八年级数学常考点第08讲平行四边形高频考点及中考真题练习（学生版+解析版）

第08讲平行四边形高频考点及2021中考真题链接(学生版)

第一部分知以清单

知识点1：平行四边形的定义

_____________________________________叫做平行四边形

知识点2：平行线间的距离的定义

两条平行线中，的距离叫做两条平行线间的距离.

知识点3：平行四边形的性质

边的性质：.

角的性质：.

对角线的性质：.

知识点4：平行四边形的判定

1.利用对边来判定平行四边形

(1)是平行四边形(平行四边形的定义)；

(2)是平行四边形；

(3)是平行四边形；

2.是平行四边形；

3.是平行四边形.

知识点5：三角形的中位线

1.连接线段叫做三角形的中位线；

2.三角形的中位线定理：

三角形的中位线.

第二部分高飒考■点之翼啊却析及针对绘句

考点一平行四边形的性质

典例1：如图，在OA8CD中，对角线AC、BD相交于点O,若AC=14,BD=8,AB=10,贝OAB

的周长为.

典例2：如图，在awe。中，已知AO=8cm,AB=6cm,DE平分NADC交BC边于点E,则BE等

于()

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

典例3：如图，在6BCD中，AE_LBC于点E.AF_LCD于点F.若AE=4,AF=6,CABCD的周

长为10,求6BCD的面积SOABCD.

D

典例4：如图，和平行四边形的顶点B、E、厂在同一直线上.求证：DE=BF.

针对训练1

1.如图，在oABCD中，NB=80。，AE平分/BAD交BC于点E,CF〃AE交AD于点E则Nl=()

C.60°D.80°

2.如图，SAABC,NACB=90。中,。是BC的中点，DE1.BC,CE//AD,若AC=2,CE=4,求四边

形ACE2的周长.

考点二平行四边形的判定

典例5：如图19.1.2-20,平行四边形4BCO的对角线AC、8。交于点。，E、尸在AC上，G、H在BD

上，AF=CE,BH=DG.求证：GF//HE.

针对训练2

3.如图所示，C34ECF的对角线相交于点。，DB经过点、O,分别与AE,CF交于8,D求证：四边形A8CQ

是平行四边形.

考点三平行四边形性质与判定的综合

典例6：如图，分别以△ABC的三边为其中一边，在8c的同侧作三个等边三角形：△A8O,△BCE,

△ACF.求证：AE,OF互相平分.

针对训练3

4.如图，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AG〃CD交BC于点G,点E、F分别为AG、CD的

中点，连接DE、FG.

(1)求证：四边形DEGF是平行四边形；

(2)如果点G是BC的中点，且BC=12,CD=10,求四边形AGCD的面积.

5.如图，在ciABCD中，点E在边BC上，点F在边DA的延长线上，且AF=CE,EF与AB交于点G

(1)求证：AC〃EF；

(2)若点G是AB的中点，BE=6,求边AD的长.

6.如图，在梯形ABCQ中，AD//BC,AD=5cm,BC=8cm,M是CD的中点，P是BC边上的一动点(P

与B,C不重合)，连结PM并延长交AD的延长线于Q.

(1)试说明△PCM^AQDM.

(2)当P在B,C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由.

考点4三角形中位线问题

题型典例％如图，已知M、N、P、。分别为线段AB、BD、CD、AC的中点，四边形MNPQ是平行

四边形吗？为什么？

针对训练4

7.如图，等边△ABC中，点D,E分别为AB,AC的中点，则NDEC的度数为（）

A.15O0B.12O0C.60°D.3O0

8.如图，在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，M、N是AC的三等分点，EM、FN的延长线相交

于点D.求证：四边形ABCD是平行四边形.

