最优化算法课后习题标准版(第三章)

第三章一单纯形方法题解

I.用单纯形方法解下列线性规划向鹿:

(1)min-9xi-16xj(2)maxii+3八

21.ii+4，g+i3=80.&t・2ri+3八+4=6,

2n+3，*+«n=90・-Xl+k*+«TQ=1.

ij>0・j=l*2・3“.尸1・2.3.4.

(3)max一1|+3j*t+x>(4)min3xi--2x>一«r.

，・i・3.ri-八+2n<7.Kt.X|+**+Xi<4♦

—2j|+4**<12.4xi-Xi+19+2,4&6・

-5+3八+8]]410・-+八+2n+31,《12.

X।•Xg•JT]20・町?0・j-l・2.3.4.

(5)min-3/i-

&t.3xi+3x>+x>・30・

4，|—4i*+jr.-l6・

2xi—xt412.

Xj20.j・l・2・3・4.

解(1)用单纯形方法求M过程如下,

XlJFBJTB工，

1(!)1o80

230190

916000

120

iT0

©0-T1

30

50-40-320

o।4-i

八14

99

10-44-

Xl24

95

00-|一1-440

最优解7=(24.14.0.0).最优值/一=-440.

(2)用单纯形方法求解过程如下，

(2)用单纯形方法求解过程如下:

A4-r»A

23106

一1①011

-1-3000

©01—33

-11011

-40033

10T-f

o14-4-

004427

395

最优解手=传,卷.0.0).最优值/i=率.

(3)引入松弛变成八.八—•化成标准形式：

max-Xi++xs

*I.3xi-4+2x>+q=7♦

-2xi++八=12.

—4xi+3xs+8—+4=10.

JC/2O.j=1.2.…・6.

用单纯形方法求解过程如下:

-r43-121007

13-2④00I012

XQ-43800110

17-10000

工，

f021T°10

-/1

八00T03

A-T。⑧0-T11

-T。-10TO9

@。7L竺

an01正"7T

-i1

XI00703

-立0J_

小10_2±

16一耘TT

一及000Z1±Z3

163288

】00段上一马

010支?—Z

001吉一±-i-

773

000H583

501005050

最优解工=管.空专.0.0.0）.最优值/_=甯.

（4）引入松弛变化成标满形式，

min3xi—5jrf—ir>—

n.t.Xi+xj-b+xi-4.

41i-x>+*■+2x«+1.-6•

-ii+JT,+2x>+3xt+Jr]=12.

Xf?0・j=1・2•….7.

用单纯形方法求解过程如下：

①

八1101004

八4-1120106

1，-112300112

-35210000

11101004

X，502211010

JTf一201③-1018

一80一31-500~20

XI11101004

194sH

X4001

TTT3T

_&1__Li8

010

33333

221014168

33333

最优解7=(0・4•¥・()).最优值/-=一等.

OOO

(5)引入松弛变最八•化成标准形式：

min-XTI—x*

s.t.ITI+3xj4-=30.

4XB-4x1+八=16.

2rl-JT*+八・12・

jr1》0・j-1・2•….5・

用雌纯形方法求价过程如下：

xtJF,x»jr.xt

3310030

④一401016

h2-100112

310000

0018

⑥1T

i

ii1一1004

L

1301014

040T0-12

小01+，03

X|1。十表。7

八0°-十;11

00-yY0一24

最优解X=(7.3.O・O・D•最优值/一二一24・

2.求解下列线性规划问题:

(1)min4xi+6n+18n(2)maxZTI+1&

s.t.Xi+3.3>3・5.I.JTl+Xf45・

12+2«n>5.JTI—

n』，八》0.6ij+2«r*42l・

JTl・1*》0.

(3)max31i-5«r・(4)mini|-3I*+”B

&t.—I1+24+4八44・s.t.2*I-七+八—8・

*|+**+。345・2・i+xt>2,

-1|+2小+工8》1・*|+2]»W10・

J"।»-rg»x>?。.X|«Xt・《r!》0.

(5)max-31|+2々一八(6)min2JTI-3x.+4I.

M.t.2工|十4一*.t.*I+xi+xi<9.

4ii+3«n+«n=3・-“i+2r.-1,，5・

-ii+心+仙-2.211-JTt<7«

x।・**.1,》0・X।・JT.20・

(7)min3ij-2八+八(8)min2jrt-

&t.2ii-31,+11=1•s.t.2XI-«r*一4》3・

2ij+3i*》8.xi-

JTl»Xf・4二0・Ji・n・JFi》0.

(9)min2ii+1*—八一北(10)max3xi—八一3八+八

s.t.xi-xt+2«rj-九=2・&LJTl+2xi-k*+JT4=0♦

21|十八一3八+”.=6・Xi-1,+2八一].二6.

n+«r*+八+“，=7・2JTI—2x*+3八+3八=9・

/>0・j=l・2・3・4.乙)0・j=L2・3・4.

解（1）引人松弛变歌八•八・.T,•化为标淮形式1

min4xi+6«r*+18xj

5.t.JTt+3xJ-x，=3・

Xi+2jr1--4=5.

>0.j=1・2.・・・・5・

用单纯形方法求解过程如F：

10③T03

0120-15

006-4-642

1

T01"T01

_22

"T10T-13

-200-2一636

最优解f=(0・3.1.0・0).最优值/.=36.

