流体力学课后习题解答1

参考答案

第二章

1.-6095.6pa

2.H=10cm,则作用在圆球上的总压力为0.069N

3.p=45.55KN()=75.5°

4.p"p-0.6356^26=51.87"

2.8

“=0.732746=57.5"

*8z16

3/J2PL-

p=­dp=0.698/29=57.5"

x8z16

2

7.y}=—%=1.15m>2=2.11，"为=2.73m

5o33

8.p=a-b7,y---Cl

324

9.p“=68.25/CNpz=99.88KN“=120.97KN6=34.34"

11.G=1875kg

15.p=246ASKNyD=2.5m

16.p=76.38KN压力中心yD=3A\m

使闸门开启，必须T>118.77KN

17.左侧p=22.63KN压力中心=1.54m

右侧.p=905.28N压力中心yD=0.308m

闸门在两力作用下绕。点开启，应满足：

22.63x(」——x-1.54)=0.905x(x——+0.308)可解出x=0.746m

sin60"sin60"

18.p=361.33KN压力中心yD=2.02m

19.p=22.21KN压力中心yD=3.126???开启闸门必须TN31.41KN

第三章

223

ax=x^y=27ay=xy=9

2.u=ucos0-usin0---(rx-y)

xr0x+y

u=usin0+ucos0=—--(ry+x)

xrex+y

2xcosb

a=—(l+c)--------ay-(1+,2心

xaa

3.1)(3+4f)x=(1+2t)y+c

2）f=o,过点（0,0）的流线y=3x

过点（0」）的流线y=3x+l

，=。,过点（0,-1）的流线y=3x-l

3)x=t+t2y=3f+2〃f为参数

4.x2+y2=c

5.流线方程为:x2+y2=/+b2

yk

6zrsinZ^rsin-r2—Ac

■Ja2+b2wo

22

a22

6.x=x+3xt-4m/say=2"-y+3y/=6m/s

7.xy=l

I2

8.流线x-十婷迹线x=t--t3y=-r

6-2

9.ax=—88/72/s〜a-10/n/.v2a.-0

10.I)K=-4Z4--(x,y)+c

y

2)叱=0cox=^f(x,y)叼=g/'(x,y)

11.1）满足连续性方程2）满足连续性方程3）满足连续性方程

4）满足连续性方程5）满足连续性方程6）满足连续性方程

7）满足连续性方程8）满足连续性方程9）不满足连续性方程

10)不满足连续性方程

12.1)线变形ex=aey=ae.=-2a

剪切变形角速度八=07V=0九=0

体积膨胀率强+9+*=()

dxdydz

c、c17122

2)co=ty=co_=0(p=—ax~4—ay—az

xv-v22

13.Q—8〃

14.包L+竺■+强=o满足连续性方程

dxdydz

15.V.=-2xz-2yz-z2-z+f(x,y)

16.1）满足连续性方程，无旋2）满足连续性方程，无旋

3）不满足连续性方程4）满足连续性方程，无旋

17.1）满足连续性方程，有旋2）满足连续性方程，无旋

3）不满足连续性方程

_&

18.以CD=—2

一2x~~2

j_1i

19.co”69=一co.=—

X一2yV2，2

20.连续公=砥=0,公=0(p-x2"y+—x2-1y3--y2

z,Zr232

21.v=5m/s

1,

23.(p=—\n(x+y9)

d(xd(

v-p-v-P-y

xdxx2+y2''dyx1+y2

第四章习题

,夕水一二）o,

1。V^J-------2gh

22

2.歹（］1、2两断面的伯努利方程一---F—=+-^-=-

2g72g/

连续性方程v,J,2=匕/

P\~Pi=（/wg

由上面3个式子联立求解可得Q=V.A,=V2A2

3.v=|夕期油）2gh

V7油

7,、4-

・T"

I""

4.h=----------------

2gP'

