2023年重庆新中考指标到校数学模拟试卷二(学生版+解析版)

2023年重庆新中考指标到校数学模拟试卷二一．选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。1．下列数中最大的数是（）A．π B．﹣2 C．0 D．3.142．以下是一些常见的交通标识，其中不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（）A．（2a3）2＝2a5 B．a2•a4＝a6 C．﹣x6÷x3＝﹣x2 D．2x2﹣2x＝x4．如图，已知△ABC和△ADE是以点A为位似中心的位似图形，且，则△ABC和△ADE的位似比是（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：15．如图，在菱形ABCD中，添加一个条件不能证明△ABE≌△CDF的是（）A．∠BAE＝∠FCD B．∠BEA＝∠DFC C．AE＝CF D．BE＝DF6．估计的值在（）之间．A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和87．如图，AB为圆O的直径，直线CD为圆O的切线，且BC＝BD，则∠BAC＝（）A．12° B．18° C．30° D．36°8．下列命题中，是假命题的是（）A．对角线相互平分且相等的四边形为菱形 B．多边形的外角和为360° C．若a+c＝b+c，则a＝b D．过半径外端点且垂直于半径的直线为圆的切线9．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB与AD上一点，连接CE，BF，交点为G，且CE⊥BF，连接DG，若DG＝CD，则tan∠DGF的值为（）A． B． C． D．10．周末老张和小胜相约从各自的家出发去体育馆打羽毛球，且老张家，小胜家，体育馆顺次在同一直线上，老张先从家出发4分钟后来到小胜家和小胜汇合，汇合时间忽略不计，两人以老张的速度一起走了4分钟后，小胜发现自己装备带错了需回家换装备，于是立即加速回家用了少许时间取了装备后又以加速后的速度赶往体育馆，老张仍以原速前行，结果小胜比老张提前1分钟到达体育馆．若老张与小胜两人和体育馆之间的距离y（米）与小胜出发的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．则以下说法错误的是（）A．小胜加速后的速度为250米/分钟 B．老张用了24分钟到达体育馆 C．小胜回家后用了0.6分钟取装备 D．小胜取了装备后追上老张时距离老张家3025米11．若关于x的不等式组有解，且使关于y的分式方程的解为非负数．则满足条件的所有整数a的和为（）A．﹣9 B．﹣8 C．﹣5 D．﹣412．如图，矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，CE平分∠BCD交AD于点E，F为CE上一点，G为AD延长线上一点，连接DF，FG，DF的延长线交AC于点H，FG交CD于点M，且∠ACB＝∠CDH＝∠AGF，以下结论：①DH⊥AC，②GF∥BD，③FD+FG＝AC；④若BC＝2AB＝2，则四边形FHCM的面积为．其中正确结论的序号是（）A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④二．填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。13．|﹣3|+（3﹣）0＝．14．小林掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有1、2、3、4、5、6），他把第一次掷得的点数记为x，第二次掷得的点数记为y，则分别以这两次掷得的点数值为横、纵坐标的点A（x，y）恰好在直线y＝﹣2x+8上的概率是．15．如图，AB为圆O的直径，过点A的切线与弦BD的延长线相交于点C，OE⊥BD，若AD＝12，BE＝8，则AC＝．重阳佳节来临之际，某糕点店对桂圆味，核桃味、绿豆味重阳糕（分别记为A、B、C）进行混装，推出了甲、乙两种盒装重阳糕，盒装重阳糕的成本是盒中所有A、B、C的成本与盒装包装成本之和，每盒甲装有6个A，2个B，2个C，每盒乙装有2个A，4个B，4个C，每盒甲中所有A、B、C的成本之和是1个A成本的15倍，每盒乙的盒装包装成本是每盒甲的盒装包装成本的倍．每盒乙的利润率为20%，每盒乙的售价比每盒甲的售价高20%．