第三章非初等函数

第三章非初等函数

§3.1幕级数与泰勒展开

3.1.1基级数

1)累级数的概念

下列形式的无穷和

00

S=。0+。亿+。222+…+%z”+…(3.1.1)

n=0

(式中各项系数4,6,外,……都是复数)称为复变量Z的哥级数。基级数的一般形式为

S—〉：(z-by'—a。+4(z-b)+a、(z—b)~+,••+a”(z-b)"+…(3.1.2)

”=o

式中b是一个复常数，称为该幕级数的中心。

2)基级数的收敛性

按照比值法，事级数的收敛范围由下式确定

limIqn(x)1=limI跖，2一勾_曰2—61limI-l<1

"->8”->8Q〃(Z—/?)"

由此得到

\z-b\<R,R=limIa/aI(3.1.3)

"T8nn+}

事级数的收敛范围为以b为中心，R为半径的圆，该圆又称为收敛圆，R称为收敛半径。

在收敛圆内，幕级数绝对收敛。阿贝尔证明：在收敛圆内部的任意闭圆内，幕级数是一致

收敛的。因此由基级数的各项可导可以推知其无限和可导，即塞级数在收敛圆内部定义了一个

解析函数SQ)。

此外，容易证明幕级数的导数等于各项的导数之和，幕级数的积分等于各项的积分之和，

其收敛圆保持不变。即

S(z)=£a"(z")’=£a,„

”=0n=0(3.1.4)

J；s«)人名]/上可力

/:=0〃=0〃十1

3)常用基级数

在数学物理以及相近学科中常用的幕级数有：

①几何级数

00

S==l+z+z?+•••+[〃+…(3.1.5a)

n=0

各项系数4三1，因此其收敛半径为

/?=limll/ll=l(3.1.5b)

〃T8

②合流超几何级数

c三(叫,«a(a+l)2上a(a+l)…(a+〃-l)..

„=o»!(/)„/2/(7+1)n!/(/+l)---(/+rt-l)

其中(a)“=a(e+l)…(a+n—1),其收敛半径为

R=lim|®/__(叫"—1=lim|C季生|=oo(3.1.6b)

"T8n!(/)„(〃+l)!("+]"f8(a+n)

在收敛范围内(全平面)，它表示一个解析函数，称为合流超几何函数，记为।£(a,y;z)。

合流超几何函数满足合流超几何(库默尔)微分方程

zwn+(/-z)w'—aw=0(3.1.7)

在数学物理中应用很广泛，许多常用的初等函数都是它的特例，例如，我们考虑a二Y时的情

况，得到

8]11

।片(a,a;z)=£—z"=1+z+—z2+…+—z”+…

M〃！2〃！

它恰好是我们所熟悉的指数函数。

③超几何级数

c弋9).(0,«a-^7+a(a+l)-W+l)72+

£«!(7)„/2/(7+1)

其收敛半径为

R=lim|皿

*(叽")皿|=lim।(3)(〃5|=]

"T8加⑺“(/7+l)!(7)n+1…(&+〃)(77+〃)

在收敛范围内(Izkl),它表示一个解析函数，称为超几何函数，记为26(a,/?,7；z)。

超几何函数满足超几何微分方程

z(l—z)w"+[7—(a+p+i)z]^-a/3w=0(3.1.9)

它的应用也很广泛，作为一个特例，我们考虑a二y时的情况，得到

26Q3a;z)=£丝2tz"

M«!

W+D_2,，例P+1)…(夕+〃-1)_“，

=l+---------Z+…-I---------------------Z+…

2n\

=1—伙_z)+代Z(-)2+…+处-T)…9"+D(『)"+••・

2n\

它恰好是我们所熟悉的基函数(l-z)一0的牛顿二项展开式。

4)幕级数的运算

相同中心的基级数之间进行四则运算有着简单的规律，设

尸=-，G=£2("W,"=£g(Z-by

n=0n=0〃=0

则与E±G=〃对应的系数关系为％=%±。,，即两个基级数和或差的系数序列等于对应的

两个系数序列的和或差；与尸-G="对应的系数为c“=(a*8)“，即两个累级数乘积的系数序

列等于对应的两个系数序列的卷积。

作为乘法的逆运算，两个基级数相除后商的系数序列可以通过卷积关系所确定的代数方程

求出。具体地说，如果尸=〃/G,即尸"G="，由对应的系数关系c,=(“*%)“可以解出事

级数F的系数.。

例3.1-1：求幕级数尸=Z"z",G=Z"』z"的乘积。

解：设尸•G=Z：=()c“z"，则有

%=(1*〃)“=2；=0>(〃一口=%(〃+1)

