2022-2023学年云南省昆明市官渡区高二上学期期中联考数学试卷（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页云南省昆明市官渡区2022-2023学年高二上学期期中联考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若直线过点,则此直线的倾斜角是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由两点的斜率公式求出直线的斜率,根据斜率与倾斜角之间的关系得出倾斜角.【详解】解:由题知,直线过点,所以直线的斜率为,记直线的倾斜角为,所以,所以.故选：C.2．已知两个向量，，且，则的值为（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】由，可知，使，利用向量的数乘运算及向量相等即可得解.【详解】∵，∴，使，得，解得：，所以故选：C【点睛】思路点睛：在解决有关平行的问题时，通常需要引入参数，如本题中已知，引入参数，使，转化为方程组求解；本题也可以利用坐标成比例求解，即由，得，求出m，n.3．若，，则（

）A． B． C．5 D．10【答案】A【分析】先求出,再利用向量的模长计算公式即可【详解】因为所以故选:A4．直线被圆所截得的弦长为（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，根据点到直线距离公式可得，再由垂径定理及弦长关系即可求得所截弦长.【详解】圆，所以圆心，半径，由点到直线距离公式可得圆心到直线的距离为，所以直线被圆所截得的弦长为，故选：C.【点睛】本题考查了直线与圆相交的弦长求法，垂径定理的应用，属于基础题.5．以和为端点的线段的垂直平分线方程是A． B．C． D．【答案】B【详解】试题分析：根据题意可知，以和的中点为，那么中垂线的方程过该点，同时的斜率为，因此垂直的斜率为，那么可知其的垂直平分线方程，故选：B.考点：直线方程的求解点评：对于垂直平分线的理解，要注意两点，一个是垂直，斜率之积为，另一个就是中点在垂线上，属于基础题．6．直线与轴，轴分别交于点、，以线段为直径的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线方程求出、点的坐标，从而求出的中点即为圆心，长的一半为半径，利用圆的标准方程直接写出，再化为一般方程即可.【详解】直线，即，与轴，轴分别交于点、，则的中点为，且，所以以线段为直径的圆的方程为，即.故选：B7．椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为（

）A．10 B．14 C．18 D．20【答案】D【分析】根据给定条件，利用椭圆定义，结合三角形中位线性质求解即得.【详解】椭圆的长半轴轴，半焦距，依题意，分别是的中点，即，所以的周长为.故选：D8．如图，下列正方体中，为底面的中点，为所在棱的中点，、为正方体的顶点，则满足的是（

）A．③④ B．①② C．②④ D．②③【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断的值即可.【详解】设正方体的棱长为，对于①：如图建立空间直角坐标系，则，可得，则，所以与不垂直，即与不垂直，所以①错误；对于②：如图建立空间直角坐标系，则，可得，则，所以，即，所以②正确；

对于③：如图建立空间直角坐标系，则，可得，则，所以，即，所以③正确；对于④：如图建立空间直角坐标系，则，可得，则，所以与不垂直，即与不垂直，所以④错误；故选：D.二、多选题9．已知圆C：，则下述正确的是（

）A．圆C的半径 B．点在圆C的内部C．圆C关于直线对称 D．圆：与圆C相交【答案】ACD【分析】把圆的方程化成标准形式，再逐项判断得解.【详解】圆，圆心，半径，对于A，圆C的半径，A正确；对于B，点到点的距离，点在圆C外，B错误；对于C，点在直线上，圆C关于直线对称，C正确；对于D，圆的圆心，半径，而，因此圆与圆相交，D正确.故选：ACD10．以下命题正确的是（

）A．平面，的法向量分别为，，则B．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则【答案】BD【分析】由法向量是否共线判断A；计算数量积判断B；由直线与平面平行的意义判断C；由法向量的意义，列式计算判断D.【详解】对于A，向量与不共线，平面与不平行，A错误；对于B，由，，得，与垂直，B正确；对于C，，，则或，C错误；对于D，，由是平面的法向量，得，解得，D正确.故选：BD11．已知圆，圆，则（

）A．圆心距 B．当时，两圆公共弦所在直线方程为C．若圆与圆无公共点，则 D．若圆与圆只有一条公切线，则【答案】AD【分析】首先得到两圆圆心坐标与半径，即可求出圆心距，从而判断A；两圆方程作差得到公共弦方程，即可判断B；由或即可判断C；两圆内切，即可求出，从而判断D.【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，所以，故A正确；当时，圆，则，此时，即两圆相交，则公共弦方程为，整理可得，故B错误；若圆与圆无公共点，则或，即可得或，解得或，故C错误；若圆与圆只有一条公切线，则圆与圆相内切，则，即，解得，故D正确.故选：AD12．如图，在棱长为的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且截面，则下列说法正确的是（

