2022-2023学年天津市河西区卓群中学九年级（上）期末数学试卷(含解析)

2022-2023学年天津市河西区卓群中学九年级第一学期期末数学

试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.下列事件中，属于必然事件的是（）

A.391人中至少有两人的生日在同一天

B.抛掷一次硬币反面一定朝上

C.任意买一张“周杰伦”的演唱会门票，座位号都会是2的倍数

D.某种彩票的中奖率为0.1%,购买1000张彩票一定能中奖

2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

3.已知的半径为3c〃z,点尸到圆心。的距离。尸=2c〃z,则点尸（）

A.在。。外B.在。。上C.在。。内D.无法确定

4.在一个不透明的袋子里装有2个红球、3个黄球和5个蓝球，这些球除颜色外，没有任

何区别.现从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（）

A..--1-DB.1—„C.3---6D1.—

105102

5.如图，CD是。。的直径，A、5是。。上的两点，若NAZ）C=65°,则NA5D的度数为

D

B

A.55°B.45°C.25°D.30°

6.一个扇形的圆心角为60°,弧长为2n厘米，则这个扇形的半径为（）

A.6厘米B.12厘米C.2我厘米D.旄厘米

7.如图，是。。的直径，弦于点E,ZCDB=30°,的半径为我则

弦CD的长为（）

C.2\f2cmD.9cm

A.相等的圆心角所对的两条弦相等

B.圆既是中心对称图形又是轴对称图形

C.两个圆中，如果弦相等，则弦所对的圆心角也相等

D.等弧就是长度相等的弧

9.如图，平面直角坐标系中，矩形04BC绕原点。逆时针旋转30°后得到矩形04'B'C,

A'B'与8C交于点延长8C交夕C于N,若A（%，0）,C（0,1）,则点N

的坐标为（）

C.(V3-2-1)D.(1-V3-1)

10.点Pi(-1,yi),Pi(3,”)，尸3(5,73)均在二次函数y=-x2+2x+c的图象上,

则yi,”，>3的大小关系是()

A.ys>yi>y\B.g>?=，2C.ji>j2>y3D.yi=yi>yi

11.如图，。。是正五边形A2CDE的外接圆，点尸是金的一点，则NCPD的度数是（）

B

*0

-----^D

A.30°B.36°C.45°D.72°

12.如图，抛物线y=or2+bx+cQWO)的顶点为M(2,0).下列结论：

①ac<0；

②2a+b=0；

③若关于X的方程0+bx+c7=0有两个不相等的实数根，则f>0；

④若axi2+bxi=ax22+bx2,且xiWx2,则X1+X2=4.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.点A（-2,3）关于原点对称的点的坐标是.

14.一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，将口袋

中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述实验后发现，

摸到黄球的频率稳定在30%,由此估计口袋中共有小球个.

15.已知扇形的弧长为4m半径为8,则此扇形的面积为.

16.请写出一个开口向上，与y轴交点纵坐标为-1,且经过点（1,3）的抛物线的解析

式.（答案不唯一）

17.如图，是直角△ABC的内切圆，切点为。、E、F,若AP=10,BE=3,贝

的面积为

B

2

18.如图，半径为2的OA,圆心A在直线>=券-3上运动，过点O作OA的一条切线

OP,P为切点，则切线OP长的最小值为

三、计算题（本大题共1小题，共10分）

（I）如图①，若NBAC=25°,求NAAffi的大小；

（II）如图②，过点8作8OLAC于E,交。。于点。，若BD=MA,求的大小.

四、解答题（本大题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.已知抛物线y=N-4x+3

（1）求这条抛物线与无轴的交点的坐标；

（2）当y>0时，直接写出尤的取值范围；

（3）当-1<尤<3时，直接写出y的取值范围.

21.若代数式N-1的值与代数式2x+l的值相等，求x的值.

22.在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每

个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）.游戏规则如下：

两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12,则李燕

获胜；若指针所指区域内两数和等于12,则为平局；若指针所指区域内两数和大于12,

则刘凯获胜(若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止).

(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；

(2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率.