于是得到

6G=£U〃(〃+l)z"

3.1.2泰勒展开

一个幕级数是其收敛圆内的解析函数，反过来一个在已知圆内解析的函数是否能够展开为

在该圆内收敛的基级数呢？

1)>泰勒定理

泰勒证明：一个在区间Ix-blvR内无限次可导的实函数人x)可以唯一地展开为幕级数

8

f(x)^^an(x-hy'

n=0

展开系数为

.小)

根据复变函数与实变函数在形式上的一致性，同样可以证明：一个在复区域lz-bl<R内解

析的函数式z)可以唯一地展开为基级数

f(z)=^an(z-by(3.1.10)

"=0

展开系数为

。”=与⑺S)(3.1.11)

n!

阿贝尔证明了该基级数在圆lz-bl<R内绝对收敛，在闭圆lz-bl4r<R内一致收敛。

在复变函数的情况下，应用柯西积分公式，展开系数还可以表示为

1

(3.1.12)

°F\C-b\=e<R(二一6)

2)常用展开公式

利用泰勒定理，我们可以推出下列常用展开公式

13

-----=£z"=l+z+z*・・+z3・・

1一Z“=0

(1+Z)J之〜弛〃』+。2+^^+--+呢"1)…

“=0n\2n\

sf_iy,+l234n

ln(l+z)=yl'-z"=z--7+-7—7+---+(-l)n+1—7+•••

金〃234n

2n+l

t(2〃)！2n+1131-35(2n)!z

£22"(〃!)2(2〃+l)2-32-4-522"(n!)2(2n+l)

以上展开式的收敛区域为lzl<k

%]11

e'=£-z'=1+ZH—Z2H-----1—z"+••

£〃！2n\

(-1)"2n+l.

近年上J-_=+=—.+Z+…

£(2〃+l)!3!5!(2n+l)!

以上展开式的收敛区域为IzKooo

3)一般展开方法

直接应用泰勒定理进行塞级数展开，往往比较麻烦。利用泰勒展开的唯一性，我们可以在

已知的常用展开公式的基础上，利用基级数的性质来进行展开。

例3.1-2：以b=0为中心，把函数f(z)=cosh(z)展开。

解：由定义

coshz-i(,ez+e~:)

利用指数函数的展开式

81PC1

/=，一/,二=£1(一z)”

M=0〃,〃=0〃•

于是得到

,1/1+(-])””k1„(12k

coshz=->--------—z=>—z=>-------z

2£n\"=扁;数济！£Qk)!

由于双曲余弦函数在全复平面解析，故该哥级数在圆团<8内收敛。

例3.1-3：以b=0为中心，把函数/(z)=cos(z)展开。

解：由正弦函数的展开式和导数关系cosz=(sinz)'，立即可以得到

((-1)"/_2«+1

=(sinz)'=【Z2〃+lr12时产

cosz(2〃+l)/)■

n=0

oo/1\n_246

y^-z2"=i--+-—+---+(-irz2"

------F•

£(2〃)！2!4!6!(2«)!

该幕级数在圆lzlV8内收敛。

例3.1-4：以b=l为中心,把函数/(z)=cos(z)展开。

解：为了能够利用己知展开公式，我们令t=z-1,于是

cosz=cos"+1)=cos1cosr-sinlsint=coslV-~~^—t1"-sinlV-------t2"+l

£(2〃)！£(2〃+l)!