）

A．直线到截面的距离是定值B．点到截面的距离是C．的最大值是D．的最小值是【答案】ABC【分析】由截面，可得直线到截面的距离即为点到截面的距离，利用空间向量法求出点到平面的距离，即可判断A、B，取的中点为，取的中点为，取的中点为，即可证明平面平面，则线段扫过的图形是，求出的取值范围，从而判断C、D.【详解】因为截面，是的中点，所以直线到截面的距离，即为点到截面的距离，为定值，如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，取，所以点到截面的距离，所以点到截面的距离是，故A、B正确；

取的中点为，取的中点为，取的中点为，如图所示

因为是的中点，是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，同理可证平面，又，平面，所以平面平面.又平面，线段扫过的图形是，即点的轨迹为线段，由，得，,，，所以，即为直角，所以线段长度的取值范围是，即，所以的最大值是，的最小值是，故C正确，D错误.故选：ABC【点睛】关键点点睛：求点到平面的距离关键是利用空间向量法，当然也可利用等体积法，C、D主要是确定动点的轨迹，从而确定的取值范围.三、填空题13．已知向量，，则．【答案】【分析】利用空间向量数量积公式计算即得.【详解】向量，，所以.故答案为：14．在△ABC中，点，，，则的面积为．【答案】/【分析】由直线的两点式可得直线的方程，再由点到直线的距离公式可求出边上的高，再由两点间距离公式可得，再结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果.【详解】由两点式可得直线的方程为，即为，再由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离，且两点间的距离为，所以的面积为.故答案为：15．平行于直线且与圆相切的直线的方程是．【答案】或【分析】根据平行设出直线方程，利用与圆相切可得方程.【详解】因为切线与平行，所以设切线为，圆的圆心为，半径为，所以，解得.故答案为：或.16．已知椭圆：的右焦点F，点Р在椭圆C上，又点，则的最小值为.【答案】6【分析】由椭圆的定义得到，进而将转化为，经分析当三点共线时，，从而可求出结果.【详解】由椭圆的定义知：，所以，因此，而的最小值是当三点共线时，因此，又，因此，所以，因此的最小值为，故答案为：6.四、解答题17．已知圆C：和直线l：．(1)写出圆C的标准方程；(2)当m满足什么条件时，直线l和圆C相交．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用配方法化方程为标准方程即得.（2）利用圆的圆心到直线的距离小于半径，求解不等式即得.【详解】（1）圆C：的方程化为：，所以圆C的标准方程为.（2）由（1）知圆的圆心，半径，由，解得，所以当时，直线l和圆C相交.18．已知的顶点分别为，，，求：（1）直线的方程；（2）边上的高所在直线的方程；（3）与边平行的中位线所在直线的方程.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）求出直线的斜率，由点斜式即可得直线的方程；（2）所求直线的斜率为，结合点即可求解；（3）根据直线的斜率，以及中点坐标即可求解.【详解】（1）因为，所以直线的方程为，即；（2）由（1）可得边上的高所在的直线的斜率为，由该直线过点，故所求直线的方程为，即，故所求直线的方程为：；（3）边的中位线与平行且过的中点，所以边的中位线所在直线的方程为，即，所以边的中位线所在直线的方程为：.19．如图，在长方体中，，，为的中点．(1)证明：；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算出即可得证；（2）求出平面、平面的法向量，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）如图，以，，为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，所，即，所以；（2）因为，，设平面的法向量为，则，即，令则，所以，由（1）可知，又，，且，平面，平面，则是平面的一个法向量，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.20．已知点，O为坐标原点，若动点满足．(1)试求动点P的轨迹方程(2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，列出方程化简即得动点P的轨迹方程.（2）设出点的坐标，表示出点的坐标，代入点P的轨迹方程得解.【详解】（1）由动点满足，得，化简得，所以动点P的轨迹方程是.（2）设点，由轴于点，且是中点，得，即，由（1）知，，因此，整理得.所以点M的轨迹方程是.21．如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.（1）求证：BF∥平面ADE；（2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值．【答案】1）证明见解析；（2）.【分析】（1）建立如图的空间直角坐标系，求出平面ADE的一个法向量＝(1，0，0)，证得，即可证出结论；（2）利用空间向量的夹角坐标公式以及空间向量夹角与线面角的关系即可求出结果.【详解】（1）证明依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0)，E(0，0，2)．设CF＝h(h>0)，则F(1，2，h)．依题意，＝(1，0，0)是平面ADE的法向量，又＝(0，2，h)，可得，又因为直线BF⊄平面ADE，所以BF∥平面ADE.（2）解:由（1）得＝(－1，1，0)，＝(－1，0，2)，＝(－1，－2，2)，设＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，则，即，不妨令z＝1，可得＝(2，2，1)，因此有.设直线CE与平面BDE所成角为，因此所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.22．已知圆C：和直线l：相切．(1)求圆C半径；(2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B．①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值；②证明直线AB恒过定点．【答案】(1)；(2)①；②证明见解析.【分析】（1）求出圆的圆