当该店销售这两种盒装重阳糕的总销售额为31000元，总利润率为24%时，销售甲种盒装重阳糕的总利润是元．三．解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。17．计算：（1）（2a+3b）（2a﹣3b）﹣（a﹣3b）2；（2）．18．如图，△ABC中，AC＞AB．（1）用尺规完成作图：在AC上截取AD＝AB，连结BD，使得△ABD是以AB为腰的等腰三角形；作∠ABD的角平分线交AC于点E；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）（2）若AE＝BE，求证：BD＝AE．四．解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．为培养学生良好的运动习惯和运动能力，我校本学期开展了“趣味运动会”和“冬季长跑”等体育活动．为了解七年级学生的长跑水平，我校对全体七年级同学进行了长跑测试，体育组陈老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）进行整理和分析（成绩共分成五组：A.50≤x＜60，B.60≤x＜70，C.70≤x80，D.80≤x＜90，E.90≤x≤100），绘制了不完整的统计图表：（1）收集、整理数据20名男生的长跑成绩分别为：76，77，95，88，50，89，89，97，99，93，97，89，65，87，68，89，78，88，98，88．女生长跑成绩在C组和D组的分别为：73，74，74，74，74，76，83，88，89．（2）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：长跑成绩平均数中位数众数男生8588.5b女生81.8a74请根据以上信息，回答下列问题：（1）①补全频数分布直方图；②填空：a＝，b＝；（2）根据以上数据，你认为七年级学生是男生的长跑的成绩更好还是女生的长跑成绩更好？判断并说明理由（一条理由即可）．（3）如果我校七年级有男生900名，女生600名，请估计七年级长跑成绩不低于80分的学生人数．20．图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为37°，此时他的眼睛D与地面的距离AD＝1.8m，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BL（BL∥MN）向正前方走了2m，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（1）求图中B到一楼地面的高度．（2）求日光灯C到一楼地面的高度．（结果精确到十分位）21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，OA＝，点E为x轴负半轴上一点，且cos∠AOE＝．（1）求k和b的值；（2）若将点C沿y轴向下平移4个单位长度至点F，连接AF、BF，求△ABF的面积；（3）根据图象，直接写出不等式﹣＞0的解集．22．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，购买20个冰墩墩和30个雪容融的价格相同．（1）今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？（2）今年2月第一周，供应商以100元每个售出雪容融140个，150元每个售出冰墩墩120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m个，而冰墩墩的销量比第一周增加了0.2m个，最终商家获利5160元，求m．23．一个多位自然数分解为末三位与末三位以前的数，让末三位数减去末三位以前的数，所得的差能被7整除，则原多位数一定能被7整除．（1）判断864192（能/不能）被7整除，证明任意一个三位以上的自然数都满足上述规律；（2）一个自然数t可以表示为t＝p2﹣q2的形式，（其中p＞q且为正整数），这样的数叫做“平方差数”，在t的所有表示结果中，当|p﹣q|最小时，称p2﹣q2是t的“平方差分解”，并规定F（t）＝，例如，32＝62﹣22＝92﹣72，|9﹣7|＜|6﹣2|，则F（32）＝＝．已知一个五位自然数，末三位数m＝500+10y+52，末三位以前的数为n＝10（x+1）+y（其中1≤x≤8，1≤y≤9且为整数），n为“平方差数”，交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得的新数能被7整除，求F（n）的最大值．