5.取1一2两截面间流体的占用体积为控制体，对其列x方向的动量方程：

222

（P\_P?）兀R之一入，2兀nL=p\^AudA-pvTTR

由连续性方程f«max（1一金）・2仃力•=万/?\，可得V=；%

2222

［Mmax（l--^y）］-2^-rJr=2^Mmaxr-2—+-^-dr=^Rut

2LTp2

•••P「〃2==W+与小

K1Z

6.平板所受射流冲击力

222

p-pvb0sina=pvbsin90°=1000x20x0.05x1=20（KN）方向向右

7.由动量定律，由于喷射流体对船体产生了作用力产

尸="工/=1000、202*工、0.052=7853）方向沿着丫的方向

44

•••保持船力的大小为785M方向与丫的方向相反

8.取坐标在艇上，取艇内射流所占体积为控制体，x正方向向右

设艇对流体作用力为R,则x方向的动量定律:

R—丫入)=pQ[18-(9+6.5)]=1000x0.15x2.5=375(^)

9.应移至第十章

列1、2两个断面的伯努利方程（粘性流体，在十章）

v,=。/4v,=QI%

0一。2=一（/'-/水）h

联立上面的式子求解可得阻力系数4

10.⑴对无穷远处B点到4点沿流线的伯努利方程:

22

%IL=以JA

r2gr2g

55

pB-pa+/h=l.OlxlO+5x9800=1.5xl0(/?a)

vA-1,5VB-20.5333m/5vB-50km/h=13.889m/5

4

pA=3.0xl0（po）

（2）关系式“=1.5咦仍成立，即已知p八=2.33枚//（绝对压强），求限

，2»2

同理互+"=£±+上二

72g72g

2.33xl()3

J---=16(/72/§)

Vg98001.15

11.⑴开启状态下选控制体取正方向，如图所示,

R为圆柱体对流体的作用力，Q为流量，则x方向的动量方程:

/••^xl.5xl-/-^xO.6xl+7?二人瑶哈

Pv=R=0Q2_0.945方向向右

P.-yN-Y--y-n--0.92=2.54/方向向上

⑵关闭状态：曲面静水压力问题

0o

p=/x^x0.9x1=0.405/方向向右

P：=fV=y,兀R?=2.54y方向向上

.••两状态垂直分力相等,两种情况下合力不经过圆心

第五章

、111

1.1)C0=—=-C0=—

xY2>272

z-x=clz-y=c2

6

3)z=0平面的单位法线元=(0,0,1)，卫=(』,』,』)

222

«.n=(ii1)(0,0,1)=0.5

222

Q=2J=2万•万b=lxl(y6机2/s

c111

2.CD,.——(0——CD——

A2)v272

z=x+C]z=y+G

3.(不作要求)

2点对1点的诱导速度：Wj=0匕二=

1点对2点的诱导速度：u2=0

4g)

涡对1,2的涡旋惯性中心：$=「「「?弘=0

1r+r1

1I2

涡对相互作用引起的自身运动是涡旋惯性中心的旋转运动，且旋转角速度:

V

co=----I--=-『-1--+-「-2

x0-Xj2K

直线涡「I的运动轨道：（x—xj2+y2=（xo—xj2

2/2「2、22z2r2、2

2r（）-（）

Xo-X.=------xnx-------—x0+r=——x00-

r,+r2「+「，°r.+r,

直线涡「2的运动轨道：（X-玉）2+y2=（x0+xj2

2F,-百方+六（士见）2

1]+12十人2112

八1

4.%=叼=08"=X

运用stokes定理：「=2/=2（v,A=2--7rS2=1§工

“kk

或为=Vxsin0-Vycon0=--Vr=-Vxcon0+Vysin0=O

在圆周匕空向速度为常数，「=Svrdl=啊

Jk

5.由stokes定理：

2加Z1•v=0=2co-乃（a：—af）/.co——二^一Vfl=2G=—；—一■V

g—Q；a、—%

1dVdVv

6.<x>=—（—二------Y）=k-

x

2dydzVz

l/叱a%、.Vv

-2dzdxVz.

