卓越联盟历年自主招生真题及模拟题

华南理工大学2009年保送生、自主招生选拔试题

《理科数学》试题A

一.选择题

1)已知复数Zo=Xo+i，且（为+7）2的幅角主值是T，则满足|z—2zo|=J5的z的幅角主值的取值范围是（)

715乃兀7C3万7万5万9万

A、B、C、D、

12'72121212'H

2)b>0是函数/(x)=+hx+c在[0,+oo)单调的)

A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件

C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件

2

3)已知a,beR,a+2b2=6，则Q+Z7的最小值为（)

5G7

A、-2后B、c、一3D、

丁2

2n-l

4)在++x(l+x+…+x"(l+X）”的展开式中，X:,"的系数为（)

(2〃+1)!(2n+l)!(2n+2)!(2«+2)!

A、B、C、D、

〃!(〃+1)!n!n!n\n\〃!(〃+1)!

5）已知圆。：/+/=/,点p,,b）是圆。内一点。过点P的圆。的最短的弦在直线由上，直线"的方程为

bx-ay=r2,那么()

A、且，2与圆。相交B、/1_L，2,且12与圆。相切

C、且4与圆。相离D、/]±/2,且4与圆。相离

71

6)已知OWxV—,函数/(x)=2j^sinxcosx+cos2x+l的值域为()

2

A、[-3，1]B、[-3，2]

c、口，3]D、卜2,3]

7)在三角形ABC中，向量力=丽+/,b=3AB+8AC+BC,c=4CB+5A,则下列结论一定成立的是

)

A、向量a+c一定与向量b平行B、向量b+c一定与向量。平行

相约鹭园，相约南昌

C、向量Q+B一定与向量C平行D、向量。一行一定与向量C平行

x?y?2b+c

8）已知c是椭圆——H—=1（〃〉/?〉0）的半焦距，则------的取值范围是（）

ab2a

A、[，+s]C.（I,V2]D、（g,争

二.填空题

9）已知A,5,C,。是某球面上不共面的四点，且45=方。=4。=行，5D=AC=2,5C_LAO,则此球的

表面积等于O

22

10）已知双曲线二一=1（a>0,6〉0）右焦点为b，右准线/与两条渐近线分别交于「，。两点。若APQF是直角

ab

三角形，则双曲线的离心率e=

11）已知函数/（x）是定义在（0,+00）上的增函数，且满足7（3）=1,/（xy）=/（x）+f（y）,x>0,y>0,则不

等式/（%）+/（x—3）43的解集为。

%>1

12）已知<x-yV0,则x+2y的最大值为。

x2+y2-2x-6y+6<0

13）甲、乙两人下围棋，下三盘棋，甲平均能赢二盘，某日，甲、乙进行五打三胜制比赛，那么甲胜出的概率为o

三.设三角形ABC三个顶点的坐标分别为4（2,1）,5（—1,2）,C（3,-1）D,E分别为A5,方。上的点，M是

…BEADDM

DE_L一■点，且-~DE

BCAB

1）求点〃的横坐标的取值范围;

2）求点〃的轨迹方程。

四.已知函数/（X）是定义在[—4,+8）的单调增函数，要使得对于一切

的实数x不等式/（cosx-Z?2）>/（sin2x-b-3）恒成立，求实数b的取值范围。

五.如图，在正三棱锥P—ABC中，侧棱长为3,底面边长为2,£为5。的中点，EFCA于F0

1）求证：E尸为异面直线P4与的公垂线；

3）求点5到面APC的距离。

六.已知a2+«-l=0,Z?2+/?-l=0,a<b,设〃1=1,。2=匕，

AE

B

2)求异面直线PA与BC的距离;