24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，6），其中AB＝8，tan∠CAB＝3．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PD∥AC交x轴于点D，交BC于点E，求BE的最大值及点P的坐标．（3）将该抛物线沿射线CA方向平移2个单位长度得到抛物线y1，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F，点G为抛物线y1的顶点，点M为直线FG上一点，点N为平面上一点．在（2）中，当BE的值最大时，是否存在以P、E、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．25．在△ABC和△AEF中，∠AFE＝∠ABC＝90°，∠AEF＝∠ACB＝30°，AE＝AC，连接EC，点G是EC中点，将△AEF绕点A顺时针旋转．（1）如图1，若E恰好在线段AC上，AB＝2，连接FG，求FG的长度；（2）如图2，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，证明：GB＝AB+GC；（3）如图3，若AB＝3，在△AEF旋转过程中，当GB﹣GC最大时，直接写出直线AB，AC，BG所围成三角形的面积．2023年重庆新中考指标到校数学模拟试卷二一．选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。1．下列数中最大的数是（）A．π B．﹣2 C．0 D．3.14【解答】解：∵﹣2＜0＜3.14＜π，∴最大的数是π，故选：A．2．以下是一些常见的交通标识，其中不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．不是中心对称图形，故此选项符合题意；D．是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：C．3．下列运算正确的是（）A．（2a3）2＝2a5 B．a2•a4＝a6 C．﹣x6÷x3＝﹣x2 D．2x2﹣2x＝x【解答】解：A．根据积的乘方与幂的乘方，（2a3）2＝4a6，那么A错误，故A不符合题意．B．根据同底数幂的乘法，a2•a4＝a6，那么B正确，故B符合题意．C．根据同底数幂的除法，﹣x6÷x3＝﹣x3，那么C错误，故C不符合题意．D．根据合并同类项法则，2x2﹣2x≠x，那么D错误，故D不符合题意．故选：B．4．如图，已知△ABC和△ADE是以点A为位似中心的位似图形，且，则△ABC和△ADE的位似比是（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【解答】解：∵△ABC和△ADE是以点A为位似中心的位似图形，∴△ABC∽△ADE，∵＝4，∴△ABC和△ADE的相似比是2：1，即△ABC和△ADE的位似比是2：1，故选：D．5．如图，在菱形ABCD中，添加一个条件不能证明△ABE≌△CDF的是（）A．∠BAE＝∠FCD B．∠BEA＝∠DFC C．AE＝CF D．BE＝DF【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，A、添加∠BAE＝∠FCD，利用ASA能得出△ABE≌△CDF，不符合题意；B、添加∠BEA＝∠DFC，利用AAS能得出△ABE≌△CDF，不符合题意；C、添加AE＝CF，不能得出△ABE≌△CDF，符合题意；D、添加BE＝DF，利用SAS能得出△ABE≌△CDF，不符合题意；故选：C．6．估计的值在（）之间．A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8【解答】解：原式＝2﹣4×+2＝4+2∵1.42＝1.96，1.52＝2.25．∴1.4＜＜1.5．∴5.6＜4＜6．∴7.6＜4+2＜8．故选：D．7．如图，AB为圆O的直径，直线CD为圆O的切线，且BC＝BD，则∠BAC＝（）A．12° B．18° C．30° D．