第三部分2021中冬靠如飕接

一、选择题

1.（2021•泸州）如图，在DABCO中，AE平分/BAO且交8c于点E,ZD=58°,则N4EC的大小是（）

A.61°B.109°C.119°D.122°

2.（2021•天津）如图，口ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是（0,1）,（-2,-2）,（2,-2）,则顶点。

的坐标是（）

A.(-4,1)B.(4,-2)C.(4,1)D.(2,1)

3.（2021•南充）如图，点O是口ABCD对角线的交点，EF过点。分别交A。，BC于点E,F,下列结论成

立的是（）

A.OE=OFB.AE=BFC.ZDOC^ZOCDD.NCFE=NDEF

4.（2021・衢州）如图，在△ABC中，AB=4,AC=5,BC=6,点、D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,连结DE,

EF,则四边形ADEF的周长为（）

5.（2021•苏州）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线翻折得到△AQC,夕C交A。

于点E,连接夕£>,若N8=60。，NAQ3=45。，AC=y/6,则8。的长是（）

A.1B.V2C.V3D.y

6.（2021•泸州）如图，在。48cD中，AE平分NBA。且交8c于点E,ZD=58°,则乙4EC的大小是（）

7.（4分）（2021年湖南省株洲市中考数学试卷：）（2021•株洲）如图所示，四边形ABC。是平行四边形，点E在

线段的延长线上，若/DCE=132°,则NA=（）

A.38°B.48°C.58°D.66°

8.（2021・河北）如图1,D4BC。中，AD>AB,/ABC为锐角.要在对角线BO上找点MM,使四边形

ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（）

AD

BC

图1

eADADAD

\w

取8。中点。，作作AML8D于N,作AMCM分别平分

BN=NO,OM-MDCM1BD于MABAD,ABCD

图2

（A）甲、乙、丙都是（B）只有甲、乙才是（C）只有甲、丙才是（D）只有乙、丙才是

9.（2021•恩施）如图，在。ABC。中，AB=13,AD=5,AC1BC,贝旧ABC。的面积为（）

A_______D

BC

65

A.30B.60C.65D.—

2

10.（2021•安顺）如图，在。ABC。中，N48。的平分线交AO于点E,的平分线交AD于点F,若

AB=3,AD=4,则EF的长是（）

AFE

A.1B.2C.2.5D.3

11.（2021•贵阳）如图，在中,NABC的平分线交AO于点E,N3CQ的平分线交AO于点F,若

A8=3,AO=4,则无尸的长是（）

A.1B.2C.2.5D.3

B__________,c

NK

AFED

12.（2021•宜宾）下列说法正确的是（）

A.平行四边形是轴对称图形

B.平行四边形的邻边相等

C.平行四边形的对角线互相垂直

D.平行四边形的对角线互相平分

13.（2021•南充）如图，点。是。ABCC对角线的交点，EF过点。分别交A。，BC于点E,F,下列结论

成立的是（）

A.OE=OFB.AE=BFC.4D0C=ZOCDD.NCFE=/DEF

二、填空题

14.（2021•南京）如图，在平面直角坐标系中，AAOB的边40,AB的中点C,。的横坐标分别是1,4,

则点B的横坐标是.

15.（2021•重庆）如图，△ABC中，点。为边BC的中点，连接A。，将△ACC沿直线AQ翻折至△A8C所

在平面内，得△AQC,连接CC,分别与边AB交于点E,与AQ交于点O.若AE=BE,BC'=2,则AC

的长为.

16.（2021•荷泽）如图，在RSABC中，ZC=30°,E分别为4C、BC的中点，DE=2,过点8作BF//AC,

交DE的延长线于点F,则四边形ABFD的面积为.

17.（2分）（2021年青海中考数学试卷；）（2021•青海）如图，在△ABC中，D,E,尸分别是边AB,BC,CA

的中点，若△OEF的周长为10,则△ABC的周长为.

18.（2021・青海）如图，在中，对角线B£>=8cm,AEA.BD,垂足为E,且AE=3CTM,BC=4cm,则

AD与BC之间的距离为.

19.（2021.邵阳）如图，点。,E,尸分别为△ABC三边的中点.若A4BC的周长为10,则^的周长为

20.（2021•嘉兴）如图，在口ABCD中，对角线AC,交于点。，ABLAC,AHLBD于点H,若AB=2,

BC=273,则AH的长为.

21.（2021•江西）如图，将DABCD沿对角线4c翻折，点B落在点E处，CE交AO于点F,若NB=80。,

NACE=2NECD,FC=a,FD=b,则。ABC。的周长为.

三、解答题

22.（2020•湖南省岳阳市）如图，在四边形ABCO中，AELBD,CFLBD,垂足分别为点E,F.

