高数对面积的曲面积分

高数对面积的曲面积分引例:设曲面形构件具有连续面密度类似求曲线形构件质量的思想,采用可得

“分割，近似，求和，取极限”

的方法,求质量M.其中,

表示n

小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).9.3.1对面积的曲面积分（第一类曲面积分）第2页,共31页，2024年2月25日，星期天定义9.3.1设为光滑曲面,“乘积和式极限”

都存在,的曲面积分其中叫做被积

是定义在上的一个有界函数,记作或第一类曲面积分。若对做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数在曲面上对面积函数,

叫做积分曲面,dS叫做曲面面积元素。第3页,共31页，2024年2月25日，星期天据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为注：则有：若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面第4页,共31页，2024年2月25日，星期天则对面积的曲面积分存在。在光滑曲面

上连续,•

积分的存在性:第5页,共31页，2024年2月25日，星期天------与对弧长的曲线积分性质类似（1）关于被积函数的线性性质（2）关于积分曲面的可加性（3）关于被积函数的不等式性质（4）估值定理（5）积分中值定理对面积的曲面积分的性质

第6页,共31页，2024年2月25日，星期天第7页,共31页，2024年2月25日，星期天定理设有光滑曲面

在上连续,存在,且有对面积的曲面积分的计算法

则曲面积分证明由定义知第8页,共31页，2024年2月25日，星期天而(光滑)第9页,共31页，2024年2月25日，星期天说明

1）计算方法可概括为“一代、二换、三投影，曲面积分化为二重积分”。“一代”将代入被积函数，得；“二换”将dS换成相应的曲面面积元素的表达式：如，则“三投影”认清在平面上的投影区域，二重积分是在区域上进行的。第10页,共31页，2024年2月25日，星期天如：球面、柱面的面积元素可有类似的公式.2)如果曲面方程为3)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分。第11页,共31页，2024年2月25日，星期天回顾球面坐标下的体积元素

为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球面坐标，用三组坐标平面r=常数，=常数，θ=常数把积分区域Ω分成许多小闭区域。考虑由r，,θ各取得微小增量dr，，dθ所成的六面体的体积（如图）。不计高阶无穷小，可把这个六面体看作长方形，其经线方向的长为，纬线方向的宽为，向径方向的高为dr，于是得这就是球面坐标系中的体积元素。dθxyzrdrrOθ第12页,共31页，2024年2月25日，星期天例1计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解第13页,共31页，2024年2月25日，星期天思考若是球面被平行平面z=±h

截出的上下两部分,则第14页,共31页，2024年2月25日，星期天奇偶函数在对称曲面上的积分性质第15页,共31页，2024年2月25日，星期天第16页,共31页，2024年2月25日，星期天例2解第17页,共31页，2024年2月25日，星期天（或直接由对称性）第18页,共31页，2024年2月25日，星期天例3

计算其中

是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解设上的部分,则与

原式=分别表示

在平面第19页,共31页，2024年2月25日，星期天例4

计算，其中：被柱面割下的有限部分。

解

ya2aOx第20页,共31页，2024年2月25日，星期天说明

Σ也可往yOz或zOx平面投影而计算此曲面积分，但投影区域的表示及二重积分的计算都较复杂。ya2aOx第21页,共31页，2024年2月25日，星期天例5

设计算解锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在xoy面上的投影域为则第22页,共31页，2024年2月25日，星期天思考若例3

中被积函数改为计算结果如何?第23页,共31页，2024年2月25日，星期天解Σ关于xOy平面对称，所以Σ关于zOx平面对称，所以所以例6

求

利用重心公式A第24页,共31页，2024年2月25日，星期天例7计算其中

是球面利用对称性可知解显然球心为半径为利用重心公式第25页,共31页，2024年2月25日，星期天例8求半径为R

的均匀半球壳

的重心。解设的方程为利用对称性可知重心的坐标而用球面坐标系第26页,共31页，2024年2月25日，星期天例9

计算解取球面坐标系,则第27页,共31页，2024年2月25日，星期天例10

计算其中

是介于平面之间的圆柱面分析若将曲面分为前后(或左右)则解取曲面面积元素两片,则计算较繁。第28页,共31页，2024年2月25日，星期天例11求椭圆柱面位于xoy面上方及平面

z=y

下方那部分柱面

的侧面积S

。解取第29页,共31页，2024年2月25日，星期天内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情