上海市虹口区2024届高三下学期期中学生学习能力诊断测试（二模）数学试卷

虹口区2023学年度第二学期期中学生学习能力诊断测试高三数学试卷2024.4考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位置，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．若则cos2x=_______.2．已知一个球的表面积为36，则该球的体积为_______.3．过抛物线焦点的弦AB的中点横坐标为2，则弦AB的长度为_________.4．已知集合5．已知随机变量X～B(50，p)，且E[X]＝20，则D[X]=_______.6．3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻的站法种数为________.7．已知一个三角形的三边长分别为2,3,4,则这个三角形外接圆的直径为________.8.已知等比数列是严格减数列，其前项和为若成等差数列，则=_________.9．已知平面向量满足若平面向量满足则的最大值为_________.图1图210．从某个角度观察篮球（如图1图1图2一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廓为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长8等分，且（第10题图）则该双曲线的离心率为_________.（第10题图）11．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且若AB=AA1=2,点M为棱CC1的中点，点P在A1B上，则线段PA，PM的长度和的最小值为________.12．已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为________.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.13．欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ把自然对数的底数e,虚数单位i，三角函数cosθ和sinA.B.C.D.14．设，将函数的图像沿x轴向右平移个单位，得到函数的图像，则（）A.函数y=是偶函数 B.函数y=的图像关于直线对称 C.函数y=在上是严格增函数 D.函数y=在上的值域为15．给出下列4个命题：①若事件A和事件B互斥，则②数据2,3,6,7，8,10,11,13的第70百分位数为10；=3\*GB3③已知y关于x的回归方程为，则样本点的离差为；=4\*GB3④随机变量X的分布为则其数学期望1.6.其中正确命题的序号为（）A．①②B．①=3\*GB3③C．②=3\*GB3③D．②=4\*GB3④16.已知定义在上的函数的导数满足，给出两个命题：①对任意，都有；②若的值域为，则对任意都有.则下列判断正确的是（）A.①②都是假命题B.①②都是真命题C.①是假命题，②是真命题D.①是真命题，②是假命题三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题须在答题纸相应位置写出必要步骤.17．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)已知等差数列满足，．（1）求的通项公式；（2）设数列前项和为且，若，求正整数的最小值．18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)如图，在三棱柱中，为的中点，（1）求证：平面；（2）若平面点P在棱上，且平面,求直线CP与平面所成角的正弦值．19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：质量差（单位：）5457606366件数（单位：件）52146253(1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差X～，其中，用作为的近似值，求的值；(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件.（i）求抽取的零件为废品的概率；（ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.参考数据：若随机变量X～，则，，.20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知椭圆的焦距为点P(0,1)在椭圆上，动直线l与椭圆相交于不同的两点A,B,且直线PA,PB的斜率之积为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线的法向量为求直线l的方程；(3)是否存在直线l,使得为直角三角形？若存在，求出直线21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）若函数满足：对任意都有，则称函数具有性质.（1）设分别判断与是否具有性质？并说明理由；（2）设若函数具有性质，求实数的取值范围；（3）已知函数具有性质且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数.

参考答案和评分标准2024年4月一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分;第7-12题每题5分）1．2．36π3.64．5．126.14478．39.10．11．12.二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.A14.D15.C16.B三、解答题（本大题共5题，满分78分）17．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)解：(1)设等差数列的公差为，则由条件，得，……3分解得，，故．……6分（2）由（1）可得，则……8分所以故数列是以为首项、8为公差的等差数列，故……11分因为，所以，所以，所以或．因为为正整数，所以的最小值是10．……14分18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)证：（1）连接B与CB1底相交于点E，因四边形为平行四边形，所以点E是B的中点.……2分又因为的中点，故为的中位线，从而……4分故由，得平面.……6分解：(2)由条件知两两垂直，故以点C为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系;则相关点的坐标为：……8分设点则从而由得所以点……10分设平面的一个法向量为则即取得……12分设直线CP与平面所成的角为则……14分19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)解：（1）由条件得：样本平均数为……2分由得：……4分……6分（2）（i）设A=“随机抽取该企业生产的一个零件，该零件为废品”，“随机抽取的一个零件为第1条生产线生产”，“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”.则由题意可知……8分于是由全概率公式，得即从该企业抽取的零件为废品的概率为0.015.……11分（ii）由条件概率公式,抽取的零件为废品，其来自第1生产线的概率为：.……14分20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）解：（1）由条件知………2分所以于是椭圆的方程为………4分（2）由条件知：直线PA的斜率为，方程为则由得，所以从而………6分由于，所以直线PB的方程为同理可得所以直线l的斜率为，………8分从而直线l的方程为即……10分（3）假设存在满足条件的直线l，并设直线PA的方程为则由得所以．………12分由于，所以直线PB的方程为同理可得故直线l的斜率为当为直角三角形时，只有可能于是若，由可得若，由可得因此，直线l的斜率为………18分21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)解：（1）不具有性质.理由：取，有.…2分具有性质.理由：对任意，，有.……4分（2）函数具有性质，故对，，都有，而是奇函数，故，即是严格增函数，恒成立.……7分若，则，解得；若，则恒成立；若，则，解得.综合上述，实数a的取值范围为……10分证明：（3）因函数的定义域为,要证明是奇函数，只要证明：对任意实数即可.对任意实数设则由具有性质知：当时，=1\*GB3①……12分设当时，由=1\*GB3①得=2\*GB3②……14分当时，由=1\*GB3①得=3\*GB3③于是由曲线的连续性，函数在上存在零点即=4\*GB3④……16分由函数在上严格增，知：函数在上严格增；所以由=2\*GB3②知由=3\*GB3③知故故由=4\*GB3④得：即对任意对任意实数均有；因此，函数是奇函数.……18分另证：（3）由具有性质，知：当时，当时，由零点存在定