（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AEC尸为平行四边形，你添加的条件是

（2）添加了条件后，证明四边形4EC尸为平行四边形.

23.（2021.宿迁）在①AE=CF；②OE=O氏③BE〃。尸这三个条件中住谓7个补充在下面横线上，并完成

证明过程.

己知：如图，四边形A8C。是平行四边形，对角线AC、8。相交于点。，点E、尸在4c上，—（填

写序号）.

求证：BE=DF.（注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

24.（2021•绍兴）问题：如图，在。ABC。中，AB=8,AD=5,ADAB,/ABC的平分线AE,8F分别与

直线CD交于点E,F,求EF的长.

探究：（1）把“问题”中的条件“AB=8”去掉，其余条件不变.

①当点E与点尸重合时，求AB的长；

②当点E与点C重合时，求E尸的长.

（2）把“问题”中的条件“AB=8,AD=5"去掉，其余条件不变，当点C,D,E,尸相邻两点间的距离相

25.（2021・怀化）（本题满分10分）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线

上，AE=CF.求证：（1）△ADE^ACBF；（2）ED〃BF.

26.（10分）（2021永州）如图，已知点A,D,C,B在同一条直线上，AD=BC,AE=BF,AE//BF.

（1）求证：AAEg^BFD.

（2）判断四边形OECF的形状，并证明.

27.（2021.广西北部经济区）如图，四边形4BCD中，AB//CD,NB=ND,连接4c.

（1）求证：AA8C会△CAM；

（2）尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E（不要求写作法，保留作图痕迹）；

（3）在（2）的条件下，已知四边形A8CD的面积为20,AB=5,求CE的长.

第21题图

28.（2021•重庆）如图，在QABC£）中，AB>AD.

（1）用尺规完成以下基本作图：在A3上截取AE,使AE=A£>；作/BCD的平分线交AB于点足（保留作

图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P,猜想ACDP按角分类的类型，并证明你的结论.

29.（10分）（2021年重庆市中考数学试卷（B卷）；）（2021•重庆）如图，四边形ABC。为平行四边形，连接

AC,且AC=2AB.请用尺规完成基本作图：作出NBAC的角平分线与8C交于点E.连接8。交AE于点F,

交4c于点0,猜想线段8厂和线段。尸的数量关系，并证明你的猜想.（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）

30.（2021广安）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段

A8的端点都在格点上.要求以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上.请在下面的网格图

中画出4种不同的设计图形

第08讲平行四边形高频考点及2021中考真题链接（解析版）

第一部分知灰瑁单

知识点1：平行四边形的定义

1两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

知识点2：平行线间的距离的定义

两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线间的距离.

知识点3：平行四边形的性质

边的性质：平行四边形对边平行且相等.

角的性质：平行四边形对角相等，邻角互补.

对角线的性质：平行四边形对角线互相平分.

对称性：平行四边形是一个中心对称图形，对角线的交点是对称中心.

知识点4：平行四边形的判定

1.利用对边来判定平行四边形

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（平行四边形的定义）；

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形:

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形:

2.两组对角分别相等的四边形是平行四边形;

3.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.

知识点5：三角形的中位线

1.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线;

2.三角形的中位线定理：

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.

第二部分高频考点其两却析发针对徐可

考点一平行四边形的性质

典例1：如图，在OA8C£＞中，对角线AC、BD相交于点O,若AC=14,BD=8,AB=10,则AOAB

的周长为.

思路指引：因为4OAB的周长等于OA+OB+AB,根据平行四边形的对角线互相平分可知OA、OB

的长度分别等于AC、BD的一半，所以OA=7,OB=4,所以OA+OB+AB=21.

答案：21

方法点睛：平行四边形的两条对角线将平行四边形分成四个三角形，这四个三角形的面积相等，且相

邻两个三角形的周长之差等于平行四边形的一组邻边之差.

典例2：如图，在A4BCQ中，已知AZ）=8cm,AB=6cm,OE平分NAOC交8C边于点E,则BE等

于（）

AD

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

思路指引：要求BE的长，我们可借助平行四边形的性质先求出8c和CE的长，的长可借助平行

四边形的对边相等求得，而CE的长可结合角平分线的性质证明△CZJE为等腰三角形.