«„i=°(〃N2)，

+bn=an+l-a-an

1)证明数列也｝是等比数列；

2)求数列｛。“｝的通项；

3)设q=C2=l，C"+2=C”+1+C“，证明：当〃23时有(一1)"(。"_2=+与')=匕""。

2011卓越联盟自主招生数学

(1)向量a,6均为非零向量,(a-2b)_La,(Zr2a).Lb,贝ija,。的夹角为

71712n5%

储)一㈤一3—(P)—

6336

则tan(a+〃+/)2也等于

(2)已知sin2(研协=nsin20,

tan(a一夕+7)

n—1nnn+1

储)——㈤----(6)——(。)-----

〃+1〃+1n—1n—1

⑶在正方体人政力-48Gzz中，E为棱A4的中点，尸是棱48上的点，且4月：FR=1：3,则异面直线炉与8G所成角的正弦值为

V15V15V5V5

⑼——(B)——(。——(ZZ)——

3535

z2—2z+2

(4)/为虚数单位，设复数z满足|z|=1,则------------的最大值为

z—1+i

(⑷5/2-1(fi)2-A/2(0"\/2+1(/?)2+5/2

⑸已知抛物线的顶点在原点，焦点在X轴上，△/8C三个顶点都在抛物线上，且△48C的重心为抛物线的焦点，若8C边所在直线

的方程为4户尸20二0,则抛物线方程为

3)/二16入⑶/=8x(0y2=-16x(P)y=-8x

(6)在三棱锥48A48G中，底面边长与侧棱长均等于2,且£为CG的中点，则点G到平面48£的距离为

(4)V3(B)6(0—(P)—

22

IxI

⑺若关于X的方程-----Ml有四个不同的实数解，则内的取值范围为()

x+4

相约鹭园，相约南昌

”)(0,1)㈤(一，1)(。(-，+8)(Z?)(1,+8)

44

(8)如图，△48C内接于。0,过8c中点。作平行于4C的直线/,/交48于E,交。。于G、F,交。

。在4点的切线于户，若唱3,ED=2,£片3,则〃的长为

(⑷V5(B)

(0V7(〃)2血

(9)数列｛d｝共有11项，a=0,a,=4,且A=1,2,10.满足这种条件的不同数列的个数为()

(A)100(5)120(0140(0)160

2%

(10)设。是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为一的旋转，漾示坐标平面关于p轴的镜面反射.用C谋示变换的复合，先做c,

7

再做5用4表示连续4次的变换，则6"加^"是()

储)(J(B)标(0(JT(9T(J

(11)设数列｛a〃｝，两足a=a,石2二6,2石商力用+s〃.

⑴设ba证明：若贝IJ｛4｝是等比数列；

(II)若lim(句+/+…+&)=4,求8，6的值.

n—>oo

(12)在△48C中，45=246,4〃是4的角平分线，且人庐胡C.

(I)求"的取值范围；4

(II)若反«F1,问“为何值时，8c最短？

(13)已知椭圆的两个焦点为月(-1,0),八(1,0),且椭圆与直线片广百相切.

(I)求椭圆的方程；

(II)过片作两条互相垂直的直线4,h,与椭圆分别交于P,。及例N,求四边形刃外W面积的最大值与最小值.

(14)一袋中有a个白球和6个黑球.从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一

个白球放到袋中.在重复/?次这样的操作后，记袋中白球的个数为尤.

(I)求均;

(II)设P(冷>")二外，求P(XH=/4),仁0,1,…，b；

1

(m)证明：£CF(1-------)£X+1.

"b

(15)(I)设尸(x)=xlnx,求F(x)；

(H)设。心<6,求常数c,使得-----「Ilnx-Cldx取得最小值；

b-aJa

(III)记(II)中的最小值为他6,证明：偌6<ln2.

2012卓越联盟自主招生数学

一、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.

(1)若以椭圆短轴的两个端点和长轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形，则椭圆的离心率

为.