。。s与SIU哆端(z-l)2n+,

该幕级数在圆1力<8内收敛。

例315以b=0为中心，把Az)=ln(l-z)展开。

解：考虑到关系式[ln(l-z)]'=-l/(l-z)，我们推出

,1_881

"々)=4匚dz=-J。f^，+l

1<M=0"=0〃十】

由于被展开函数在z=1处有奇点，以b=0为中心的解析圆为lzl<1,所得基级数的收敛范围也

是Izl<1»

例3.1-6：以b=0为中心，把/(z)=l/(l—z)2展开。

解：考虑到关系式口/(1—Z)]'=1/(1—名产,我们推出

110086

(一)2(1-Z)”=0n=0n=0

由于被展开函数在z=1处有奇点，所得基级数的收敛范围也是3<1。

3.1.3解析延拓

1)问题的提出

函数定义域的扩展称为延拓，在保持解析性的条件下把一个解析函数的定义域进行扩展称

为解析延拓。延拓后的函数在原定义区域内与延拓前的函数保持相等，但在一个更大的区域内

有定义。

在用基级数方法求解微分方程的时候，得到的结果仅仅在其收敛圆内有定义，往往不能满

足方程求解范围的要求，这时，我们就需要对所得到的某级数进行解析延拓。

2)解析延拓的方法

一般来说，解析延拓可以利用泰勒展开来进行，即在解析函数Az)的原定义区域D的边界

附近取一内点进行泰勒展开。显然，在收敛圆与原定义区域D的交集内，所得到的泰勒级数

S(z)与原解析函数_/(z)完全相等；如果泰勒级数S(z)的收敛圆有一部分超出了Az)的原定义区域

D,就以S(z)的值为1z)延拓到超出区域的函数值。这样，解析函数式z)的定义域就扩大了一部

分。通过这种方法，我们可以一步一步地对原定义域进行扩展，得到一个最大限度的延拓函数,

这个函数称为原解析函数Az)的完全解析函数。不过这种方法计算完全解析函数非常烦琐，在

实际中很少使用。

已经证明，解析延拓的结果具有唯一性，即不管你用什么方法，只要计算正确，得到的结

果总是相同的，因而我们在应用中往往利用一些特殊方法来进行解析延拓。通常，我们可以把

幕级数形式的解析函数化为非塞级数形式，这时它的定义域就不受收敛圆的限制了。例如，在

收敛圆lzl<l内，解析函数》可以化为非基级数形式l/(l-z)，而后者在除了z=l之外

—〃=u

的整个复平面内都有定义而且解析，就可以作为原解析函数的解析延拓。

我们还可以对实变函数进行解析延拓。对于一个在给定区间内无限次可导的函数大X),即

Ax)eCx[a,b],利用实变函数与复变函数映射关系的相同性，直接把实自变量x改成复自变量z,

就可以得到一个解析函数。例如，r函数的定义为

r(x)=「/广|力

Jo

它在区间(0,8)内无限次可导，我们把实自变量X改成复自变量z,就得到一个除了在单极点｛-n

IneN)外完全解析的复变函数r(z)»

3)解析延拓举例

例3.1-7：对幕级数f(z)=进行解析延拓。

解：利用塞级数的性质和几何级数求和公式，我们得到

等式的右边除了在Z=1处有一个二阶极点之外，在整个复平面内解析。

例3.1-8：对幕级数/(z)=n2z"进行解析延拓。

解：与上题类似，我们得到

a;-2.

71=0一“(一)2一(一)3

例3.1-9：对幕级数/(z)=X、仔"In进行解析延拓。

解：利用事级数的性质和几何级数求和公式，我们得到

5_1

/⑶=z"=Jodz---=-ln(1-z)

n=0u-z;

§3.2广义事级数与罗朗展开

基级数中的基次为自然数，能不能推广到一般整数的情况？下面就来探究这个问题。

3.2.1负基级数与渐近展开

1)负幕级数

负基级数的一般形式为

bn2n

S=YAz-by=b()+bSz-by'+b2(z-b)-+---+bn(z-by+---(3.2.1)

n=0

复常数b称为该负幕级数的中心。

按照比值法，负基级数的收敛范围由下式确定

limIqn(x)1=limI

M—>00M—>00

由此得到

\z-b\>r,r=Uni\bll+}/bnI(3.2.2)

n—>oo

由此得到负累级数的收敛范围是以b为中心，r为半径的圆外(包括无穷远处)。

在收敛区域内，负幕级数绝对并且一致收敛的，即负基级数在收敛区域内定义了一个解析

函数S(z),它也可以逐项求导或积分而不改变收敛范围。

2)渐近展开

相应地，在给定圆lz-bl=1•外解析的函数/(Z),可以唯一地展开为负基级数

f⑶=£b.(z-6尸=瓦+瓦口-b)7+b*-+…+-h"+…(3.2.3)

n=0

为了求出展开系数，我们作变量变换f=l/(z-份。显然，函数

，，2

F(t)=f(l/t)=Xbnt=ba+blt+b2t+--+b„t"+-

n=0

在圆ltl=l/r内解析，于是得到展开系数的计算公式

b=-F(n\0)

nn\

利用柯西公式，上式又可以化为

止当力与以(3.2.4)

n+

2疝J严12MJkl=l/6>rZ-'