•四边形ABC。为平行四边形，：.BC=AD=Scm,CD=AB=6cm,AD//BC.

：.ZADE=ZDEC,"：DE^-^ZADC,：.ZADE=ZCDE.

：.NDEC=ZCDE,：.CE=CD=6cm.

：.BE=BC-CE=2cm.

答案：A

方法点睛：（1）由平行四边形的性质可知，利用平行四边形的性质可以证明线段相等、线段平行、角

相等.当题目已知条件中有平行四边形时，我们就立即想到运用平行四边形的性质得到相等的线段、角以

及平行的线段等性质.

（2）当题目中平行线和角平分线同时出现时，极有可能出现等腰三角形，如本题中。和。E平

分/ADC就得到△C0E是等腰三角形.

典例3：如图，在6BCD中，AE_LBC于点E.AFJ_CD于点F.若AE=4,AF=6,UABCD的周

长为10,求6BCD的面积SOABCD.

思路指引：两条高已经知道，要求面积必须先求底边长.显然边BC与CD的和为20,因此只要再得

出BC与CD的一个数量关系就能求得BC,CD.

解：在MBS中，因为S”BCD=BCAE=CD-AF,

,BCAF63b,、，3

所以---=---=—=一,所以BC=—CD.

CDAE422

3

xy,x=12,

设BC=x,CD=y,则＜=2解得《

y=8.

x+y=20.

所以BC=12,CD=8,所以SOABCD=BCAE=12x4=48.

方法点睛：灵活运用平行四边形的面积公式来得出BC：CD=AF：4E是解决本题的关键所在.

典例4：如图，0488和平行四边形口及行C的顶点。、B、E、尸在同一直线上.求证：DE=BF.

思路指引：可借助平行四边形对角线互相平分证明0B=0D,OE=OF,

证明：连结AC,交BD于O.

四边形ABCD是平行四边形

.\DO=BO(平行四边形对角线互相平分)

同理EO=FO

.*.DO-EO=BO-FO

即DE=BF

方法点睛：本题重点考查了运用平行四边形的性质定理进行证明，本题也可以通过三角形的全等的知

识来解决，但比较繁琐.运用“平行四边形对角线互相平分”的性质是证明此题的最佳方法.

针对训练1

1.如图，在oABCD中，NB=80。，AE平分/BAD交BC于点E,CF〃AE交AD于点E则Nl=()

A.40°B.50°C.60°D.80°

答案：B点拨：因为NB=80。，所以NBAD=100。，又AE平分NBAD,所以NBAE=/DAE=NBEA=

50°,因为CF〃AE,所以/l=NBEA=50°.

2.如图，在△ABC,/ACB=90。中，。是BC的中点，DELBC,CE//AD,若4c=2,CE=4,求四边

形ACEB的周长.

解：；NACB=90。，DEA.BC,J.AC//DE.

又四边形ACEO是平行四边形.：.OE=4C=2

在RtACDE中，由勾股定理CD=yJCE2-DE2=2G.

•.•。是8c的中点，:.BC=2CD=A£.

在中，由勾股定理百记=2屈.

•。是8C的中点，DELBC,：.EB=EC=4

二四边形ACEB的周长=AC+CE+B£+8A=10+2ji5

考点二平行四边形的判定

典例5：如图19.1.2-20,平行四边形ABC。的对角线AC、BO交于点O,E、尸在AC上，G、H在BD

上，AF=CE,BH=DG.求证：GF//HE.

思路指引：要证明GF〃//£可先证明四边形EGF”为平行四边形，证明四边形EGFH为平行四边形

可通过对角线互相平分获得.

证明：；ABCZ)是平行四边形，二。4=0。.

又；AF=C£,：.AF-OA=CE-OC,即。尸=。£.同理0G=0”.

四边形EGFH是平行四边形.；.GF〃//E.

方法点睛：如果两条线段是一个四边形的一组对边，可通过证明四边形是平行四边形来证明其平行.

针对训练2

3.如图所示，口4ECF的对角线相交于点O,DB经过点0,分别与AE,CF交于B,。.求证：四边形ABC。

是平行四边形.

