数值分析简明教程课后习题答案

女装分命的散径分析谣石习题答拿

0.1算法

1、(p.ll,题1)用二分法求方程/一%一1=0在［1,2］内的近似根，要求误差不

超过100.

【解】由二分法的误差估计式1/-勾=10-3,得到

A2其+12«+i

2*M21000.两端取自然对数得kN驷3-1。8.96,因此取k=9,即至少需

In2

二分9次.求解过程见下表。

kakbkxk/(相)符号

0121.5+

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2、(p.11,题2)证明方程"x)=e*+10X-2在区间［0,在内有唯一个实根;使用

二分法求这一实根，要求误差不超过工xlO"。

2

【解】由于/(x)=/+10x-2,则解尤)在区间［0,1］上连续，且

/(0)=e°+10x0-2=-1<0,/⑴=/+10x1-2=e+8>0,即/(0)•/⑴<0,

由连续函数的介值定理知，/(x)在区间［0,1］上至少有一个零点.

又/口)="+10>0,即在区间［0,1］上是单调的，故“X)在区间［0,1］内

有唯一实根.

由二分法的误差估计式\x-xk\<^-=-^-<s=-xIO=，得到2*>100.

222

两端取自然对数得女之网3=2、3.3219=6.6438,因此取女=7,即至少需二分

In2

7次.求解过程」必下表。

k44/(4)符号

0010.5

1

2

3

4

5

6

7

0.2旗差

l.（p.12,题8）已知e=2.71828...,试问其近似值X1=2.7,x2=2.71,^2.71,x3=2.718

各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：

因为Ie—玉1=0.01828…<0.05=；xl（）T,所以$=2.7有两位有效数字；

因为Ie—%21=0.00828...<0.05=-xl0'',所以超=2.71亦有两位有效数字；

因为le—七1=0.00028...<0.0005=-x10^3,所以与=2.718有四位有效数字；

le-x.I0.05

------<----=1.85%；

占2.7

le-xI0.05

2<---=-1.85%；

2.71

0.0005

=0.0184%,

2.718

评（1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字;

（2）近似数的所有数字并非都是有效数字.

2.（p.12,题9）设修=2.72,x2=2.71828,当=。・0718均为经过四舍五入得出的近

似值，试指明它们的绝对误差（限）与相对误差（限）。

【解】0.005,=幺<^^=1.84x10-3；

X,2.72

g0.000005

s=0.000005,2“84x107

2兀2.71828

40.00005

£3=0.00005,x6.96x10

0.0718

评经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.

4

3.（p.12,题10）已知为=1.42,x2=-0.0184,X3=184xKT的绝对误差限均为

0.5x10-2,问它们各有几位有效数字?

【解】由绝对误差限均为0.5x10-2知有效数字应从小数点后两位算起，故占=1.42,有

三位；々=一0-0184有一位；而七=184xl()T=0.0184,也是有一位。

1.1泰勒酒伟检E珞朗©庭保

1、(p.54,习题1)求作/(x)=sinx在节点与=0的5次泰勒插值多项式p5(x),并计算

Ps(0.3367)和估计插值误差，最后将P5(O.5)有效数值与精确解进行比较。

【解】由/(x)=sinx,求得尸"(x)=cosx；f(2\x)=-sinx；/(3)(x)=-cosx；

/⑷(x)=sinx；/'»(x)=cosx；/⑹(x)=-sinx,所以

(l)X2

P5(x)=/U0)+/(x0)(x-x0)+^°\x-x0)+…+/5?(X_XO)5

=/(0)+/3+告%2+1+号/'

1315

—X---XH--X

3!5!

抨梏・里苦⑹⑹I,、6/sinC)l,、6<16个一nill

才由值庆差：(x)—(x—XQ)—(x—XQ)<x,若x—0.5,贝ij

6!6!6!

p5(0.3367)=0.3367---+艺：«0.3303742887,而

65

7?5(0.3367)«—^―«2.02xlO-<0.5xlO-,精度到小数点后5位，

故取/75(0.3367)=0.33037,与精确值/(0.3367)=sin(0.3367)=0.330374191…相比

较，在插值误差的精度内完全吻合！

2、(p.55,题12)给定节点与=-1,为=1,々=3,与=4,试分别对下列函数导出拉格朗

日余项：

(1)f(x)-4x3-3x+2；

(2)f(x)—x4—2x3

f(4)包)3

【解】依题意，〃=3,拉格朗日余项公式为~曲2n(X—七)

4!,=0

(1)/⑷(x)=o-&(%)=0；

(2)因为r*(x)=4!,所以

/⑷小)

4(x)=(x+l)(x-l)(x-3)(x—4)=(x+l)(x—l)(x-3)(x-4)

4!

