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文档简介
2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)
数学(文科)
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号
填写在答题卡上,并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及
科目,在规定的位置贴好条形码。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,
将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选
项中,只有一项是符合题目要求的。
A.{0,1,2)B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}
2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10
位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在
讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:
100%
95%
90%
»65%
W8Wi*讲座前
75%
•那座C
78.
65%
56
居民俄号
则()
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
3.若z=l+i.贝”iz+3z-|=()
A.4-J5B.4-万C.2-J5D.2-J1
4.如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格小正方形的边长为1,则该多面体
的体积为()
m
A.8B.12C.16D.20
5.将函数/(x)=sin'd>.x+—\®>0)的图像向左平移-个单位长度后得到曲线C,若
I3J2
C关于y轴对称,则出的最小值是()
6,从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片
上的数字之积是4的倍数的概率为()
7.函数/(x)=(3'-3-')cosx在区间[-色,色]的图像大致为()
、,|_22J
8.当x=l时,函数人劝二^足工+^取得最大值-2,则7(2)=()
A.-1B.--C.-D.1
12
9.在长方体ABCD-中,已知瓦。与平面ABCD和平面羽田田所成的角均为
30。,贝ij()
A.AB=2ADB.A8与平面所成的角为3。。
C.AC=CB}D.3Vo与平面3耳G。所成的角为45。
10.甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2兀,侧面积分别为S甲和
乙体积分别为%和乙.若。甲贝”[甲=(
S,V=2,)
5阮
A.-J5B.2-J1C.-xAoD.
4
11已知椭圆方W)的离心率为:,A4分别为。的左、右顶点,
B为C的上顶点.若对BA2=-1,贝UC的方程为()
A.—+2^=1B7bC+-1D
18169832
,21
+y=1
2
12.已知9"=10,a=10"'-11,6=8"'-9,则()
A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量(加,3),Z>=(1,加+1).若a1■b,贝!I"2=.
14.设点M在直线2x+y_l=0上,点(3,0)和(0,1)均在叔M上,贝母M的方程为
15.记双曲线C:今一一=l(a>0,6>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C
无公共点''的e的一个值______________.
16.已知△A5C中,点。在边BC上,ZADB=1200,A£>=2,CD=2BD.当,■取
得最小值时,BD=.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21
题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求
作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
甲、乙两城之间的长途客车均由A和8两家公司运营,为了解这两家公司长途客车的运行
情况,随机调查了甲、乙两城之间的500个班次,得到下面列联表:
准点班次数未准点班次数
A24020
B21030
(1)根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?
2
9n(ad-be)
附:K=-------------—-------------------,
(a+b)(c4-d)(a+c)(b+d)
0.1000.0500.010
k|2.7063.8416.635
18.(12分)
记S〃为数列{%}的前〃项和.已知几=2a〃+l.
(1)证明:{4}是等差数列;
⑵若见,%,。9成等比数列,求S”的最小值.
19.(12分)
小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒,包装盒如图所示:底面A8CD是
边长为8(单位:cm)的正方形,△&AA4FBC,GCD,均为正三角形,且它
们所在的平面都与平面A8CD垂直.
(1)证明:ER〃平面ABCD;
(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).
20.(12分)
己知函数/(X)=V-x,g(x)=%2,曲线y在点(X[,/Gi))处的切线也是曲线
y=g(x)的切线.
(1)右*Xj=-1,Q:
(2)求。的取值范围.
21.(12分)
设抛物线C:/=2px(p>0)的焦点为F,点、D(p,0),过厂的直线交。于N两
点.当直线MD垂直于x轴时,心司=3.
(1)求C的方程:
(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,A3的倾斜角分别为
a.fi.当a-£取得最大值时,求直线的方程.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,
则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
f1A1
X-
在直角坐标系xOy中,曲线G的参数方程为<6(/为参数),曲线。2的参数方程
[y=6
|2+s
为,6(s为参数).
[y=-S/J
(i)写出G的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线G的极坐标方程为
2cos®-sin。=0,求C3与孰交点的直角坐标,及C3与交点的直角坐标.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知a,6,c均为正数,且a?+/+4<?=3,证明:
(1)a+b+2c„3
⑵若b=2c,则1+1...3.
ac
2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)
数学(文科)
参考答案
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号
填写在答题卡上,并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及
科目,在规定的位置贴好条形码.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将
答案写在答题卡上、写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
中,只有一项是符合题目要求的.
1.A2,B3.D4.B5.C6.C7.A8.B9.D10.C11.B12.A
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
_心
13.4##—0.75
14.。-1)2+。+1)2=5
15.2(满足l<e4石皆可)
16.万
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题
为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作
答.
(一)必考题:共60分.
121
17.(1)A,B两家公司长途客车准点的概率分别为13,8
(2)有
18.(1)证明见解析;
(2)-78.
19.(1)
如图所示:
分别取A昆的中点连接力亚,因为A"昆人咫。为全等的正三角形,所以
£71^I2^5,F^NIBC,E]\^=FN,又平面平面A3CD,平面EABc平面
ABCD=AB,EML平面E4B,所以EM1■平面A3CD,同理可得月\比平面
ABCD,根据线面垂直的性质定理可知EM//产N,而EM=FN,所以四边形
EMNF为平行四边形,所以EF//MN,又EFS平面ABCD,MNu平面ABCD,
所以Ef7/平面ABCD.
⑵3
20.(1)3⑵卜L+B)
21.(1)y=4x;
⑵AB:x=Jly+4
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则
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