证明：•.,四边形AECF是平行四边形，.，.0E=0F,0A=0C,AE//CF

：.ZDF0=ZBE0,NFD0=NEB0,：.4FD(T24EB0,：.0D=0B

•：OA=OC,四边形ABC。是平行四边形

考点三平行四边形性质与判定的综合

典例6：如图，分别以△ABC的三边为其中一边，在BC的同侧作三个等边三角形：/XABD,/XBCE,

/XACF.求证：AE,。尸互相平分.

E

思路指引：要说明尸互相平分.我们想到平行四边形的对角线互相平分，因此我们考虑连接

EF,然后设法证明四边形ADE尸是平行四边形，又由于△ABD,△BCE,aAC尸是平行四边形，我们可以

通过证明AABC丝△FEC和AABC丝△O8E来证明这个四边形的两对对边分别相等.

解：连结。E、EF

V/\ABD,△BCE,△AC尸是等边三角形，

；.CA=CF,/8CE=NACF=60°,

CB=CE,AB=AD

：.△AB8/\FEC,

:.EF=AB,：.AD=EF,

同理：DE=AF

...四边形是平行四边形，

：.AE.OF互相平分

方法点睛：平行四边形性质与判定的综合运用是中考试卷中常见题型，这类题目常常要求我们先证明

四边形为平行四边形，然后由平行四边形证明线段相等.平行或角相等.

针对训练3

4.如图，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,NB=90。，AG〃CD交BC于点G,点E、F分别为AG、CD的

中点，连接DE、FG.

(1)求证：四边形DEGF是平行四边形；

(2)如果点G是BC的中点，且BC=12,CD=10,求四边形AGCD的面积.

(1)证明：AG〃CD,AD〃BC

二四边形AGCD是平行四边形

二AG=CD

,/E、F分别为AG、CD的中点

EG=-AG,DF=-CD

22

,EG=DF且EG〃DF

二四边形DEGF是平行四边形

(2)解::点G是BC的中点，BC=12

/.BG=CG=」BC=6

2

:四边形AGCD是平行四边形

,AG=CD=10

在R/4ABG中，根据勾股定理AB=/记BG1=7102-62-8

••S㈣边尼AGCD-6XS—48

5.如图，在口ABCD中，点E在边BC上，点F在边DA的延长线上，且AF=CE,EF与AB交于点G

(1)求证：AC〃EF；

(2)若点G是AB的中点，BE=6,求边AD的长.

(1)证明：；四边形ABCD是平行四边形

二AD〃BC

:.AF/7CE

又•:AF=CE

四边形AFEC是平行四边形

/.AC〃EF

(2)解：AD〃BC,二ZF=ZBEG,ZFAG=ZB

:点G是AB的中点，,AG=BG

AAGF^ABGE(AAS)

AF=BE=6

*.CE=AF=6

*.BC=BE+CE=12

••四边形ABCD是平行四边形

:.AD=BC=12

6.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AD=5cm,BC=8cm,M是CD的中点，P是BC边上的一动点(P

与B,C不重合)，连结PM并延长交AD的延长线于Q.

(1)试说明△PCM四△QDM.

(2)当P在B,C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由.

解：⑴VAD//BC,AZCPQ=ZQ,ZQDM=ZC,

：M是CD的中点，ADM=CM,△PCM丝△QDM.

(2)设PC=xcm,则BP=(8—x)cm,AQ=(5+x)cm,

当BP=AQ,即x=1.5cm时，四边形ABPQ是平行四边形.

考点4三角形中位线问题

题型典例9：如图，己知M、N、P、。分别为线段AB、BD、CD.AC的中点，四边形MNPQ是平行

四边形吗？为什么？

思路指引：由于P'N分别是CD、BO的中点，考虑使用中位线定理，得到运用同样的

2

方法可证明。加然后通过一组对边平行且相等，即可证明四边形MNPQ是平行四边形.

解：答：四边形MNPQ是平行四边形

理由：VM.N、P、。分别为线段48、BD、CD、AC的中点，

:.PN、QW分别为△8CD和△48C的中位线

APN^-BC,QM旦LBC.

22

:.PN4QM.；.四边形MNPQ是平行四边形.

方法点睛：当题中出现两个中点的时候，考虑使用中位线定理解决问题.