当自变量的模很大时一个函数的近似表达式称为渐近展开，把一个圆外解析的函数展开为

负幕级数，实际上就是一种特殊的渐近展开。一般地说，渐近展开不限于自变量的模很大的情

况，展开后得到的渐近级数也不一定收敛。

3)渐近展开举例

例3.2-1：把解析函数Az)=l/(l-z)渐近展开。

解：显然，函数Az)在除孤立奇点z=l外的全平面内解析，作变换f=l/z，可以把渐近展开

化为原点邻域的泰勒展开。

11一r""

所得负幕级数的收敛范围为IZl>lo

例3.2-2：把解析函数f(z)=1/z2在圆1外渐近展开。

解：显然，函数,他)在所给圆外解析，作变换f=l/(z-l)，可以把渐近展开化为单位圆内的泰

勒展开。

1172opco

—=-------7=-----r=J=Vn(z-1)-"-1

Z-—(1T)-士£

所得负事级数的收敛范围为Izl>1»

例3.2-3：在lzl>2的区域上把解析函数Az)=l/W+4)展开。

解：令/=—4〃2,对应的区域为因此

]

/(Z)=

-4/Z+4

3.2.2广义基级数与罗朗展开

1)双边塞级数

双边基级数的一般形式为

S=X4(Z-b)"、

Me(3.2.5)

=---+d_ll(z—b')"H----'+d0+dt(z-b)+d2(z—+…

复常数b称为该双边某级数的中心。

容易发现，任何双边基级数S都可以分解为一个负累级数S一与一个正基级数S+之和。

设负基部分S一的收敛区域为lz-bl>r,正基部分S+的收敛区域为lz-bl<R,则该双边基级数S

的的收敛区域为两部分收敛区域的交集，即

r<\z-b\<R(3.2.6)

换句话说，双边累级数的收敛域为一个环形区域，称为收敛环。在收敛环内，双边辱级数定义

了一个解析函数。

广义地说，正负基级数都可以看成双边幕级数的特例，我们统称为广义某级数。

2)罗朗展开

现在的问题是：一个双边幕级数是其收敛环内的解析函数，反之如何？

罗朗证明：一个在环r<lz-bl<R内解析的函数./(z)可以唯一地展开为双边累级数

8

2

/(z)=E=--+d_l(z-b)~'+d0+dl(z-b)+d2(z-b)+•••(3.2.7)

〃=-00

该双边募级数在环r<lz-bl<R内绝对且一致收敛。注意观察泰勒展开的系数公式(3.1.12)和

渐近展开的系数公式(3.2.4),我们猜想环内解析函数罗朗展开的系数公式为

dz,r<£<R,nEZ(3.2.8)

(Z”严

上述猜想的证明请同学们课后完成。

广义地说，解析函数的泰勒展开和渐近展开都可以看成罗朗展开的特例，对应的展开系数

也都具有公式(3.2.8)的形式。

3)罗朗展开举例

例3.2-4：在区域1<Izl<3内把解析函数/(Z)=1/(Z2+4Z+3)展开。

解：由于罗朗展开的唯一性，我们可以任意地选择方便的展开方法，不必按照公式(3.2.8)来

进行计算。

，/、111111

/(z)=-----------=-------------=——---------------

J+4z+3(z+lXz+3)2z+12z+3

11111vrL1Vr

2zl-(-l/z)61—(—z/3)2z.z6金3

例3.2-5：以b=0为中心把解析函数｛z)=l/[(z-l)(z-2)]展开为广义辱级数。

解：由于题目未指定展开区域，我们必须先进行分析。容易看出，函数式z)有两个孤立奇点z=l

和z=2,因比以b=0为中心时，解析区域可以分为三部分：圆内部分Izl<1；环内部分1<lzl<2；

圆外部分Izl>2。

在圆内部分，我们可以进行泰勒展开。考虑到Izl<1,有

-1—=J___

(z-lXz-2Hz2-z1-z2l-z/2总2

在圆外部分，我们可以进行渐近展开。考虑到Izl>2,有

_1___________夕冬」和力

(z-l)(z-2)Z—2Z-Iz(l-2/z)z(l-l/z)zz总z

在环内部分，我们可以进行罗朗展开。考虑到l<lzl<2,有

------I----=---1--------1-=--1----1----1----1-------=--1-寺>(八——\、.--->(——)