23块三角形材料如图所示，ZA=30°,ZC=90°,AB=12.用这块材料剪出一个矩

形CDEF,其中，点。、E、尸分别在BC,AB,AC上.要使剪出的矩形CDE尸的面积最

大.点E应选在何处？

24.在平面直角坐标系中，矩形AOBC的顶点。与原点重合，A(10,0),B(0,6),

以点A为中心，顺时针旋转△804,得到△即A,点8,O,A的对应点分别为E,D,A.

(1)如图a,当点。落在BC边上时，点D的坐标为；

(2)如图6,当点2、D、E三点共线时，AD与BC交于点H.求点X的坐标；

(3)在△BOA旋转的过程中，M点为线段CA上中点，ADEM面积S的取值范围

（图H）

（图h）

25.如图，抛物线>=办2+公-3过点A(-1,0),B(3,0),且与y轴交于点C,点E

是抛物线对称轴与直线BC的交点

(1)求抛物线的解析式；

(2)求证：BE=2CE；

(3)若点P是第四象限内抛物线上的一动点，设点尸的横坐标为X,以点2、E、尸为顶

点的△BE尸的面积为S,求S关于x的函数关系式，并求S的最大值.

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.下列事件中，属于必然事件的是（）

A.391人中至少有两人的生日在同一天

B.抛掷一次硬币反面一定朝上

C.任意买一张“周杰伦”的演唱会门票，座位号都会是2的倍数

D.某种彩票的中奖率为0.1%,购买1000张彩票■定能中奖

【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可作出判断.

解：4是必然事件，故本选项正确，

8、不一定发生，是随机事件，故本选项错误，

C、不一定发生，是随机事件，故本选项错误，

。、不一定发生，是随机事件，故本选项错误，

故选：A.

【点评】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，用到的知识点为：确定

事件包括必然事件和不可能事件，必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件

是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可

能发生也可能不发生的事件.

2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可作出判断.

解：4不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意;

8、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；

。、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，正确把握相关定义是解题关键.

3.已知的半径为3CTW,点尸到圆心。的距离0P=2c%,则点P（）

A.在。。外B.在。。上C.在。。内D.无法确定

【分析】根据点到圆心的距离1和圆的半径厂之间的大小关系，即可判断；

解：；O0的半径为r=3cm,点、P到圆心的距离0P=d=2cm,

.'.d<r,

点尸在圆内，

故选：C.

【点评】本题考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种.设。。的半径为厂，点

尸到圆心的距离OP=d,则有：①点尸在圆外=d>r.②点尸在圆上od=r.③点P在

圆内r.

4.在一个不透明的袋子里装有2个红球、3个黄球和5个蓝球，这些球除颜色外，没有任

何区别.现从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（）

A..—1—B„.-1C„.—3—D.—

105102

【分析】先求出袋子中总的球数，再用红球的个数除以总的球数即可.

解：：袋子中装有2个红球，3个白球和5个黄球，共有2+3+5=10个球，

...从袋子中随机摸出一个球是红球的概率是义=春.

105

故选：B.

【点评】此题考查了概率公式，如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能性相同,

其中事件A出现机种结果，那么事件A的概率尸（A）

n

5.如图，CD是。。的直径，A、8是。。上的两点，若NADC=65。，则NA5。的度数为

()

cD

-------------

A.55°B.45°C.25°D.30°

【分析】要求NA5D,即可求NG因为CD是。。的直径，所以NC4O=90°,又/ADC

=70°,故NC可求.

解：・・・CD是。0的直径，

：.ZCAD=90°,

：.ZC=ZABD=90°-ZADC=90°-65°=25°.

故选：C.

【点评】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关

键.

6.一个扇形的圆心角为60°,弧长为2几厘米，则这个扇形的半径为（

A.6厘米B.12厘米C.到氏厘米D.五厘米

【分析】代入弧长公式，解出扇形的半径R即可.

铲n兀XR

解：7

由题意得，2TT=60肾R

loU

解得：R=6cm.

故选：A.

