10 微专题：平面向量中的等和线及其应用 讲义-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】微专题：平面向量中的等和线及其应用平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学命题的一个热点，向量中的等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数式运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现。与平面向量等和线结论相关的试题在近年高考及各省市的模拟考试相继出现，这类问题综合性大，技巧性较强；所以，考生在解决此类问题时，大多会思路不清晰，解题繁琐，得分率不高，现不妨典例进行例析；如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设eq\o(PC,\s\up7(→))＝xeq\o(PA,\s\up7(→))＋yeq\o(PB,\s\up7(→))(x，y∈R)；1、平面向量等和线定义（1）当直线DE经过点P时，容易得到x＋y＝0；（2）当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若eq\o(PF,\s\up7(→))＝λeq\o(PA,\s\up7(→))＋μeq\o(PB,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1；由△PAB与△PED相似，知必存在一个常数k∈R，使得eq\o(PC,\s\up7(→))＝keq\o(PF,\s\up7(→))(其中k＝eq\f(|PC|,|PF|)＝eq\f(|PE|,|PA|)＝eq\f(|PD|,|PB|))，则eq\o(PC,\s\up7(→))＝keq\o(PF,\s\up7(→))＝kλeq\o(PA,\s\up7(→))＋kμeq\o(PB,\s\up7(→))．又eq\o(PC,\s\up7(→))＝xeq\o(PA,\s\up7(→))＋yeq\o(PB,\s\up7(→))(x，y∈R)，所以x＋y＝kλ＋kμ＝k；以上过程可逆；在向量起点相同的前提下，所有以与两向量终点所在的直线平行的直线上的点为终点的向量，其基底的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”；2、平面向量等和线定理平面内一组基底eq\o(PA,\s\up7(→))，eq\o(PB,\s\up7(→))及任一向量eq\o(PF,\s\up7(→))满足：eq\o(PF,\s\up7(→))＝λeq\o(PA,\s\up7(→))＋μeq\o(PB,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，若点F在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k（定值其中k＝eq\f(|PC|,|PF|)＝eq\f(|PE|,|PA|)＝eq\f(|PD|,|PB|)），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线；3、平面向量等和线性质（1）当等和线恰为直线AB时，k＝1；（2）当等和线在点P和直线AB之间时，k∈(0，1)；（3）当直线AB在点P和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；（4）当等和线过点P时，k＝0；（5）若两等和线关于点P对称，则定值k互为相反数．【典例】例1、如图，平面内有三个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，其中〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝120°，〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))〉＝30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，则m＋n＝________．【提示】，【答案】；【解析】基本方法：；方法2：；【说明】本题考查了根据等和线求基底系数和的值问题；根据等和线求基底系数和的步骤：1、确定值为1的等和线；2、平移（或伸缩）该线，作出满足条件的等和线；3、从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值；例2、如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列以O为起点的向量：①eq\o(OA,\s\up7(→))＋2eq\o(OB,\s\up7(→))；②eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))；③eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))；④eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up7(→))；⑤eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up7(→))；其中终点落在阴影区域（不包括边界）内的向量的序号是；（写出满足条件的所有向量的序号）；【提示】；【答案】；【解析】【说明】本题考查了根据等和线求基底系数和的值问题；依据：已知点P是△ABC所在平面内一点，且eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))，则有点P在直线BC上⇔x＋y＝1；点P与点A在直线BC异侧⇔x＋y>1，且x＋y的值随点P到直线BC的距离越远而越大；点P与点A在直线BC同侧⇔x＋y<1，且x＋y的值随点P到直线BC的距离越远而越小；例3、给定两个长度为1的平面向量eq\o(OA,\s\up7(→))和eq\o(OB,\s\up7(→))，它们的夹角为eq\f(2π,3)，如图所示，点C在以O为圆心的弧上运动，若eq\o(OC,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))(x，y∈R)，则x＋y的最大值是________．等和线法：令x＋y＝k，所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，即此时k取得最大值，结合角度，不难得到k＝eq\f(|DO|,|OE|)＝2；【说明】本题解法2主要利用了等和线法结合平面几性质，简单解之；“等和线”的解题步骤：①确定值为1的等和线；②过动点作该线平行线，结合动点的可行域，分析在何点处取得最值；③利用长度比或该点的位置，求得最值或范围；例4、如图，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量（，为实数），则的取值范围是【说明】向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法【归纳】等和线在平面向量中的应用1、适用题型：在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和的取值，可使用等和线法；2、理论基础：如图，A，B，C是不共线的三点，M是平面内任意一点，连接AM，交直线BC于点P，过M作BC的平行线l，则对于l上的任意一点N，若eq\o(AN,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝eq\f(|\o(AM,\s\up6(→))|,|\o(AP,\s\up6(→))|).