2020-2021学年宁波市北仑区九年级（上）期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年宁波市北仑区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1.已知5a=4b（bK0）,则等的值为（）

A.-B.--C.1D.1

4455

2.正三角形旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

3,下列成语描述的事件为随机事件的是（）

A.缘木求鱼B.水落石出C.瓮中捉鳖D.守株待兔

4.一个正多边形的每个外角都是72。，这个正多边形的边数是（）

A.9B.10C.6D.5

5.如图，已知直线y=：%-6与x轴、y轴分别交于4、B两点，P是

以C（0,l）为圆心、半径为1的圆上的一动点，连结P4尸B则△PZB

面积的最大值是（）.

A.21

B.33

「21

D.42

6.如图，4（12,0）,8（0,9）分别是平面直角坐标系％。y坐标轴上的点经过点。且与AB相切的动圆

与％轴、y轴分别相交与点P、Q,则线段PQ长度的最小值是（）

八y

0----------PAX

A.6A/2B.10C.7.2D.6V3

7.抛物线y=/先向右平移5个单位，再向上平移3个单位，则新的抛物线解析式是（）

A.y=(%—5)2+3B.y=(x+5)2—3

C.y=(x—5)2-3D.y=(x+5)2+3

8.如图，点2、B、C在O。上，^AOB=30°,贝叱ACB的度数是()

A.10°

B.15°

C.40°

程a/+必+。一4=o的两根分别是%】=一2,x2=0,其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.已知点4（—1,1）及点B（2,3）,P是%轴上一动点，连接P4PB,贝!JPA+PB的最小值是（）

A.V13B.3V2C.5D.4

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

如图,A4BC中,“是直角=12cm,/.ABC=

60°,将小ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋

转到的延长线上的点。处，则4C边扫过的图形

（阴影部分）的面积是.

12.如图，四边形4BCD内接于O0,/.DAB=130°,连接。C,P是半径0C

上的一个动点，连接PD、PB,贝IUDPB可能为度,（写出一个

值即可）

13.如图是根据某校学生为玉树地震灾区捐款的情况制作的统计图，已知该校学生数为1000人，由

图可知该校学生共捐款元.

各年级学生比率

14.如图是测量河宽的示意图,4E与BC相交于点D,NB=ZC=90°,测得BD=120m,DC=60m,

EC=50m,求得河宽4B=m.

15.如图，在RtAABC中，AB=8,BC=6,BC是斜出C上的中线，CE1DB,

则CE=

16.如图，以平行四边形一边BC为直径的圆恰好与对边4。相切于点4则N&BC=

三、计算题(本大题共1小题，共10.0分)

17.如图，小红想测量离4处306的大树的高度，她站在4处仰望树顶B,仰角为30。(即NBDE=30°),

已知小红身高1.52m.求大树的高度.

B

四、解答题(本大题共7小题，共70.0分)

18.如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有-1,1,2中的一个数，指针位置固定，转动转

盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数(

若指针恰好指在等分线上,当做指向右边的扇形).(1)若小静转动转盘一次，求得到负数的概率；

(2)小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“不谋而合”用列表法(或画树

状图)，求两人“不谋而合”的概率.

小宇小

19.如图，已知在平面直角坐标系中，/(0,-1)、B(—2,0)、C(4,0)

(1)求△ABC的面积；

(2)在y轴上是否存在一个点。，使得△28。是以4B为底的等腰三角形，若存在，求出点。坐标；若不

存，说明理由.

(3)有一个P(-4,a),使得SAPAB=SUBC，请你求出a的值.

20.已知二次函数的图象经过(—2,—5),(0,3),(2,3)三点.

(1)求这个二次函数的表达式；

21.如图，M为线段4B的中点，AE与BD交于点C,ADME=^A=/LB=a,且DM交AC于F,ME交

BC于G.(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对;

(2)连结FG,如果a=45。，工£=40，AF=3-求FG的长.

D

22.在机器调试过程中，生产甲、乙两种产品的效率分别为为、乃（单位：件/时），无、力与工作时

间工（小时）之间大致满足如图所示的函数关系，力的图象为折线04BC,的图象是过。、B、C三

点的抛物线一部分.