(z-l)(z-2)2-zz-12l-z/2z1-1/z2总2裕z

由此，可以看到同一个函数、同一个中心，不同区域展开的结果不同。

3.2.3孤立奇点的邻域展开

1)孤立奇点的邻域展开

利用罗朗定理，我们可以把函数人z)在孤立奇点z=b的邻域0<lz-bl<£进行广义基级数展

/(z)=(3.2.9)

例3.2-6：把解析函数式z)=即在孤立奇点z=0的邻域进行展开。

解：作变换，=1/Z，可以把问题化为原点邻域的泰勒展开。

所得广义幕级数有无穷多个负幕项。

例3.2-7：把解析函数Az)=cosh(z)/z2在孤立奇点z=0的邻域进行展开。

解：由于罗朗展开的唯一性，我们可以任意地选择方便的展开方法，不必按照公式(3.2.8)来

进行计算。考虑到

coshz=V-—z2k

台（2幻！

因此有

coshz_(12k-2

z2

所得广义塞级数只有2个负事项。

2)孤立奇点的分类与邻域展开

假设函数人z)在孤立奇点z=b的邻域0<lz-bl<£展开后最多只有有限个负事项，即

f⑶工dgby…。

n=-N\3.Z.1U7

—d_N(z-b)H------Fd_](z-b)।+d0+d](z—b)+d2(z—b)~H—

显然，当N40,即展开式没有负事项时，lim：»/(z)为有限值，这表明该孤立奇点为可去奇

点；当04N<8,即展开式只有有限个负累项时，lim—8/Q)为N阶无穷大，这表明该孤

立奇点为N阶极点；由此可知，当该孤立奇点为本性奇点时，展开式有无限多个负嘉项，

/(z)不确定。

3)孤立奇点的留数与邻域展开

利用孤立奇点的邻域展开，我们还可以计算留数。按定义，解析函数人z)在孤立奇点b处

的留数为

Res/S)=」Jf(z)dz

将Az)在孤立奇点b处的邻域展开代入上式，得到

10G100

dndn

Res/(^)=—fYn^-b)dz=--；Ynf,fclU-b)dz

2用"-”=3仁2兀iJ

利用例题的结果，有

Res/S)=%(3.2.11)

即解析函数在孤立奇点处的留数等于在该点作邻域展开后负1次嘉的系数，这个结果不仅适用

于极点，而且适用于本性奇点。

例3.2・8：计算函数/(z)=z3cosh(l/z)在孤立奇点z=0处的留数。

解：将函数式z)=z3cosh(l/z)在孤立奇点z=0邻域进行展开，得到

/COShL1=z3dWl[N产1/口

z台（2口！金（2幻！

展开式有无限多个负耗项，说明z=0为函数/(z)的本性奇点。这时，我们无法按第二章中极点

留数的方法来计算，只能用邻域展开方法，由公式(3.2.11)得到

Res/(O)=dT1/4;

§3.3三角级数与傅立叶展开

在理论和应用上,常常要考察一个函数与一正交函数系之间的关系.傅立叶级数理论就是研

究在有限区间上的这个关系。

傅立叶分析在研究振动和波动现象及解数学物理方程时是个重要的工具.它在物理上还说

明：任意波形总能进行谱分解，即表为不同频率，不同振幅的简谐波的线性叠加。

3.3.1圆周上的罗朗展开

1)圆周上的罗朗展开式

设解析函数Az)在环r<lz-bl<R内收敛，我们考虑一个位于收敛环内的圆lz-bl=p，在

圆周上有Z=6+「e'S,代入Az)在环内的罗朗展开式(327),得到

n=—oo

令c"=d"p",得到

g(9)=/3+pe")=Zc/呻(3.3.1)