36°【解答】解：连接OC，∵AB为圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∵直线CD为圆O的切线，∴∠OCD＝90°，∴∠BCD+∠OCB＝90°，∴∠BCD＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠BOC＝2∠ACO，∵BC＝BD，∴∠D＝∠BCD，∴∠OBC＝2∠BCD，∴∠OBC＝∠BOC，∵OB＝OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠BAC＝30°．故选：C．8．下列命题中，是假命题的是（）A．对角线相互平分且相等的四边形为菱形 B．多边形的外角和为360° C．若a+c＝b+c，则a＝b D．过半径外端点且垂直于半径的直线为圆的切线【解答】解：A、对角线相互平分且相等的四边形为菱形，是真命题；B、多边形的外角和为360°，是真命题；C、若a+c＝b+c，则a＝b，是真命题；D、经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线，是假命题；故选：D．9．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB与AD上一点，连接CE，BF，交点为G，且CE⊥BF，连接DG，若DG＝CD，则tan∠DGF的值为（）A． B． C． D．【解答】解：如图，连接DG，作DL⊥CE于点H，交BC于点L，∵CE⊥BF，∴DL⊥CE，∴DL∥BF，∵DG＝CD，DH⊥CG，∴CH＝GH，∠GDL＝∠CDL，∴∠DGF＝∠GDL＝∠CDL，∴＝＝1，∴CL＝BL，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠LCD＝90°，∴CL＝BC＝CD，∴tan∠DGF＝tan∠CDL＝＝，∴tan∠DGF的值为，故选：B．10．周末老张和小胜相约从各自的家出发去体育馆打羽毛球，且老张家，小胜家，体育馆顺次在同一直线上，老张先从家出发4分钟后来到小胜家和小胜汇合，汇合时间忽略不计，两人以老张的速度一起走了4分钟后，小胜发现自己装备带错了需回家换装备，于是立即加速回家用了少许时间取了装备后又以加速后的速度赶往体育馆，老张仍以原速前行，结果小胜比老张提前1分钟到达体育馆．若老张与小胜两人和体育馆之间的距离y（米）与小胜出发的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．则以下说法错误的是（）A．小胜加速后的速度为250米/分钟 B．老张用了24分钟到达体育馆 C．小胜回家后用了0.6分钟取装备 D．小胜取了装备后追上老张时距离老张家3025米【解答】解：∵两人以老张的速度一起走了4分钟后，小胜发现自己装备带错了需回家换装备，∴小胜加速后的速度为＝250米/分，故A正确，不符合题意；∵老张的速度为＝150米/分，∴老张到达体育馆所用时间为：4+＝24分，故B正确，不符合题意；又小胜取了装备后从家出发到达体育馆所需时间为＝12分，∵老张到达体育馆的时间是＝20分，小胜比老张提前1分钟到达体育馆，∴小胜到达体育馆的时间是19分，∴小胜取装备的时间是19﹣12﹣6.4＝0.6分，故C正确，不符合题意；∴小胜取装备后再次从家出发的时间是7分，设小胜取了装备后追上老张时距离小胜家x米，则距离老张家x+150×4＝（x+600）米，根据题意得：＝，解得x＝2625，∴小胜取了装备后追上老张时距离老张家2625+600＝3225米，故D不正确，符合题意．故选：D．11．若关于x的不等式组有解，且使关于y的分式方程的解为非负数．则满足条件的所有整数a的和为（）A．﹣9 B．﹣8 C．﹣5 D．﹣4【解答】解：不等式组整理得：，∵关于x的不等式组有解，∴2a+2≤8，即a≤3，解分式方程得y＝，∵关于y的分式方程的解为非负数，∴≥0，且≠2，解得，a≥﹣5且a≠﹣1，∴﹣5≤a≤3，且a≠﹣1，∵a为整数，∴a＝﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，0，1，2，3，∴满足条件的所有整数a的值之积：（﹣5）+（﹣4）+（﹣3）+（﹣2）+0+1+2+3＝﹣8．故选：B．12．如图，矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，CE平分∠BCD交AD于点E，F为CE上一点，G为AD延长线上一点，连接DF，FG，DF的延长线交AC于点H，FG交CD于点M，且∠ACB＝∠CDH＝∠AGF，以下结论：①DH⊥AC，②GF∥BD，③FD+FG＝AC；④若BC＝2AB＝2，则四边形FHCM的面积为．