⑵函数f(e)=-smg-(8e火)的值域为_______________。

2+cos0

(3)设0<6<工，.”(sinks',v=(cos〃)M-e,则x,y的大小关系为___________。

4

(4)已知AABC中，乙4=90。，BC=4|,点4是线段EF的中点，EF=2,若丽与衣的夹角

为60°,则8£存=.

(5)设｛4｝是等差数列，色｝是等比数列，记0｝,｛4｝的前〃项和分别为S“，T..若％=4,

$5一邑

4=b、.且=5>则%+%=

TA-T24+4

(6)设函数/(x)=sin(0v+o),其中0>o,<peR,若在常数7(7<0),使对任意xeR有

/(x+r)=7jf(x).则0可取到的最小值为

二、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(7)(本小题满分10分)

试°,6是从集合｛123.4,5｝中随机选取的数

(I)求直线y=ax+b与圆Y+炉=2有公共点的概率

(II)设X为直线.v=or+6与圆1+丁=2的公共点的个数，求随机变量x的分布列及数学期望

E⑺。

(8)(本小题满分10分)

如图，.42是。。的直径，弦CQ垂直XB于点A/,E是CD延长线上一点，.45=10,CD=8,

3ED=4OM,EF0。的切线，F是切点，3尸与8相交于点G,

(I)求线段EG的长；

(II)连线OF,判断。尸是否平行于.43,并证明你的结论。(注：根据解题需要，须将图形自行

画在大题卡上。)

B

相约鹭园，相约南昌

(9)(本小题满分10分)

如图，在四棱锥P-/1BCD中，底面.铝8是直角梯形，ADIIBC,ABLBC,侧面尸.45，底面

ABCD9PA—AD—AB—\»BC=2o

(I)证明平面平面PDC；

(II)若445=120。，求二面角B-PD-C的正切值.(注：根据解题需要，须将图形自行画在

答题卡上)

(10)(本小题满分10分)

设抛物线丁=2/3>0)的焦点是广，.4,B是抛物线上互异的两点，直线.48与x轴不垂直，线

段48的垂直平分线交x轴于点£>(。.0),记，"=(/H+IEFI«

(I)证明。是p与，〃的等差中项

(II)设〃=3p,直线/平行y轴，且/被以4。为直径的动圆截得的弦长恒为定值，求直线/方程。

(11)(本小题满分15分)

己知函数里，其中。是非零实数，Z>>0o

bx

(I)求/(x)的单调区间

(H)若67>0,设|Xj|>-9i=1,2,3,且+x2>0,+x3>0>出+演>0。证明:

/«)+"*)+/(曰)>平；

(HI)若〃x)有极小值a,,且&=/。)=2,证明论2"-2(•八)。

(12)(本小题满分15分)

设数列｛a.｝的前〃项和为S,，<7]*0.、6.+1—〃S”=qr,其中〃，v是正整数，且”>丫，neN.。

(I)证明｛«｝为等比数列；

(II)设q,%两项均为正整数，其中「23。

(i)若pN%,证明v整除〃：

(ii)若存在正整数〃八使得产t,q,4(,〃+1尸，证明与=(",+1)'-〃八

2013大学自主招生模拟试题一

一.选择题

1.把圆孑+⑪-1)2=1与椭圆9%2+8+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为()

(4)线段(3)不等边三角形(C)等边三角形(0四边形

2.等比数列｛“〃｝的首项〃i=1536,公比q二一；,用兀〃表示它的前〃项之积。则纵(〃£N*)最大的是()

(A>9⑻711(。町2(。)乃13

3.存在整数几，使赤G+g是整数的质数p()

(A)不存在伊)只有一个

(C)多于一个，但为有限个(0有无穷多个

4.设工£(—；,0),以下三个数Gi=cos(siiwr),Q2=sin(cosw),a3=cos(x+l)%的大小关系是()

5.如果在区间［1⑵上函数危)=/+/+4与g(x)=x+$在同一点取相同的最小值，那么八x)在该区间上的最大值是()