【点评】本题考查了弧长的计算，属于基础题，熟练掌握弧长的计算公式是关键.

7.如图，A5是。0的直径，弦于点E,ZCDB=30°,。。的半径为匾on,则

C.2'5cmD.9cm

【分析】根据圆周角定理可求出NC08的度数，再利用特殊角的三角函数值及垂径定理

即可解答.

解：VZCr>B=30°,：.ZCOB^60°,又<OC=Mcm,CDLAB于点E,

,V3CE3

.・石西解得CE=—cm,CD=3cm.

故选：B.

【点评】易错易混点：学生易审题不清，求出CE后错当作正确答案而选A.

8.下列命题正确的是（）

A.相等的圆心角所对的两条弦相等

B.圆既是中心对称图形又是轴对称图形

C.两个圆中，如果弦相等，则弦所对的圆心角也相等

D.等弧就是长度相等的弧

【分析】利用圆的有关性质及定理，对称的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项.

解：A、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，故原命题错误，不符合题意；

8、圆既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，符合题意；

C、同圆或等圆中，如果弦相等，则弦所对的圆心角也相等，故原命题错误，不符合题意；

。、等弧是能够完全重合的弧，长度相等不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意.

故选：B.

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关性质及定理、对称

的性质等知识，难度不大.

9.如图，平面直角坐标系中，矩形04BC绕原点。逆时针旋转30°后得到矩形04'B'C,

A'B'与交于点延长BC交夕C于N,若A（愿，0）,C（0,1）,则点N

【分析】由旋转的性质可得CO=CO,ZCOC=30o,由“HL”可证RtACOTV^RtA

CON,可得/N0C=NN0C=15°,由直角三角形的性质可得2NC+愿NC=1,可求

NC的长，即可得点N坐标.

解：如图，连接ON,作NONE=NNOC,

・・•矩形。48。绕原点。逆时针旋转30°后得到矩形。4/B'C,

：.CO=CO,ZCOC=30°

VCO=CO,NO=NO

：.RtACON^RtACO?/(HL)

NNOC=/NOC=\5°

：.ZONE=ZNOC=15°

：.ZNEC=30°,NE=EO

■:NC1OC,ZNEO=30°

：.NC=^-NE,CE=MNC

CE+OE=1

：.2NC+-/3NC=1

：.NC=2-y[3

:点N在第二象限，

.•.点N坐标(-2+%，1)

故选：C.

【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质，旋转的性质，灵活运用这些性质

解决问题是本题的关键.

10.点Pi(-1,yi),Pi(3,”)，尸3(5,第)均在二次函数y=-N+2x+c的图象上，

则yi,>2,券的大小关系是()

A.ys>y2>yiB.y3>yi=y2C.yi>y2>y3D.yi=y2>y3

【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=l,图象开口向下，在对称轴的右侧，y

随工的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，Pi(-1,%)与(3,州)关于对称

轴对称，可判断”=>2>,3.

解："."y=-x2+2x+c,

，对称轴为尤=1,开口向下，

P2（3,>2）,P3（5,J3）在对称轴的右侧，y随X的增大而减小，

V3<5,

根据二次函数图象的对称性可知，Pi（-1,力）与（3,ji）关于对称轴对称，

故州=>2>>3,

故选：D.

【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对

称性及增减性.

11.如图，。。是正五边形ABCDE的外接圆，点P是品的一点，则NCP。的度数是（）

【分析】连接oc,OD.求出NCO。的度数，再根据圆周角定理即可解决问题;

解：如图，连接OC,OD.

故选：B.

【点评】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识,

属于中考常考题型.

12.如图，抛物线^=0x2+8%+。(aWO)的顶点为“(2,0).下列结论:

①acVO；

②2〃+b=0；

③若关于x的方程ax^bx^-c-t=0有两个不相等的实数根，则方>0；

④若axi2+bxi=ax^+bxi,且则XI+%2=4.

