等差数列的前n项和公式

第四章《数列》4.2等差数列[核心素养·学习目标]课程标准课标解读掌握等差数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等差数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项.会利用等差数列性质简化求和运算，会利用等差数列前n项和的函数特征求最值.能处理与等差数列相关的综合问题.通过本节课的学习，要求能掌握等差数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等差数列的相关量之间的关系，用函数的思想解决数列的最大（小）项、和的最大（小）值问题，会利用等差数列的性质灵活解决与之相关的问题.课前预习课前预习1．等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d2．等差数列前n项和Sn的性质(1)等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列．(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．3.常用的结论：等差数列的前n项和其他常用性质1等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列.2数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bna，b为常数⇔数列为等差数列.3若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d.①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝\f(an,an＋1)；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝\f(n,n－1).4若{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，则eq\f(an,bn)＝\f(S2n－1,T2n－1).技巧1：在求等差数列的前n项和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)较好，若已知首项a1及公差d，用公式Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d较好．技巧2：选用公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)求和时要注意应用等差数列下标和性质对a1+an整体替换.5．求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法有两种：(1)用二次函数的性质求解．(2)明确数列中的正项与负项，用负项之和最小，正项之和最大来解决．6．解决数列应用题时应分清：(1)是不是等差数列问题；(2)是通项问题还是求和问题．7.两个常用的结论：(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．(2)当公差d≠0时，Sn是关于n的二次函数，可以借助二次函数的性质求Sn的最值，但需注意自变量n的取值范围．8.求等差数列前n项和的最值问题的技巧技巧1：运用配方法，将Sn＝eq\f(d,2)n2＋n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．技巧2：通项公式法：①当a1>0，d<0时，数列{an}的正数项有限，前n项和有最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0,an＋1≤0))可求出Sn取得最大值时的n值．②当a1<0，d>0时，数列{an}的负数项有限，前n项和有最小值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0,an＋1≥0))可得Sn取最小值时的n值.9.常见的裂项技巧：(1)；(2)；(3)；(4)知识讲解知识讲解n项和公式：若已知首项和末项，则，或等差数列{an}的首项是，公差是，则其前项和公式为.2.相关性质：（1）设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①；②；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②.（2）,则,.（3）若与为等差数列，且前项和分别为与，则.（4）等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值．时为递减数列，且当时前n项和有最大值．3.最值问题：（1）利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，当，时，满足的项数使得取最小值.（2）利用等差数列的前n项和：(为常数,)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）；4.数列中an与Sn的关系，对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))【大招总结】定义=1\*GB3①或=2\*GB3②2．等差数列的通项公式：或3．等差数列的前和：，4、等差中项：=1\*GB2⑴若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。=2\*GB2⑵当时,则有二级结论总结二级结论总结1．等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式=(公式一).

=(公式二).2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系等差数列{}的前n项和==+()n，令=A，=B，则=+Bn.

(1)当A=0，B=0(即d=0，=0)时，=0是常数函数，{}是各项为0的常数列.

(2)当A=0，B≠0(即d=0，≠0)时,=Bn是关于n的一次函数，{}是各项为非零的常数列.

(3)当A≠0，B≠0(即d≠0，≠0)时，=+Bn是关于n的二次函数(常数项为0).典型例题典型例题例1.已知数列an的前n项和Sn=n2A．an=2n B．an=2n−1 C．【解题思路】利用an=Sn−Sn−1求出n≥2【解答过程】∵Sn=n2，∴当n=1时，a1∴a故选：B.例2.已知等差数列an，若a3+a4+aA．30 B．36 C．24 D．48【解题思路】根据已知结合等差数列的通项公式先求出公差，再根据片段和的关系计算结果即可.【解答过程】已知等差数列an，a3+设数列an的公差为d②－①得3d=6，则a6故选：A.例3.在各项不全为零的等差数列an中，Sn是其前n项和，且S2011=S2014，A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【解题思路】设公差为d，则Sn=d2n【解答过程】设等差数列an公差为dSn所以Sn可看成关于n的二次函数，由二次函数图象的对称性及S2011=S2014，S故选：C．例4.若数列an满足2an+1=an+A．135 B．105 C．90 D．75【解题思路】首先根据题意得到数列an为等差数列，再求S【解答过程】因为2an+1=所以S15故选：B.例5.已知等差数列an的前n项和为Sn，a4(1)求数列an(2)求Sn的最小值及取得最小值时n【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列方程，解方程得到a1=−11，（2）方法一：根据等差数列的性质求最小值即可；方法二：根据前n项和的函数性质求最小值.【解答过程】（1）设等差数列an的公差为d由a4=−2，S10=25，得a1+3d=−2，所以an（2）方法一：由d=3知an当n≤4时，an<0；当n≥5时，所以S1所以当n=4时，Sn最小，最小值为S方法二：Sn又n∈N∗，所以当n=4时，S例6.某零存整取3年期储蓄的月利率为2.7‰．(1)如果每月存入1000元，那么3年后本息合计为多少元（精确到1元）？(2)欲在3年后一次性支取本息合计5万元，每月存入多少元（精确到1元）【解题思路】（1）根据给定条件，求出每月存入1000元的本息和，再利用等差数列求和公式计算作答.（2）设每月存A元，求出每月存入A元的本息和，再利用等差数列求和公式列式计算作答.【解答过程】（1）依题意，第n月存入1000元的本息和为an，则数列{且an=1000[1+(37−n)×2.7‰]，3年后的本息和为1000=1000(36+36×2.7‰+36×352×2.7‰)所以零存整取3年期储蓄每月存入1000元，3年后本息合计约37798元．（2）设每月存A元，第n月存入A元的本息和为bn，则{bn}为等差数列，且因此A1+2.7‰利用等差数列求和公式，得A(36+36×2.7‰+36×352×2.7‰)=50000所以欲在3年后一次性支取本息5万元，每月存入约1323元.例7.已知等差数列的首项为，且.(1)求的通项公式及其前项和；(2)求数列的前项和.【解题思路】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式计算即可；（2）利用裂项相消法求解即可.【解答过程】（1）由题意可知因为，解得，所以的通项公式为，其前项和为.（2）因为所以.例8．已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，.(1)证明：数列是等差数列；(2)若数列满足，记，证明：.【解题思路】（1）利用与的关系，即可证明是等差数列（2）利用错位相减法求得，可以证明【解答过程】（1））当时，，得，当时，，又，两式相减得，，整理得，∵，∴，∴数列是首项为1，公差为的等差数列.（2）由（Ⅰ）可知，数列的通项公式为，故，∴①，②，①－②得，，故，∴.强化训练强化训练一、单选题1．已知为等差数列，，，的前n项和为，则使得取得最大值的n的值为（