(A)4+*y■/+赤0)4—9/+赤

(C)1-1A/2+A/4(D)以上答案都不对

6.高为8的圆台内有一个半径为2的球0,球心Q在圆台的轴上，球5与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个

半径为3的球。2,使得球。2与球。卜圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球。2,圆台内最多还能放入半径为3的球的个数

是()

(A)l⑻2(C)3(D)4

二.填空题

1.集合｛M一l《logj_10v—3，％£N*｝的真子集的个数是.

x

2.复平面上，非零复数a,Z2在以i为圆心，1为半径的圆上，ZiQ的实部为零，zi的辐角主值为率则Z2=.

3.曲线C的极坐标方程是/>=l+cos。，点A的极坐标是(2,0),曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是

4.已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2,

则最远的两顶点间的距离是.

5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不

同的颜色。则不同的染色方法共有种.(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体

相约鹭园，相约南昌

的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同.)

6.在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为

2013大学自主招生模拟试题二

一.选择题

I.设等差数列{%}满足3a8=5。13且为>0,S“为其前项之和，则S“中最大的是()

(A)S10(B)Sn(C)S20(D)S21

2.设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z”Z2,Z20,则复数Z?95,z*95,…，Z费5所对应的不

同的点的个数是()

(4)4(8)5(C)10(0)20

3.如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒

小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有()

(A)l个(8)2个(C)50个(D)100个

4.已知方程k—2"1=八「("€N*)在区间(2”-1,2"+1]上有两个不相等的实根，则上的取值范围是()

(A)%>0(B)O<kW/1

\2n+l

(C舄(D)以上都不是

，几十1yj2n+l

5.logsinicosl,logsinitanl,logcoslsinl,logcositanl的大小关系是

(A)logsinlcosl<logcosisinl<logsinitanl<logcositanl

⑻logcoslsinl<logcositanllogsinicosl<logsin]tanl

(C)logsinltanl<logcositanl<logcosisinl<logsinicosl

(0logcosltanl<logsinltanl<logsinicosl<logcosisinl

6.设。是正三棱锥P—A3C底面三角形ABC的中心，过。的动平面与PC交于S,与以，尸3的延长线分别交于。，R,则

和式自喘+表

(A)有最大值而无最小值(B有最小值而无最大值

(C)既有最大值又有最小值，两者不等(0是一个与面QPS无关的常数

二.填空题

1.设夕为一对共辄复数，若kz—加=2小，且病为实数，则㈤二.

2.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为.

3.用㈤表示不大于实数％的最大整数，方程lg2]—[Igx]—2=0的实根个数是.

X

4.直角坐标平面上，满足不等式组j的整点个数是.

、x+yW100

5.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的

总数是.

6.设"={1,2,3,…，1995},A是M的子集且满足条件：当时，15%eA,则A中元素的个数最多是.

三.解答题

1.给定曲线族2(2sin0-cos0+3>2-(8sin0+cos0+l),y=O,0为参数，求该曲线在直线y=2x上所截得

的弦长的最大值.

2.求一切实数p,使得三次方程5x3-5(p+l]+(71p—l)x+l=66p的三个根均为正整数.

3.如图，菱形ABCD的内切圆。与各边分别切于E,F,G,H,在弧EF与GH上分别作圆。的

切线交48于Af,交BC于N,交CD于P,交。A于Q,求证：MQ//NP.

4.将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色。证明：存在这样两个相似的三角形，它们的相似

比为1995,并且每一个三角形的三个顶点同色.