【分析】由抛物线开口向上得〃>0,由抛物线与y轴的交点在冗轴上方得。>0,则可对

①进行判断；根据抛物线的对称轴为直线X=-2=2可对②进行判断；由顶点M的坐

标为(2,0)得到”+Z?+c=4,即4〃+Z?+c=0,然后把4〃=-Z?代入得至(Jb=-c,再由判

别式△>(),则可对③进行判断；Stzxj2+ta=«X22+teWLBxi,垃关于对称轴x=2

对称，则可对④进行判断.

解：①・・,抛物线开口向上，

・・•抛物线与y轴的交点在%轴上方，

.*.c>0,

.\ac>0,所以①不正确；

②・・•顶点M(2,0),

抛物线的对称轴为直线X=-4=2,

.•.4〃+匕=0,所以②不正确；

③・・•抛物线的顶点M的坐标为(2,0),

4“+2Z?+c=0,

又•:4a+b=0f

/.b+c=O,BPb=-c,44=c,

・・•关于X的方程ax2+bx^c-t=0有两个不相等的实数根，

b2-4a(c-/)>0,BPc2-c(c-/)>0,

得c/>0,

Vc>0,

・1>0,所以③正确；

④ax^+bxx=ax^+bxi,

22

贝UaX]+bxi+c=ax2+bxi+c,

,•当尤=xi与尤=及时，y值相同，

.■.XI,尤2关于对称轴尤=2对称，

则3_±二=2,即》+尤2=4,所以④正确.

2

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+6x+cQW0),

。决定抛物线的开口方向和大小；b和。共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与

y轴交点，抛物线与y轴交于(0,c)以及判别式判断根的情况.

二、填空题(本大题共6小题，共18.0分)

13.点A(-2,3)关于原点对称的点的坐标是(2,-3).

【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(-2,3)关于原

点。的对称点是P(2,-3)

解：根据两个点关于原点对称，

点尸(-2,3)关于原点对称的点的坐标是(2,-3)；

故答案为(2,-3).

【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，运用时要熟练掌握，可以不用图画和结

合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标.

14.一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，将口袋

中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述实验后发现，

摸到黄球的频率稳定在30%,由此估计口袋中共有小球20个.

【分析】由于摸到黄球的频率稳定在30%,由此可以确定摸到黄球的概率，而袋中有6

个黄球，由此即可求出.

解：••.摸到黄球的频率稳定在30%,

•••在大量重复上述实验下，可估计摸到黄球的概率为30%=0.3,

而袋中黄球只有6个，

...推算出袋中小球大约有6+0.3=20（个），

故答案为：20.

【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定

位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集

中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.当实验的所有可能结果不

是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率

来估计概率.

15.已知扇形的弧长为4TT,半径为8,则此扇形的面积为为IT.

【分析】根据扇形的面积公式S扇形=4次即可得出答案.

解：S扇形=17R=/x4n：X8=16TT.

故答案为：16n.

【点评】本题考查了扇形面积的计算，比较简单，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积

的计算公式.

16.请写出一个开口向上，与y轴交点纵坐标为-1,且经过点（1,3）的抛物线的解析式

y=x2+3x-1.（答案不唯一）

【分析】设抛物线的解析式为丫="2+版+以由此函数图象与y轴交点纵坐标为-1,得

出c=-1；把（1,3）代入y=ox2+6x+c,得出a+6+c=3；由开口向上，知a>0.据此

答题.本题答案不唯一.

解：设抛物线的解析式为>=0+6尤+c

:开口向上，

轴交点纵坐标为-1，

.".C--1

:经过点（1,3）,

.'.a+b+c=3

写一个满足条件的函数解析式即可

如y=N+3x-l.答案不唯一.

【点评】此题是一个开放题，考查了二次函数的性质.解题时注意别漏条件.此题考查

了学生的发散思维和综合应用能力.

17.如图，是直角△ABC的内切圆，切点为。、E、F,若AF=10,BE=3,贝UZsABC

【分析】根据切线长定理，得出BD=BE,AF=AD,设CE=x，根据勾股定理得出尤，

再求得aABC的面积即可.

