2020-2021学年黑龙江省双鸭山市集贤县九年级上学期期末数学试卷 （含解析）

2020-2021学年黑龙江省双鸭山市集贤县九年级第一学期期末数

学试卷

一、填空题(共10小题).

1.点A(a,3)与点8(-4,b)关于原点对称，贝|a+b=.

2.若二次函数y=(a-1)尤2-4x+2的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为.

3.学校组织团员同学参加实践活动，共安排2辆车，小王和小李随机上了一辆车，结果他

们同车的概率是.

4.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数是

度.

5.如图，A8为OO的直径，弦CDLAB于E,已知CO=12,8E=2,则。。半径为.

6.如图，某单位准备将院内一块长30比，宽20根的长方形花园中修两条纵向平行和一条横

向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2,设小道进

出口的宽度为xm,根据条件，可列出方程：.

7.如图，8。为正方形A8CZ)的对角线，BE平分NDBC,交DC与点、E,将△BCE绕点C

顺时针旋转90°得到△OCT,若CE=1C7",贝|8/=cm.

8.半径为3cm的圆内有长为3代。相的弦，则此弦所对的圆周角的度数为

9.设〃z,〃分别为一元二次方程N+2x-2021=0的两个实数根，贝'Jm2+37%+"=

10.如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形0ABC,边。4、OC分别在X轴、y

轴上，如果以对角线03为边作第二个正方形02BC1,再以对角线09为边作第三个正

11.下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

人B

C⑪。0

12.已知方程N+bx+a=o有一个根是（a*0）,则下列代数式的值恒为常数的是（）

A.abB.—C.a+bD.a-b

b

13.抛物线y=-3（x+l）2-2经过平移得到抛物线〉=-3/，平移方法是（）

A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位

B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位

C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位

D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位

14.如图，A2为的直径，点C为上的一点，过点C作。。的切线，交直径A8的

延长线于点。；若44=23°,则的度数是（）

C

A.23°B.44°C.46°D.57°

15.二次函数y—ax2+bx+c与一次函数y=ax+c,它们在同一直角坐标系中的图象大致是

)

16.若关于龙的一元二次方程区2-2无+5=0有两个实数根，则实数上的取值范围是（）

4

A.k<4B.AW4C.4<4且左手0D.左W4且左手0

17.在直角坐标系中，等腰直角三角形AOB在如图所示的位置，点8的横坐标为2,将4

A02绕点。按逆时针方向旋转90°,得到△?!'OB',则点A'的坐标为（）

（圾,圾）C.(-1,1)D.(-&,V2)

18.已知二次函数y=（<7-1）x2-x+a2-1图象经过原点,则a的取值为（）

A.。=±1B.a—1C.a--1D.无法确定

19.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航

线，则这个航空公司共有飞机场（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

20.如图，二次函数y=a%2+bx+c（“左0）的图象与无轴交于A,B两点、,与y轴交于点C,

且。4=OC.则下列结论：

2

①abcVO;@b-4ac>0；③ac-6+l=0；④OB=--

4aa

其中正确结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

三、解答题(共60分)

21.(7分)如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度,

已知△ABC.

(1)作出△ABC关于点。成中心对称的图形△AiBiCi,写出点8对应点Bi的坐标.

(2)作出把AABC绕点A逆时针旋转90°后的图形282c2,并求出AB在上述旋转过

程中所扫过的面积.

22.(8分)如图，在△A3C中，A8=AC,ZBAC=54°,以AB为直径的。。分别交AC、

8c于点。、E,过点B作直线3居交AC的延长线于点尸.

(1)求证：BE=CE；

(2)若AB=6,求弧。E的长;

(3)当N尸的度数是多少时，8尸与OO相切，证明你的结论.

O

23.(8分)某校在民族团结宣传活动中，采用了四种宣传形式：A唱歌,8舞蹈，C朗诵，

D器乐.全校的每名学生都选择了一种宣传形式参与了活动，小明对同学们选用的宣传

形式，进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了如图两种不完整的统计图表：

选项方式百分比

A唱歌35%

B舞蹈a

C朗诵25%

D器乐30%

请结合统计图表，回答下列问题：

(1)本次调查的学生共_______人，a=________,并将条形统计图补充完整；

(2)如果该校学生有2000人，请你估计该校喜欢“唱歌”这种宣传形式的学生约有多

少人？

(3)学校采用调查方式让每班在A、B、C、。四种宣传形式中，随机抽取两种进行展示,

请用树状图或列表法，求某班抽到的两种形式恰好是“唱歌”和“舞蹈”的概率.