2013大学自主招生模拟试题三

一.选择题

1.对于每个自然数n,抛物线｝=(/+〃)既加1)/1与x轴交于A,a两点,以表示该两点的距离，则

|48|+|48|+…+|49928992|的值是()

/J99119921991,、1993

(㈤丽⑸函(©丽3)磁

2.已知如图的曲线是以原点为圆心,1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是()

2

3)(A^/1-y)(y^/1-x)R(B)(XTJI—7)(尸<1_》)=0

3(TP?)(尸产7)4(E一炉)(y^/1-x)R

4

3.设四面体四个面的面积分别为S,S,它们的最大值为S记4二(2S)/S则力一定满足()

闫

(⑷2<UW4(5)3<A<4(02.5<几<4.5(03.5<4<5.5

C

4.在中，角4B,C的对边分别记为a,b,c(仿⑴，且牙s”都是方程।。8og。(4x—4)的根,

则△/8C()

")是等腰三角形，但不是直角三角形㈤是直角三角形,但不是等腰三角形

(0是等腰直角三角形(〃)不是等腰三角形，也不是直角三角形

22

5.设复数乙，Z2在复平面上对应的点分别为4B,且4ZI-2ZIZ2+Z2^0,0为坐标原点，则△048的面积为()

储)队向㈤外月(6)673(仍12小

6.设Hx)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系H10+X)=A10-x),H20-x)=H20+x),则尸(x)是

")偶函数，又是周期函数⑶偶函数，但不是周期函数

(。奇函数，又是周期函数M)奇函数，但不是周期函数

填空题

设X'"'Z是实数，3x,4y,5z成等比数列，且5/%等差数列，则为的值是.

1.

2.在区间[0,扪中，三角方程COS7QCOS5X的解的个数是.

3.从正方体的棱和各个面上的对角线中选出“条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则"的最大值是

4.设N1,Z2都是复数，且|z|2,|Z2|^5|ZI+Z2|-7,则arg(一)3的值是____

Z\

5.设数列Q\f32f…，an,…)两足3\—^2—1/53—2,且对任何自然数"，都有品服1a"2。1,又3n3r^13n^23n^3+3n¥2^3^3,则a+&2+…+句00

的值是—.

相约鹭园，相约南昌

6.函数人(x)=3f—6/13—ylx-x+]的最大值是.

三.求证：16<A

四.)设/,勿是两条异面直线，在/上有4B,C三点，且AB=BC,过4B,C分别作勿的垂线47,BE,CF,垂足依次是0,E,

F,已知/4。个/1号，求/与力的距离.

X用—X—n-1.

五.设〃是自然数，fn(.x)=-----—(A^O,±1),令y刁七.

X—XX

1.求证：(x)=yfn(x)-fn-\(x)，(/7>1)

2.用数学归纳法证明：

/H

/—&二/-…1)⑥二2，+…+(一[)2,(/=],2,•••,〃为偶数)

£(x)qn--\〃一1

2

y—0„-]/~+---+(—1)^-,+­••+(-1)261^1y,(/-1,2,­••,"为奇数)

<~2~

模拟题答案

模拟一

1.解：9—9。-1)2=9-。+1猿，n8y2-20y+8=0,ny=2或1相应的，x=0,或x=±/.10

此三点连成一个正三角形.选C.

〃(“一1)

2.解：万〃二1536〃X(一；)2,故町1<0,九9,乃12，町3>°・作商比较：

又，叫=15363x(护-36”.=1536x(犷-%1.故选C.

乃9Z町2，

3.解：如果p为奇质数，p=2左+1,贝IJ存在〃二产(左£'+),使Tp+几+5=21+1.故选D.

4.解:«!=cos(sinlxk)>0,a2=sin(coslxl7r)>0,%=cos(l—Ixl)ov0,排除8、D.

*.*sinlxk+coslxl7r=*\/2sin(h;k+^)<^,于是COSIXITTJ-sinlxbr,

/.sin(coslxk)<cos(sinlxk),故。2<囚，选A.

「5E172.A/23八上十〃A/2TV,,

乂解：取工二—W，贝Uii=cos亍，a2=sin2»为=8牙乃<0.由十故。1>电.

5.：g(x)=三当且仅当;即x=/n寸g(x)取得最小值.