解：/是直角△ABC的内切圆，

:.BD=BE,AF^AD,

,：AF=10,BE=3,

：.BD=3,AD=10,

设CE=x,则CF=x,

在RtZXABC中，AC^+BC^^AB2,

：.(x+10)2+(x+3)2=132,

解得尤1=-15,xi—1,

:*CE=2,

；.BC=5,AC=12,

•,.SAABC=/AC.BC=/X5X12=30,

故答案为30.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，以及切线长定理，勾股定理，熟记切线长

定理的内容是解题的关键.

18.如图，半径为2的04圆心A在直线y=^-x-3上运动，过点0作OA的一条切线

4

OP,P为切点，则切线。尸长的最小值为2审.

一5一

【分析】如图，连接OA,由勾股定理得到OP2=OA2,以2,由二次函数最值的求法得到

答案.

解：如图，连接OA,

3

设A（x,—x-3）

4

:。尸是切线，PA是半径，

：.PA±OP,

.-.OP2=OA2-PA2,即OP2=x2+（幺3-3）2-4,

4

整理，得

。尸2=^（X-票）2+港，

162525

0尸"最小值=笑",

Zz>

二。尸最小值=当@1

5

故答G案是：绰］.

5

【点评】考查了切线的性质，一次函数图象上点的坐标特征,利用勾股定理求得OP2=

-3）1是解题的关键.

三、计算题（本大题共1小题，共10分）

19.已知。。中，AC为直径，MA,MB分别切。。于点A、B.

(I)如图①，若N8AC=25°,求的大小；

(II)如图②，过点2作BDLAC于E,交。。于点。，若BD=MA,求NAAffi的大小.

【分析】(I)由AM与圆。相切，根据切线的性质得到AM垂直于AC,可得出/K4c

为直角，再由/BAC的度数，用NK4C-NBAC求出的度数，又MA,MB为圆

。的切线，根据切线长定理得到肱4=M8,利用等边对等角可得出由

底角的度数，利用三角形的内角和定理即可求出N4WB的度数；

(II)连接AB,AD,由直径AC垂直于弦BD,根据垂径定理得到A为优弧面的中点，

根据等弧对等弦可得出A8=A。，由AM为圆。的切线，得到AM垂直于AC,又BD垂

直于AC,根据垂直于同一条直线的两直线平行可得出8。平行于AM,又BD=AM,利

用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ADBM为平行四边形，再由邻边MA

=MB,得到为菱形，根据菱形的邻边相等可得出8£»=A。，进而得到AB=AO=

BD,即△ABD为等边三角形，根据等边三角形的性质得到为60°,再利用菱形的对

角相等可得出.

解：(I)切。。于点A,

/.ZMAC=9Q°,又/BAC=25°,

：.ZMAB^ZMAC-ZBAC^65°,

,：MA,MB分别切O。于点A、B,

：.ZMAB=ZMBA,

：.ZM=180°-(/MAB+/MBA)=50°；

(II)如图，连接A。、AB,

\'MA±AC,XBDLAC,

：.BD//MA,又BD=MA,

四边形K4OB是平行四边形，又MA=MB,

，四边形是菱形,

：.AD=BD.

又为直径，ACLBD,

-'-AB=AD>

：.AB=AD,又AD=BD,

：.AB=AD=BD,

.•.△A3。是等边三角形，

AZ£>=60°,

，在菱形M4D5中，ZAMB=ZD=6Q°.

【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，弦、弧及圆心角之间的关系，菱形的判

定与性质，等腰三角形的判定与性质，切线长定理，以及等边三角形的判定与性质，熟

练掌握性质及定理是解本题的关键.

四、解答题(本大题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

20.已知抛物线y—x2-4x+3

(1)求这条抛物线与无轴的交点的坐标；

(2)当y>0时，直接写出尤的取值范围；

(3)当-1〈尤<3时，直接写出y的取值范围.

【分析】(1)y=尤2-4x+3,令y=0,则x=l或3,即可求解；

(2)y>0时，x>3或x<l；

(3)当x=-l时，y=8,函数顶点坐标为：(2,-1),即可求解.