(2)引入松弛变Hn.八.八.化成标准杉式，

max2xi+x>

■・t・工|+1*+*.-5・

—・0・

6j|+2xf+=21.

可》0・j=1.2・・・，.5・

*1AX>JT.Ay

1110005

①T0-1010

62OOIO21

1-10-1000

02110-15

IT0T010

08061-621

00000-10

得到原线性规划的一个基本可行第.由此出发求最优解•过程如下:

。②1105

1-10-100

0806121

0-30—200

A.11A5

01TT°T

1A11A5

10——--0

22T

00T②1i

00yT015

T

9

0]-1-o—十T

1A1A1ii

10-0TT

i

00-2>7T

oo/0，31

T

最优解"作.5.0.4.0).最优值/一=半

\44L)4

(3)引入松弛变以八•八・八•化成标满形式：

max3i|—5xt

»•t.-ii+2JT*+44+14-4.

*i+**+2x1+4=5♦

一11+2xt4-xi

X/0<j=1.2♦…，6.

用两阶段法求解,为此引入人工变豉y.X下列线性规划：

miny

n.t.-0F|+2JF,+41>+4-4,

工•+工1+2x1+is=5•

-“i+2x*+x1-i.+y=l・

了,》(hj=l+2・"，，6・y>0・

X|々X»小JF»XQy

14-12410004

1，11201005

y-101oo-i11

―12100-101

003101f

■ny0y01y-y

JT1一亍1-z-00--z-f

000000-10

得到原线件规则的一个从本Wx-（O4Q3.].O）.

由此出发求最优M.过程如F,

JT|xs毒A

1，00③i013

33\9

Js001

TT2T

__LiL1

■Tj100

TT

5

L000

TTTT

i

0010Ti

©

*300—IT103

__L_&

小1000

L510

00T0T0

I1

jr>001T0T1

Lz

X|00

i0"TT2

__Li_2

-r>010IT."F1

2i10

00

0TTT1

最优解7=(2.1.1.0.0).最优值/_=1

(4)引入松弛变豉心.八.化为标准版式：

min11-3JT.十八

5.1.2JT|-JTt4-JTi=8.

2xi+JT*一—=2.

xj-F2jrf+xi=»10.

07'0・，=1，2•…，5・

用两阶段法求的.

引入人工变的线性规划：

miny

Ll.2xi-Xf+JT>-8♦

2xi+x>-+y-2.

JI+2xi+JFI-10.

30・j-l・2・3・・5・yN0,

求解过程如下，

JT八

xt9jrtxty

八2-110008

y©10-1012

Xs12001010

210~1002

小0-2110-16

001

1|1y-j-4"

0019

X，11

00000-10

得原线性规划的个基本可行修工=(1.0.6.0.9).

从求得的基本可行解出发•求最优加.求X过程如下:

•T|八

•n0-21106

>©。T°

工|1

**°1°1,9

A3Ale

00-y07

最优解7=(0.5・13.3・0).最优值/_=-2.

(5)引人松弛变出八•八•化成标准杉式：

max-3JTI+Zrt-n

&t.2rl+**-4+JT,=5♦

+3xt+4-n-3♦

-xi+xt+xi-2.

30・j・l・2「・・・5.

先引入人工交后川・“・解卜丹线性规时：

minyi+yt

&t・2xi+JT.

4xi+3xi+八一xs-Fyi=3♦

-4i+n+4+分=2♦

巧》O.j=1・2•….5.»♦%>0.

求解过程如下：

*1*8八*■“8**

1421一110005

>11③10一|103

y1一11100012

3420-1005

-1

01--04

3

i

If10一士01

©

J1一丁00一下11

_221£

0T0T-3"01

*1AXj13力力

-40011-126

01

f'0~ii~iT

7A■A1133

1】一彳010T-TTT

000000-!0

得到一个法本可行婚jr-(0.].].6.0).

从求得的族本可行M出发求最优M•过程如F：

-400116

1

~100-----

222

010©3

T

230001L

222

30-2103

-111002

一702013

103004

最优解工=(0・2,0.3・3)・最优值/一二4.

(6)引入松饨变•n•八•化成标淮形式，

min2八-34*>+4八

At・xi+-ri+XI+x<-9・

—1i+2jrf-Xi-is-5・

2JTI—x1+JT.-7♦

x.>0.j・l.2「・・・6.

用大M法求籍.

引入人工变Hy.取大正数M・■下列线性规划，

min2xi-3x«+4x>+My

s.t.Xi+*，+**+1.=9*

-ii+2jrt-Xj-JTI+y=5•

2xi-jTt+JT.=7.

I,>0.j=l・2-6・y)0.

求・过程如下，

11110009

-1②-10-101S

2T000107

一M—22M-F3一M—40-M005M

33©_±13

T0T10T

_±S

1一•今00T

3L19

T0一看01

__L_旦3_15

0~~20T0—.M~—

303210-113

11110009

301101016

一50一7一300-M~27

最优解7=(0・9,0,0,13.16).最优值/…=-27,

(7)引入松弛变成八•化成标淮形式：

min3xi-2rB+x>

&t・2rl-3x«+x1=1♦

2xi+&r,-x,-8.

s1•2«3«4.

用大M法求解.

另

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