其中正确结论的序号是（）A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴∠BCA+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝∠CDH＝∠AGF，∴∠CDH+∠ACD＝90°，∴∠DHC＝90°，∴DH⊥AC，故①正确；如图，设AC与BD的交点为O，延长GF交BC于点N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC＝BD，OB＝OD＝OC，∴∠ADB＝∠OBC，∠OBC＝∠OCB，∴∠ADB＝∠OCB＝∠AGF，∴BD∥GF，故②正确；∵BD∥GF，AD∥BC，∴四边形BDGN是平行四边形，∴BD＝NG＝AC，∵AG∥BC，∠AGF＝∠GNC＝∠CDF，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCE＝45°，又∵CF＝CF，∴△CDF≌△CNF（AAS），∴DF＝NF，∴DF+FG＝FG+NF＝NG＝BD＝AC，故③正确；∵BC＝2AB＝2，∴AB＝1＝CD，∴AC＝＝＝，∵S△ACD＝×AD×CD＝×AC×DH，∴2×1＝×DH，∴DH＝，∵tan∠ACD＝＝2，∴CH＝DH＝，∵△CDF≌△CNF，∴CD＝CN＝1，∵DG∥BC，∴△DGM∽△CNM，∴＝1，∴DM＝CM＝，∵∠DCE＝∠DEC＝45°，∴DE＝DC＝1，延长DH交BC于点R，∵∠CDF＝∠CNF，CD＝NC，∠DCR＝∠NCM，∴△DCR≌△NCM（ASA），∴CM＝CR＝，∴DR＝＝＝，∵AD∥BC，∴△EDF∽△CRF，∴＝，∴DF＝，∴HF＝，∴S△HCF＝××＝，S△DFC＝××＝，∵CM＝DM，∴S△CFM＝，∴四边形FHCM的面积为．故④正确，故选：D．二．填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。13．|﹣3|+（3﹣）0＝4．【解答】解：|﹣3|+（3﹣）0＝3+1＝4．故答案为：4．14．小林掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有1、2、3、4、5、6），他把第一次掷得的点数记为x，第二次掷得的点数记为y，则分别以这两次掷得的点数值为横、纵坐标的点A（x，y）恰好在直线y＝﹣2x+8上的概率是．【解答】解：列表得：1234561（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）5（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）6（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）∵共有36种等可能的结果，点A（x，y）恰好在直线y＝﹣2x+8上的有（1，6）、（2，4）、（3，2），∴点A（x，y）恰好在直线y＝﹣2x+8上的概率是＝，故答案为：．15．如图，AB为圆O的直径，过点A的切线与弦BD的延长线相交于点C，OE⊥BD，若AD＝12，BE＝8，则AC＝15．【解答】解：∵OE⊥BD，BE＝8，∴BD＝2BE＝16，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AB＝＝＝20，在Rt△BEO中，OE＝＝6，∵AC为圆O的切线，∴∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC，∵∠B＝∠B，∴△BEO∽△BAC，∴＝，即＝，解得：AC＝15，故答案为：15．16．重阳佳节来临之际，某糕点店对桂圆味，核桃味、绿豆味重阳糕（分别记为A、B、C）进行混装，推出了甲、乙两种盒装重阳糕，盒装重阳糕的成本是盒中所有A、B、C的成本与盒装包装成本之和，每盒甲装有6个A，2个B，2个C，每盒乙装有2个A，4个B，4个C，每盒甲中所有A、B、C的成本之和是1个A成本的15倍，每盒乙的盒装包装成本是每盒甲的盒装包装成本的倍．每盒乙的利润率为20%，每盒乙的售价比每盒甲的售价高20%．当该店销售这两种盒装重阳糕的总销售额为31000元，总利润率为24%时，销售甲种盒装重阳糕的总利润是2500元．