新教材高中数学基础练23函数奇偶性的应用含解析新人教A版必修第一册

函数奇偶性的应用

>基础练一水平一

(30分钟60分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1.(多选题)已知函数片Ax)是定义在R上的奇函数,则下列函数中是偶函数的是()

A.『f(|x|)B.y=M

C.y=x,f(x)D.尸/'(x)+x

【解析】选A、B、C.因为/tr)的定义域为R,又因为/•(|-x|)=f(|x|),所以A是偶函数；

令尸(x)=f(*2),则尸(-X)=F(V)=F(x),

所以尸(x)是偶函数，即B是偶函数；

令M(x)=x♦f(x),则"(-X)=-x•f(-x)-x•f(x)=,〃(x),所以.1/(%)是偶函数，即C是偶函数；

令N(x)-f(x)+x,则/V(-X)-x=-f(x)-x=-[f{x)+x]--N{x),所以/V(x)是奇函数，即D是

奇函数.

2.己知函数f(x)=|『l|+a|x+l|,则“下-1"是'"(X)为奇函数”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】选C.若函数/(%)为奇函数,且函数F(x)的定义域为R,

F(x)+/(->)=I+a|x+11+|-xT|+

a|-A+l|=|尸1+1广11+a|科11+a|七11=

(济1)+|户11)=0,

所以Kl=0,解得a=-l.

所以“a=T”是“f(x)为奇函数”的充分必要条件.

3.偶函数尸f(x)在区间[0,4]上单调递减，则有()

A.f(T)>/(1)>『(-n)

B./Q^>A-D>/'(-n)

C.F(-n)>F(-l)>d

D.『(-IX-JIDO

［解析］选A.因为F(x)是偶函数，所以a-D*⑴，/"(-n)=F(口).又f(x)在［0,4］上单调递

减，所以f(l)>O>f(”).所以/■(T)〉O〉f(-Jt).

4.已知函数*/U)是偶函数,其图象与x轴有四个交点，则方程A%)=0的所有实根之和是

()

A.4B.2C.1D.0

【解析】选D.因为偶函数产f(x)的图象关于y轴对称,所以/Xx)与x轴的四个交点也关于y

轴对称.

因此,若一根为刈则它关于y轴对称的根为-为；

若另一根为四则它关于y轴对称的根为-%.

所以F(x)=0的四根之和为为+(-汨)+及+(-及)=0.

5.已知f(x)在［a,6］上是奇函数，且/U)在［a,句上的最大值为加，则函数尸(x)=f(x)+3在

［a,6］上的最大值与最小值之和为()

A.2/3B.2〃升6

C.6-2/z/D.6

【解析】选D.因为奇函数Ax)在出物上的最大值为m,所以它在［a,6］上的最小值为-网所

以函数尸(x)=f(x)+3在［a,⑸上的最大值与最小值之和为加3+(-帆3)=6.

6.已知/Xx)是定义在R上的奇函数，当“〉0时，/"(x)=*-4x,则不等式xF(x)>0的解集为

()

A.(-8,-4)U(4,+8)

B.(-4,0)U(4,+8)

C.(-oo,-4)U(0,4)

D.(-4,4)

【解析】选A.因为f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/"(x)=f-4x,

所以当水0时，/'(x)=-x(户4),

当x>0时，xf(x)>0=>f{x)>0=V-4x>0=x>4,

当K0时,xf(x)>0=f(x)<0=-x(x+4)<0=>x<-4,

所以不等式xf{x}>0的解集为(-8,-4)u(4,+8).

二、填空题(每小题5分，共10分)

1

7.设,3是偶函数，晨x)为奇函数'又,)+4)=-'则

f(x)=,g(*)

1

【解析】因为f(x)+g(x)=—,①

X-1

1

所以十止玄.又上)为偶函数'

1

g(x)为奇函数,所以F(x)-g(x)=---.②

-X-1

①+②，得上)1:三/@得"石X.

1X

答案:石K

8.已知f(x)是R上的偶函数，且在［0,+8)上单调递减，f(l)=0,则不等式f(x)＞0的解集

为

【解析1根据题意，由于『(1)=0,

则/1(x)>0=f(x)>F(l),

f(x)是R上的偶函数,且在［0,+8)上单调递减,

解得-1＜水1,

则不等式f(x)＞0的解集为｛削.

答案：｛＞［-1＜京1｝

国J【补偿训练】

定义在R上的奇函数/U)单调递减,则不等式A2^+l)+/-(x-4)＞0的解集为.

【解析】因为f(x)是R上的奇函数,且单调递减,

所以由f(2廿1)+『(/_4)＞。得

A2A+1)>A4-/);

所以2x<-K4-x2;

解得-3〈水1;

所以原不等式的解集为(-3,1).

答案：(-3,1)

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.已知/Xx)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)

=(/+1)(A+1),求f{x),g{x).

【解析】因为/'(x)是偶函数,g(x)是奇函数，

所以F(-x)=f(X),g(-x)=-g(x).

在已知条件中，将X全部换成-X,

得/1(-X)+g(-X)=(V+D(-A+1),

即■T(x)-g(^=(f+l)(-xH).

'/(%)+g(x)=(X2+1)(%+1),

(/(x)-^(x)=(x2+1)(-%+1),

得F(x)=f+l,g(x)=x(f+l).

10.判断函数f(x)=|户aH『a|(a6R)的奇偶性.

【解析】对a进行分类讨论.

若3=0,则/'(X)=|x|Tx|=0.

因为定义域为R,关于坐标原点对称.