3、(p.55,题13)依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算sin(0.3367)的近

似值并估计误差。

i012

X,0.320.340.36

sin(王)0.3145670.3334870.352274

3

【解】依题意,n=3,拉格朗日余项公式为七(x)n(x-x,)

4!i=0

(1)线性插值

因为X=0.3367在节点X。和的之间，先估计误差

,,/"(<^),,,.sin(J)/max(x-x)(^-x)

Dxa

%(x)=--2;■(x-x0)(x-x1)=2(x-o)。|-x)<------------------

<"匚=J_xl()4；须保留到小数点后4为，计算过程多余两位。

22

X-Xl./、X-Xo./、

------sin(x)H--------sin(Xj)————[(x-x0)sin(x1)+(x1-x)sin(x0)]

6。)0

七一/

[=0^2[(0.3367-0.32)sin(0.34)+(0.34-0.3367)sin(0.32)]

=­[0.0167xsin(0.34)+0.0033xsin(0.32)]

0.02L

X0.3304

(2)抛物线插值

插值误差：

R,(X)=于(X—X。)(x—X])(x—(X-x0)(X]-x)(x-x2)

3!o

3

max(x-xo)(x1-x)(x2-x)3x0.01_16

662

抛物线插值公式为：

P2M

=(方一再)("一々)sin(xo)+(尤一%)(%一%2)sin(/)+->鹏)J=(X-XO

(X。-X|)(x0-x2)(X|-x0)(X]-x2)(x2-x,)(x2-x0)-

1(X]-x)(x-x)、.，、

—!------2-----sin(x)4-(x-x)(x-X)sm。1)-匕工叫呢状。

0.022002=3

P,(0.3367)

10~5

[3,8445xsin(0.32)+38.911xsin(0.34)-2.7555xsin(0.36)]

0.022

10~5

[3.8445xsin(0.32)+38.91lxsin(0.34)-2.7555xsin(0.36)]=0.33037439.

0.022

经四舍五入后得：P2(0.3367)=0.330374,与sin(0.3367)=0.330374?!…精确值相比

较，在插值误差范围内完全吻合！XQX]

1.3分口.庭侍刍样条而敢

X+X

1、(p.56,习题33)设分段多项式S(x)=\,11<一r一<I

2x3+bx2+cx-\l<x<2

是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b,c的值.

【解】依题意，要求S(x)在x=l节点

函数值连续：S_(l)=l3+12=2x13+bxF+cxl—1=S+(1),

即：b+c=\(1)

一阶导数连续：S：(l)=3x『+2xl=6x『+2xbxl+c=S：(l),

即：2b+c=-}(2)

解方程组(1)和(2),得b=—2,c=3,即

…fx3+x20<x<l

S(X)—5--

2x—2x~+3x—11WxK2

由于5：(1)=3乂2乂1+2=6乂2、1-2乂2=5；(1),所以5仪)在x=l节点的二阶

导数亦连续。

2、已知函数？=—二的一组数据，X。=0,X1=1,/=2和y(,=1,弘=0.5,乃=0-2,

1+x

(1)求其分段线性插值函数；

(2)计算/(1.5)的近似值，并根据余项表达式估计误差。

【解】(1)依题意，将x分为［0,1］和［1,2］两段,对应的插值函数为酬(x)和S2(x),利用

拉格朗H线性插值公式，求得

。/、X-X|x-xx-\.x-0..___.