“=-oo

由于式z)的单值性，g(<p+2兀)=g((p),即实变函数g(<p)是以2兀为周期的周期函数；由C-R

条件，g(<p)是自变量中连续可导函数。上式表明一个以2兀为周期的连续可导的实变函数可以展

开为同周期实变复指数函数的无穷级数。

根据罗朗展开的系数公式(3.2.8),我们得到

尚M

(3.3.2)

=J-f，Te~invg{(p}d(p

27rJr

2)展开式的三角函数形式

利用欧拉公式，(3.3.1)式又可以化为三角函数的形式

g(9)=£c"e"=c°+f

”=-oon=l

00

=Co+XKg+J)COS〃e+i(c“一)sin"3]

n=\

定义=q,+c_.，a=i(c.-c_“)，上式成为

8

g(夕)。0+Z(/cosn(P+4sinn(p)(3.3.3)

~2w=i

即一个以2兀为周期的连续可导的实变函数可以展开为同周期三角函数的无穷级数。

利用(3.3.2)式，上面展开式中的系数为

+c_“=：「(e7""+e%g(°)de=，「coB(p-g((p)d(p

2乃Jr71I

(3.3.4)

b„=，(%-，_“)=小「(er"°-e'"0)g")d9=，『sin"Qg(o)d。

2TT7t"

一般来说，公式(332)中的函数g(<p)可以取复数值，即g((p)为实变复函，展开系数%,打

是复数。如果g((p)为实变实函，则展开系数4,么都是实数，这要求(3.3.1)式中的系数必须

满足条件C_“=%*。

3)典型例题

例3.3-1：将函数Az)=l/(l-z)在区域lzl>l作以p>l为半径的圆周展开。

解：在圆周上z=pe%代入函数的罗朗展开式

111co00

--=-----=z~k

1-ZZ1-1/Z金金

得到

1产—1产—

g")=-----£=—ZF2”(cosk(p-isink(p)

pe’仁pM

例3.3-2：将函数Az)=l/(l-z)在区域lzl<l作以p<l为半径的圆周展开，并把结果化为等

价的实数形式。

解：在圆周上N=p*,代入函数的罗朗展开式后得到

1_Q0__8_

g(9)=------=Z"(cosk(p+isink。)

pek=Qk=0

考虑到

1_1-pe~l<f)_l_pcoso+ipsin。

pei(p~pei(p)(\-pe-i(p)~l-2/?cos+

由此等价的实数形式

1-PCOS69白kr

--------------=ypCOSk(p

l-2pco侬+夕7M

夕sin。白…，

丁｝----------『工Psmk(p

l-2pco0+pM

3.3.2傅立叶展开

1)傅立叶级数

傅立叶在研究热传导的过程中首先提出：一个以2兀为周期的任意实变函数g(⑹也可以展

开为同周期三角函数的无穷级数，即(3.3.3)式，系数的计算仍然由公式(3.3.4)式确定。

利用(3.3.4)式，不难算出下列典型周期函数y=g(⑺的傅立叶级数。为了方便，我们只

给出被展开函数在一个周期［-兀，兀)内的表达式。

被展开函数傅立叶级数

411

y=sgn(e)—V-sinn(p

冗鹿

-他\(p\>eSsinnO

y=<>-------cosn(p

X乃一6),\(p\<0后屋

代(-1厂.

y=<p2>---------sinn(p

n=\n

y=|°[产(2〃1)9

27t„=1(2n-l)

2/(-1)"

yw—+42一—cosn(p

3n=\

2/4y^-2

y-(p'\(p\、3s】n(2〃\)(psin2〃夕

万依(2n-l)J2n_

y=cos0sgn°—V-----------------sin2n(p

24g1c

y=|sin^|-----〉-------------cos2n(p

兀万£(2“一1)(2〃+1)平

an登一(一才"[

a1(p\1e-l2[11)"4

y=e-------------X7-------;--------cosn(p

a/r冗得a~+n

2e41—(―1)5]〃.

y=sgn°〉,22S111n(P

兀„=1a+n

从上面的结果中可以观察到：偶函数的傅立叶级数只有余弦（包括常数）项，没有正弦项;

