式不变性不论u,v是自变量还是因变量,3.隐函数微分法.第76页,共143页，2024年2月25日，星期天练习题第77页,共143页，2024年2月25日，星期天一、多元函数的极值及最大值、最小值二、条件极值拉格朗日乘数法§6.6多元函数的极值及其求法上页下页铃结束返回首页第78页,共143页，2024年2月25日，星期天一、多元函数的极值及最大值、最小值下页极值的定义

设函数z

f(x

y)在点(x0

y0)的某个邻域内有定义

如果对于该邻域内任何异于(x0

y0)的点(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

则称函数在点(x0

y0)有极大值(或极小值)f(x0

y0)

极大值、极小值统称为极值

使函数取得极值的点称为极值点

第79页,共143页，2024年2月25日，星期天一、多元函数的极值及最大值、最小值极值的定义

设函数z

f(x

y)在点(x0

y0)的某个邻域内有定义

如果对于该邻域内任何异于(x0

y0)的点(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

则称函数在点(x0

y0)有极大值(或极小值)f(x0

y0)

例

函数z

3x2

4y2在点(0,0)处有极小值.提示:

当(x,

y)=(0,0)时,z=0,而当(x,

y)

(0,0)时,z

0.

因此z=0是函数的极小值.下页第80页,共143页，2024年2月25日，星期天一、多元函数的极值及最大值、最小值极值的定义

设函数z

f(x

y)在点(x0

y0)的某个邻域内有定义

如果对于该邻域内任何异于(x0

y0)的点(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

则称函数在点(x0

y0)有极大值(或极小值)f(x0

y0)

提示:

例

当(x,

y)=(0,0)时,z=0,而当(x,

y)

(0,0)时,z

0.因此z=0是函数的极大值.下页第81页,共143页，2024年2月25日，星期天提示:

因为在点(0,0)处的函数值为零,而在点(0,0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点.

例

函数z

xy在点(0,0)处既不取得极大值也不取得极小值.下页一、多元函数的极值及最大值、最小值极值的定义

设函数z

f(x

y)在点(x0

y0)的某个邻域内有定义

如果对于该邻域内任何异于(x0

y0)的点(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

则称函数在点(x0

y0)有极大值(或极小值)f(x0

y0)

第82页,共143页，2024年2月25日，星期天下页定理1(取得极值的必要条件)

设函数z

f(x

y)在点(x0

y0)具有偏导数

且在点(x0

y0)处有极值

则有fx(x0

y0)

0

fy(x0

y0)

0

类似地可推得

如果三元函数u

f(x

y

z)在点(x0

y0

z0)具有偏导数

则它在点(x0

y0

z0)具有极值的必要条件为fx(x0

y0

z0)

0

fy(x0

y0

z0)

0

fz(x0

y0

z0)

0

>>>第83页,共143页，2024年2月25日，星期天

凡是能使fx(x

y)

0

fy(x

y)

0同时成立的点(x0

y0)称为函数z

f(x

y)的驻点

驻点

设函数z

f(x

y)在点(x0

y0)具有偏导数

且在点(x0

y0)处有极值

则有fx(x0

y0)

0

fy(x0

y0)

0

下页讨论

驻点与极值点的关系怎样？提示

具有偏导数的函数的极值点必定是驻点

函数的驻点不一定是极值点

>>>定理1(取得极值的必要条件)例如,有驻点(0,0),

但在该点不取极值.第84页,共143页，2024年2月25日，星期天下页定理2(取得极值的充分条件)

设函数z

f(x

y)在点(x0

y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数

又fx(x0

y0)

0

fy(x0

y0)

0

令fxx(x0

y0)

A

fxy(x0

y0)

B

fyy(x0

y0)

C

则f(x

y)在(x0

y0)处是否取得极值的条件如下

(1)AC

B2>0时具有极值

且当A<0时有极大值

当A>0时有极小值

(2)AC

B2<0时没有极值

(3)AC

B2

0时可能有极值

也可能没有极值

第85页,共143页，2024年2月25日，星期天极值的求法第一步解方程组fx(x

y)

0

fy(x

y)

0

求得一切实数解

即可得一切驻点.

第二步对于每一个驻点(x0

y0)

求出fxx(x0

y0)

fxy(x0

y0)

fyy(x0

y0)

第三步定出fxx(x0

y0)

fyy(x0

y0)

-fxy2(x0

y0)的符号

判定f(x0

y0)是否是极值、是极大值还是极小值

函数f(x

y)在驻点处如果fxx

fyy-fxy2>0

则函数在驻点处取得极值

如果fxx

fyy-fxy2>0

则函数在驻点处不取得极值

在极值点处

当fxx<0时有极大值

当fxx>0时有极小值

下页第86页,共143页，2024年2月25日，星期天例求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数第87页,共143页，2024年2月25日，星期天在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;第88页,共143页，2024年2月25日，星期天例

讨论函数及是否取得极值.解:

显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为第89页,共143页，2024年2月25日，星期天应注意的问题不是驻点也可能是极值点.

因此,在考虑函数的极值问题时,除了考虑函数的驻点外,如果有偏导数不存在的点,那么对这些点也应当考虑.下页但(0

0)不是函数的驻点

第90页,共143页，2024年2月25日，星期天最大值和最小值问题如果f(x,y)在有界闭区域D上连续,则f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值.讨论:

比较极值的大小就能确定函数的最大值和最小值吗？提示:

不能,最大值和最小值也可能在区域的边界上取得,而极值是在区域的内部求得的.下页第91页,共143页，2024年2月25日，星期天

使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部,也可能在D的边界上.最大值和最小值的求法

将函数f(x,y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.