所以f(x)既是奇函数又是偶函数.

若a#0,因为/'(-x)=|-肝a|-|-尸a|=|尸a|-|户a|=-(|户a|-|尸a|)=-F(x),所以/'(x)是奇函

数.

综上,当a=0时,函数f(x)既是奇函数又是偶函数;当。力0时,函数/Xx)是奇函数.

为提升练一水平二..........

......................................(35分钟70分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1.已知F(x)=aV+6户1,且F(5)=7,贝UF(-5)的值是()

A.-5B.-7C.5D.7

【解析】选A.因为f^-ax+bx^t,令g(x)=af+6x,f(x)=g(x)+l,则

g(-x)=a(-*)3+b*(-x)=-{ax+bx)--g{x),

即g(x)=af+康为奇函数，

又F(5)=7,所以f(5)=g(5)+l=7,

所以g⑸=6,所以g(-5)=-g(5)=-6,

所以f(-5)=g(-5)+l=-6+l=-5.

2.函数f(x)在R上为减函数，且为奇函数，若/U)=-l,则满足-lWf(尸2)W1的x的取值范

围是()

A.［-2,2］B.［-1,1］

C.［0,4］D.［1,3］

【解析】选D.因为f(x)为R上的奇函数，/•⑴=T,

所以A-D=-/(1)=1,

由TW/■(尸2)W1,得F(l)Wf(尸2)WF(-1),

又因为F(x)在R上单调递减，

所以所以1WXW3.

3.(多选题)定义在(-8,+8)上的偶函数/■(*)满足/•(户l)=-f(x),且/1(x)在11,0］上是增函

数，则()

A.f(x)是周期函数

B.f(x)的图象关于尸1对称

C.f(x)在［0,1］上单调递增

D.f(x)在［1,2］上单调递减

【解析】选A、B.由于/•(户l)=-f(x),所以/"(户2)=-7•(户l)=f(x),周期为2,故A正确；

由于F(2-x)=f(-x)=F(x),图象关于直线尸1对称,故B正确；

偶函数在定义域内关于坐标原点对称的区间上的单调性相反，故C不正确；

根据周期性,函数在［1,2］上的单调性与［T,0］上的单调性相同,故D不正确.

4.已矢口f(x)=ax-bx+cx+2,且A-5)=m,贝ij/'(5)+F(-5)的值为()

A.4B.0C.2/nD.-帆4

【解析】选A.由A_5)=a(-5)7-b(-5)5+c(-5)'+2=~a•5'+b•5s-c,5'+2=m,

得a•5'-b•5a+c•53-2-m,UJlJf(5)=a•5'-6•5"+c•5‘+2=2-加2=4-0.

所以/'(5)+f(-5)=4-研〃产4.

二、填空题(每小题5分，共20分)

5.已知f(x)为定义在R上的奇函数，当OWxWl时，/'(x)=x(l-x),则当-1^X0

时，/Xx)=.

【解析】当TW水0时，

f(X)=-/■(-X)=-[-x(1+x)]=x(l+x).

答案:x(l+x)

x2+(a+l)x+a

6.设函数f(x)=——;---------为奇函数，则实数a=.

x

x2+(a+l)x+a

【解析】因为函数F(x)二一■——:——为奇函数,

x

x2-(a+l)x+ax2+(a+l)x+a

所以f(-x)+f(x)二一-——-——+—■——;——-0,

-XX

化简可得济1=0,解得王T.

答案：T

71(x)是定义在R上的奇函数，且单调递减，若F(2Y)+F(4Y)<0,则a的取值范围

为.

【解析】因为f(2-a)+f(4-a)〈0,

所以A2-a)<-/(4-a).

又因为f(x)为奇函数,所以-f(4-a)=/'(看4),

所以f(2-a)〈f(a-4).又因为f(x)是单调递减函数,所以2-a>才4,所以a<3.

答案:水3

8.己知f(x)为奇函数,且当X0时，f(x)=V+3户2.若当xG［1,3］时，/'(x)的最大值为///,最小

值为n,则m-n的值为.

【解析】因为水0时,f(x)=/+3e2=(%+121

4,

所以当xd[-3,-1]时,

f(^)max=f(-3)=2.

1

因为f(x)为奇函数,所以f(x)在［1,3］上的最小值和最大值分别是-2,一,

4

1199

所以〃尸一，n=~2.所以m~n=—(-2)=-，即nrn的值为一.

4444

9

答案:一

4

三、解答题(共30分)

9.(10分)已知函数F(x)是偶函数，当xG[0,+8)时，f(x)=x-l,求满足的x的取值

范围.

【解析】设X0,则-x>0,所以

因为/Xx)为偶函数,所以即/"(x)=-尸1(求0),

%-1(%>0),

所以f(X)=«

、-%-1(%<0).

x-2(x>1),

所以-(尸1)=4

<1).

当X)1时，由/"(xT)=尸2<0,得当2,

所以1〈水2;

当水1时，由/•(尸1)=-求0,得x>0,

所以0〈水1,

综上可知,满足A^lXO的x的取值范围为{x|0<x<2}.

10.(10分)已知函数f(x)=(x+a)(x+⑸(a"GR)为R上的偶函数.

(1)求a,6的关系式.

(2)求关于x的方程f(x)=O的解集.

【解析】(1)因为f(x)=(户a)(户6)=/+36)肝ab是偶函数，所以/'(-x)=FO)对于xGR恒成

立，

所以(-x)\(a+6)x+ab=x+(a+Z?)x^ab,

即2(a+6)A=0对于