2024北京房山区高三一模数学试题及答案

2024北京房山高三一模数学本试卷共6页，150分．考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知全集U=−−，集合A=，则（）A．−−B．C．D．2．抛物线x2=4y的准线方程是（）A．x1B．=x=1C．y=1y=1D．z=(m−i)+i)3．已知i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数m的值是（）1313−3−A．．3．D．π4．已知角的终边经过点，把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，则sin=2（）4433−−A．．C．D．55555378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6的路程为A．12里B．里C．48里D．里π6．直线l:x+y+2=0截圆M:x2+y2=r2(r0)所得劣弧所对的圆心角为，则r的值为（）32666A．6．C．D．32370x1”是“|x(x−=x−x)”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件a,b,cR8．已知，则下列命题为假命题的是（）A．若ab，则a+cb+cB．若abab，则第1页/共14页a+cb+cb+ca+c1C．若ab，则1baD．若abc0，则22(0),B0)PA0，则称曲线9．在平面直角坐标系中，已知两点．若曲线C上存在一点P，使C①2y2−x2=1；②2x2+y=1；③2x+y=4．2其中“合作曲线”是（）A．①②B．②③C．①．②−xx(−,0],f(x)=g(x)=f(x)+x+c零点的个数为（10．若函数1则函数）,x(0,+ex|A．1B2C．1或2D．1或3第二部分（非选择题共分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。x2y2−=1的离心率是_________．．双曲线2212．如图．已知矩形ABCD中，_________．AB=AD=2，M，N分别是BC，CD的中点，则=−x)n=a+ax+ax2+，则a=________；当a=−a时，n=_________．13．设012089m,nRf(x)f(m)f(n)=f(m+n)mnf(m)f(n)时，都有则函14．若对任意，函数满足，且当f(x)数的一个解析式是_________．15．如图，在棱长为1的正方体ABCD−ABCD中，点P是对角线上的动点（点P与点A，C不111111第2页/共14页①存在点P，使得平面A⊥平面AAC；111②对任意点P，都有1P=；3③△1DP面积的最小值为；6④若是平面ADP与平面ABCD的夹角，是平面ADP与平面CC的夹角，则对任意点P，都1111112111有．其中所有正确结论的序号是_________．12三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。1613分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，平面ADEEF=2，AB=4，AD=2．⊥平面ABCD，△是正三角形，（I）求证：EF∥AB；F−−D（II）求二面角的余弦值．1713分）1△ABC中，2A=−,a=7，且ac．在2（I）求A的大小；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．c=C条件①：条件②：为锐角；1C=2；．3314条件③：sinB=注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分．1814m项目国际级运动健将运动健将一级运动员二级运动员三级运动员男子跳远8.007.807.306.505.60第3页/共14页女子跳远6.656.355.855.204.50在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下甲：6.60，6.676.55，6.446.48，6.426.40，6.356.75，6.25；乙：6.38，6.566.45，6.366.82，7.38；丙：5.16，5.655.18，5.86．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立，（I）估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；（Ⅱ）设X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X的数学期望EX；（Ⅲ）在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳66次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩（单位：m）如下表：第1跳6.50第2跳6.48第3跳6.47第4跳6.51第5跳6.46第6跳6.49a甲丙5.845.825.855.835.86若丙第6次试跳的成绩为a，用s2,s2分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当s2=s2时，写出a的12121915分）x22y221已知椭圆E:+=ab0)的离心率为，左焦点为F(−1,0)，过F的直线交椭圆E于，B两11ab2点，点M为弦AB的中点，O是坐标原点，且M不与O，1重合．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若P是OM延长线上一点，且OP的长度为2，求四边形OAPB面积的取值范围．2015分）1f(x)=eax+已知函数．xa=0y=f(x)在点f处的切线方程；（I）当时，求曲线=g(x)f(x)x2g(x)的极大值；（Ⅱ）设，求函数（Ⅲ）若a−e，求函数f(x)的零点个数．