【解答】解：设A的单价为x元，B的单价为y元，C的单价为z元，当销售这两种盒装重阳糕的销售利润率为24%时，该店销售甲的销售量为a盒，乙的销售量为b盒，甲每盒装的重阳糕的成本是：15x＝6x+2y+2z，化简得：y+z＝4.5x，乙每盒装的重阳糕的成本是：2x+4y+4z＝2x+4（y+z）＝2x+4×4.5x＝20x，∵＝，∴乙每盒的成本是甲每盒的成本的，设甲每盒的成本为m，则乙每盒的成本为m，乙每盒的售价为：m（1+20%）＝1.6m，∵每盒乙的售价比每盒甲的售价高20%，∴甲每盒的售价为：＝m，根据甲乙的利润得：（m﹣m）a+（1.6m﹣m）b＝（ma+bm）×24%，化简得：0.28ma＝0.16mb，∴b＝a，∵ma+1.6mb＝31000，∴ma+1.6m×a＝31000，解得：ma＝7500，∴销售甲种盒装重阳糕的总利润是：ma﹣ma＝ma＝×7500＝2500（元），故答案为：2500．三．解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。17．计算：（1）（2a+3b）（2a﹣3b）﹣（a﹣3b）2；（2）．【解答】解：（1）原式＝4a2﹣9b2﹣（a2﹣6ab+9b2）＝4a2﹣9b2﹣a2+6ab﹣9b2＝3a2﹣18b2+6ab；（2）原式＝÷（）＝÷＝•＝．18．如图，△ABC中，AC＞AB．（1）用尺规完成作图：在AC上截取AD＝AB，连结BD，使得△ABD是以AB为腰的等腰三角形；作∠ABD的角平分线交AC于点E；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）（2）若AE＝BE，求证：BD＝AE．【解答】（1）解：如图，AD、BE为所作；（2）证明：∵AE＝BE，∴∠ABE＝∠A，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠EBD，∴∠ABD＝2∠A，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝2∠A，∵∠BED＝∠A+∠ABE＝2∠A，∴∠BED＝∠ADB，∴BE＝BD，∴AE＝BD．四．解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．为培养学生良好的运动习惯和运动能力，我校本学期开展了“趣味运动会”和“冬季长跑”等体育活动．为了解七年级学生的长跑水平，我校对全体七年级同学进行了长跑测试，体育组陈老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）进行整理和分析（成绩共分成五组：A.50≤x＜60，B.60≤x＜70，C.70≤x80，D.80≤x＜90，E.90≤x≤100），绘制了不完整的统计图表：（1）收集、整理数据20名男生的长跑成绩分别为：76，77，95，88，50，89，89，97，99，93，97，89，65，87，68，89，78，88，98，88．女生长跑成绩在C组和D组的分别为：73，74，74，74，74，76，83，88，89．（2）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：长跑成绩平均数中位数众数男生8588.5b女生81.8a74请根据以上信息，回答下列问题：（1）①补全频数分布直方图；②填空：a＝79.5，b＝89；（2）根据以上数据，你认为七年级学生是男生的长跑的成绩更好还是女生的长跑成绩更好？判断并说明理由（一条理由即可）．（3）如果我校七年级有男生900名，女生600名，请估计七年级长跑成绩不低于80分的学生人数．【解答】解：（1）①80～90分的人数为20﹣（1+2+3+6）＝8（人），补全直方图如下：②男生成绩的众数b＝89，女生成绩的中位数a＝＝79.5，故答案为：79.5、89；（2）男生长跑成绩好，因为男生长跑成绩的平均数大于女生，所以男生长跑成绩比女生好．（3）∵样本中女生A、B组人数为20×（10%+10%）＝4（人），C组人数为6人，∴女生长跑成绩不低于80分的学生人数为10人，所以估计七年级长跑成绩不低于80分的学生人数900×+600×＝630+300＝930（人）．20．图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为37°，此时他的眼睛D与地面的距离AD＝1.8m，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BL（BL∥MN）向正前方走了2m，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（1）求图中B到一楼地面的高度．（2）求日光灯C到一楼地面的高度．