因为N在与BC平行的动直线上，P在定直线BC上，也可以巧记为“动上静下”；3、等和线：直线BC以及与直线BC平行的直线l称为等和线；4、特点：若直线l与点A在直线BC的异侧，则l离BC越远，系数和越大，且系数和为正数；若直线l与点A在直线BC的同侧，则l离BC越远，系数和越小，且系数和为负数；等和（高）线定理1、由三点共线结论推导等和（高）线定理：如图，由三点共线结论可知，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))，则eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))＝kλeq\o(OA,\s\up6(→))＋kμeq\o(OB,\s\up6(→))，又eq\o(OP′,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立．2、平面内一组基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP′,\s\up6(→))，eq\o(OP′,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线成为等和（高）线．①当等和线恰为直线AB时，k＝1；②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；④当等和线过O点时，k＝0；⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．【即时练习】1、已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点，且∠AOB＝120°，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()A．[－2，2]B．(1，eq\r(2)]C．[1，eq\r(2)]D．[1，2]2、如图，与的面积比为2，点是区域内的任一点（含边界），且，则的取值范围是（）A．[0，1]B．[0，2]C．[0，3]D．[0，4]3、设是边上的点，,若，则=【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，由于此时等和线为，所以，即.4、已知为的外心，若且，则5、如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且AD＝1，点P是△BCD(含边界)的动点，设eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OC,\s\up6(→))＋μeq\o(OD,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为________．6、如图所示，已知矩形OABC中，OA＝2，OC＝1，D在OA的延长线上，且AD＝1，若点P在△BCD中(包括边界)，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝αeq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)βeq\o(OA,\s\up6(→))，则α＋eq\f(3,2)β的取值范围为________．【教师版】微专题：平面向量中的等和线及其应用平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学命题的一个热点，向量中的等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数式运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现。与平面向量等和线结论相关的试题在近年高考及各省市的模拟考试相继出现，这类问题综合性大，技巧性较强；所以，考生在解决此类问题时，大多会思路不清晰，解题繁琐，得分率不高，现不妨典例进行例析；如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设eq\o(PC,\s\up7(→))＝xeq\o(PA,\s\up7(→))＋yeq\o(PB,\s\up7(→))(x，y∈R)；1、平面向量等和线定义（1）当直线DE经过点P时，容易得到x＋y＝0；（2）当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若eq\o(PF,\s\up7(→))＝λeq\o(PA,\s\up7(→))＋μeq\o(PB,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1；由△PAB与△PED相似，知必存在一个常数k∈R，使得eq\o(PC,\s\up7(→))＝keq\o(PF,\s\up7(→))(其中k＝eq\f(|PC|,|PF|)＝eq\f(|PE|,|PA|)＝eq\f(|PD|,|PB|))，则eq\o(PC,\s\up7(→))＝keq\o(PF,\s\up7(→))＝kλeq\o(PA,\s\up7(→))＋kμeq\o(PB,\s\up7(→))．又eq\o(PC,\s\up7(→))＝xeq\o(PA,\s\up7(→))＋yeq\o(PB,\s\up7(→))(x，y∈R)，所以x＋y＝kλ＋kμ＝k；以上过程可逆；在向量起点相同的前提下，所有以与两向量终点所在的直线平行的直线上的点为终点的向量，其基底的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”；2、平面向量等和线定理平面内一组基底eq\o(PA,\s\up7(→))，eq\o(PB,\s\up7(→))及任一向量eq\o(PF,\s\up7(→))满足：eq\o(PF,\s\up7(→))＝λeq\o(PA,\s\up7(→))＋μeq\o(PB,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，若点F在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k（定值其中k＝eq\f(|PC|,|PF|)＝eq\f(|PE|,|PA|)＝eq\f(|PD|,|PB|)），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线；3、平面向量等和线性质（1）当等和线恰为直线AB时，k＝1；（2）当等和线在点P和直线AB之间时，k∈(0，1)；（3）当直线AB在点P和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；（4）当等和线过点P时，k＝0；（5）若两等和线关于点P对称，则定值k互为相反数．