；.一§=%,41口np=-2%,q=1^/5+赤.

由于强T<2—%.故在［1.2］上©的最大值为«2)=4一|访即.故选8.

6.解：与下底距离=3,与距离=2+3=5,与轴距离=4,问题转化为在以4为半径的圆周上，能放几个距离为6的点？

右图中，由sinNaHC=3/4>0.707,即/。2目。3>90°,即此圆上还可再放下/

2二个满足要求的点.故选B.'

1.解由已知，得如g*10WlnlWlgx<2nl0Wx<100.故该集合有90个元

素.其真子集有29。-1个.

、7T,\/31—7C7T

2.解：z/两足lz—H=l;argzi=^得2产手+手，Zi=cos(—^)+zsin(—^).

jrjrjrjr__/.TT.

设Z2的辐角为仇0<。<兀），则Z2=2sin仇cosO+isin。）.zrZ2=2sing［cos（e—w）+isin（e—d）］,若其实部为0,贝U。一石=,于是。=了Z2=

V33.

2+2!-

3.解：只要考虑14Pl最长与最短时所在线段扫过的面积即可.

设P（l+cos（9,ff）,

则LAPP=22+（1+COS02-2-2（1+COS0COS6»=一3cos为一2cos。+5

=-3(cos0+1)2+^<-y.且显然lAPF能取遍［0,号内的一切值，故所求面积=竽乃.

4.解：该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为2a,侧棱为b.

取CD中点G,贝l」4G_LCD,EGVCD,故NAGE是二面角A—CD—E的平面角.由BDLAC,

作平面8。尸_1_棱AC交AC于尸，则NBFD为二面角B—AC—D的平面角.

AG=EG=ylb2-a2,BF=DF==^^~a

^2AG2~AE22BF2—BD2

由cosAAGE=cosXBFD,何一2AG2—=—2BF2一

4（廿一寺图4a2属4

-^2_^2-=4〃2（.一.2尸9"=]6a2,=>"=]"，从而b=2,2a=3.

AE=2.即最远的两个顶点距离为3.

5.解：至少3种颜色：

6种颜色全用：上面固定用某色，下面可有5种选择，其余4面有(4—1)!=6种方法，共计30种方法;

用5种颜色：上下用同色：6种方法，选4色：C5(4-l)!=30；6X30+2=90种方法;.

用4种颜色：以&=90种方法.

用3种颜色:Cl=20种方法.

・,・共有230种方法.

6.解：把圆心平移至原点，不影响问题的结果.故问题即求W+y2=1992的整数解数.

显然％、y一奇一■偶，设％=2血，y=2n~l.且IWm,〃W99.

相约鹭园，相约南昌

贝IJ得4m2=1992-(2n-l)2=(198+2n)(200-2w).根2=(99+〃)(100—九)三(〃一1)(一〃)(加0[4)

,“十士.皿(当〃三时)

由于以为正整数，"9三0,1(加。/4)；d)(f)三[代0(,当片02,3l((/窈nod4)时)

二者矛盾，故只有(0,±199),(±199,0)这4解.

/.共有4个.(199,±199),(0,0),(398,0).

模拟二

1.解：3(〃+7d)=5(a+12d),=>d=一函〃，令〃〃=〃一而a(几一1)20,〃〃+尸〃一西a"0,得〃=20.选C.

2.解：设z产cosO+isin仇MZk=ZiSk~l,其中”cos为由in存s20=1.8l5=~i,s10=—Le5=i.

：.zJ995=(cosl995e+isinl9958)/95d)=(cos19956+湎=1995<9)(一尸.

/.共有4个值.选A.

3.解：把身高按从高到矮排为1〜100号，而规定二人比较，身高较高者体重较小，则每个人都是棒小伙子.故选D

4.解：由反一2420,故无20,若％=0,可知在所给区间上只有1解.故人>0.

由图象可得，%=2〃+1时，krJx^l.即％W-)=^=.故选6.