1/匕叱、Vv

z2dxdyK

-V匕匕--

Q=2石=2（2左」,24」,24。）Vx。=0即涡线与速度矢量同向。

K匕V:

7.（不作要求）即要求A、B两点的诱导速度。

(I)先考虑一个圆形线涡对圆心o点的诱导速度

任意一微元ds对圆心O点的诱导速度

dv=在吆£,速度垂直于r和ds所在的圆平面，即沿着Z轴正向。

4万r

而任意一微元ds对应的6=90°,r=a,且方向相同，贝U

圆形线涡对圆心0点的诱导速度为v=rSm90ffds=rSm90<Ina=—

4万“~4万。〜2a

(2)再考虑圆形线涡对z轴上某一点P的诱导速度

任意一微元ds对P点的诱导速度

rsin0ds、十心工田一「4化一gTK

dv=--------,速度垂直于r和ds所在的平面，

4万r

而任意一微元ds对应的。=90。，r2=a2+z2>dv的方向不同，但dv与z轴的夹角a都

将dv分解为径向与铅直分量，径向速度相互抵消，铅直方向速度叠加得圆形线涡对z轴上

点P的诱导速度

f,rfsinds「singc「a2,,,.

v-\dvcosa-----------cosa=-----cosakZ.v-----------,方向沿tz轴旧向。

JJ4%，47产J2/226r

(3)z轴上方-点A的诱导速度：V.=-+-方向向上

2a2(a2+h2)%

Z轴下方一点B的诱导速度：V.=—+-方向向上

"2a2储+%2）%y

rrr

8.点（0,0）的诱导速度：匕=——+方向垂直纸面向外

4加4加2701

_rr

点（0,a）的诱导速度：匕=-——=—方向垂直纸面向外

41•2a8加

rr

点（0,-a）的诱导速度：V,=------=----方向垂直纸面向外

,4万•2a8加

9.参考题7

r

10.线段MN对某点产生诱导速度v=.（cosa-cosL）

取=BB2=CC,=CC2=OAm

则。层=DB[=712+(V3-O.l)2=1.941m

DC,=J（我?+0F=]7349/”

8B?对。点的诱导速度：

匕=工（一百一°,+走）=0.133m/s方向垂直纸面向里

14^-11.9142

8月对。点的诱导速度:

v2=―匚〒（---~=0.172mIs方向垂直纸面向里

24兀至21.914

CG对。点的诱导速度：

r

v3=^（---0）=0.333方向垂直纸面向里

-4兀忑1.7349

CC?处对•。点的诱导速度为。

中心处的诱导速度

方向为垂直纸面向里

11.中心处速度丫=4%=4'」^（也+也）=冬但匚，垂直纸面向外

AB.L227iL

47r—

2

12.参考题7

f)Q

13.⑴在涡核的半径处，旋涡内外速度相等，即10/?=皆=0.3m

(2)旋涡旋转速度啰=10

2

2

旋涡中心坐标由2=p0+r-pco-R-pgz.

令r=0得：Z==-0-09-10"-=—0.92m即下陷0.92加

g9.8

14.由题意可知：

尸KQ时，=0,CDy—0CO：=CD,,有旋

r>a,cox=0,coy=0利=0,无旋

旋涡内部vr=0v0=rcor<a

八r2(O7ra16ya2

旋涡外部vr=0Vfj=------=-----------=------r>a

r

11/u15vdv1111后改

15.匕=《yv=二一r<5公=—(---v-----)=­(—l—)二一有旋

v5z2dxdy2555

5y5x「

v------T，>5

厂+y

2222

15(x+y)-5x-2x5(x+y)-(-5y)-2yn

(/+/2-------------------r°

1熄18

「・R-3圆周的速度环量是T=20x,—X7rR=—71

55

12

R=5圆周的速度环量是T=2x—XTTX5'=104

5

1

R=10圆周的速度环量是z=2x—x%x59〜+0=10〃

5

16.由速度环定义可得：〃圆周线的速度环量是

f=jvedl=£一七(1+1)sin6+：rdO

二［广％(l+-y)cos6+&6=2ki

2

17.vx=xy0=一(-----)=0

'V2dydz

21(dv:xdv.

vy=-yxCD=—(―-------=0

v2dzdx

1/加y9V1.2八1,92\1)

匕=569.=—(—:-------)=—(-y-x")=——(%-+y)=——广

，2dxdy222

由sfokes定理得圆x?+y=1的速度环是：

「=2%服=21=

负号说明为顺时针方向

18.vx-3yvv=2x匕=-4

椭圆上+匕=1面A=〃x3x2=6〃

94

其速度环是r=2J=2-(--)-6^=-6万负号说明顺时针方向

2

19.(不作要求)