针对训练4

7.如图，等边AABC中，点D,E分别为AB,AC的中点，则NDEC的度数为()

A.I5O0B.12O0C.60°D.30°

8.如图，在aABC中，E、F分别是AB、BC的中点，M、N是AC的三等分点，EM、FN的延长线相交

于点D.求证：四边形ABCD是平行四边形.

AD

8.连接BM、BN、BD,BD交AC于点O

VEM是AABM的中位线，；.EM〃BN

同理：FN〃BM,.,.四边形BMDN是平行四边形

.,.OB=OD,OM=ON

VAM=CN,,*.OA=OC,，四边形ABCD是平行四边形.

第三部分2021中考某题舞接

一、选择题

1.（2021•泸州）如图，在。A8CC中，AE平分且交8C于点E,ZD=58°,则/AEC的大小是（）

C.119°D.122°

答案：C.

解析：本题考查了平行四边形的性质.由平行四边形的对角相等，邻角互补，可得/84。=122。，NB=ND=

58°,由角平分线的性质和外角性质可求NAEC=NB+/8AE=119。，因此本题选C.

分值：3分

2.（2021•天津）如图，口ABC。的顶点A,B,C的坐标分别是（0,1）,（-2,-2）,（2,-2）,则顶点。

的坐标是（）

(4,-2)C.(4,1)D.(2,I)

解析：本题考查了平行四边形的性质及坐标与图形性质的知识，解题的关键是求得线段BC的长，难度不

大.首先根据8、C两点的坐标确定线段8c的长，然后根据A点的坐标向右平移线段BC的长度即可求得

点D的坐标.

（-2,-2）,（2,-2）,：.BC=2-（-2）=2+2=4,

四边形ABCD是平行四边形，.•.AC=BC=4,

•.•点A的坐标为（0,1）,...点。的坐标为（4,1）.因此本题选C.

分值：3

3.（2021•南充）如图，点。是对角线的交点，E尸过点O分别交A。，BC于点E,F,下列结论成

立的是（)

C.NDOC=NOCDD.NCFE=NDEF

答案：A

解析：本题考查「平行四边形的性质以及三角形全等....四边形A8c。是平行四边形，，

：.AO=CO,BO=DO,AD//BC,

：.ZEAO^ZFCO.

在△AOE和△COf中，

LEAO=/.FCO

AO=CO,

AAOE=Z.COF

.♦.△AOE<△COF（ASA）,

：.OE=OF,AE=CF,ZCFE=ZAEF,

又；NDOC=NBOA,

，选项A正确，选项8、C、。不正确.因此本题选A.

分值：4

4.（2021•衢州）如图,在△ABC中，AB=4,AC=5,BC=6,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，连结DE,

EF,则四边形AOEF的周长为（）

答案：B

解析：本题考查了三角形中位线，根据OE=AF=‘AC，EF=AD=-AB^因此

22

CAnEF^AD+DE+EF+AF^2AD+2AF-AB+AC^4+5=9,因此本题选B.

分值：3

5.（2021•苏州）如图，在平行四边形ABC。中，将△ABC沿着AC所在的直线翻折得到△ABC£C交4。

于点E,连接BD,若/B=60。，ZACB=45°,AC=遍,则夕£）的长是（）

C.V3DT

答案：B

解析：本题考查了图形的折叠，平行四边形的性质，：平行四边形ABCD,ZB=60°,.,.AB/7CD,AD〃

BC,ZACD=120°,VZACB=45°,：.ZBCB'=90°,NBAC=75°,NCA£）=45°,：.ZDCB'=30°,ZAEC

=30。，ZB'AE^30°,VAC=V6,.\CE=AE=V3,：.EB'^ED=\,由勾股定理得DB'=&,因此本题选B.

分值：3

6.（2021•泸州）如图，在。ABC。中，AE平分NBAQ且交BC于点E,ZD=58°,则NAEC的大小是（）

答案：C.

解析：本题考查了平行四边形的性质.由平行四边形的对角相等，邻角互补，可得NBAO=122。，/B=ND=

58°,由角平分线的性质和外角性质可求N4EC=N8+N8AE=119。，因此本题选C.