24.(8分)某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然暴发新

兔肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，

3月份平均日产量达到24200个.

(1)求口罩日产量的月平均增长率；

(2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？

25.(10分)已知△48C与△OEC是两个大小不同的等腰直角三角形.

(1)如图①所示，连接AE,DB,试判断线段AE和。B的数量和位置关系，并说明理

由；

(2)如图②所示，连接。2,将线段。B绕。点顺时针旋转90°至|。居连接AF,试判

断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由.

图①,图②,

26.(9分)已知：如图，二次函数y=ox2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点、,其中A点

坐标为(-1,0),点C(0,5),另抛物线经过点(1,8),M为它的顶点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求△MC3的面积&MCB.

27.(10分)某商品的进价为每件50元.当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，

现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件.在确保盈利的前提

下，解答下列问题：

(1)若设每件降价尤元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与尤的函数关系式，

并求出自变量尤的取值范围；

(2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

参考答案

一、填空题(每空3分，共30分)

1.点A(.a,3)与点、B(-4,b)关于原点对称，则a+b=1.

解：根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，

a+(-4)=0,3+b=0,

即：a=4且b=-3,

.".a+b=1.

2.若二次函数y=(a-1)尤2-4x+2的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为3.

解：根据题意得：△=(-4)2-4(a-1)X2=0,

解得ci=3,

由于a-\=a-3=2手0,

所以a=3符合题意.

故答案是：3.

3.学校组织团员同学参加实践活动，共安排2辆车，小王和小李随机上了一辆车，结果他

们同车的概率是5.

一2一

解：2辆车分别用A、8表示，

画树状图：

AB

八/\

-45月B

共有4种等可能的结果数，其中他们同车的结果数为2,

P1

所以他们同车的概率=:=7.

42

故答案为，■.

4.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数是」Q

度.

解：设母线长为R,底面半径为一，

・••底面周长=2irr,底面面积=11产，侧面面积=互打?，

二•侧面积是底面积的2倍，

:・R=2r,

设圆心角为n,有=2nr=nR,

180

・・・〃=180°.

5.如图，A3为。0的直径，弦CQ_LA3于E,已知CQ=12,BE=2,则。。半径为10

解：连结OC,设。0半径为r,则OC=r,OE=r-BE=r-2,

9：CD±AB,

：.CE^DE^CD=6,

在RtZkOCE中，VOE2+CE2=OC2,

(r-2)2+62=/,解得「=10,

即。。半径为10.

故答案为10.

6.如图，某单位准备将院内一块长30加，宽20机的长方形花园中修两条纵向平行和一条横

向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2,设小道进

出口的宽度为xm,根据条件，可列出方程：N-35X+34=0.

解：设小道进出口的宽度为W1,

根据题意，得：30X20-20X2x-30x+2x»x=532,

整理，得：x2-35x+34=0.

故答案为：x2-35x+34=0.

7.如图，8。为正方形ABCD的对角线，BE平分NDBC,交。C与点E,相■△BCE绕点C

顺时针旋转90°得到△OC£若CE=lcm,则BF=2+、万cm.

解：过点E作于点如图所示，

•..四边形A8CZ)为正方形，

NBOC=45°,NBCO=90°,

ADEM为等腰直角三角形.

；BE平分NDBC,EM工BD,

EM=EC=\cm,

DE=久日EM=y/~2cm.

由旋转的性质可知：CF=CE=\cm,

BF=BC+CF=CE+DE+CF=1+Q+l=2+、QCM.

故答案为：2+%.

8.半径为3cm的圆内有长为3«c机的弦，则此弦所对的圆周角的度数为60°或120°.

解：如图，。。的半径为3cm,弦AB=3Mcm,NAC8和NAOB为AB所对的圆周角，

过0点作OHLAB于H,连接04、OB,

：.AH=BH=—AB=^^-cm,

22______

在RtZsOAH中，0H2=g(cm),

二NO4H=30°,

'：OA=OB,

：.ZOBA=ZOAB=3Q°,

AZAOB=120°,

：.ZACB^—ZAOB=^-X120°=60°,

22

VZACB+ZADB=180°,

AZADB=180°-60°=120°,

...弦AB所的圆周角为60°或120°.

故答案为60°或120°.

9.设m,n分别为一元二次方程尤2+2%-2021=0的两个实数根，则m2+3m+n=2019

解：-：m,“分别为一元二次方程无2+2x-2021=0的两个实数根，

m+n=-2,m2+2m=2021,

贝原式=m2+2m+m+n

=m2+2m+(m+n)

=2021-2

=2019.