（结果精确到十分位）【解答】解：（1）过点B作BE⊥MN于E，如图（2）所示：设AE＝xm，∵AB的坡度为1：2.4，∴＝，∴BE＝xm，在Rt△ABE中，由勾股定理得：x2+（x）2＝132，解得：x＝12，∴AE＝12m，BE＝5m，答：B到一楼地面的高度为5m；（2）过点C作CF⊥MN于F交BL于G，过点D作DJ⊥CF于J交BE于H，则BG＝2m，四边形BEFG、四边形ADJF是矩形，∠CDJ＝37°，∴EF＝BG＝2m，AD＝FJ＝1.8m，AF＝DJ，由（1）可知，AF＝AE+EF＝12+2＝14（m），∴DJ＝14m，在Rt△CDJ中，tan∠CDJ＝＝tan37°≈0.75，∴CJ≈0.75DJ＝0.75×14＝10.5（m），∴CF＝CJ+FJ＝10.5+1.8＝12.3（m），答：日光灯C到一楼地面的高度约为12.3m．21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，OA＝，点E为x轴负半轴上一点，且cos∠AOE＝．（1）求k和b的值；（2）若将点C沿y轴向下平移4个单位长度至点F，连接AF、BF，求△ABF的面积；（3）根据图象，直接写出不等式﹣＞0的解集．【解答】解：（1）如图1，过点A作AH⊥x轴于H，∴∠AHO＝90°，在Rt△AOH中，OA＝，∴cos∠AOE＝＝，∴OH＝2，根据勾股定理得，AH＝3，∴A（﹣2，3），将点A（﹣2，3）代入双曲线y＝中，k＝﹣6，∴双曲线的解析式为y＝﹣，将点A（﹣2，3）代入直线y＝﹣x+b中，得，﹣×（﹣2）+b＝3，∴b＝，∴直线AB解析式为y＝﹣x+，（2）由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+①，双曲线的解析式为y＝﹣②，联立①②解得，（点A坐标）或，∴B（4，﹣），∵点C沿y轴向下平移4个单位长度至点F，∴CF＝4，∴S△ABF＝×4×（4+2）＝12；（3）由（1）（2）知，A（﹣2，3），B（4，﹣），∴不等式﹣＞0的解集为x＜﹣2或0＜x＜4时，22．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，购买20个冰墩墩和30个雪容融的价格相同．（1）今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？（2）今年2月第一周，供应商以100元每个售出雪容融140个，150元每个售出冰墩墩120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m个，而冰墩墩的销量比第一周增加了0.2m个，最终商家获利5160元，求m．【解答】解：（1）设今年2月第一周每个冰墩墩的进价为x元，每个雪容融的进价为y元，依题意得：，解得：．答：今年2月第一周每个冰墩墩的进价为120元，每个雪容融的进价为80元．（2）依题意得：（100﹣m﹣80）（140+m）+（150﹣120）（120+0.2m）＝5160，整理得：m2+114m﹣1240＝0，解得：m1＝10，m2＝﹣124（不合题意，舍去）．答：m的值为10．23．一个多位自然数分解为末三位与末三位以前的数，让末三位数减去末三位以前的数，所得的差能被7整除，则原多位数一定能被7整除．（1）判断864192能（能/不能）被7整除，证明任意一个三位以上的自然数都满足上述规律；（2）一个自然数t可以表示为t＝p2﹣q2的形式，（其中p＞q且为正整数），这样的数叫做“平方差数”，在t的所有表示结果中，当|p﹣q|最小时，称p2﹣q2是t的“平方差分解”，并规定F（t）＝，例如，32＝62﹣22＝92﹣72，|9﹣7|＜|6﹣2|，则F（32）＝＝．已知一个五位自然数，末三位数m＝500+10y+52，末三位以前的数为n＝10（x+1）+y（其中1≤x≤8，1≤y≤9且为整数），n为“平方差数”，交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得的新数能被7整除，求F（n）的最大值．【解答】解：（1）864192的末三位数为192，末三位以前的数为864，∴192﹣864＝﹣672，∵﹣672÷7＝﹣96，∴864192能被7整除，故答案为：能．证明：设这个多位数的末三位数为a，末三位以前的数为b，则这个多位数可表示为1000b+a，根据题意得，a﹣b＝7n（n为整数），∴a＝7n+b，则1000b+a＝1000b+7n+b＝1001b+7n，∵1001b+7n可以被7整除，∴1000b+a可以被7整除，∴任意一个三位以上的自然数都满足这个规律．