点(1,0)的速度由(0,1),(0,-1),(-1,0)处的点涡诱导产生的:

rV2rrr

点(0,1)对其诱导速度：匕=V..—r—'

2TT-<224乃■327T-V224万・

rV2_rrV2_r

点(0,-1)对其诱导速度：V

x2兀•收24万•vIn1.V2244・

,、r二

点(-1,0)对其诱导速度：v、=0V=--------:

*>y2万244

31»一4[

.,.点(1,0)的速度为%=0%=:—方向向上

44

3r

同理得：点(0,1)处速度：v=--{2=°

t247

3T

点(-1,0)处匕3=0%;

4乃

3r

点(0,-1)处：V=—v=0

v44v

四个点涡的涡旋惯性中心为：

（i+o-i+o）r八（o+i+o-i）r八

网＞=~----;-----=°%=----；-----=0

4r4r

3T

・•・四个点涡绕（0,0）点做半径为1的圆周运动，其角速度为包=三

14万

第八早

L(a)w=kxyv=­=kx,v=――—=-ky,--)=0无旋有势

vdyxdxz26x3y

2"詈=幻,"-筌-2x,*（土臂）=0无旋有势

(c)科=kln盯2八=)=生$=-？二上,

dyyoxx

。尸筌、〈(4+空)*0有旋无势

'2dxdy2x2y2

(iA

[d'y/=k1——/sin0

\Y7

Vf=名=女(1--^)cosa%=—?=-ksine(l+!)

rdOrdrr"

公=』(!笆咙—垩)=o,无旋有势

*-2rdrrdO

2.(p-x-y~+x

由于Vx=a="=2x+l积分收=2盯+y+/(x)=>学=2y+/<x)

dxdydx

匕.=学=一字=-2yf\x)=0=>f(x)=c

dyox

w=2xy+y+c

2222

3.vx-xy+yvv=x-yxv_=0

弟+以=2盯-2孙=0平面不可压

dxdy

4=4=0公J(M—W)=；［2x-y2_*2+2y)］wo有旋无势

A125xdy

存在流函数而不存在速度势

&=匕=X2y+>2积分-=4+:>3+/(X)

dy23

2z*»/\22

-=xy+/(x)=_v>.=xy.x

/(%)一,=/(》)=—可

12213%

^=2Xy+§»-y

3*―/=°'无旋’存在速度势

4.CDX=O)x=0CD：=

2121312

(p=x丁+万］一§>~~2y

ve(pd(p

5.速度分布:X

*一

积分-=-g》2+f(y)*=f'(2『y/(y)4/+c

1212

：.w=——X+—y+C

22

5.5o

6.(1)y/=2y-—y+—-3x+c

无旋，有势流

(2)y/=x+x2-y2

无旋，有势流

,CCOS0

7.(/)=------

r

d(bccos。1dwcsin。“、

v=—=----?—=———=>(/=-------+/(r),

rdrr2rder

，务智+/，(「)

drr

即csin。di//csinB

5痴.丁'/⑺=2/⑺='「♦w=-------

9o

8.y/=x+x-y

Vx=^=-2yvv=-^=-2x-l

8y'dx

黑=-2y积分e=-2xy+/(y)-华=-2x+^^~^^=-1/()')=_)'+c

oxdxdyoy

~■-=—2x-1(p-—2Ay-y+c

办

点(一2,4)处速度匕2=]匕2+匕2=J(_2+4)2+[_2x(_2)_l]2=73

点(3,5)处速度彩2=—+「2=(_2义5)2+(—2x3—1)2=149

由伯努利方程：P,+—/7'?21=?2+^'Z7V2

1221

•••P「P2=22“2-v!)=-pxl6=38x?(p„)

9.