）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】C【分析】根据项之间的关系，先求出公差和，再写出通项公式，再求正数项的个数，即可.【详解】设等差数列的公差为d，由，，两式相减可得，则．∵，∴，故，当取得最大值时有，即解得，又，∴．故选：C2．设等差数列的前项和为，已知，，，其中正整数，则该数列的首项为（

）A．5 B．0 C．3 D．5【答案】D【分析】结合等差数列的性质求解即可.【详解】，又，两式相减得：，解得：故选：D.3．已知数列的前项和，则“"是“数列为等差数列”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用和充要条件的定义判断可得答案.【详解】当时可得，当时可得，所以，时，可得，又，所以，所以，所以数列为公差为2的等差数列；若数列为等差数列，则，可得，所以“"是“数列为等差数列”的充要条件.故选：C.4．设数列的前项和为，，且，若存在，使得成立，则的最小值是（

）A． B． C． D．8【答案】D【分析】由已知可得是常数列可得的通项公式及的通项公式，运用分离参数求最值可得求（），结合换元法转化为求（）的最小值即可.【详解】由已知，所以，所以数列是常数列.又，所以，即，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，故，由存在，使得成立可知，存在，使得成立，即，设，则，从而.记（），由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，又，所以，，所以的最小值是8.故选：D.5．设等差数列前n项和是，若，则（

）A．5 B．45 C．15 D．90【答案】B【分析】根据等差数列下标和性质得，再根据等差数列前n项和公式、下标和性质求.【详解】设等差数列公差为，因为，所以，所以，所以.故选：B.6．已知等差数列的前项和有最小值，且，则使成立的正整数的最小值为（

）A．2022 B．2023 C．4043 D．4044【答案】D【分析】根据题意分析出、、等，利用等差数列的前项和公式分析出结果.【详解】解：因为等差数列的前项和有最小值，所以等差数列的公差，因为，所以，，所以，又因为，所以，即，故，所以，，当时，；当时，；故使成立的正整数的最小值为.故选：D.7．记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列，则的最大值为（

）A．12 B．22 C．37 D．55【答案】B【分析】根据是公差为的等差数列，求出的通项公式，判断其为等差数列，确定该数列为递减数列，确定其正项，即可求得答案.【详解】由题意，且是公差为的等差数列，可知的首项为，则，故，则数列为，公差为的等差数列，且为递减数列，令，即等差数列的前4项为正项，从第5项开始为负，故的最大值为，故选：B8．在等差数列中，，为数列的前项和，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等差数列的性质即可求解.【详解】因为是等差数列，所以，所以，所以.故选：C9．已知等差数列为递增数列，为其前项和，，则（

）A．516 B．440 C．258 D．220【答案】D【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出，再利用前n项和公式求解作答.【详解】等差数列为递增数列，则，由，得，而，解得，所以.故选：D10．在等差数列中，其前项和为，若是方程的两个根，那么的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由根与系数关系得，再根据等差数列前n项和公式、下标和性质求.【详解】由题设，而.故选：D11．如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数1,3,6,10,…构成数列，则（

）A．20099 B．20100 C．21000 D．211001【答案】B【分析】先归纳出数列的递推公式，然后利用累加法即可求解.【详解】由题意，，，…，所以数列的递推公式为，且，所以.所以，故.故答案为：B.12．已知等差数列和的前项和为分别为和，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差数列的求和公式，设，，求出即可得解.【详解】，令，则，所以，，所以，故选：B二、填空题13．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，依次构成的数列的第项，则的值为.【答案】【分析】直接利用叠加法求，裂项相消法求出数列的和.【详解】根据题意：，，，,利用叠加法：，由，.所以，则.故答案为：14．已知数列的前项和，当且仅当时，取得最小值，那么的取值范围是.【答案】【分析】根据二次函数性质可得，从而列不等式即可得的取值范围.【详解】由于数列的前项和，是关于的开口向上的二次函数，并且当且仅当时，取得最小值，则，可得，解得，则的取值范围是.故答案为：.15．若等差数列的首项，，记，则．【答案】【分析】对n进行分类讨论，结合等差数列的求和公式运算求解.【详解】因为，，则，可得等差数列的前n项和，令，解得，且，当时，则；当时，；综上所述：.故答案为：.16．已知数列满足，数列满足，且，则．【答案】10【分析】由两边同时除以，可得，所以是公差为3的等差数列，利用等差数列的性质及求和公式求解即可.【详解】由两边同时除以，得，即，所以是公差为3的等差数列，因为，所以，即，所以.故答案为：10.三、解答题17．在公差为的等差数列中，已知，且.(1