连续系统的域分析

连续系统的域分析5.1拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-σt(σ为实常数）乘信号f(t)，适当选取σ的值，使乘积信号f(t)e-σt当t→∞时信号幅度趋近于0，从而使f(t)e-σt的傅里叶变换存在。相应的傅里叶逆变换为第2页,共51页，2024年2月25日，星期天Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。二、收敛域只有选择适当的σ值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。使f(t)拉氏变换存在的σ取值范围称为Fb(s)的收敛域。下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。第3页,共51页，2024年2月25日，星期天解：例1因果信号f1(t)=eαt

ε(t)，求其拉普拉斯变换。可见，对于因果信号，仅当Re[s]=σ>α时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。第4页,共51页，2024年2月25日，星期天解：例2反因果信号f2(t)=eβtε(-t)，求其拉普拉斯变换。可见，对于反因果信号，仅当Re[s]=σ<β时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。第5页,共51页，2024年2月25日，星期天解其双边拉普拉斯变换Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)例3双边信号求其拉普拉斯变换。求其拉普拉斯变换。仅当β>α时，其收敛域为α<Re[s]<β的一个带状区域，如图所示。第6页,共51页，2024年2月25日，星期天解例4求下列信号的双边拉氏变换。f1(t)=e-3t

ε(t)+e-2t

ε(t)f2(t)=–e-3t

ε(–t)–e-2t

ε(–t)f3(t)=e-3t

ε(t)–e-2t

ε(–t)可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。第7页,共51页，2024年2月25日，星期天结论：1、对于双边拉普拉斯变换而言，F(S)和收敛域一起，可以唯一地确定f(t)。即：2、不同的信号可以有相同的F(S)，但他们的收敛域不同；不同信号如果有相同的收敛域，则他们的F(S)必然不同！第8页,共51页，2024年2月25日，星期天三、单边拉氏变换通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是Re[s]>α，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。第9页,共51页，2024年2月25日，星期天四、常见函数的拉普拉斯变换1、

’(t)←→s，Re(S)>-∞2、ε(t)或1←→1/s,Re(S)>03、

(t)←→1，Re(S)>-∞4、tε(t)←→1/s2

,Re(S)>0第10页,共51页，2024年2月25日，星期天解：例5.1－5求复指数函数（式中s0为复常数）f(t)=es0t(t)的象函数若s0为实数，令s0＝，则有若s0为实数，令s0＝

j，则有第11页,共51页，2024年2月25日，星期天第12页,共51页，2024年2月25日，星期天则ROC至少是§5.2拉氏变换的基本性质

拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的性质。这里只着重于ROC的讨论。1.线性（Linearity）：若第13页,共51页，2024年2月25日，星期天而ROC为整个S平面

当与无交集时，表明不存在。例.第14页,共51页，2024年2月25日，星期天2.时移性质（TimeShifting）:若ROC不变则3.S域平移（Shiftinginthes-Domain）:若则