（1）根据图象回答：调试过程中，生产乙的效率高于甲的效率的时间穴小时）的取值范围是.;说

明线段4B的实际意义是.

（2）求出调试过程中，当6WxW8（3）时，生产甲种产品的效率为（件/时）与工作时间x（小时）之间的

函数关系式.

（3）调试结束后，一台机器先以图中甲的最大效率生产甲产品zn小时，再以图中乙的最大效率生产乙

产品，两种产品共生产6小时，求甲、乙两种产品的生产总量Z（件）与生产甲所用时间加（小时）之

间的函数关系式.

23.如图，CD是。。的直径，点4是。。外一点，4D与。。相切于点0,

点B是O。上一点（点B不与点C,。重合），连接40,AB,BC.

（1）当BC与4。满足什么位置关系时，2B是。。的切线？请说明理由；

（2）在（1）的条件下，当AEM。=_____度时，四边形40CB是平行四边形.

24.如图，2、B是。。上的两个定点，P是。。上的动点（P不与4、B重合）、我们称乙4PB是。。上

关于点4、B的滑动角.

⑴已知N&PB是。。上关于点4、8的滑动角,

①若4B是。。的直径，则"PB=。；

②若。。的半径是1,AB=V2,求乙4PB的度数；

(2)已知。2是。01外一点，以。2为圆心作一个圆与。。1相交于4B两点，N4PB是。％上关于点4、

B的滑动角，直线24、PB分别交。。2于M、N(点M与点4、点N与点B均不重合)，连接4V,试

探索乙4PB与NAMN、N4NB之间的数量关系.

参考答案及解析

L答案：D

解析：解:1•15a=4b,

.••等式两边都除以56,得普=*

5b5b

口口

即「a=口4

b5

.a-b

••b

_ab

~bb

a

b1

_1

一5’

故选：D.

根据比例的性质和已知条件求出?=再求出答案即可.

本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果£=?，那么ad=be.

2.答案：D

解析：解：•；360°+3=120°,

••.该图形绕中心至少旋转120。后能和原来的图案互相重合.

故选：D.

根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答.

本题考查了旋转角的定义及求法.对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角.

3.答案：D

解析：解：4、缘木求鱼，是不可能事件；

B、水落石出，是必然事件；

C、瓮中捉鳖，是必然事件；

D,守株待兔，是随机事件；

故选：D.

根据事件发生的可能性大小判断，得到答案.

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事

件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，

可能发生也可能不发生的事件.

4.答案:D

解析：

正多边形的外角和是360。，这个正多边形的每个外角相等，因而用360。除以外角的度数，就得到外

角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数.本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记

正多边形的边数与外角的关系是解题的关键.

解：这个正多边形的边数：360。+72。=5.

故选。.

5.答案：B

解析：解：•直线y=与工轴、y轴分别交于4、B两点，

4

・•.4点的坐标为(8,0),B点的坐标为(0,-6),

即。4=8,OB=6,由勾股定理得：AB=V62+82=10,

过C作CMJ.AB于M,连接4C,

-1-1-1

则由三角形面积公式得:；x4BxCM=；x04xOC+；xCMxOB,

10xCM=8x1+6x8,

ACM=y

・••圆C上点到直线y=|x-6的最大距离是1+y=y,

■••AP28面积的最大值是:xlOXy=33,

故选：B.

求出4B的坐标，根据勾股定理求出48,求出点C到28的距离，即可求出圆C上点到48的最大距离,

根据面积公式求出即可.

本题考查了三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线4B的

最大距离，属于中档题目.

6.答案：C

解析：解：如图，设QP的中点为F,圆F与的切点为D,

连接FD、OF、OD,贝UED14B.

•••4(12,0)、8(0,9),

.'.AO=12,BO=9,

・•・AB=15,

・•.AAOB=90°,FO+FD=PQ,

・•.FO+FD>OD,

当点F、。、。共线时，PQ有最小值，止匕时PQ=。。，

cnOAOB12X9rr

・•・OD=----=------=7.2.