故答案为：2019.

10.如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形。43C,边04、OC分别在x轴、y

轴上，如果以对角线03为边作第二个正方形0881G,再以对角线OB为边作第三个正

方形OBi&Q,照此规律作下去，则点3202。的纵坐标为(一21°1°,—21°上).

解：・・•正方形。45。边长为1,

0B=\p2,

•.•正方形OBBiCi是正方形OABC的对角线08为边，

：.0Bi=2,

点坐标为（0,2）,

同理可知。&=2%，

二比点坐标为（-2,2）,

同理可知。23=4,以点坐标为（-4,0）,

9点坐标为（-4,-4）,以点坐标为（0,-8）,

B6（8,-8）,5（16,0）,

Bs（16,16）,B9（0,32）,

由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方

形的边长变为原来的&倍，

：2020+8=252…4,

...&020的横纵坐标符号与点风相同，横纵坐标相同，且都在第三象限，

...82020的坐标为（-2101°,-21010）.

故答案为:（-21。1。，-21。1。）.

二.选择题：（每题3分共30分）

11.下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

AQ）B

。⑪。Ql

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

8、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

。、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.

故选：B.

12.已知方程尤2+6x+a=o有一个根是-。（0/0）,则下列代数式的值恒为常数的是（）

残

A.abB.—C.a+bD.a-b

b

解：•方程尤2+6x+a=0有一个根是-a(a/0),

(-a)2+b(-a)+A=0,

又

等式的两边同除以a,得a-b+l=0,

故a-b=-1.

故选：D.

13.抛物线y=-3(x+1)2-2经过平移得到抛物线y=-3x2,平移方法是()

A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位

B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位

C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位

D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位

解：•.•抛物线y=-3(x+1)2-2的顶点坐标为(-1,-2),

平移后抛物线y=-3尤2的顶点坐标为(0,0),

平移方法为：向右平移1个单位，再向上平移2个单位.

故选：D.

14.如图，AB为O。的直径，点C为O。上的一点，过点C作。。的切线，交直径的

延长线于点。；若NA=23°,则的度数是()

A.23°B,44°C.46°D.57°

解：连接。C,如图，

,：CD为。。的切线，

：.OC±CD,

：.ZOCD=90°,

VZCOD=2ZA=46°,

：.Z£)=90°-46°=44°.

故选：B.

15.二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ar+c,它们在同一直角坐标系中的图象大致是

（）

解：•.,一次函数和二次函数都经过y轴上的（0,c）,

两个函数图象交于y轴上的同一点，排除2、C;

当。＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除。；

当。＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A正确；

故选：A.

16.若关于x的一元二次方程Ax2-2x+1=0有两个实数根，则实数上的取值范围是（）

4

A.k＜4B.左W4C.左＜4且左右0D.左W4且左手0

解：•.•关于x的一元二次方程fcv2-2x+1=0有两个实数根，

4

；.△=（-2）2-4公—^0,k丰0,

4

解得：AW4且4左0,

故选：D.

17.在直角坐标系中，等腰直角三角形AOB在如图所示的位置，点8的横坐标为2,将4

A08绕点。按逆时针方向旋转90°,得到△?!'OB',则点A'的坐标为（）

A.(1,1)B.(&,V2)C.(-1,1)D.(-V2,我)

解：如图，过点A作AC_L于C,过点A'作A'C1.0B'于C',

,.,△AO8是等腰直角三角形，点8的横坐标为2,

，0C=AC=/><2=1,

■:MNOB'是△A02绕点。逆时针旋转90°得到,

：.OC=OC=\,A'C=AC=1,

.•.点A'的坐标为(-1,1).

18.已知二次函数y=(〃-1)/一x+〃2一1图象经过原点，则〃的取值为()

A.a=±lB.。=1C.a=-1D.无法确定

解：二•二次函数y=(〃-1)x2-x-^-a2-1的图象经过原点，

a1-1=0,

±1,

u：a-I/O,

•**tz1,

*.a的值为-1.

故选：C.

19.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航

线，则这个航空公司共有飞机场()

A.4个B.5个C.6个D.7个

解：设这个航空公司有机场〃个

n(n-l)^1Q

■-2—一

〃=5或九=-4(舍去)

故选:B.

20.如图，二次函数(〃=#0)的图象与％轴交于A,B两点、,与y轴交于点C,

且。4=OC.则下列结论：

2

@abc<0;②b_4ac>0；③〃c-Z?+l=O；(^)OA^OB=--.