2115分）已知无穷数列an是首项为，各项均为正整数的递增数列，集合A=kNaka,nN*．若对于集合A中的元素k，数列an中存在不相同的项nn1*第4页/共14页N(k)=数列an具a,a,，使得a+a+k，则称数列an具有性质，记集合Biii1i212有性质N(k)．2n−n=（I）若数列a的通项公式为an写出集合A与集合B；nn+n4.（II）若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当t3时，证明：t=s；*=（Ⅲ）若an满足2na,nN，证明：AB．n1第5页/共14页参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）题号答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)（B）（D）（C）（D）（C）（B）（A）（D）（A）（A）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）2（12）6（13）（14）答案不唯一，写出一个形如f(x)=a(0a的函数即可x.（15）①②③三、解答题（共6小题，共分）（1613分）因为四边形为矩形，所以//.因为平面，平面，所以//平面........................2分又因为平面，平面∩平面,.......................4分所以//........................5分（Ⅱ）取中点O，作//，交于N，连接.因为△为正三角形,zFE所以⊥.因为平面⊥平面，平面∩平面平面，,DCON所以⊥平面.因为,平面，所以⊥,⊥.因为//,⊥，所以⊥.ABx分别以，，所在直线为x轴,y轴,z轴，建立如图所示空间直角坐标系,则.......................8分0)，D(因为△为正三角形，所以OE，E(0,0,3).，B0)，C(.,由（Ⅰ）知//,所以F(0,3).第6页/共14页因为⊥平面,所以平面的法向量为=3)........................10分设平面FBC的法向量为n，则BC，BF.由得令y，则x2).，z.所以n.......................12分设面二面角FD的大小为−−，，(0,)22337272因为cosOEn=，27所以cos........................13分7(17)（本小题13分）ABC中，因为ac，所以AC.所以0A.2所以02A.12因为cos2A2=−，所以2A=.3所以A=........................5分.......................6分3（Ⅱ）选条件①：因为A=，33所以sinA=.2又因为a7，=c=8，ac78由=，得=.sinAsinC3sinC243所以sinC=........................8分7第7页/共14页因为sin2C+C=1，C为锐角，243717所以cosC=1−()2=........................9分1由c2=a2+b2−2abC得82=72+b2−b7.7整理得b2−−=或（舍）.b150，解得b=5b=3所以b=5........................11分12123所以△ABC的为面积为△ABC=bcsinA=58=103.......................13分.......................6分2选条件③：因为A=，33所以sinA=.233又因为a7，=B=，ab7b由=，得=.sinAsinB3332所以b由a整理得c=.3........................8分12=b22+−c2−bcA得72=32+c2−2c.2c400，解得c=8c=5−=或（舍）.所以c8=........................11分1213所以△ABC的为面积为△ABC=bcsinA=38=63........................13分22选条件②：不满足题目要求，得0分.（1814分）A为“甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员”.根据题中数据，甲在10次比赛中，有4次成绩达到二级及二级以上运动员．425所以P()估计为=........................4分10（Ⅱ）设事件BC为“丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员”.36122412根据题中数据，P(B)估计为=，PC)估计为=........................5分X根据题意，随机变量的所有可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)=P(ABC)=P()P(B)PC)；第8页/共14页P(X==P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P()P(B)PC)+P()P(B)PC)+P()P(B)PC)；P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P()P(B)PC)+P()P(B)PC)+P()P(B)PC)；P(X==P(ABC)=PC)P(B)PC).325所以P(X0)估计为=，P(X=估计为；71P(X=2)估计为，P(X=估计为........................10分.......................11分3271287=0+1+2+3==.20（Ⅲ）a=5.81或a5.87(19)（本小题1552010205=........................14分分）c=a=b=3.ca1=,解：（Ⅰ）由题意可知所以2=+a2b22c.x2y2所以椭圆E的方程为+=1........................5分43（Ⅱ）解法1：由题意可知，直线AB不与坐标轴垂直，y=k(x+(k0)设直线AB的方程为．.......................6分y=k(x+由x2y2得(4k2+x2+8k22x+4k2−120．