【典例】例1、如图，平面内有三个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，其中〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝120°，〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))〉＝30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，则m＋n＝________．【提示】注意：基向量eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))，【答案】6；【解析】基本方法：连接AB，交OC于点D，则∠DOA＝∠OAD＝30°，∠BOD＝90°，|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|tan30°＝eq\f(\r(3),3)，|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),3)，|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝eq\f(2\r(3),3)，由平面向量基本定理得eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)＝6|eq\o(OD,\s\up6(→))|，所以，eq\o(OC,\s\up6(→))＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(OB,\s\up6(→))))＝4eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))，m＋n＝6；方法2：不妨设AB，交OC于点D，利用解三角形方法求得根据等和线定理可得eq\f(|OC|,|OD|)＝k＝m＋n，k＝eq\f(|\o(OC,\s\up6(→))|,|\o(OD,\s\up6(→))|)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),3))＝6，所以，m＋n＝6；【说明】本题考查了根据等和线求基底系数和的值问题；根据等和线求基底系数和的步骤：1、确定值为1的等和线；2、平移（或伸缩）该线，作出满足条件的等和线；3、从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值；例2、如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列以O为起点的向量：①eq\o(OA,\s\up7(→))＋2eq\o(OB,\s\up7(→))；②eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))；③eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))；④eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up7(→))；⑤eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up7(→))；其中终点落在阴影区域（不包括边界）内的向量的序号是；（写出满足条件的所有向量的序号）；【提示】注意：三角形与基向量eq\o(OA,\s\up7(→))、eq\o(OB,\s\up7(→))以及与等和线相结合；【答案】①③；【解析】由向量共线的充要条件可得，当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得eq\o(OP,\s\up7(→))＝ueq\o(OA,\s\up7(→))＋veq\o(OB,\s\up7(→))成立，且u＋v＝1；所以点P位于阴影区域内的充要条件是“满足eq\o(OP,\s\up7(→))＝ueq\o(OA,\s\up7(→))＋veq\o(OB,\s\up7(→))，且u＞0，v＞0，u＋v＞1”；①因为1＋2＞1，所以点P位于阴影区域内，故正确；同理③正确，②④不正确；⑤原式＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up7(→))＋(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→)))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\f(7,4)eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))，而－eq\f(1,3)<0，故不符合条件；综上可知①③；【说明】本题考查了根据等和线求基底系数和的值问题；依据：已知点P是△ABC所在平面内一点，且eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))，则有点P在直线BC上⇔x＋y＝1；点P与点A在直线BC异侧⇔x＋y>1，且x＋y的值随点P到直线BC的距离越远而越大；点P与点A在直线BC同侧⇔x＋y<1，且x＋y的值随点P到直线BC的距离越远而越小；例3、给定两个长度为1的平面向量eq\o(OA,\s\up7(→))和eq\o(OB,\s\up7(→))，它们的夹角为eq\f(2π,3)，如图所示，点C在以O为圆心的弧上运动，若eq\o(OC,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))(x，y∈R)，则x＋y的最大值是________．【提示】注意利用向量基本定理进行转化或创设利用等和线的条件；【答案】2；（2009安徽）【解析】基本方法：以O为坐标原点，eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，B(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，设∠AOC＝α(α∈[0，eq\f(2π,3)])，则C(cosα，sinα)，由eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，得，所以x＝cosα＋eq\f(\r(3),3)sinα，y＝eq\f(2\r(3),3)sinα，所以x＋y＝cosα＋eq\r(3)sinα＝2sin(α＋eq\f(π,6))，又α∈[0，eq\f(2π,3)]，所以当α＝eq\f(π,3)时，x＋y取得最大值2；等和线法：令x＋y＝k，所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，即此时k取得最大值，结合角度，不难得到k＝eq\f(|DO|,|OE|)＝2；【说明】本题解法2主要利用了等和线法结合平面几性质，简单解之；“等和线”的解题