表明的ROC是将的ROC平移了一个。第15页,共51页，2024年2月25日，星期天例.显然第16页,共51页，2024年2月25日，星期天

4.时域尺度变换（TimeScaling）:若则当时收敛，时收敛例.求的拉氏变换及ROC第17页,共51页，2024年2月25日，星期天

可见：若信号在时域尺度变换，其拉氏变换的ROC在S平面上作相反的尺度变换。特例第18页,共51页，2024年2月25日，星期天包括

5.卷积性质:若则显然有:例.第19页,共51页，2024年2月25日，星期天ROC扩大

原因是与相乘时，发生了零极点相抵消的现象。当被抵消的极点恰好在ROC的边界上时，就会使收敛域扩大。6.时域微分:（DifferentiationintheTimeDomain）ROC包括,有可能扩大。若则第20页,共51页，2024年2月25日，星期天7.S域微分:（Differentiationinthes-Domain）若则答案第21页,共51页，2024年2月25日，星期天8、时域积分特性（积分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,则已知后者，也可推出前者第22页,共51页，2024年2月25日，星期天例2:已知因果信号f(t)如图,求F(s)第23页,共51页，2024年2月25日，星期天9、初值定理和终值定理初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞），而不必求出原函数f(t)初值定理设函数f(t)不含δ(t)及其各阶导数，终值定理若f(t)当t→∞时存在，并且f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,第24页,共51页，2024年2月25日，星期天？？05.3拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换---复变函数积分。比较困难第25页,共51页，2024年2月25日，星期天通常的方法:（1）查表法（2）利用性质（3）部分分式展开-----结合若象函数F(s)是s的有理分式，可写为若m≥n

（假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。第26页,共51页，2024年2月25日，星期天由于L-1[1]=δ(t)，L-1[sn]=δ(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。下面主要讨论有理真分式的情形。部分分式展开法若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n)，则可写为式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为特征方程，它的根称为特征根，也称为系统的固有频率（或自然频率）。n个特征根pi称为F(s)的极点。第27页,共51页，2024年2月25日，星期天特例：F(s)包含共轭复根时(p1,2=–α±jβ)（1）F(s)为单极点（单根）第28页,共51页，2024年2月25日，星期天取逆变换，若取第29页,共51页，2024年2月25日，星期天f1(t)=2e-αt[Acos(βt)–Bsin(βt)]ε(t)求其逆变换若取K1,2=A±jB,第30页,共51页，2024年2月25日，星期天第31页,共51页，2024年2月25日，星期天求其逆变换解：长除法F(s)第32页,共51页，2024年2月25日，星期天第33页,共51页，2024年2月25日，星期天第34页,共51页，2024年2月25日，星期天f1(t)=2e-αt[Acos(βt)–Bsin(βt)]ε(t)第35页,共51页，2024年2月25日，星期天解：A(s)=0有6个单根，它们分别是s1=0，s2=–1，

s3,4=±j1，s5,6=–1±j1，故例4：求象函数F(s)的原函数f(t)。第36页,共51页，2024年2月25日，星期天第37页,共51页，2024年2月25日，星期天（2）F(s)有重极点（重根）若A(s)=0在s=p1处有r重根，第38页,共51页，2024年2月25日，星期天举例:第39页,共51页，2024年2月25日，星期天第40页,共51页，2024年2月25日，星期天5.4复频域分析复习：拉普拉斯变换的时域微分特性则第41页,共51页，2024年2月25日，星期天一、微分方程的变换解描述n阶系统的微分方程的一般形式为系统的初始状态为y(0-),y’(0-),…，y(n-1)(0-)。取拉普拉斯变换第42页,共51页，2024年2月25日，星期天例1描述某LTI系统的微分方程为y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=2f(t)已知初始状态y(0-)=1，y’(0-)=-1，激励f(t)=5costε(t)，求系统的全响应y(t)解：取拉氏变换得第43页,共51页，2024年2月25日，星期天第44页,共51页，2024年2月25日，星期天五、拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系例

求下列信号的双边拉氏变换。f1(t)=e-3t

ε(t)+e-2t

ε(t)解第45页,共51页，2024年2月25日，星期天单边拉普拉斯变换和傅立叶变换的定义Re[s]>

0分析因果信号两种变换的关系设Re[s]>

0(1)0>0;收敛域在虚轴右边，在s=j

处不收敛，傅立叶变换不存在第46页,共51页，2024年2月25日，星期天这时有：(1)0<0;收敛域包含虚轴，在s=j

处收敛，傅立叶变换存在。例如：其傅立叶变换为第47页,共51页，2024年2月25日，星期天分析：因为

0＝0，所以在虚轴上有极点，即F(s)的分母多项式A(s)=0必有虚根。设A(s)=0有N个虚根（单根）j1,j2,…jn,将F(s)展开成部分分式，并把它分成两部分，极点在左半平面的部分令为Fa(s)。则有(1)0＝0;在虚轴上不收敛。