\2n4-l

又解:产(X—与线段尸&(2〃-1<%W2计1)有两个公共点.％2—(4计3)%+4川=。有(2〃一1,2什1]上有两个根.故△=(4叶产)2

一16滔>0.且(2〃-I/—(4〃+2)(2〃-1)+4*>0,(2几+1)2—(4几+3)(2〃+1)+4/，0,

2n-lv2〃+/2V2几+1.=>k<一一.

2〃+1

5.解：4<1<2，故Ovcoslvsinklvtanl.nlogsinltanl<0,logcosltanl<0,

logsinicosl>0,logcoslsinl>0,

ah

设logsinicos1=〃，贝得(sinl)=cosl<sinl,a>l；logcoslsin1=Z?,则(cosl)=sin1>cos1,

0<b<l；即logcoslsinl<logsinlcosl.

设logsinitanl=c,logcositanl=d,则得(sinl)。=(cosl)”=tanl,(指数函数图象进行

比较)，c<d,即logsinitanklogcositanl

故选C.

6.解：。到面以反PBC、PCA的距离相等.设/AP5=a,贝lj

VpQRs%PQPR+PRPS+PSPQ)sina.(其中d为。与各侧面的距离).

VpQRS=90PRPSsinasine.(其中。为PS与面PQR的夹角)

/.d(PQPR+PRPS+PSP2)=PQPRPSsine.

.Illsin。”,-

••时而+市=丁为定值-故选D

1.解：®a=x+yif(xfy£R),贝！Jkx—〃=2lyl.=士方.

2

设arga=6,则可取8+2。=2笈，(因为只要求kzl,故不必写出所有可能的角).8=铲，于是％二土1.Ial=2.

2.解：设球半径为凡其内接圆锥的底半径为「，高为h,作轴截面，则/皿(2R—人).

所求比为8：27.

3.解：令lgx=f,则得/一2=国.作图象，知f=—1,r=2,及lv<2内有一解.

当lv<2时，团=1,u小.故得：x=告，x=100,x=10、0，即共有3个实根.

4.解：如图，即△OAB内部及边界上的整点.由两轴及x+y=100围成区域(包括边界)内的整点数=1+2+3+…+101=5151个.

由x轴、>=5■,x+y=100围成区域(不包括产上上)内的整点数(x=l,2,3时各有1个整点，x=4,5,6时各有2个整点，…，

x=73,74,75时有25个整点,x=76,77,100时依次有25,24,1个整点.共有3X1+3X2+…+3X25+25+24+…+1=4(1+2+…

+25)=1300.由对称性，由y轴、y=3x、x+y=100围成的区域内也有1300个整点.

...所求区域内共有5151—2600=2551个整点.

5.解：顶点染色，有5种方法，

底面4个顶点，用4种颜色染，4=24种方法，用3种颜色，选1对顶点C%这一对顶点用某种颜色染状,余下2个顶点，任

选2色染，A舜中，共有。兄妹、48种方法；用2种颜色染：“=12种方法；

共有5(24+48+12)=420种方法.

6.解：1995=15x133.故取出所有不是15的倍数的数，共1862个，这此数均符合要求.

在所有15的倍数的数中，152的倍数有8个，这此数又可以取出，这样共取出了1870个.即⑷31870.

又伏，15*}(*=9,10,11,133)中的两个元素不能同时取出，故L4IW1995T33+8=1870.

1.解：以尸2%代入曲线方程得％=0,.0777-

2sint/—cosc/4-3

所求弦长|£黑黑黑|故只要求团的最大值即可.

由(2%—8)sin8—(x+l)cos8=l—3%.=>(2x-8)2+(x+l)2^(l-3x)2,即x2+16x-16^0.

247r-

解之得，-8WxW2.即l%IW8(当sin8=±行，cos。中三时即可取得最大值).故得最大弦长为8小.