如果函数f(x,y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得,而函数在D内只有一个驻点,那么该驻点处的函数值就是函数f(x,y)在D上的最大值(最小值).下页最大值和最小值问题如果f(x,y)在有界闭区域D上连续,则f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值.第92页,共143页，2024年2月25日，星期天下页

例某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱

问当长、宽、高各取多少时

才能使用料最省

解

根据题意可知

水箱所用材料面积的最小值一定存在

并在开区域D

{(x

y)|x>0

y>0}内取得又因为函数在D内只有一个驻点(2

2)

所以此驻点一定是A的最小值点

设水箱的长为xm

宽为ym

则所用材料的面积为水箱所用的材料最省

第93页,共143页，2024年2月25日，星期天二、条件极值拉格朗日乘数法条件极值对自变量有附加条件的极值称为条件极值.

上述问题就是求函数V

xyz在条件2(xy

yz

xz)

a2下的最大值问题,这是一个条件极值问题.

例如,求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题.

设长方体的三棱的长为x,y,z,则体积V

xyz.

又因假定表面积为a2,所以自变量x,y,z还必须满足附加条件2(xy

yz

xz)

a2.下页第94页,共143页，2024年2月25日，星期天求条件极值的方法(1)将条件极值化为无条件极值

例如,求V

xyz在条件2(xy

yz

xz)

a2下的最大值.

有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题.这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题.下页二、条件极值拉格朗日乘数法条件极值对自变量有附加条件的极值称为条件极值.第95页,共143页，2024年2月25日，星期天(2)用拉格朗日乘数法

在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值,需要用一种求条件极值的专用方法,这就是拉格朗日乘数法.下页求条件极值的方法(1)将条件极值化为无条件极值二、条件极值拉格朗日乘数法条件极值对自变量有附加条件的极值称为条件极值.第96页,共143页，2024年2月25日，星期天拉格朗日乘数法

要找函数z

f(x,y)在附加条件j(x,y)

0下的可能极值点,可以先作辅助函数(拉格朗日函数)F(x,y)

f(x,y)

lj(x,y),其中l为某一常数(拉格朗日乘子).

然后解方程组

上述方程组的解(x,y)就是所要求的可能的极值点,

对于所求得的可能的极值点还需判断是否是极值点,在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定.下页第97页,共143页，2024年2月25日，星期天

例

求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.

设长方体的三个棱长x,y,z,则问题就是求函数V

xyz在条件2(xy

yz

xz)=a2下的最大值.

作拉格朗日函数解方程组F(x,y,z)

xyz

l(2xy

2yz

2xz

a2),结束

因为由问题本身可知最大值一定存在

所以最大值就在这个可能的值点处取得

此时

解

第98页,共143页，2024年2月25日，星期天小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法第99页,共143页，2024年2月25日，星期天设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题在条件求驻点.第100页,共143页，2024年2月25日，星期天解按题意，即求函数在条件第101页,共143页，2024年2月25日，星期天第102页,共143页，2024年2月25日，星期天解由第103页,共143页，2024年2月25日，星期天第104页,共143页，2024年2月25日，星期天一、二重积分的概念二、二重积分的性质§6.7二重积分的概念与性质第105页,共143页，2024年2月25日，星期天一、二重积分的概念1

曲顶柱体的体积

设一立体的底是xOy面上的闭区域D

它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面

它的顶是曲面z

f(x

y)

这里f(x

y)

0且在D上连续

这种立体叫做曲顶柱体

第106页,共143页，2024年2月25日，星期天提示

相应地把曲顶柱体分成了n个小曲顶柱体.提示

其中l为各小区域直径的最大值.用小平顶柱体的体积近似代替小曲顶柱体的体积Vi

Vi

f(

i

i)

i

用小平顶柱体的体积之和近似代替整个曲顶柱体体积

将分割加细

取极限

求得曲顶柱体体积的精确值

si(xi,hi)一、二重积分的概念1

曲顶柱体的体积用曲线网把D分成小区域

1

2

n

第107页,共143页，2024年2月25日，星期天二重积分的定义

设f(x

y)是有界闭区域D上的有界函数

将闭区域D任意分成n个小闭区域

1

2

n

其中

i表示第i个小闭区域

也表示它的面积

在每个小闭区域

i上任取一点(

i

i)

作和

设

为各小闭区域的直径中的最大值

如果当

0时这和式的极限总存在

则称此极限为函数f(x

y)在闭区域D上的二重积分

记为第108页,共143页，2024年2月25日，星期天———积分号

二重积分的定义积分中各部分的名称

f(x

y)——被积函数

f(x

y)d—被积表达式

d———面积元素

x

y———积分变量

D————积分区域

——积分和

第109页,共143页，2024年2月25日，星期天对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义:当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．第110页,共143页，2024年2月25日，星期天

在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素(arealelement)为第111页,共143页，2024年2月25日，星期天

二、二重积分的性质性质1设c1、c2为常数

则性质2

如果闭区域D被一条曲线分为两个闭区域D1与D2

则第112页,共143页，2024年2月25日，星期天注

二、二重积分的性质性质1设c1、c2为常数

则

如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域

则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和

性质2

如果闭区域D被一条曲线分为两个闭区域D1与D2

则第113页,共143页，2024年2月25日，星期天

二、二重积分的性质性质1设c1、c2为常数

则性质2

如果闭区域D被一条曲线分为两个闭区域D1与D2

则性质3第114页,共143页，2024年2月25日，星期天性质4

如果在D上

f(x

y)

g(x

y)

则有不等式

特殊地有性质5

设M、m分别是f(x

y)在闭区域D上的最大值和最小值

为D的面积

则有性质6(二重积分的中值定理)

设函数f(x