奇函数的傅立叶级数只有正弦项，没有余弦项。容易证明这个结论是普遍成立的。

进一步的观察表明，当n很大时，如被展开函数为分段可导的连续函数，则展开式的系数

与南成反比；如被展开函数为分段可导的不连续函数时，则展开式的系数与n成反比。

2）傅立叶级数的性质

傅立叶认为傅立叶级数收敛于被展开的函数g（（p）,拉格朗日强烈反对傅立叶的观点，他批

评傅立叶的理论缺乏严密性，又对傅立叶在实际应用中取得的成功感到非常困惑。狄利克雷认

真研究了傅立叶级数的收敛性，证明了下列定理：

如果函数g（（p）在区间［-巩4）上绝对可积，则其傅立叶级数收敛，但是不一定收敛于该函

数。

如果函数g（q＞）在区间［-万,万）内分段单调，只有有限个第一类间断点，那末其傅立叶级

数在连续点(P收敛于该函数，在第一类间断点<Po收敛于该函数在该点左右极限的平均值

外g(%+o)+g(恁-0)］。在这种条件下，我们称函数g((p)可以进行傅立叶级数展开。傅立

叶级数展开也可以写成(3.3.1)的形式，其中系数由(3.3.2)式确定。

在此基础上，人们经过进一步研究发现：

(i)如果函数g((p)连续，并且分段光滑，则其傅立叶级数一致收敛于该函数，(3.3.1)式处处

成立；

(ii)如果函数g(<p)分段光滑，则其傅立叶级数逐点收敛，在连续点收敛于该函数本身，在间断

点收敛于该函数左右极限的平均值，换句话说，其傅立叶级数几乎处处收敛于该函数，即

g((p)E(3.3.5)

n=­tx>

(iii)如果函数g(<p)在区间［-孙乃)内平方可积，则有如下完备性关系

兀8

jIg(/)F4夕=2"Z1％产(3.3.6)

在一致收敛的情况下，导函数g'(⑺的傅立叶级数可由逐项微分g(中)的傅立叶级数得到，

即

g\(p)Z(4】cos〃Q+》“sin〃e)'=cosnx-ansinnx)(3.3.7)

〃=1H=I

g(<p)的积分的傅立叶级数可通过逐项积分g(⑺的傅立叶级数得到，即

，g((p)d(p=Wa°Jo1夕+1>广cosn(pd(p+么J：sinn(pdcp)

w=，(3.3.8)

=4%。+£一(4,sin“°一仇cosn。)

■„=in

收敛性质并不发生变化。

.在逐点收敛但并非一致收敛的情况下，g(<p)的积分的傅立叶级数可通过逐项积分g((p)的傅

立叶级数得到，所得结果为一致收敛；但是傅立叶级数逐项微分的结果一般不收敛。即积分可

以改善傅立叶级数的收敛性，而微分却恰恰相反。请读者思考一下，这是什么原因。

3)傅立叶展开的变形

在(3.3.1)和(3.3.2)式中作变量变换苫=乙9/万，得到

>x

h(x)=g(cox)=fcne"'",co=—(3.3.9)

“=-00L

其中。=万/乙为圆频率。

显然上式的左边是一个以T=2L为周期满足狄利克雷条件的实变函数，右边的虚指数函数

也都有周期2L,这表明傅立叶展开可以推广到以T=2L为周期的情况。相应系数为

c=1^f£e-h(x)dx

nL(3.3.10)

写成三角级数形式，有

00

£0

〃(x)Z(ancosncox+hnsinncox)(3.3.11)

2n=l

和

IfL.1rL

an=cn+=—J(""‘s+)h(x)dx=—Jcoswx,h(x)dx

2L-L(3.3.12)

rMMX

b=i(cn-c_n)=—[(e~""-e",)h(x)dx=—[sinncox-h(x)dx

2LJ-LLJ-L

上面的结果虽然是对周期函数得到的，但是计算系数的公式(3.3.10)只涉及到一个周期,

即只要函数h(x)在区间［-L,L］上有定义并满足狄利克雷条件，就可以展开为傅立叶级数。

傅立叶级数在区间［-L,L］上逐点收敛于被展开的函数，在该区间之外逐点收敛于被展开函数

h(x)的周期性延拓A(x),即

~/?(x),xe［-L,L］

/z(x)={~(3.3.13)

h(x+2L),xg［~L,L］

进一步，对定义在区间［a,b］上并满足狄利克雷条件的函数/4)，也可以进行傅立叶展开。

显然，2L=b—a为区间的长度，%=3(a+A)为区间的中点，作变量变换x=f—%后，函数

h{x)=/(x+fo)=/Q)的定义区间为［-L,L］,可以按(3.3.7)式展开。因此有/(t)的傅立叶

展开式

8S8)7r

f(t)=hM=Zc/3=Z=Z8(3314)

