2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-强化练8 定点、定值及探究性问题

2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册

专题强化练8定点、定值及探究性问题

1.(2022河南开封五校联考)设点M为抛物线C:y2=4x的准线上一点(不在x轴上)，

过抛物线C的焦点F且垂直于x轴的直线与C相交于A,B两点，设直线MA,MF,MB

的斜率分别是L,k2,k3,则空与的值为()

A.4V2B.4C.2V2D.2

2.(2022皖中名校联盟联考)已知某直线与抛物线y2=4x交于A,B两点,且两交点

纵坐标之积为T6,则直线恒过点()

A.(1,0)B.(2,0)C.(4,0)D.(8,0)

22

3.(2022河南省实验中学月考)已知椭圆^+9=1上的两个动点P区,),Q(X2,y),

4Zyi2

且X1+X2=2.若线段PQ的垂直平分线经过一个定点，则此定点坐标为()

A.Q,0)B.(1,0)

C.(2,0)D.(-1,0)

4.(2022河南中原名校联考)已知点P(-1,0),设不垂直于x轴的直线1与抛物线

y=2x交于不同的两点A,B,若x轴是NAPB的平分线所在直线,则直线1一定过点

()

A.(|,0)B.(1,0)

C.(2,0)D.(-2,0)

22

5.(2021重庆巴蜀中学期中)如图，已知P为椭圆C：V+2=l(a>b>0)上的点，点

A,B分别在直线y=|x与y=-|x上，点。为坐标原点，四边形OAPB为平行四边形，

若平行四边形OAPB四边长的平方和为定值,则椭圆C的离心率为

6.（2022河南安阳月考）过点P（.,O）的直线交椭圆C：y+y2=l于E,F两点，则

4+；的值为

\EP\\FP\-------------------

7.（2021陕西西安中学二模）在平面直角坐标系xOy中，过点M（4,0）且斜率为k的

Y2C

直线交椭圆丁+y"=l于A,B两点.

（1）求k的取值范围；

⑵当k#0时,若点A关于X轴的对称点为P,直线BP交X轴于点N,求证：|ONI为

定值.

22

已知双曲线弋—「经过点(一条渐近线的倾斜角为

8.5az3bz=16>0,0)2,3),60°,

直线1交双曲线于A,B两点.

(1)求双曲线C的方程；

⑵若1过原点,P为双曲线上异于A,B的一点,且直线PA,PB的斜率kPA,kpB均存在,

求证:kpA,kpB为定值;

(3)若1过双曲线的右焦点储,在x轴上是否存在点M(m,0),使得直线1绕点B无

论怎样转动,都有加•MB=0成立?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理

由.

9.(2022浙江杭州重点高中期中)已知圆C的方程为x2+(y+l)2=r2(r>0).

⑴过点M6，-1)的直线1交圆C于A,B两点，若r=l,|AB|=g,求直线1的方程;

⑵如图,过点N(-1,1)作两条直线分别交抛物线y=x2于点P,Q,并且都与动圆C相

切,求证:直线PQ经过定点，并求出定点坐标.

答案全解全析

1.D不妨设点A在x轴上方,如图:

由题意知,抛物线的准线方程为x=-l,焦点F(l,0),将x=l代入抛物线C的方程得

y=±2,所以A(1,2),B(1,-2).

设点M的坐标为(-1,y0)(yo#O),贝ljk2=^,k3=^,所以吟=2.故选D.

222K.2

2.C易知直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x=my+n,A(xbyi),B(x2,y2).

,(x=my+n,

由［y2=4x,付y-94my-4n=0,

所以yiy2=-4n=-16,所以n=4,所以x=my+4,

所以直线恒过点(4,0).故选C.

=1,

3.A当X1WX2时，由

=1,

得%丫2二_1,尢1+久2—1

'久厂久22y1+y2y^y-i

设线段PQ的中点为N(l,n),所以kpQ=——;，

xr-x22n

所以线段PQ的垂直平分线的方程为y-n=2n(x-l),即y=2n(%-|),该直线恒过点

&。)；

当xkX2时,线段PQ的垂直平分线也过点C，0).

故线段PQ的垂直平分线恒过点©，0).故选A.

4.B设直线1的方程为y=kx+b(kWO),A(xi,yj,B(x2,y2).

,(y=kx+b,,、,

由"2c得k9x?9+(2kb-2)x+b=0,

\y=2x,

所以A-4(kb-l)2-4k2b2>0,即kb<|,

,2~2kbb2

X1+X2--——,X1X2——.

kzkz

因为X轴是NAPB的平分线所在直线，

所以kAP=-kPB,所以二尸-2，

即"也=_丑生，整理，得2kxiX2+(k+b)(Xi+x2)+2b=0,所以

Xr+1x2+l

2k•与+(k+b)・三衅+2b=0,

化简，得k+b=0,所以y=kx+b=kx-k=k(xT),

所以直线1过定点(1,0).故选B.