(采用镜像法)，在(a,0)的对称位置虚设一个等强度的点涡，则可形成y轴处的固壁。

⑴位于(-a,0)点的点涡诱导流函数为%=-一二InJT+(x+q)2(顺时针)

2"

位于(a,0)点的点涡诱导流函数为〃,=匚InJ，+(x-a)2(逆时针)

2%

流函数为

y/——InXyj+(R+〃)〜-----InJy-+(x-〃)〜

2421"

=(|In](x+a)?+y2「-In[(x-4+y2p}

+)，[2，；[*-。)2+门2.[2),]]

⑵匕噜，+灯•如+4+/]2-[2y]-[(x-tz)2

27rL(x+a)2+y(x_a)+y

di//rx-ax+。

dx2乃［(x-a)2+V(x+a)2+y2

「

当x=0时,v=0v=----y...-方向向下，证明y轴为一固体壁面

)7r(y2+a-)

由伯努利方程：Pe+0=P+g叫2(无穷远处速度为0)

令P.=o,则P=f唱谈方

10.

流场中任意点P(苍y)的速度势采用均匀流、源汇速度势累加而得:

X+。.Q.

-一ln「hIn弓

〃2乃

wo。

WX+.rQ](x+〃)2+y2

-O五In-=uxH---In--------

(}22

r2°4万(x-a)+y

QOyy

=+7^(4-2)="。丁+7^(circtg------arctg----)

2乃24x+ax-a

为得到物向方程，令夕=0,得:

Q八、Q2。)

>=拓(4一幻=寿“"——

y____y_

吆名一吆也lay

其中火（g_q）=~22

l+fg即gq1+上上x~+y-a

x-ax+。

此方程称点根体，这样的外形近似代表桥墩，水下枝干,匕艇的外形

求驻点的位置:

6(pQx+〃x-a

----=〃()H〈------1----r

dx-------2万［(尤+。)2—y(…『十/

v/j°yy

'dy2乃［(x+〃)2+y2(x-a)2+V

令匕=0匕,=0解得:

为x轴上长轴上对称的两点

y.71O

〃=r/asin——

a

/八d(p1di//1勿7107171£-i710

(1)匕.==-=------r/acos--------=—racos——

drrdOraaaa

d(pdi//71,7l071%.兀6

rv=——=-r----=-r—rasin——=-----vasin——

0d6draaaa

,d(p71--17l0八7l0y”八、

由——=-racos——积41rt分°=cos—r/a+/(^)

draaa

…、e(p才/冗，、兀e、八、7u-,TTO

所以——=--(-sin——)+f(8)=----yasin——

dOaaaa

")=0nf@=c

：.(p=Y%，acos山——e

a

(2)当。=利寸，流函数〃=rsin。

流线方程为rsin0=const,即y二co几"为一般平行直线流动

jr

(3)a=7时夕=/sin2。

流线方程行sin26=constxy=为一组双曲线

令孙=0得：x=0,y=0,即x,y轴为壁面，即表示由轴围成的春向的流动

15题和16题题意完全一样，重复

16.

Q

22

X+y

流动的速度势°=%x+万

QQ

i-y

方

流函数“=%y+筋X

(1)流场速度分布：

d(pQx

v="=0-

,dy2"x2+y2

(2)令匕.=0vy-0

解得x=-J—y=0时，解出“=0

2万%

所以过该点的流线方程为：Ly+&fgT工=0为头部为半圆形的物体

2zrx

(3)由伯努利方程

121/2，\

p^+-pv-=p+-p(v+v-)

2ao2xv

121z22\PQ(Q\

P=Pa+-PVoox+Uy)=Poo-_2JVoo^+—

2227r(x2j+y)l4兀)

19.

流函数〃=Qq+—6*,

2万2乃

QyQyQ「yy

=——arct2-----1---arctg----=——arctg-----FarctQ----

2乃x+a2乃x-a2乃[x+ax-a

上+上

QX+QX-。Q2xy

=，'g

yx2+y2-a2

(X+Q)(X-Q)

d(pQX+Qx-a

（1）速度分布

dx2TV(x+a)2+y2(x-a)2+y2

Q2x^x24-y2-^2)

2%[(x+a)2+y2][(x-a)2+y2]

v=a^=_Qry+J]=Q)；(八)》2,

'dy2万(x+a)~+y-(x-a)2+y~万[(x+a)~+y-][(x-a)~+y-]

Q2a2yQ1

在曲线x?+y2=a2上，代入上式，匕=0j

1

兀laynay

可见每一点的速度都与y轴平行，且大小与y成反比

(2)在y轴上x=0匕=0八=9/^

>7Ta-+y2

av_Q(g2+y2)-2y2,

v0y=±a

122

dy兀｛a+y)

y轴上速度极值为Vyw=&号=旦,在（0,土a）处

7t2a~2万。

（3）y轴上x=0,代入夕=旦4一吆-j-=0

2万x-+y-a-

y轴是一条流线

26.圆柱体的运动方程，由牛顿第二定律得:

(m+2)—=F+G

dt

G196.2

m=—=-----20.02/g)

g9.8

22

Z=p7rrQ=1000x3.14x0.1=3.14^

G+F=\96.2+392.4=588.67V

­=588.6/51.42=11.447/n/52

dt

v-11.447r+Cj，=0时»=0Cj=0

dc

速度:竺二H.447/

dt

2

5=l.H.447f+c2"0时§=0,。2=0

运动方程s=5.723产

第七章习题

1.h=10m,a=lm,k=0.21

⑴52%=2%2i=29.9用

乜=W=_L为中等水深水波

L303

C[gL.匕2兀h

C-J——tanh---=6.733m/s

N27rL

<y=kc=1.414(l/m)

T=—=4.441(5)

(7

(2)波面方程〃=acos(kx-at)=cos(0.2lx-1.414/)

(3)x0=O,zo=-5用处

a=“°煞厂=°39刎）B="喘葭）=°3刖）

。2।(Z+5)2

质点轨迹方程为:

0.39920.3122

2.海洋波为深水波'则。=接。=1。〃小

波长：L=21晨=64.08(/«)

周期：T=%=64。%=6.4(5)

3.T=—min=4s

15

b=2%=1.57(%)

0.25

L=2%=24.968(〃?)

C=%=6.28(〃?/s)

4.（不作要求）为有势流动，速度势°满足的方程及边界条件有:

⑴・孕+弯=0整个流域

oxdz

⑵底部条件=0z=-力，

oz

(3).无穷远处条件u=%x------>±oo/?2<z<0

(4).物面条件”=0,Y+&+%了="2上

on

⑸.波动液面条件

运动学边界条件%=--^?(z=0)

dzgdt2

动力学边界条件7=-l^(z=0)

gSt

,agcoshk(z+h)

5.<p=­---------cos(fcx-crz)

crcoshkh

由〃=」"(2=0)

g初

1agcosh—z+力).〃*、/、/c、

=----------------sin(o-crZ)-(-cr)(z=0)

gacoshkh

=as\n(kx-crt)

即自由面的波形表达式为：7]=asin(kx-(rt)

6.(1)c=cy^/

kz

vx=—=—-k-cos(kx-at)v.=-=—e-k-sin(kx-(Jt)

dx<ydz(1

在波峰处，由波形知cos(b;-07)=1,sin3-ov)=0

.•.匕=丝.屋*v.=0

(T

7.由题有：(c—v)xl6.5=90

,、/27TC2

(c-v)x6=Lr=----

g

联立两式解得：L=7.15(M,v=1.7(m/s)

8.深水波波高=如*攵=2%=2%M=2液面波高=。・*。=。

由题意成立。解得z=—In—=-0.346m

22z

即深度0.346〃z处波高减小一半

9.由于自由面形状为〃=〃coshcoso7,则液面速度势°(z=0)：

1d(p,八、。夕/八、,

“=....—(z=0)-^-(z=0)=-g/]=-agcosKXcoserr

gdtdt

^=~—coshrsino?(z=0)

a

故此，可令°=/(z)cosb;sino7代入拉普拉斯方程：

驾+驾=0可得%—公/=0，其通解为/(z)=Aek:+Be-kz

dxdzdz

/.(p=(Aekz+Be~kz)coskxsinat

无限水深处独=k(A*+&*)cosfcxsino7=0(z=-oo)

dz

…8一底=0,解得B=0

cp=Aekzcoskxsinat

又〃=———=——­Aekzcoskxcosat=—coskxcos<Jt=acoskxcosa

gagg

比较可得A=一。%

cp=--ekzcoskxsinat

a

10.〃=〃sin(3x-crf)可得k=3

波长L=2%=2.09(m)—=-■>—深水波

2.092

a=/gk=J9.8x3=5.422

T=2%=I16(s)

11.浅水波，已知7?=asin(履一a7)

可设/=/(z)・cos(h-ov)