（2）∵m＝500+10y+52，1≤y≤9，①当1≤y≤4时，m的百位数字为5，十位数字为（y+5），个位数字为2，∴调换百位数字和十位数字后所得的新数为100（y+5）+52，根据题意100（y+5）+52﹣10x﹣10﹣y可以被7整除，整理得98y﹣7x+539+y﹣3x+3能被7整除，∵98y﹣7x+539能被7整除，∴只需y﹣3x+3能被7整除即可解得或或或，∵n＝10（x+1）+y，∴n＝71或52或33或84，根据题意71＝362﹣352，此时F（71）＝106，52＝142﹣122，此时F（52）＝19，33＝172﹣162＝72﹣42，|17﹣16|＜|7﹣4|，此时F（33）＝49，84＝222﹣202＝102﹣42，|22﹣20|＜|10﹣6|，此时F（84）＝31，∴当1≤y≤4时，F（n）最大为106．②当5≤y≤9时，m的百位数字为6，十位数字为（y﹣5），个位数字为2，调换百位数字和十位数字后所得的新数为100（y﹣5）+62，根据题意100（y﹣5）+62﹣10x﹣10﹣y可以被7整除，整理得98y﹣7x﹣448+y﹣3x可以被7整除，∵98y﹣7x﹣448可以被7整除，∴只需y﹣3x能被7整除即可，解得或或或或，∵n＝10（x+1）+y，∴n＝55或36或87或68或39．根据题意55＝282﹣272＝82﹣32，|28﹣27|＜|8﹣3|，此时F（55）＝82，36＝102﹣82，此时F（36）＝13，87＝442﹣432＝162﹣132，|44﹣43|＜|16﹣13|，此时F（87）＝130，68＝182﹣162，此时F（68）＝25，39＝202﹣192，F（39）＝58，∴当5≤y≤9时，F（n）的最大值为130综上，F（n）的最大值为130．24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，6），其中AB＝8，tan∠CAB＝3．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PD∥AC交x轴于点D，交BC于点E，求BE的最大值及点P的坐标．（3）将该抛物线沿射线CA方向平移2个单位长度得到抛物线y1，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F，点G为抛物线y1的顶点，点M为直线FG上一点，点N为平面上一点．在（2）中，当BE的值最大时，是否存在以P、E、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵C（0，6），＝tan∠CAB＝3，∴AO＝＝2，A（﹣2，0），B（6，0），∴，解得，∴该抛物线的表达式为y＝x2+2x+6．（2）如图1，作PH⊥x轴于点H，交BC于点J，作EI⊥PH于点I、EK⊥x轴于点K．设直线BC的函数表达式为y＝kx+6，则6k+6＝0，解得k＝﹣1，∴y＝﹣x+6；设直线AC的函数表达式为y＝px+6，则﹣2p+6＝0，解得p＝3，∴y＝3x+6．设P（m，m2+2m+6），由PD∥AC，设直线PD的函数表达式为y＝3x+n，则m2+2m+6＝3m+n，解得n＝m2﹣m+6，∴y＝3xm2﹣m+6．由，得，∴E（，）．∵AC＝＝2，BC＝＝6，且△PEI∽△CAO，△BEK∽△BCO，∴EI：PI：PE＝OA：OC：AC＝1：3：，EK：BK：BE＝CO：BO：BC＝1：1：，∴PE＝EI，∴PE＝10EI＝10（m﹣﹣）＝m﹣m2，∵BE＝BK，∴BE＝2BK＝2（6﹣﹣）＝12﹣﹣，∴BE＝m﹣m2﹣（12﹣﹣）＝﹣m2+8m﹣12＝﹣（m﹣4）2+4，∴当m＝4时，BE的最大值，最大值为4，此时P（4，6）．（3）存在．如图2，由（2）得，AC＝2，将△AOC沿射线CA方向平移2个单位，相当于将△AOC向左平移2个单位，再向下平移6个单位，∴该抛物线也向左平移2个单位，再向下平移6个单位，∵原抛物线为y＝x2+2x+6＝（x﹣2）2+8，∴y1＝x2+2，抛物线y1与坐标轴的交点分别为F（﹣2，0）、D'（2，0）、（0，2），且顶点为G（0，2），点F（﹣2，0）为抛物线y1与原抛物线的交点．∵P（4，6），C（0，6），且PD∥AC，∴D（2，0），点D'与点D重合．设直线FG的函数表达式为y＝qx+2，则﹣2q+2＝0，解得q＝1，∴y＝x+2．①如图2，点M1在点P左侧，PE、EM1为菱形的邻边．连接PC，则CG＝PC，可得BC垂直平分PG，