L0

S|(x)=-----y0+------月=——xl+——x0.5=-0.5x+l；

x。一无］x,—x0()-11-0

S,(x)=xf+x——=x-2*05+*0.2=-0.3x+0.8

_

%ix2元2_X］-［—22-1

(2)/(1.5)=«0.30769230769-­­,而&(L5)=-0.3x1.5+0.8=0.35,

实际误差为:I/(1.5)-S2(1.5)1=0.0423-••<0.05,

由心少休，f⑵(x)=-)(3)(X=24x(1-.，)

/(1+X2)35i(1+X2)4'

知〃2=/⑵(1)=0.5,则余项表达式

I尸⑵⑶IM

R(x)=1~0(^-2)l<-^x0.52=0.54=0.0625<0.5

1.4曲演拟合

1、(p.57,习题35)用最小二乘法解卜列超定方程组:

2x+4y=11

3x-5y=3

x+2y=6

2x+y=7

【解】构造残差平方和函数如下:

Q(x,y)=(2x+4y-ll)2+(3x-5y-3)2+(x+2y-6)2+(2x+y-7)2,

分别就Q对x和y求偏导数，并令其为零：

--------=0：6x-y=17(1),

dx

'历=0：-3x+46y=48

⑵，

办

解方程组（1）和（2）,得

46x17+486x48+3x17

«3.04029,y»1.24176

273273

2、（p.57,习题37）用最小二乘法求形如y=a+b/的多项式，使之与下列数据相拟合。

【解】令X=/,则)，=。+bX为线性拟合，根据公式(p.39,公式43),取m=2,al=0,

N=5,求得

'555

5a+/?Zx,=5a+/?Zxj=(1)

<1=1f=l1=1

555555

+bX2=aX2

Y'Y'+匕=^X,%(2)

、i=li=li=1i=li=l；=1

依据上式中的求和项，列出下表

22

XiXi(=Xi)X,2(=x/)Xiyi(=Xjyi)

19193611303216859

2532.362539062520187.5

314996192352147089

3873.314442085136105845.2

4497.819363748096189340.8

£157271.453277277699369321.5

将所求得的系数代入方程组（1）和（2）,得

5劭+53278=271.4(1)

5327ao+7277699b=369321.5(2)

271.4x7277699-369321.5x53277791878.1八

a=----------------------------------=-----------x0.97258；

5x7277699-5327x53278011566

,5x369321.5-5327x271.4400859.7八，、“八，

b=--------------------------=---------=0.05004；

5x7277699-5327x53278011566

即：y=0.97258+0.05004x\

2.1机械求尊检施(&求在.

1、(p.94,习题3)确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公

式所具有的代数精度：

(1)ffMdx«AJ\-h)+AJ(0)+AJW：

J-h

3

+&f(/；

⑶。(x)dxa；/(O)+Ao/(x。)。

【解】(1)令/(x)=l,x,x2时等式精确成立，可列出如下方程组:

A。+A1+A，2=2/?(1)

<—AQ+A-)=0(2)

.2

+A.y=—h(3)

[3

h4£f(x)dx-h

解得：i40=Ao=—,A,=—A,即：§"(T0+4/(0)+/(//)],可以

0233J-h

验证，对/(x)=/公式亦成立，而对/(x)=/不成立，故公式(1)具有3次代数精度。

(2)令/(x)=l,x,/时等式精确成立，可列出如下方程组：

4+4+A?=1⑴

<A。+2Al+34=2(2)

3A0+124+274=16(3)

解得：A0=4=|M,=-1>即：[fMdx«-/(I)+2/(1)1,可以

验证，对/(x)=d公式亦成立，而对/(x)=/不成立，故公式闻)具有3次代数精度。

A)=

(3)令/(x)=l,x时等式精确成立，可解得：<

%0二

即：+可以验证,对/(x)=/公式亦成立,而对

/(x)=d不成立，故公式(3)具有2次代数精度。

2、(p.95,习题6)给定求积节点与=4,再=二，试构造计算积分/=f/(x)dx的插值型

求积公式，并指明该求积公式的代数精度。

【解】依题意，先求插值求积系数：

X--3I

.fx-x,.14,13.1

=I------*dx=I———,dx=-2x(z一x~2—x)=—；

°」)/-为」)1_3、2402

4~4

1

X--

A.-f—~~--dx-f———•i/x=2x(―A'2——x)£

心-Xo13_j,v24

02

4~4

插值求积公式:

±A"(x«)=g/(；)+；/(全

①当/(x)=l,左边=(/(x)dx=1；右边=Lxl+,xl=l；左=右；

②当/(x)=x,左边=(/(x)dx=L-=—；右边=LxL+!x3=,；左=右；

20224242

③当/(x)=x2,左边=ff(x)dx=-x3=-；右边+1x2=—；左W右:

30321621616

故该插值求积公式具有•次代数精度。

2.2糅超2式检Simpson公式

1,(p.95,习题9)设已给出/(x)=l+e-*sin4x的数据表,

X0.000.250.500.751.00

f(x)1.000001.655341.551521.066660.72159

分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分I=ff(x)dx的近似值。

【解】(1)用复化梯形法：

a—0,h—l,n=5,h=———-=—=0.25

n4

»-lhh〃-1

Ts=Z-[/UJ+/(xt+l)]=-[/(«)+2>g+f(b)]

k=0''k=\

75=号025x{/(0.00)+2X"(0.25)+/(0.50)+/(0.75)]+/(1.00))

7；=0.125x[1.00000+2x(1.65534+1.55152+1.06666)+0.72159]

7；=1.28358

(2)用复化辛普生法：

a—0,b—I,n—2,h——~~—=—=0.5

n2

n-l卜卜»-l»-l

S2=Zz"(a+"(xi)+/(4M)]=z"(a)+4Z"x1)+2Z〃4)+/S)]

+

M6426Mk+-仁

s,=竽x{/(0.00)+4X"(0.25)+/(0.75)]+2x/(0.50)+/(1.00))

o

S2=-X[1.00000+10.888+3.10304+0.72159]«1.30939

2、(p.95,习题10)设用复化梯形法计算积分/=fe'dx,为使截断误差不超过IO",

2

问应当划分区间【0,1】为多少等分？如果改用复化辛普生法呢？

【解】(1)用复化梯形法，a=O,b=l,/(x)=f'(x)=f'(x)=ex,设需划分n等分,

则其截断误差表达式为:

in..,7।(b-a)，”,八(I—。),

IR1=11-T1=--------max/''(J)=------]

丁Tn,12n212n3

依题意，要求I/?,K'XIO-5,即

2

P1z,IO5

--<-xl0-5=>n2>——x—«212.849,可取“=213。

⑵226

(2)用复化辛普生法，a=0,b=l,/(x)=f'(x)=/""(x)=e\截断误差表达式

为：

।।,।3一a)，八(1一°)’e

IRDcf1=11-c1=------------maxf(J)=----------e=-------；

180(2/i)42880/2880/?4

依题意，要求KLX10-5,即

—<-xlO­5=»n4>gxl°«3.70666,可取〃=4,划分8等分。

2880n421440

2.3敢保微分

1,(p.96,习题24)导出三点公式(51)、(52)和(53)的余项表达式

;(/)RZ7)+”区)-/(x)](51)

2n2

厂区)”][一/(/)+/(£)1(52)

f\x2卜]"(%)-4/(匹)+3/(X2)](53)

2/7

【解】如果只求节点上的导数值，利用插值型求导公式得到的余项表达式为

f(«+1)/"

R(Xk)=/'(xJ-p'(x,)=-；xn(.x.)

由三点公式(51)、(52)和(53)可知，n=2,h=x1-xQ=x2-xlf则

[Z+1J!y=iJ!3

尸2旬&)20……)=广’记。）心

xfJ(X1-Xj)