4aa

其中正确结论的个数是()

A.4B.3C.2D.1

解：•・•抛物线开口向下，

•・•抛物线的对称轴在y轴的右侧，

；.b>0,

・・•抛物线与y轴的交点在1轴上方，

Ac>0,

：.abc<0,所以①正确；

二•抛物线与％轴有2个交点，

.,.△=/?2-4tzc>0,

而QVO,

...好建比vo,所以②错误；

4a

VC(0,c),OA=OCf

.*.A(-c,0),

才巴A(-c,0)代入y=Qx2+bx+c得一匕。+。=0,

ac-/?+l=0,所以③正确;

设A（xi,0）,B（%2,0）,

•二次函数y=〃N+Z?x+c（a丰0）的图象与x轴交于A,B两点、,

和垃是方程〃x2+b%+c=0（4#=0）的两根，

XI•X2——,

a

?.OA-OB=所以④正确.

a

故选：B.

三、解答题（共60分）

21.（7分）如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度,

已知△ABC.

（1）作出△ABC关于点。成中心对称的图形△AiBiCi,写出点2对应点Bi的坐标.

（2）作出把△ABC绕点A逆时针旋转90°后的图形△A2&C2,并求出AB在上述旋转过

程中所扫过的面积.

解：（1）如图，△A1BC1为所作，点历的坐标为（-4,-1）；

（2）如图，AAzB2c2为所作，AB在上述旋转过程中所扫过的面积=9°乂兀X呼=乜.

3604

22.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=54°,以AB为直径的。。分别交AC、

8c于点。、E,过点8作直线BF,交AC的延长线于点F.

(1)求证：BE=CE;

(2)若48=6,求弧。E的长；

(3)当的度数是多少时，BF与。。相切，证明你的结论.

【解答】(1)证明：连接AE,如图，

VAB为。0的直径，

二NAEB=90°,

：.AE±BC,

"：AB=AC,

：.BE=CE-,

(2)解：'：AB=AC,AE±BC,

平分NBAC,

/.ZCAE=—ZBAC=-X54°=27°,

22

:.NDOE=2NCAE=2X27°=54°,

(3)解：当NF的度数是36°时，2尸与。。相切.

理由如下：VZBAC=54°,

...当NF=36°时，ZABF=90°,

：.AB±BF,

:.BF为。)0的切线.

23.(8分)某校在民族团结宣传活动中，采用了四种宣传形式：A唱歌,8舞蹈，C朗诵,

D器乐.全校的每名学生都选择了一种宣传形式参与了活动，小明对同学们选用的宣传

形式，进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了如图两种不完整的统计图表:

选项方式百分比

A唱歌35%

B舞蹈a

C朗诵25%

D器乐30%

请结合统计图表，回答下列问题:

(1)本次调查的学生共300人,a=10%,并将条形统计图补充完整;

(2)如果该校学生有2000人，请你估计该校喜欢“唱歌”这种宣传形式的学生约有多

少人？

(3)学校采用调查方式让每班在A、B、C、。四种宣传形式中，随机抽取两种进行展示,

“唱歌”和“舞蹈”的概率.

本次调查的学生共：105935%=300(人)；

a=1-35%-25%-30%=10%;

故答案为：（1）300,10%.

B的人数:300义10%=30(人),补全条形图如图：

(2)2000X35%=700(人)，

答：估计该校喜欢“唱歌”这种宣传形式的学生约有700人;

(3)列表如下：

ABCD

AABACAD

BABBCBD

CACBCCD

DADBDCD

由表格可知，在A、B、C、。四种宣传形式中，随机抽取两种进行展示共有12种等可能

结果，其中恰好是“唱歌”和“舞蹈”的有2种，

，某班抽到的两种形式恰好是“唱歌”和“舞蹈”的概率为*■=#.

24.(8分)某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然暴发新

冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，

3月份平均日产量达到24200个.

(1)求口罩日产量的月平均增长率；

(2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？

解：(1)设口罩日产量的月平均增长率为x,根据题意，得

20000(1+x)2=24200

解得尤i=-2.1(舍去)，X2=0.1=10%,

答：口罩日产量的月平均增长率为10%.

(2)24200(1+0.1)=26620(个).

答：预计4月份平均日产量为26620个.

25.(10分)已知△48C与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形.

(1)如图①所示，连接AE,DB,试判断线段AE和。B的数量和位置关系，并说明理

由；

(2)如图②所示，连接。8,将线段。B绕。点顺时针旋转90°至|。居连接AF,试判

断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由.

图①,