5.答案f

解析设P(x。,y«),则直线PA的方程为y=-1x+^+yo,直线PB的方程为y=|x-^+y0.

1X

(二二力加得A(»y°，H号

1X

(二丁0+人得伶

则1PA12+1PB刻管「户⑤于+停+小户伶+芳2二涓+沸

又加+“译©+诏)为定值，点P在椭圆上，

所以与4所以备亨。所以e咚

az4az42

6.答案3

解析当直线EF的斜率为0时，点E,F为椭圆长轴的端点，不妨设

E(-V2,0),F(V2,0),

11

则•=3.

2-t:2

当直线EF的斜率不为0时,设直线EF的方程为x=ty+*E（t%+乎，yj，F®2+

V6\

='、2），

-V6

:一‘三，消去X,得*+2)/+学y3=0,

由

y+y2=i,

所以△=|t2+y(t2+2)-8t2+y>0恒成立,

2V6t4

yi+y2=--3(t2+2)>yiy23(t2+2)'

11117i+近（71+、2）之一2y,2

因此,------5*+------7=------------+----------------------------------------------------

\EP\[FP\(l+t2)7i(1+12)兆(1+尸)光秃(1+")无瓷

st2816(1+/)

2

3仕2+2)2+3(/+2)3(亡2+2)

T6—X—=3.

(i+t2)----^一(i+t2)•316

9(t2+2)29(t2+2)2

11

综上所述,7=3(定值).

\EP\\FP

7.解析（1）过点M（4,0）且斜率为k的直线方程为y=k（x-4）.

y=k(X-4),

22

由x22+-jx-8kx+16k^-l=0,

”4+y-，

因为直线与椭圆有两个交点,

所以A=(-8k2)2-4(k2+(16k2-l)>0,

解得-?〈k〈》所以k的取值范围是(-?，?).

(2)证明:设A(xi,yi),B(x2,y2),则P(xb-yi),

由题意知X1WX2,yi^y2,

2

./.XzBI8k216/C-1

由(1)得Xi+x=—X1X2=,1.

2kz+-kz+-

44

直线BP的方程为口=山，

x2-xiy2+yi

令y=0,得点N的横坐标为22+xi,

72+71

又yi=k(xi-4),y2=k(x2-4),

(

故ION闫也9+月生”也及2kx1x2~4k,x1+x2)

-

I72+71I।72+71/c(x1+x2)8k

16k2-l

2k•

=1,即|0N|为定值1.

k•8k28k

8.解析(1)由题意得

c

•••双曲线C的方程为x2-^-=l.

⑵证明：设A点坐标为(xo,y0),则由对称性知B点坐标为(-xo,-y0).

设P(x,y),则kpA・kpB二"也・2=*<.

人人Qa/VI人Q人入Q

fX2-d=1

将点A,P的坐标代入曲线C的方程，得°3'

卜，L

2_2

y2"yo=3(x2-^o)>kPA・kpB=^^7=3.

(3)由(1)得％(2,0).

当直线1的斜率存在时,设直线1的方程为y=k(x-2),A(x1,%),

B(x2,y2).

(2_竺_i

由3—L消去y得『3)x2-4k2x+4k2+3=0,

y=k(%-2),

.,4k24k2+3

••X1+X2—,X1X2—-.

fc2-3fc2-3

假设存在M(m,0),使得加­MB=Q恒成立，

MA•MB=(xi-m)(x2-m)+yiy2

2

=(xi-m)(x2-m)+k(Xi-2)(x2-2)

2222

=(k+l)XiX2-(2k+m)(Xi+x2)+m+4k

2222

(k+l)(4k+3)_4k(2k+m)+m2+4k2

fc2-3fc2-3

222

3(l-m)+k(m-4m-5)=0.

fc2-3

/.3(l-m2)+k2(m2-4m-5)=0对任意的k,33恒成立,

(l-m2=0,

lm2-4m-5=0,解得m=-l.

J存在M(T,0),使得也­MB=Q恒成立.

当直线1的斜率不存在时,不妨令A⑵3),B(2,-3),易知M(T,0)也满足题意.

综上,存在M(-1,0),使得加•加=0.

9.解析⑴当r=l时，圆C的方程为x2+(y+l)2=l.

当直线1的斜率不存在时,直线1的方程为x1,此时圆心(0,-1)到直线1的距离

d="所以|AB|=2Vr2-d2=2显然成立；

274

当直线1的斜率存在时,设其方程为y=k(%-0-|,即2kx-2y-k-5=0,

因为|AB|=遮,而|AB|=2尸0=2万涯，

所以d2=