解：(1)y=N-4X+3,令y=0,贝!]x=l或3,

故抛物线与x轴的交点的坐标为：(1,0)或(3,0)；

(2)y>0时，x>3或x<l；

(3)当x=-l时，y=8,函数顶点坐标为：(2,-1),

故当-l<x<3时，y的取值范围为：-lWy<8.

【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能

熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等.

21.若代数式N-1的值与代数式2x+l的值相等，求x的值.

【分析】先根据题意得出方程，再求出方程的解即可.

解：根据题意得：x2-l—2x+l,

整理得：X2-2x-2=0,

解得:尤1=1+愿，X2=l-a.

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能根据题意列出方程是解此题的关键.

22.在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每

个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）.游戏规则如下：

两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12,则李燕

获胜；若指针所指区域内两数和等于12,则为平局；若指针所指区域内两数和大于12,

则刘凯获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）.

（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；

（2）分别求出李燕和刘凯获胜的概率.

【分析】（1）根据题意画出树状图，得出游戏中两数和的所有可能的结果数；

（2）根据（1）得出两数和共有的情况数和其中和小于12的情况、和大于12的情况数,

再根据概率公式即可得出答案.

解：（1）根据题意列表如下：

个一个G

可见，两数和共有12种等可能结果；

（2）由（1）可知，两数和共有12种等可能的情况，其中和小于12的情况有6种，和

大于12的情况有3种,

，李燕获胜的概率为+=/；

刘凯获胜的概率为噌■=劣.

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复

不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件.游戏双方获胜的概率相同，游

戏就公平，否则游戏不公平.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

23.一块三角形材料如图所示，NA=30°,ZC=90°,AB=12.用这块材料剪出一个矩

形CDEF,其中，点。、E、尸分别在BC,AB,AC上.要使剪出的矩形的面积最

大.点E应选在何处？

【分析】利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出BC,进而利用勾股定理表示出

AC,由AC-A尸表示出CF根据CP与斯乘积列出二次函数的解析式，利用二次函数

性质确定出面积的最大值，以及此时AE的值即可.

解：：四边形CZJE歹是矩形，

AZAFE=90°,

VZA=30°,

：.EF^—AE,

2

在Rt/VIBC中，/C=90°,AB=12,

：.BC=^-AB=6,

根据勾股定理得：AC=7122-62=6V3>

CF^AC-AF=6A/3-华~AE,

矩彩8EF=CE.£F=^4E（673-乌AE）=-牛（AE-6）2+9底,

当x=6时，矩形CDEF的面积最大,

即当点E为AB的中点时，矩形CZJEE的面积最大.

【点评】此题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值，勾股定理，含30度直角三角

形的性质，以及矩形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键.

24.在平面直角坐标系中，矩形A02C的顶点。与原点重合，A(10,0),B(0,6),

以点A为中心，顺时针旋转△BOA,得到点8,O,A的对应点分别为E,D,A.

(1)如图a,当点。落在8c边上时，点。的坐标为(2,6)；

(2)如图6,当点2、D、E三点共线时，AD与BC交于点H.求点X的坐标；

(3)在48。4旋转的过程中，M点为线段C4上中点，ADEM面积S的取值范围为

【分析】(1)在Rt^ACD中求出C。即可解决问题；

(2)根据HL证明RtAADB^RtAAOB,设AH=BH=m,则HC=BC-BH=10-m,

在Rt^AHC中，根据构建方程求出机即可解决问题；

(3)当点。在线段AC的延长线上时，△DEM的面积最小，当点。在C4的延长线上

时，△£>'E'M的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题.

解：⑴VA(10,0),B(0,6),

：.OA=10,OB=6,

•••四边形A02C是矩形，

：.AC=OB=6,OA=BC=1Q,ZOBC=ZC=9Q°,

:矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，

：.AD=AO=lO,

在Rt^AOC中，CO=JAD2_AC2=8,

:.BD=BC-CD=2,

：.D(2,6),

故答案为：(2,6)；

(2),・,四边形AD斯是矩形，

，NADE=90°,

・・•点。在线段BE上，

,NADB=90°,

由(1)可知，A