济南市2023-2024学年度第一学期九年级数学期末模拟练习试卷解答

济南市2023—2024学年度第一学期九年级数学期末模拟练习试卷解答一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．如图所示的几何体的主视图为（）A． B． C． D．【答案】D．2.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.【答案】A3.如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D，表示sinB错误的是（）A． B． C． D．【答案】D．4.关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则m的值为（）A．﹣3B．﹣1 C．1D．2【答案】A不透明的口袋中装有3个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同．课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，则n的值最可能是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C若关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围为（）A．k≥ B．k且k≠0 C．k＜且k≠0 D．k【答案】B．7.如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝50°，则∠ABC的度数为（）A．20° B．25° C．40° D．50°【答案】A．8.如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（）秒时与相似．A.2秒 B.4秒 C.或秒 D.2或4秒【答案】C9.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y＝bx+c在同一坐标系内的大致图象是（）A．B． C． D．【答案】D．如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE•OP；③S△AOD＝S四边形OECF；④当BP＝1时，tan∠OAE＝，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，则cosA＝．【答案】．12.将抛物线y＝x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为．【答案】y＝（x﹣3）2+2学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走到达点D处，测得影子长是，则路灯灯泡A离地面的高度为___________m．【答案】6.414.如图，是反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B，则S△ABC＝．【答案】1．15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝70°，则∠BOD＝．【答案】140°16.如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O、A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C7，若点P（13，m）在第7段抛物线C7上，则m＝1．【答案】1．三、解答题．（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：sin30°+3tan60°﹣cos245°．解：原式＝+3×﹣（）2＝+3﹣＝3．18.解方程：．解：，∴，∴，∴或，解得：，．19.某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题（1）这次被调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．解：（1）这次被调查的学生人数为（名；（2）喜爱“体育”的人数为（名，补全图形如下：（3）估计全校学生中喜欢体育节目约有（名；（4）列表如下：甲乙丙丁甲（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）乙（甲，乙）（丙，乙）（丁，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）（丁，丙）丁（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为．20.已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）如果AB=3，EC=，求DC的长．解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=AC，∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°，∴∠BAD=∠CDE∴△ABD∽△DCE；（2）由（1）证得△ABD∽△DCE，∴，设CD=x，则BD=3﹣x，∴=∴x=1或x=2，∴DC=1或DC=2．21.为推进“世界著名花城”建设，深圳多个公园近期举办花展活动．某公园想用一段长为80米的篱笆，围成一个一边靠围墙的矩形花圃ABCD，墙长36米．（1）当AB长为多少米时所围成的花圃面积最大？最大值是多少？（2）当花圃的面积为350平方米时，AB长为多少米？解：（1）设长BC为米，则宽AB为米，花圃的面积是平方米，，当时，有最大值，∵墙长36米，∴，则取，，此时，答：当AB长为22米时所围成的花圃面积最大，最大值是792平方米；（2）令，则，解得，（舍去），∴，答：花圃面积为350平方米时，AB长为35米．22.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，，）

(1)求屋顶到横梁的距离；(2)求房屋的高（结果精确到）．解：（1）∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，，∴，，，在中，，，∵，，∴；答：屋顶到横梁的距离约为；（2）过作于，则四边形为矩形，

设，在中，，∵，∴在中，，，∵，∴∵，∴，解得：，∴，∴，答：房屋的高约为．23．如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，AD⊥DE于点D．（1）求证：直线DE是⊙O的切线．（2）如果BE＝2，CE＝4，求线段AD的长．解：证明：（1）如图1，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥DE，∴∠ADC＝90°，∴∠OCE＝∠ADC，∴∠OCE＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图1，连接OC，设OC＝x，∵OC2+CE2＝OE2，∴x2+42＝（2+x）2，∴x＝3，∴OC＝3，∵AD∥OC，∴△COE∽△DAE，∴，∴，∴AD＝．24.如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点．(1)求反比例函数的表达式；(2)直接写出时，x的取值范围；(3)在x轴上是否存在点P，使△ABP为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．（1）解：依题得解得，即A（-2、4）将A（-2、4）代入得k=-8，即反比例函数解析式为：y=-；（2）∵解得：或，即B（-8、1）∴结合图像可得当y1＜y3时，x的取值范围是x＜-8或-2＜x＜0；（3）如图，假设在x轴上存在P（t、0）使△PAB为直角三角形，∵PA2=（t+2）2+42=t2+4t+20PB2=(t+8)2+1=t2+16t+65AB2=62+32=45①PA2+PB2=PC2，即t2+4t+20+t2+16t+65=45化简得t2+t+1=0此时方程无解，故此种情况不成立；②PA2=PB2+PC2即t2+4t+20=t2+16t+65+45解得：t=-；③PB2=PA2+AB2即t2+16t+65=45+t2+4t+20解得：t=0；综上所述，在x轴上存在点P1（-、0），P2（0、0）使△PAB为直角三角形．25.（1）问题如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．（2）探究若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．解：（1）证明：如图1，，，，又，；（2）结论仍成立；理由：如图2，，又，，，，又，，；（3）,,,是等腰直角三角形是等腰直角三角形又即解得．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②当S取得最值时，求点P的坐标．在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）∵直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3），∴c＝3，﹣＝1，∴b＝2，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴点M（1，4），∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），∴0＝﹣x2+2x+3∴x1＝3，x2＝﹣1，∴点A（﹣1，0），点B（3，0），∵点M（1，4），点B（3，0）∴直线BM解析式为y＝﹣2x+6，∵点P在直线BM上，且PD⊥x轴于点D，PD＝m，∴点P（3﹣，m），∴S△PCD＝×PD×OD＝m×（3﹣）＝﹣m2+m，∵点P在线段BM上，且点M（1，4），点B（3，0），∴0＜m≤4∴S与m之间的函数关系式为S＝﹣m2+m（0＜m≤4）②∵S＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S有最大值为，∴点P（，3）∵0＜m≤4时，S没有最小值，综上所述：当m＝3时，S有最大值为，此时点P（，3）；（3）存在，若PC＝PD＝m时，∵PD＝m，点P（3﹣，m），点C（0，3），∴（3﹣﹣0）2+（