AB15

故选：C.

设QP的中点为F,圆尸与AB的切点为D,连接FD,连接OF,OD,则有FD_L4B；由勾股定理的逆定

理知，△48。是直角三角形，FO+FD=PQ,由三角形的三边关系知，F。+FD2。。；只有当点尸、

0、D共线时，F。+FD=PQ有最小值，最小值为。D的长，即当点F在直角三角形4B。的斜边4B的

高。。上时，PQ=。。有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时。D=等^=7.2.

本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解.

7.答案：A

解析：

主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.并用规律求函数解

析式.直接根据平移规律作答即可.

解：将抛物线y=产先向右平移5个单位，再向上平移3个单位所得抛物线解析式为y=(%-5)2+3.

故选：A.

8.答案：B

解析：解：由圆周角定理得，AACB=l^AOB=15°,

故选：B.

根据圆周角定理解答.

本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角的一半是解题的关键.

9.答案：C

解析：解：①函数的对称轴为：%=-1,此时y=:故①符合题意；

②函数的对称轴为：x=-l,则加和|对应，故②符合题意；

@x=2,y=0,根据函数的对称性，x=-4,y=0,而当一4<x<2时，y>0,故③不符合题

忌；

④方程a/+人工+。一4=0的两根，相等于y=a/+力％+。和y=%的加点，故④符合题意，

故选：C.

①函数的对称轴为：x=-l,此时y=2，即可求解；

②函数的对称轴为：%=-1,则机和|对应，即可求解；

③x=2,y=0,根据函数的对称性，x=-4,y=0,而当一4cx<2时，y>0,即可求解；

④方程a/+匕％+c-4=0的两根，相等于y=a/+bx+c和y=x的加点，即可求解.

本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐

标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征.

10.答案：C

解析：

本题考查轴对称-最短问题，两点之间线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是利用轴对称正确

找到点P的位置.作点4关于y轴的对称点A,连接AB与y轴的交点为P,此时P4+PB最小，运用勾

股定理求出4B的长即可.

解：作的2关于%轴的对称点4,连接4B与x轴的交点为P,

此时PA+PB最小，PA+PB最小值=PA'+PB=A'B,

•••点4(-1,1),

-1),

分别过A、B两点作y轴和x轴的垂线，交于点C,贝iJ/ACB=90。,

•・•B(2,3),

•••A'C=2-(-1)=3,BC=3-(-1)=4,

A'B=V32+42=5,

・•・P4+PB的最小值是5.

故选C.

11.答案：367rcm2

解析：试题分析：根据直角三角形两锐角互余求出=30。，再根据直角三角形30。角所对的直

角边等于斜边的一半可得然后求出阴影部分的面积=S扇磔BE一5扇形BCD，列计算即可得

解.

•••"是直角，乙48c=60。，

・•.Z.Bi4C=90°-60°=30°,

BC=—AB=—x12=6cm,

22

•••△ABC以点B为中心顺时针旋转得到^BDE,

S^BDE~S^ABC，^-ABE=Z.CBD=180°—60°=120°,

・•・阴影部分的面积=S扇形ABE+S^BDE—S扇形BCD-S＞ABC

=S扇形ABE_S扇形BCD

22

=120^12_120^6

―360360-

=487T—127r

=36ircm2.

故答案为：36-n:cm2.

12.答案：80。（答案不唯一）

解析：解：连接。B、OD,

••,四边形4BCD内接于。0,乙DAB=130°,

•••乙DCB=180°-130°=50°,

由圆周角定理得，^DOB=2/LDCB=100°,

•••乙DCB<乙BPD<乙DOB,即50°<4BPD<100°,

.­.ABPD可能为80。（答案不唯一），

故答案为：80。（答案不唯一）.

连接。B、OD,根据圆内接四边形的性质求出NDCB的度数，根据圆周角定理求出NDOB的度数，得

到NDCB＜乙BPD＜乙DOB,进而可得答案.

本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

13.答案：12590

解析：

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信

息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总

体的百分比大小.