分值：3分

7.（4分）（2021年湖南省株洲市中考数学试卷；）（2021.株洲）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在

线段BC的延长线上，若N£>CE=132。，则NA=（）

A.38°B.48°C.58°D,66°

答案：B

解析：本题考查了平行四边形的性质，•.•四边形A3CD是平行四边形，；.AD〃BC,AB〃CD,

DCE=132°,ZA+ZB=180°,ZA=48°,因此本题选B.

分值：4

8.（2021•河北）如图1,DABCD41.AD>AB,/ABC为锐角.要在对角线20上找点MM,使四边形

ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（）

AD

作AN,CM分别平分

BN=NO,OM=MDCAfLBQ于“/BAD,ZBCD

图2

（A）甲、乙、丙都是（B）只有甲、乙才是（C）只有甲、丙才是（D）

只有乙、丙才是

答案：A

解析：对于甲的方案，连接AC,因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC经过BD的中点O,且AO=CO.

又因为BO=DO,BN=NO,OM=MD,所以NO=OM,所以四边形ANCM是平行四边形（对角线互相平分

的四边形是平行四边形）；对于乙的方案，易证△ABNgZ\CDM（AAS）,所以AN=CM,所以四边形ANCM

是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）;对于丙的方案，易证△BANg4DCM（ASA）,

所以AN=CM,ZANB=ZCMD,所以/ANM=NCMN,所以AN〃CM,所以四边形ANCM是平行四边形.

综上可知，甲、乙、丙的方案都是正确的.

9.（2021•恩施）如图，在。488中，AB=13,AD=5,ACA.BC,则。ABC。的面积为（）

65

A.30B.60C.65D.

T

答案：B

解析：本题考查了平行四边形性质，勾股定理以及平行四边形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关

键.根据平行四边形的性质以及勾股定理求出四边形A8CQ的底边BC和其对角线AC的值，然后根据平行

四边形的面积计算公式求解.

解：♦.•四边形A8co为平行四边形，，8C=AO=5.

'：AC±BC,.•.△ACB是直角三角形.；.AC=J^贰/N=而二^=12.

♦••S，ABC0=BGAC=5X12=6O.故选：B.

分值：3分

10.（2021.安顺）如图，在口ABCQ中，NABC的平分线交AO于点E,NBC。的平分线交于点F,若AB

=3,AD=4,则EF的长是（）

答案：B

解析：本题考查了角平分线的定义和平行四边形的性质,

平分NABC,：.ZABE=NCBE,".'AD//BC,:.NCBE=NAEB,：.ZABE^ZAEB,：.AB=AE,

同理得，DC=DF,；AB=3,.,.DC=3,：.AE=DF=3,：AO=4,：.EF^AE+DF~AD=2,因此本题选B.

分值：3

II.（2021•贵阳）如图，在2BC。中，NABC的平分线交A力于点E,NBCD的平分线交A。于点尸，若

AB=3,AD=4,则EF的长是（）

A.1B.2C.2.5D.3

第11题

答案：B

解析：本题考查了平行四边形的性质、等角对等边.•四边形ABCD是平行四边形，...CD=AB=3,AD

〃BC,AZCBE=ZAEB.；BE平分NABC,/.ZABE=ZCBE,ZABE=ZAEB,，AE=AB=3.同

理FD=CD=3.；.AE+DF=3+3=6,即AF+EF+DF=6,也即AD+EF=6,AEF=6-AD=6-4=2,

因此本题选B.

分值：3分

12.（2021•宜宾）下列说法正确的是（）

A.平行四边形是轴对称图形

B.平行四边形的邻边相等

C.平行四边形的对角线互相垂直

D.平行四边形的对角线互相平分

答案：D

解析：本题考查了命题真假的判定，平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，A错误；平行四边形

的对边相等，邻边不一定相等，B错误；平行四边形的对角线相互平分，不一定垂直，C错误，D正确，故

选D。

分值：4

13.（2021•南充）如图，点0是对角线的交点，EF过点。分别交40,BC于点E,F,下列结论成

立的是（）

C.NDOC=40CDD.NCFE=NDEF

答案：A

解析：本题考查了平行四边形的性质以及三角形全等•四边形48CQ是平行四边形.，

：.AO=CO,BO=DO,AD//BC,

：.ZEAO=NFCO.