(2+1)!J=06

g）=就坨（”“二中氏7。）（一/）二&)/

（，+1只j=053

/2

2、（p.96,习题25）设已给出了（%）=寻］■的数据表,

X1.01.11.2

f(x)0.25000.22680.2066

试用三点公式计算/'（1.0）,/'（1.1）,7（1.2）的值，并估计误差。

【解】已知X。=1.0,玉=1.1,尤2=1,2，力=$一玉)=%2一再=01，用三点公式计算微商：

/,(1.0)«—[-37(1.0)+4/(1.1)-/(1.2)]=—[-3X0.2500+4x0.2268-0.2066]=-0.2470

2h2x0.1

川」)*m.。)+*.2)]=&1H).25。。+。.2。66]f217。

/'(1.2)[/(1.0)-4/(l.l)+3/(1.2)]=—1—[0.2500-4x0.2268+3x0.2066]=-0.1870

2h2x0.1

1-26-24

/(x)=--------r；=>/'(x)=--------r；n/"W=--------r；=>/"'U)=--------，

(1+x)2(1+x)3(1+x)4(1+x)5r

用余项表达式计算误差

ST八前…5

和」）=—一八屋驯尸。°。⑵

“2）二野2八就为.04967

3、(p.96,习题26)设/(x)=sinx,分别取步长〃=0.1,0.01,0.001,用中点公式(52)

计算/'(0.8)的值，令中间数据保留小数点后第6位。

【解】中心差商公式：/⑷/("+")一""一份,截断误差：砥/0=白2/。可

2h3!

见步长h越小，截断误差亦越小。

(1)/?=O.l,xo=0.8-/Z=0.7,X2=0.8+力=0.9,则

/,(0.8)«—[sin(0.9)-sin(0.7)]»―1—[0.783327-0.644218]«0.695545；

2h2x0.1

(2)h—O.Ol,xo=0.8—h=0.79,x,=0.8+h=0.81,则

/'(0.8)®—[sin(0.81)-sin(0.79)]®―,—[0.724287-0.710353]®0.6967

2h2x0.01

(3)/z=O.OOl,xo=0.8—/Z=0.799,%2=0・8+〃=0.801,则

/'(0.8)®—[sin(0.801)-sin(0.799)]®—!—[0.718052-0.716659]«0.6965

2h2x0.01

而精确值/'(0.8)=cos(0.8)=0.6967067…，可见当〃=0.01时得到的误差最小。在

h=0.001时反而误差增大的原因是/(0.8+%)与/(0.8-〃)很接近，直接相减会造成有效

数字的严重损失。因此，从舍入误差的角度看,步长不宜太小。

3.1Euler格式

1、(P.124,题1)列出求解下列初值问题的欧拉格式

(l)y'=x2-y2(0<x<0.4),y(0)=l,取〃=0.2；

(2)y=(上)+?(l<x<1.2),y(0)=1,取力=0.2；

【解】⑴y“+i=先+〃)'：=y"+g；—»)=y”+02x(x；—y；)；

(2)—=%+ft(4+—)=先+02x(4+2k)»

X”x〃X“x“

2、(p.124,题2)取/?=0.2,用欧拉方法求解初值问题y'=—y—孙2(o〈xwo6),

y(0)=1»

【解】欧拉格式：y“+|=y„+hy'„=yn+h(-yn-xny；,)=y,,+0.2x(_y“一居y；):化

简后，y,+|=0.8%-0.2招才,计算结果见下表。

n0123

0.00.20.40.6

Xn

1.00.80.61440.4613

yn

1,

3、(p.124,题3)取力=0.1,用欧拉方法求解初值问题y'=——--2y2(0<x<4),

1+x

y(0)=0o并与精确解y=±2x1、比较计算结果。

1+x

11

【解】欧拉格式：~~-2y,)=y„+0.2x(-一-2y,)

1+r看1+xr；;

f)2

化简后，=y“_().4才+一^,计算结果见下表。

1+x”

1、(p.124,题7)用改进的欧拉方法求解上述题2,并比较计算结果。

【解】因为y'=/(x,y)=—y—x/(04x40.6),〃=0.2,且y(0)=1,则改进的欧拉

公式：

%=%+好(x,,方)=先+h(-yn-xnyl)=0.8%-0.2x”城

1九=y”+hf(x„，")=>“+加一%—)=y„-02x(%+x“#)。

(匕,+九)

y“+i=—；-

计算结果见下表。

n0123

0.00.20.40.6

%1.00.67300.51470.3941

州0.760.70920.55640.4319

为0.880.69110.53560.413

与原结果比较见、.表

n0123

小0.00.20.40.6

yn1.00.80.61440.4613

%(改进)0.880.69110.53560.413

3.3龙格-腐偌方法

1、(p.124,题11)用四阶经典的龙格-库塔方法求解初值问题)，'=8-3)，，y(0)=2,试

取步长h=0.2计算y(0.4)的近似值，要求小数点后保留4位数字。

【解】四阶经典的龙格-库塔方法公式：

=%+](&+2K2+2/+降)