步骤：①确定值为1的等和线；②过动点作该线平行线，结合动点的可行域，分析在何点处取得最值；③利用长度比或该点的位置，求得最值或范围；例4、如图，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量（，为实数），则的取值范围是【提示1】注意：基向量与向量线性运算的几何的结合；【答案】【解析1】由已知得，则=；注意到，等于在方向的投影乘以；当点在点处、点在上时，在方向的投影最短为2；当点在点处、点在上时，在方向的投影最长为5；综上，；【说明】本解法通过等价转化，借助数量向量几何化；数形结合解之；【提示2】根据几何图形通过建系坐标化；【答案】【解析2】以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则所以，即【说明】向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法【提示3】创设使用等和线的前提；【答案】【解析】等和线法：如图1时，m＋n的值最小且m＋n＝eq\f(AN,AB)＝2，如图2时，m＋n的值最大且m＋n＝eq\f(AM,AB)＝5，【说明】本解法说明：借助等和线，利用数形结合可以：简捷合理地解答；一般用等和线求解基底系数之和范围步骤：1、确定起点、基底；2、确定基线（即的线）；3、作平行线得到定值的取值或范围。【归纳】等和线在平面向量中的应用1、适用题型：在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和的取值，可使用等和线法；2、理论基础：如图，A，B，C是不共线的三点，M是平面内任意一点，连接AM，交直线BC于点P，过M作BC的平行线l，则对于l上的任意一点N，若eq\o(AN,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝eq\f(|\o(AM,\s\up6(→))|,|\o(AP,\s\up6(→))|).因为N在与BC平行的动直线上，P在定直线BC上，也可以巧记为“动上静下”；3、等和线：直线BC以及与直线BC平行的直线l称为等和线；4、特点：若直线l与点A在直线BC的异侧，则l离BC越远，系数和越大，且系数和为正数；若直线l与点A在直线BC的同侧，则l离BC越远，系数和越小，且系数和为负数；等和（高）线定理1、由三点共线结论推导等和（高）线定理：如图，由三点共线结论可知，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))，则eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))＝kλeq\o(OA,\s\up6(→))＋kμeq\o(OB,\s\up6(→))，又eq\o(OP′,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立．2、平面内一组基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP′,\s\up6(→))，eq\o(OP′,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线成为等和（高）线．①当等和线恰为直线AB时，k＝1；②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；④当等和线过O点时，k＝0；⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．【即时练习】1、已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点，且∠AOB＝120°，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()A．[－2，2]B．(1，eq\r(2)]C．[1，eq\r(2)]D．[1，2]【答案】D；【解析】方法1：（常规方法）设半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，其中Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))；B(1，0)；C(cosθ，sinθ)(其中∠BOC＝θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤θ≤\f(2π,3)))，有eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，即(cosθ，sinθ)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))＋μ(1，0)，整理得－eq\f(1,2)λ＋μ＝cosθ；eq\f(\r(3),2)λ＝sinθ，解得λ＝eq\f(2sinθ,\r(3))，μ＝cosθ＋eq\f(sinθ,\r(3))，则λ＋μ＝eq\f(2sinθ,\r(3))＋cosθ＋eq\f(sinθ,\r(3))＝eq\r(3)sinθ＋cosθ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，易得λ＋μ∈[1，2]．方法2、（等和线定理）设λ＋μ＝k，当C位于A或B时，A、B、C三点共线，所以k＝λ＋μ＝1，当点运动到eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点C时，k＝λ＋μ＝2，∴λ＋μ∈[1，2]；2、如图，与的面积比为2，点是区域内的任一点（含边界），且，则的取值范围是（）A．[0，1]B．[0，2]C．[0，3]D．[0，4]【答案】C；【解析】过点作，交的延长线于,则有，且，当点位于点时，分别位于,因为与的面积之比为2，所以,所以，因此，当点位于点时，显然有，故选：C；3、设是边上的点，,若，则=【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，由于此时等和线为，所以，即.4、已知为的外心，若且，则【答案】【解析】过点作于，过点作于，过点作交的延长线于，交的延长线于，因为则，从而有,而三角形的外接圆的半径为，所以,且，所以，所以,所以,故，由于，因此.5、如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且AD＝1，点P是△BCD(含边界)的动点，设eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OC,\s\up6(→))＋μeq\o(OD,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为________．【答案】eq\f(3,2)；【解析】当点P位于B点时，过点B作GH∥DC，交OC，OD的延长线于G，H，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OG,\s\up6(→))＋yeq\o(OH,\s\up6(→))，且x＋y＝1，∵△GCB∽△COD，∴eq\f(GC,CO)＝eq\f(