2.解：x=l是方程的一个根.于是只要考虑二次方程

।r

5x2-5px+66p—1=0

的两个根为正整数即可...尸3X

设此二正整数根为〃、V.则由韦达定理知，425.75)

消去p,得5〃y—66(〃+u)=—1.同乘以5：52UV~5X66u~5X66v=-5.

・•・(5u~66)(5v-66)=662-5=4351=19X229.由于〃、v均为整数，故5〃一66、5y—66为整数.

5〃-66=1,—1,19,—19,

5^—66=4351,-4351,229,-229.

・•・其中使〃、u为正整数的，只有K=17,v=59这一组值.此时p=76.

3.分析要证M0〃NP,因A5〃OC,故可以考虑证明NAM。二NCPN.现/A=NC,故可证△AMQs△。尸乂于是要证明AM：

AQ=CP:CN.

证明设NA3C=2a,/BNM=20,ZBMN=2y.贝ij

相约鹭园，相约南昌

由ON平分NONM,得NONC=NCWM=T(18(r-2£)=90。一夕；

同理，ZOMN=ZOMA=90°-y.

而ZCON=180。一NOCN-NONC=/ha=90。-y,于是ACONsAAMO,

：.AM:AO=CO：CN,即AM-CN=AO2.

同理，AQCP=AO2,：.AMCN=AQCP.

：.AAMQsACPN,：.ZAMQ=ZCPN.

：.MQ//NP.

4.证明：首先证明平面上一定存在三个顶点同色的直角三角形.

任取平面上的一条直线/,则直线/上必有两点同色.设此两点为P、Q,不妨设P、。同着红色.过

P、。作直线/的垂线/］、12,若乙或，2上有异于尸、。的点着红色，则存在红色直角三角形.若小

U上除P、2外均无红色点，则在"上任取异于P的两点R、S,贝UR、S必着蓝色，过R作。的垂线

交b于T，则r必着蓝色.△RST即为三顶点同色的直角三角形.

设直角三角形ABC三顶点同色（N8为直角）.把△ABC补成矩形ABCO（如图）.把矩形的每边都分成

〃等分（〃为正奇数，">1，本题中取〃=1995）.连结对边相应分点，把矩形ABC。分成后个小矩形.

AB边上的分点共有〃+1个，由于〃为奇数，故必存在其中两个相邻的分点同色，（否则任两个相邻分点异色，则可得A、B异色）,

不妨设相邻分点E、尸同色.考察E、尸所在的小矩形的另两个顶点F',若E'、F异色,则△EFE，或△OFF为二个顶点同

色的小直角三角形.若E\尸同色，再考察以此二点为顶点而在其左边的小矩形，….这样依次考察过去，不妨设这片行小矩

形的每条竖边的两个顶点都同色.

同样，BC边上也存在两个相邻的顶点同色，设为P、Q,则考察PQ所在的小

矩形，同理，若P、。所在小矩形的另一横边两个顶点异色，则存在三顶点同

色的小直角三角形.否则，P。所在列的小矩形的每条横边两个顶点都同色.14

现考察EF所在行与尸。所在列相交的矩形GHNM,如上述，M、H都与N同

色，为顶点同色的直角三角形.

由«=1995,故AMNHsAABC,且相似比为1995,且这两个直角三角形的顶

点分别同色.

证明2：首先证明：设a为任意正实数，存在距离为2a的同色两点.任取一点0（设为红色点），以O为圆心，2a为半径作圆,

若圆上有一个红点，则存在距离为2a的两个红点，若圆上没有红点，则任一圆内接六边形

ABCDEF的六个顶点均为蓝色，但此六边形边长为2a.故存在距离为2a的两个蓝色点.

下面证明：存在边长为a,3a,2a的直角三角形，其三个顶点同色.如上证，存在距离为2a

的同色两点A、B（设为红点），以AB为直径作圆，并取圆内接六边形A