在△AOE和△CO尸中，

^EAO=4FCO

AO=C0,

Z.AOE=/.COF

：./\AOE^/\COF（ASA）,

：.OE=OF,AE^CF,ZCFE^ZAEF,

又

二选项A正确，选项8、C、。不正确.因此本题选A.

分值：4

二、填空题

14.（2021•南京）如图，在平面直角坐标系中，△AO8的边40,AB的中点C,。的横坐标分别是1,4,

则点B的横坐标是.

答案：

解析：本题主要考查了中位线定义和性质应用，解题的关键是由点C、力的横坐标求出线段8的长度.结

合中位线的定义和性质，得出。8的长度，从而得到B点的横坐标.,边A。，A8的中点为点C、D,：.CD

是△OA8的中位线，CD〃OB,；点C,3的横坐标分别是1,4,，8=3,.•.O8=2CO=6,.•.点B的横

坐标为6.

分值：2分

15.（2021•重庆）如图，八钻。中，点。为边8C的中点，连接AO,将△4OC沿直线40翻折至△ABC所

在平面内，得△AQC,连接CC,分别与边AB交于点E,与AQ交于点0.若AE=BE,BC=2,则A。

的长为.

解析：本题考查翻折变换、三角形的中位线、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是求出。。和A0

的长，利用数形结合的思想解答.根据翻折的性质和三角形的中位线可以得到0。的长，然后根据全等三

角形的判定和性质可以得到AO的长，从而可以求得的长.

解：由题意可得，

^DCA^ADC'A,0C=0C',/C03="。。=90。，

...点。为CC的中点，

•点〃为8c的中点，

/.0D是△BCC的中位线，

：.0D=^BC,0D//BC,

ZCOD=ZECB=90°,

•；AE=BE,BC'=2,

：.0D=I,

在△ECT?和△EOA中，

NEC'B=/.EOA

乙CEB=N0E4

.BE=AE

.♦.△ECB注AEOA(A4S),

：.BC'=AO,

：.AO=2,

：.AD=A0+0D=2+]=3.

故答案为：3.

分值：4

16.(2021•荷泽)如图，在RtZ\A8C中，ZC=30°,D、E分别为AC、BC的中点，DE=2,过点8作8尸

//AC,交。E的延长线于点F,则四边形ABFD的面积为.

F

答案：V3

解析：本题考查了三角形中位线定理，含30。直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的面积公式，根据

三角形中位线定理证得。尸〃AB,进而证得四边形A8F。是平行四边形是解决问题的关键.由三角形的中位

线定理证得AB=2DE-=4,进而证得四边形ABFZ）是平行四边形，在RtzMBC中，根据勾股定理

求出BC=4®得到BE=2®根据平行四边形的面积公式即可求出四边形ABFD的面积.

解：E分别为AC、BC的中点，

是△A8C的中位线，

：.DE//AB,DE=：AB,

：.AB=2DE,DF//AB,

又•；8尸〃AC,

：.BF//AD,

：.四边形ABFD是平行四边形，

,：AB1.BE,

•*•5平行四边形=AB・BE,

VDE=2,

/.AB=2x2=4,

在中，

VZC=30°,

••AC—2AB=2x4=8，

：.BC=7AC?-AB2=V82-42=4V3,

：.BE=扣C=2后

SiMfrawABFO-4X2-\/3=8

故答案为8V3.

分值：3

17.（2021.青海）如图，在AABC中，D,E,尸分别是边AB,BC,C4的中点，若△£>£：产的周长为10,则

△ABC的周长为.

答案：20

解析：本题考查了三角形中位线的性质，熟练掌握三角形的中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边

且等于第三边的一半是解决问题的关键点D,E,F分别是AABC的AB,BC,CA边的中点，

DE、力厂为△A8C的中位线，：.EF=^AB,DF=^BC,DE=^AC,：.AB=2EF,BC=2DF,AC=2DE,'：

△OEF的周长为10,.♦.EF+OE+O尸=10,：.2EF+2DE+2DF^20,

：.AB+BC+AC^20,.♦.△ABC的周长为20.因此本题答案为20.

分值：2