根据扇形统计图中的数据求出各年级人数，再根据条形统计图中的数据求出各年级捐款数，各年级

相加即可得到该校捐款总数.

解：1000x32%x15=4800元；

1000X33%X13=4290元；

1000x35%x10=3500%；

.•.该校学生共捐款4800+4290+3500=12590元.

故答案为：12590.

14.答案：100

解析：解：•••乙ADB=乙EDC,乙ABC=乙ECD=90°,

ABD^LECD,

ABBD.„BDXEC

••・—=—,AB=-------,

ECCDCD

解得：48=是鲁=100（米）.

oU

故答案为：100.

由两角对应相等可得△BADSCED,利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB.

此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形

的对应边成比例.

15.答案：4.8

解析：

本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形的面积公式，熟练掌握直角三角形斜

边上的中线定理是解决问题的关键.由勾股定理得ac=io,由直角三角形斜边上的中线定理得到

BD=5,S^BCD=^S^ABC=12,由三角形的面积公式即可求得结论.

解：在RtAABC中，

AB=8,BC=6,

•••AC=y/AB2+BC2=10,

•••BD是斜边AC上的中线，

1111

BD=-x10=5,S〉BCD=5s△ARC=5、5*8乂6=12,

故答案为4.8.

16.答案:45

解析：解：连接。4如图，

••・4。为。。的切线，

・•・OALAD,

・・・四边形/BCD为平行四边形,

・•.AD//BC,

••AO1BC,

・•.AAOC=90°,

•••AABC=-^AOC=45°.

2

故答案为45.

连接04如图，利用切线的性质得到。aLAD,再利用平行四边形的性质和平行线的性质得到a。，

BC,则NAOC=90。，然后根据圆周角定理得到N4BC的度数.

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，连过切点的半径，构

造定理图，得出垂直关系.也考查了平行四边形的性质和圆周角定理.

17.答案：解：根据题意可知：四边形4DEC为矩形，

ED=CA=30m,EC=AD=1.52m,

在直角△BOE中，^BDE=30°,

根据锐角三角函数定义得：tanZ_BDE=tan30°=—

DE3

BE=DET=10V3m,

•••BC=BE+EC=(10V3+1.52)m«18.84m.

答:大树的高度约为18.84M.

解析：在直角△中，根据DE和NBDE的三角函数值可以求得BE的长度，根据BE和EC的值计算

的长度，即可解题.

本题考查了特殊角的三角函数值，考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中求BE的长度是解

题的关键.

18.答案：解：(1)P(得到负数)=1.

3

(2)用下表列举所有的可能结果

y於

小行、-112

一1(-1,-1)(-1,1)-1.2)

1(1.-1)(1,1)(K2)

2(2,-1)(2.1)(2.2)

从上表可知，一共有九种可能,

其中两人得到的数相同的有三种，

因此P(两人“不谋而合”)=；.

解析：本题考查概率问题，难度较小.

19.答案：解：(1)•••4(0,-1)、B(—2,0)、C(4,0),

AO=1,BC=6,

•••△248c的面积=|x6x1=3；

(2)存在一个点D,使得△ABO是以48为底的等腰三角形.

如图所示，

设。(0,zu),贝!1+0D=m,

BD=AD=1+m,乙BOD=90°,

中，0D2+0B2=BD?,

..・m2+22=(m+1)2,

解得TH=I，

(3)在x轴负半轴上取点。(-4,0),过。作x轴的垂线2,则点P在该垂线/上,

过C作CP〃28,交1于点P,则SAPAB=SUBC，

B(-2,0),

二直线的解析式为y=-|x-1,

设直线CP解析式为y=-|x+b,

把C(4,0)代入，可得

0=-2+b,

解得b=2,

.••直线CP解析式为y=-|x+2,

F(0,2),

当x=-4时，y=2+2=4,

・•・P(—4,4)；

当点P'在久轴下方时，设过P'且平行于4B的直线交y轴于E,贝U4E=AF=3,

OE=4,即E(0,—4),

.,•直线P'E解析式为y=-|x-4,

当工=-4时，y=2—4=—2,

P'(—4,-2),

•••a的值为4或一2.