“=-oon=—oo=—00力一。

其中展开系数可以借助(3.3.8)式求得

ino,(x+，o)

dn=cQM=—j'e-hMdx=—(3.3.15)

4)傅立叶展开的推广

如果我们把收敛性的要求从逐点收敛放宽到几乎处处收敛，则能够进行傅立叶展开的函数

范围还可以从满足狄利克雷条件的函数进一步扩大到函数空间L?［a,b］中。利用函数内积的定

义

容易验证

(e""%e'"0)=S—。)鬃,“，n,m&Z(3.3.16)

展开系数可以简明地表示为

4=(e叫/⑻他一。)(3.3.17)

由此可以推出

2

—El2H=（%）-」⑴-七工…）

（八），Z2d产）—（Z二"皿，加）

=ll/（/）ll2-（b-a^\dj

利用完备性关系（3.3.6）,立刻可以证明

I"⑺一£二4/"例11=0（3.3.18）

即

/⑺工二2（3.3.19）

我们还可以把傅立叶展开推广到二元函数甚至多元函数的情况。如果对任意给定的y值，

函数/（x,y）在区间［-L,L］上对自变量x平方可积，则有带保留变量的傅立叶展开式

n,ax

f\x,y）X%（）'）e，cn（y）=—\e-'f（x,y）d.（3320）

//J-L

n=—<x>乙L

式中的傅立叶系数中带有保留变量yo

如果二元函数/（x,y）在矩形区域R｛-l<x<l,-h<y<h）上平方可积，则可以展开为

二重傅立叶级数

/（内）E,8\=鼻9=三（3.3.21）

m,n--ooLA

式中的系数为

Cra-n=4LHWe-i（ni^+n^f（x,y）dxdy（m,neZ）（3.3.22）

3.3.3广义傅立叶展开

1）傅立叶展开的实质

从函数空间的角度看，定义在区间［a,b］上平方可积函数人x）的傅立叶展开式（3.3.9）实

际上是把函数空间L?［a,b］中的一个矢量式x）用该空间中的一组基矢｛eino>xIneZ｝来线性表示,

而完备性关系（3.3.6）保证了该组基矢的完备性。由于这组基矢满足正交性关系（3316）,即

相互之间两两正交，形成了一组正交基。利用正交性关系，把基矢丁侬与傅立叶展开式（3.3.9）

作内积，得到

（e叫/«））=（/?-a）d“（3.3.23）

这就给出了计算展开系数的公式（3.3.17）。

简单地说，傅立叶展开的实质就是把平方可积函数空间中的矢量用一组特殊的正交基来线

性表示。显然，我们也可以用其它正交基来线性表示平方可积函数空间中的矢量。

2）广义傅立叶展开

一般地，设｛/（x）lnwN｝为函数空间L?［a,b］中的一组正交基，满足正交性关系

(%(x)，e”(x))=N,也"(3.3.24)

上式中的N“=11(pn(x)II为基函数(p”(x)的模。

把函数空间中的任意矢量式x)用这组正交基来展开，得到一个广义傅立叶级数

00

f(x)=Zf“%(x)(3.3.25)

n=0

用基函数%,(x)分别与上式两边作内积，得到

”,“(X),/(X))=Z力3“(X)，O,(X))=ZE,N第mn=

n=0"=0

由此可以求出广义傅立叶系数

工”=3.(x)J(x))/N：(3.3.26)

而广义傅立叶展开的收敛性

H/W-EZ,%W"=0<3.3.27)

n=0

需要有基函数集合的完备性关系来保证，即

(/(X)J(X))=f""FN：(3.3.28)

n=0

例如，勒让德多项式｛q(x)=品力/-1)，I/€N｝为函数空间L211,1］中的一组正交基,

满足正交性关系

C(x)/*))=用“时=金