6

&=/氏,北)

h

他=/(X"“+/)；

n+-z

2乙

h

勺=/口Q“+7K2)

n+-Z

2匕

K4=f(xn+i,y„+hK3)

列表求得y(O4)如下:

n〃

Xyn

00.02.000

10.22.3004

20.42.4654

4.1迭代注笈收敛定理

20

1、(p.153,题1)试取与=1,用迭代公式4+]=—----------(%=0,1,2,…)，求

X1.+2%卜+10

方程/+2x2+10x-20=0的根，要求准确到ICT?。

【解】迭代计算结果列于下表

kXkLxdl<0.001kXk\Xk-Xk-t\<0.001

11.538460.53846N61.365930.00937N

21.295020.24344N71.370090.00416N

31.401820.10680N81.368240.00185N

41.354210.04761N91.369060.00082Y

51.375300.02109N

因为I九9一18R0.00082<103,所以无*a/=1-36906。

2、(p.153,题2)证明方程工=，85%有且仅有一实根。试确定这样的区间回，使迭

2

代过程4+]=gcosx*对与w[a,万]均收敛。

【证明】设：g(x)=gcosx,则当xwR时，g(x)=gcosxw,且一阶导数

g'(x)=-gsinx连续，lg'(x)l=l-gsinxlwg<l,所以迭代过程Xp=gcosx*对

x()wR均收敛。(压缩映像定理)，方程x='cosx有且仅有一实根。〈证毕)

2

3、(p.153,题4)证明迭代过程4向=巫+-!-对任意初值X。〉1均收敛于血。

2x,

【证明】设：g(x)=±+,，对于任意x>l,因为2+,22、仔•'=五，所以g(x)2五。

2x2xV2x

一阶导数8'。)=’-44,<1，根据压缩映像定理，迭代公式Sy=9+」-对任意

2x22X.

初值%>1均收敛。假设lim4=x*,对迭代式x.=红+'-两边取极限，则有

182X,.

X*=^+3,则(x*)2=2,解得£=±也，因£=一行不在x>l范围内，须舍去。

2x

故X*=正。〈证毕〉

4.2牛硕迭代注

1、(p.154,题17)试用牛顿迭代法求下列方程的根，要求计算结果有4位有效数字:

3

(1)%—3x—1=0»x0=2

2A

(2)x—3x—e+2=0,x0=1

【解】(1)^/(X)=X3-3X-1,则/(工)=3%2-3,牛顿迭代公式:

24+1

伙=0,1,2,…),迭代计算过

/(4)3x；-33(x；-l)

程见下列表。

kXk\Xk-Xk./\<0.0001kXk<0.0001

11.888890.11111N31.879390.00006Y

21.879450.00944N

因为I/~x2饪0.00006<104,所以x*a£=1.879。

(2)设/。)二%2一3%-01+2,则尸(x)=2x—3-牛顿迭代公式:

/区)X；-3x«-e"+2x；(XT)—2

xx=x%=(k=0,1,2,…)

k+l=kXtXt

f\xk)2xk-3-e2xk-3-e

,迭代计算过，匣见下列表。

kXk\Xk-Xk-l\<0.0001kXk\Xk-Xk-l\<0.001

10.268940.73106N30.257530.00014N

20.257390.01155N40.257530.00000Y

4

因为1£一乙区0.00000<10,所以x*ax4=0.2575。

2、(p.154,题18)应用牛顿法于方程。=0,导出求立方根布(a>0)的迭代公式,

并证明该迭代公式具有二阶收敛性。

【证明】(1)设：f(x)=x3-a,则/'(x)=3/,对任意X>0,牛顿迭代公式

/(X..)-a2xl+a,,、，，

Jkk

xk+i=xk-=xk-,=-k=0,l,2,…

f\xk)"3xl3x；

3.

(2)由以上迭代公式，有：lim4=x*=MZ0设g(x)=—,-(x>0)

283x

g(x*)=x*：§'(%*)==0；g"(x*)=^=/。