2022 年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

数学（文科）

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号

填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及

科目，在规定的位置贴好条形码。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，

将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的。

A.{0,1,2）B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10

位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在

讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

100%

95%

90%

»65%

W8Wi*讲座前

75%

•那座C

78.

65%

56

居民俄号

则（）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

3.若z=l+i.贝”iz+3z-|=（）

A.4-J5B.4-万C.2-J5D.2-J1

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体

的体积为（）

m

A.8B.12C.16D.20

5.将函数/(x)=sin'd>.x+—\®>0)的图像向左平移-个单位长度后得到曲线C,若

I3J2

C关于y轴对称，则出的最小值是()

6,从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片

上的数字之积是4的倍数的概率为()

7.函数/(x)=(3'-3-')cosx在区间［-色，色］的图像大致为()

、，|_22J

8.当x=l时，函数人劝二^足工+^取得最大值-2,则7(2)=()

A.-1B.--C.-D.1

12

9.在长方体ABCD-中，已知瓦。与平面ABCD和平面羽田田所成的角均为

30。，贝ij()

A.AB=2ADB.A8与平面所成的角为3。。

C.AC=CB}D.3Vo与平面3耳G。所成的角为45。

10.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和

乙体积分别为%和乙.若。甲贝”［甲=(

S,V=2,)

5阮

A.-J5B.2-J1C.-xAoD.

4

11已知椭圆方W）的离心率为:，A4分别为。的左、右顶点，

B为C的上顶点.若对BA2=-1,贝UC的方程为（）

A.—+2^=1B7bC+-1D

18169832

，21

+y=1

2

12.已知9"=10,a=10"'-11,6=8"'-9,则（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量（加,3）,Z>=（1,加+1）.若a1■b,贝！I"2=.

14.设点M在直线2x+y_l=0上，点（3,0）和（0,1）均在叔M上，贝母M的方程为

15.记双曲线C:今一一=l（a>0,6>0）的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C

无公共点''的e的一个值______________.

16.已知△A5C中，点。在边BC上，ZADB=1200,A£>=2,CD=2BD.当，■取

得最小值时，BD=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21

题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求

作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

甲、乙两城之间的长途客车均由A和8两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行

情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

准点班次数未准点班次数

A24020

B21030

（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?

2

9n(ad-be)

附：K=-------------—-------------------,

(a+b)(c4-d)(a+c)(b+d)

0.1000.0500.010

k|2.7063.8416.635

18.（12分）

记S〃为数列｛%｝的前〃项和.已知几=2a〃+l.

（1）证明：｛4｝是等差数列；

⑵若见，%，。9成等比数列，求S”的最小值.

19.（12分）

小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面A8CD是

边长为8（单位：cm）的正方形，△&AA4FBC,GCD,均为正三角形，且它

们所在的平面都与平面A8CD垂直.

（1）证明：ER〃平面ABCD；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

20.（12分）

己知函数/（X）=V-x,g（x）=%2，曲线y在点（X[,/Gi））处的切线也是曲线

y=g（x）的切线.

（1）右*Xj=-1,Q:

（2）求。的取值范围.

21.（12分）

设抛物线C:/=2px（p>0）的焦点为F,点、D（p,0）,过厂的直线交。于N两

点.当直线MD垂直于x轴时，心司=3.

（1）求C的方程：

（2）设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,A3的倾斜角分别为

a.fi.当a-£取得最大值时，求直线的方程.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，

则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

f1A1

X-

在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为<6（/为参数），曲线。2的参数方程

[y=6

|2+s

为，6(s为参数).

［y=-S/J

(i)写出G的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为

2cos®-sin。=0,求C3与孰交点的直角坐标，及C3与交点的直角坐标.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

已知a,6,c均为正数，且a?+/+4<?=3,证明：

(1)a+b+2c„3

⑵若b=2c,则1+1...3.

ac

2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)

数学(文科)

参考答案

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号

填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及

科目，在规定的位置贴好条形码.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将

答案写在答题卡上、写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.A2,B3.D4.B5.C6.C7.A8.B9.D10.C11.B12.A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

_心

13.4##—0.75

14.。-1)2+。+1)2=5

15.2(满足l<e4石皆可)

16.万

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题

为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作

答.

(一)必考题：共60分.

121

17.(1)A,B两家公司长途客车准点的概率分别为13,8

(2)有

18.(1)证明见解析；

(2)-78.

19.(1)

如图所示:

分别取A昆的中点连接力亚，因为A"昆人咫。为全等的正三角形，所以

£71^I2^5,F^NIBC,E]\^=FN,又平面平面A3CD,平面EABc平面

ABCD=AB,EML平面E4B,所以EM1■平面A3CD,同理可得月\比平面

ABCD,根据线面垂直的性质定理可知EM//产N,而EM=FN,所以四边形

EMNF为平行四边形，所以EF//MN,又EFS平面ABCD,MNu平面ABCD,

所以Ef7/平面ABCD.

⑵3

20.(1)3⑵卜L+B)

21.(1)y=4x；

⑵AB:x=Jly+4

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则