解析：本题主要考查了等腰三角形的性质以及坐标与图形性质，解决问题的关键是根据勾股定理列

出方程进行求解.解题时注意分类思想的运用.

(1)根据4。=1,BC=6,求得△ABC的面积；

(2)设D(0,zn),则4D=1+m,OD=m,根据BD=AD=l+m,乙BOD=90°,可得RtABOD中，

OD2+OB2=BD2,即m2+22=(m+1)2,进而得出点。坐标；

(3)分两种情况进行讨论，点P在第二象限或第三象限内，根据S“4B=SMBC，求出a的值.

20.答案：—1012303430

解析：解：(1)设抛物线的解析式为y=a/+bx+c,

’4a—2b+c=—5

(-2,-5),(0,3),(2,3)分别代入得c=3，

4a+2b+c=3

ct=-1

解得：,b=2.

c=3

y=—x2+2x+3.

(2)列表：

X-i0123

y03430

描点，

连线，如图.

(1)设抛物线的解析式为y=a1+b久+c,把(-2,-5),(0,3),(2,3)三点分别代入求出a,b,c即可.

(2)利用描点法画二次函数图象.

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特

征，熟练掌握待定系数法是解题的关键.

21.答案：(1)证明：BGM,ADMG-ADBM,

△EMF-AE4M等.(写出两对即可)

以下证明△AMFSABGM.

由题知乙4=NB=4DME-a,

而N4FM=4DME+乙E,

又NBMG=NA+NE,；.4AFM=4BMG.

•••△TIMF-ABCM.

(2)解：当a=45。时，可得AC1BCS.AC=BC,

■：M为AB中点，AM=BM=272-

由^AMF-ABGM^AF-BG=AM-BM,

Q

：.BG=~.

3

又AC=BC=4五cos45。=4,

84

•••CG=4——=—,CF=4—3=1,

33

解析：本题重点考查三角形相似的性质及识别、利用三角函数解直角三角形、勾股定理等知识点，

本题综合性很强，提高学生解决综合问题的能力，本题是一道难度中等的题目.

22.答案：2<%<8且％76；从第一小时到第六小时甲的工作效率是3件/时

解析：解：(1)为图象在月上方的部分，生产乙的效率高于甲的效率的时间X(小时)的取值范围是2<

x<8且x丰6；

线段4B的实际意义是从第一小时到第六小时甲的工作效率是3件/时；

(2)设函数解析式是%=kx+b,

图象过点B(6,3)、C(8,0)

+b=3

+b=O'

故函数解析式为为=一|久+12；

(3)Z=3m+4(6—m),

即Z=-m+24.

(1)根据为图象在为上方的部分，可得答案，根据线段的工作效率没变，可得答案案;

(2)根据待定系数法，可得函数解析式；

(3)根据甲的最大效率乘以时间，可得甲的产品，根据乙的最大效率乘以乙的时间，可得乙的产品,

甲的产品加乙的产品，可得答案.

本题考查了二次函数的应用，利用了函数图象，待定系数法，题目较为简单.

23.答案:45

解析：解：(1)当〃/。时，48是。。的切线，理由如下：

如图，连结。8,

・•,AD与。。相切于点。，

・•・^ODA=90°,

•・•OB=OC,

・•・Z-OBC=乙OCB,

•・•BC//AO,

・•・Z.OBC=Z.BOA,Z-OCB=Z-DOAf

•••Z-BOA=Z-DOA,

在△AB。和△AD。中，

OB=OD

Z-BOA=乙DOA,

OA=OA

.'.AABO=AADO(SAS)9

・•・乙OBA=^ODA=90°,

・••AB1OB,

••.AB是。。的切线；

⑵当〃40=45。时，四边形40CB是平行四边形，理由如下:

B

E

DoC

设04交BD于点E,

•・・Z.DA0=45°,4ADO=90°,

・••/.DOA=45°,

・•.Z.DAO=/.DOA,

・••AD-OD