=.......................7分+=1.43=k2)2−4(4k2+3)(4k−12)144(k=2+0.判别式设(x,y)，B(x,y)，则11228k24k−122x+x=，xx=........................8分122+124k+324k3设AB的中点M(x,y)，则001+x24k2k4k+30==，y0=k(0+=.24k2+324k2k所以（，........................9分4k2+34k2+33所以kOPkOM==−.4k第9页/共14页3所以直线的方程为y=−x，即3x+4=0........................10分4k31+41d=1点(x,y)到直线的距离为，119+16k232+42d=点B(x,y)到直线的距离为2，.......................11分229+16k2因为(3x+4)+(3x+4)=(4k2+3)(x+x)+8k21122128k2=(4k2++8k=0，24k2+33x+4−3x−43+4k2)2−x1d+d=2222所以=．129+16k29+16k212k2+1又因为21−=(1+2−x2412+1=，4k2+3()(123+4k2k212k+12d+d==所以．12+3)9+16k24k29+16k212所以四边形OAPB面积S=(1+d2)712k2+1116+9==12+........................13分+21616k2916k因为k0，所以16k2+99.119所以0.16k2+9711616k所以312+4.2+9164)所以四边形OAPB面积的取值范围是解法：........................13分由题意可知，直线AB不与坐标轴垂直，x=−1(m0)设直线AB的方程为x=−．.......................6分由x2y2得m2+4)y2−6−=90．.......................7分+=1.43=(−6m)2−4m2+4)(−9)144(m=2+00.判别式设(x,y)，B(x,y)，则1122第10页/14页6m9m2+4y+y=，yy=........................8分12m2+124设AB的中点M(x,y)，则001+y2m4m2+4y0==，x=−1=.m2+40024m+4mm所以M(，)........................9分22+4m所以kOPkOM==−.4m所以直线的方程为y=−+4y=0x，即........................10分41+4y1d=1点(x,y)到直线OP的距离为，119m+1622+4y2d=点B(x,y)到直线的距离为2，.......................11分229m2+16因为+4y)++4y)=m2+4)(y+y)−6m112126mm+4=m2+4)−6m=2+4y−−4ym2+4y−y)2d+d=22221所以=．129m2+169m216+12m2+1又因为y21−=(+)1y22−41y2+1=，m2+4(+4)12m2m212m+12d+d==所以.12(+4)9m2+16m29m+16212m+121=所以四边形OAPB面积S=(1+d2)2+1629m79.......................13分12m2+11==12−2+1699m+1629m因为m0，11+1616，0，所以9m29m2+16167199所以312−4.9m+162所以四边形OAPB面积的取值范围是4)........................15分第页/共页yAPMF1OxB(20)（本小题15分）解:（Ⅰ）当a=0时，f(x)=+1.1x1=−2因为f(x)，.......................1分.......................3分x=−1，f=2.所以f所以曲线yf(x)在点=，f处的切线方程为y−2=1(x−，即y=−x+3........................5分axeax−12（Ⅱ）因为g(x)=f(x)x2=x2=axeax−1，2x2所以函数g(x)的定义域为(−,0)........................6分所以g(x)aeax(ax=2+2x)........................7分当a=0时，g(x)=x0)，所以g(x)无极大值；.......................8分2当a0时，令g(x)=aeax(ax2+2x)0，则=x=0x=−0.，21ax(−,0)0222(0,−)−(−,+)aaag(x)g(x)+0+极小值所以g(x)无极大值；.......................10分2当a0时，令g(x)=aeax(ax2+2x)0，=x=−2=0.1ax2220(0,+)(−,−)−(−,0)aaag(x)g(x)+0+极大值第12页/14页24所以g(x)的极大值为g(−)=−1.2.......................12分aae24综上所述，当a0时，g(x)=f(x)x2e有极大值g(−)=−1.2aae（Ⅲ）当ae时1当x0时，因为f(x)=eax当x0时，因为f(x)=eax++0，所以函数无零点；.......................13分x1单调递减，x1因为f(e−−=a10−，f()=e+a0，.......................14分a所以函数f(x)有一个零点.(21)（本小题15分）.......................15分A2468910=B=，........................4分（Ⅱ）因为n}是各项均为正整数的递增数列，11，AkNaa,nN*}，==*nn1集合A中的最小元素为t，故当n≤t−nN*，1，，n为